2014高考数学 第一章 第二节 命题、充分条件与必要条件课时提升作业 文 北师大版
2014届高考数学一轮复习练习第一章第2课时命题及其关系、充分条件与必要条件(新人教A版)
一、选择题1．与命题“若a ∈M ，则b ∉M ”等价的命题是( )A ．若a ∉M ，则b ∉MB ．若b ∉M ，则a ∈MC ．若a ∉M ，则b ∈MD ．若b ∈M ，则a ∉M解析：选D.与原命题等价的命题为原命题的逆否命题．“若a ∈M ，则b ∉M ”的逆否命题为“若b ∈M ，则a ∉M ”．故选D.2．设集合M ＝{x |0＜x ≤3}，N ＝{x |0＜x ≤2}，那么“a ∈M ”是“a ∈N ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.M ＝{x |0＜x ≤3}，N ＝{x |0＜x ≤2}，所以NM ，故“a ∈M ”是“a ∈N ”的必要不充分条件．3．(2012·高考陕西卷)设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋b i为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.∵a ＋b i＝a －b i 为纯虚数， ∴必有a ＝0，b ≠0，而ab ＝0时，有a ＝0或b ＝0，∴由a ＝0，b ≠0⇒ab ＝0，反之不成立．∴“ab ＝0”是“复数a ＋b i为纯虚数”的必要不充分条件． 4．(2013·潍坊调研)命题“若△ABC 有一内角为π3，则△ABC 的三内角成等差数列”的逆命题( )A ．与原命题同为假命题B ．与原命题的否命题同为假命题C ．与原命题的逆否命题同为假命题D ．与原命题同为真命题解析：选D.原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC 的三内角成等差数列，则△ABC 有一内角为π3”，它是真命题．故选D. 5．(2012·高考浙江卷)设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋2y ＋4＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.若l 1∥l 2，则2a －2＝0，∴a ＝1. 故“a ＝1”是“l 1∥l 2”的充要条件．二、填空题6．已知p ：x ≤1，q ：1x＜1，则p 是綈q 成立的________条件． 解析：綈q ：0≤x ≤1.答案：必要不充分7．在命题“若m ＞－n ，则m 2＞n 2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________．解析：原命题为假命题，逆否命题也为假命题，逆命题也是假命题，否命题也是假命题．故假命题的个数为3.答案：38．(2013·南京模拟)有下列几个命题：①“若a ＞b ，则a 2＞b 2”的否命题；②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；③“若x 2＜4，则－2＜x ＜2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．解析：①原命题的否命题为“若a ≤b ，则a 2≤b 2”，错误．②原命题的逆命题为：“x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，正确．③原命题的逆否命题为“若x ≥2或x ≤－2，则x 2≥4”，正确．答案：②③三、解答题9．(2013·开封调研)已知命题p ：“若ac ≥0，则一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0没有实根”．(1)写出命题p 的否命题；(2)判断命题p 的否命题的真假，并证明你的结论．解：(1)命题p 的否命题为：“若ac <0，则一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根”．(2)命题p 的否命题是真命题．证明如下：∵ac <0，∴－ac >0⇒Δ＝b 2－4ac >0⇒一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根．∴该命题是真命题．10．指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件？(1)p ：a ＋b ＝2，q ：直线x ＋y ＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝2相切；(2)p ：|x |＝x ，q ：x 2＋x ≥0；(3)设l ，m 均为直线，α为平面，其中l ⊄α，m ⊂α，p ：l ∥α，q ：l ∥m .解：(1)若a ＋b ＝2，则圆心(a ，b )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝|a ＋b |2＝2＝r ，所以直线与圆相切．反之，若直线与圆相切，则|a ＋b |＝2，∴a ＋b ＝±2，故p 是q 的充分不必要条件．(2)若|x |＝x ，则x 2＋x ＝x 2＋|x |≥0成立．反之，若x 2＋x ≥0，即x (x ＋1)≥0，则x ≥0或x ≤－1.当x ≤－1时，|x |＝－x ≠x ，因此，p 是q 的充分不必要条件．(3)∵l ∥α l ∥m ，但l ∥m ⇒l ∥α，∴p 是q 的必要不充分条件.一、选择题1．已知p ：x 1，x 2是方程x 2＋5x －6＝0的两根，q ：x 1＋x 2＝－5，则p 是q 的( )A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.由题意知命题p 中方程x 2＋5x －6＝0的两根为－6,1，即x 1＋x 2＝－5，但若x 1＋x 2＝－5，则此处的x 1，x 2并不一定是方程x 2＋5x －6＝0的根．故p ⇒q ，但q ≠p .故选A.2．下列命题中为真命题的是( )A ．命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题B ．命题“x >1，则x 2>1”的否命题C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题D ．命题“若x 2>0，则x >1”的逆否命题解析：选A.对于A ，其逆命题是：若x >|y |，则x >y ，是真命题，这是因为x >|y |≥y ，必有x >y ；对于B ，否命题是：若x ≤1，则x 2≤1，是假命题．如x ＝－5，x 2＝25>1；对于C ，其否命题是：若x ≠1，则x 2＋x －2≠0，由于x ＝－2时，x 2＋x －2＝0，所以是假命题；对于D ，若x 2>0，则x >0或x <0，不一定有x >1，因此原命题的逆否命题是假命题．二、填空题3．若命题“ax 2－2ax －3＞0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________． 解析：ax 2－2ax －3≤0恒成立，当a ＝0时，－3≤0成立；当a ≠0时，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0Δ＝4a 2＋12a ≤0，解得－3≤a ＜0，故－3≤a ≤0. 答案：[－3,0]4．已知集合A ＝{x |12＜2x ＜8，x ∈R }，B ＝{x |－1＜x ＜m ＋1，x ∈R }，若x ∈B 成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________．解析：A ＝{x |12＜2x ＜8，x ∈R }＝{x |－1＜x ＜3}， ∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，∴AB ，∴m ＋1＞3，即m ＞2.答案：(2，＋∞)三、解答题5．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，并且命题p 是命题q 的充分条件，求实数m 的取值范围．解：化简集合A ，由y ＝x 2－32x ＋1， 配方，得y ＝⎝⎛⎭⎫x －342＋716. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，∴y min ＝716，y max ＝2. ∴y ∈⎣⎡⎦⎤716，2. ∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |716≤y ≤2. 化简集合B ，由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2，B ＝{x |x ≥1－m 2}．∵命题p 是命题q 的充分条件，∴A ⊆B .∴1－m 2≤716，解得m ≥34，或m ≤－34. ∴实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－34∪⎣⎡⎭⎫34，＋∞.高|考∽试⌒题+库。
1.4充分条件和必要条件(知识+例题+练习+课堂测试+课后测试)
1.4充分条件与必要条件第1课时充分条件与必要条件基础知识知识点1充分条件与必要条件命题真假“若p ，则q ”是真命题“若p ，则q ”是假命题推出关系__p ⇒q __pq条件关系p 是q 的充分条件q 是p 的必要条件p 不是q 的充分条件q 不是p 的必要条件思考1：在逻辑推理中，p ⇒q 能表达成哪几种说法？知识点2判定定理、性质定理与充分条件、必要条件的关系(1)数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．(2)数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．思考2：性质定理与必要条件有什么关系？基础自测1．思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)(1)“x ＝3”是“x 2＝9”的必要条件．()(2)“x >0”是“x >1”的充分条件．()(3)如果p 是q 的充分条件，则p 是唯一的．()2．x ，y ∈R ，下列各式中哪个是“xy ≠0”的必要条件()A ．x ＋y ＝0B ．x 2＋y 2>0C ．x －y ＝0D ．x 3＋y 3≠03．在平面内，下列是“四边形是矩形”的充分条件的是()A ．四边形是平行四边形且对角线相等B ．四边形两组对边相等C ．四边形的对角线互相平分D ．四边形的对角线垂直题型探究题型一充分条件例1(1)设x ∈R ，则使x >3.14成立的一个充分条件是()A ．x >3B ．x <3C ．x >4D ．x <4(2)下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件？①若a ∈Q ，则a ∈R ；②若a <b ，则ab<1；③若x >1，则x 2>1；④若(a －2)(a －3)＝0，则a ＝3；⑤若△ABC中，若A>B，则BC>AC；⑥已知a，b∈R，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0.[归纳提升]充分条件的两种判断方法(1)定义法：(2)命题判断方法：如果命题：“若p，则q”是真命题，则p是q的充分条件；如果命题：“若p，则q”是假命题，则p不是q的充分条件．【对点练习】❶下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中p是q的充分条件？(1)若x2＝y2，则x＝y；(2)若内错角相等，则两直线平行；(3)若整数a能被4整除，则a的个位数字为偶数；(4)若(x－1)2＋(y－2)2＝0，则(x－1)(y－2)＝0.题型二必要条件例2(1)使|x|＝x成立的一个必要条件是()A．x<0B．x≥0或x≤－1C．x>0D．x≤－1(2)下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？①若|x|＝|y|，则x＝y；②若△ABC是直角三角形，则△ABC是等腰三角形；③p：x＝1，q：x－1＝x－1；④p：－2≤x≤5，q：－1≤x≤5；⑤p：a是自然数，q：a是正整数；⑥p：三角形是等边三角形，q：三角形是等腰三角形．[归纳提升]必要条件的两种判断方法(1)定义法：(2)命题判断方法：如果命题：“若p，则q”是真命题，则q是p的必要条件；如果命题：“若p，则q”是假命题，则q不是p的必要条件．【对点练习】❷下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？(1)若a是1的平方根，则a＝1.(2)若4x2－mx＋9是完全平方式，则m＝12.(3)若a是无理数，则a是无限小数．(4)若a与b互为相反数，则a与b的绝对值相等．课堂检测·固双基1.命题p：(a＋b)(a－b)＝0，q：a＝b，则p是q的()A．充分条件B．必要条件C．既是充分条件也是必要条件D．既不是充分条件也不是必要条件2．对于任意的实数a，b，c，在下列命题中，真命题是()A．“ac>bc”是“a>b”的必要条件B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件C．“ac<bc”是“a<b”的充分条件D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件3．设集合M＝{x|0<x≤3}，N＝{x|0<x≤2}，那么“a∈N”是“a∈M”的条件．4．下列“若p，则q”形式的命题，哪些命题中的p是q的充分条件？(1)若平面内点P在线段AB的垂直平分线上，则PA＝PB；(2)若两个三角形的两边及一边所对的角分别相等，则这两个三角形全等；(3)若两个三角形相似，则这两个三角形的面积比等于周长比的平方．5．下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？(1)若直线l与⊙O有且仅有一个交点，则l为⊙O的一条切线；(2)若x是无理数，则x2也是无理数．课后作业A组·课后自测一、选择题1．“a和b都是奇数”是“a＋b是偶数”的()A．充分条件B．必要条件C．既是充分条件也是必要条件D．既不是充分条件也不是必要条件2．已知命题“若p，则q”，假设“若q，则p”为真，则p是q的() A．充分条件B．必要条件C．既是充分条件也是必要条件D．既不是充分条件也不是必要条件3．a<b，b<0的一个必要条件是()A．a＋b<0B．a－b>0C．ab <0D．ab<－14．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么() A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C．丙既是甲的充分条件，也是甲的必要条件D．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件二、填空题5．用“充分”或“必要”填空：(1)“x≠3”是“|x|≠3”的条件．(2)“个位数字是5的自然数”是“这个自然数能被5整除”的条件．6．若集合A＝{1，m2}，B＝{2,4}，则“m＝2”是“A∩B＝{4}”的条件．(填“充分”或“必要”)三、解答题7．下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？哪些命题中的p是q的必要条件？(1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除；(2)p：x>1，q：x2>1；(3)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形；(4)p：A∩B＝A，q：∁U B⊆∁U A．B组·课后提升一、选择题1．若非空集合A，B，C满足A∪B＝C，且B不是A的子集，则()A．“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件B．“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件C．“x∈C”是“x∈A”的充分条件也是“x∈A”的必要条件D．“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”的必要条件2．(多选题)有以下说法，其中正确的为()A．“m是有理数”是“m是实数”的充分条件B．“x∈(A∩B)”是“x∈A”必要条件C．“x2－2x－3＝0”是“x＝3”的必要条件D．“x>3”是“x2>4”的充分条件二、填空题3．给出下列四个条件：①a>0，b>0；②a<0，b<0；③a＝3，b＝－2；④a>0，b<0且|a|>|b|，其中是a＋b>0的充分条件．(填序号)4．条件p：1－x<0，条件q：x>a，若p是q的充分条件，则a的取值范围.三、解答题5.如图，直线a与b被直线l所截，分别得到了∠1，∠2，∠3和∠4.请根据这些信息，写出几个“a∥b”的充分条件和必要条件．第2课时充要条件基础知识知识点充要条件1．定义：若p⇒q且q⇒p，则记作__p⇔q__，此时p是q的充分必要条件，简称.2．条件与结论的等价性：如果p是q的__充要条件__，那么q也是p的.3．概括：如果，那么p与q互为.思考：命题按条件和结论的充分性、必要性可分哪几类？基础自测1．下列命题中是真命题的是()①“x>3”是“x>4”的必要条件；②“x＝1”是“x2＝1”的必要条件；③“a＝0”是“ab＝0”的必要条件．A．①B．①②C．①③D．②③2．“x＝0”是“x2＝0”的()A．充分条件B．必要条件C．既不是充分条件也不是必要条件D．既是充分条件又是必要条件3．点P(x，y)是第二象限的点的充要条件是()A．x<0，y<0B．x<0，y>0C．x>0，y>0D．x>0，y<04．设p：x<3，q：－1<x<3，则p是q的()A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件5．从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个合适的填空．(1)“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的.(2)“x<5”是“x<3”的.题型探究题型一充分条件、必要条件及充要条件的判断例1(1)对于任意的x，y∈R，“xy＝0”是“x2＋y2＝0”的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(3)设A，B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[归纳提升]充分条件、必要条件的两种判断方法(1)定义法：①确定谁是条件，谁是结论．②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件．③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件．(2)命题判断法：①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件．②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件．【对点练习】❶设A、B为两个互不相同的集合．命题p：x∈(A∩B)；命题q：x∈A或x∈B．则p是q的()条件．A．充分必要B．充分不必要C．必要不充分D．既不充分又不必要题型二充要条件的证明例2设x，y∈R，求证：|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0.[归纳提升]充要条件的证明策略(1)要证明一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真．(2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论．【对点练习】❷证明：△ABC是等边三角形的充要条件是a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，这里a，b，c是△ABC 的三条边．题型三根据充分条件、必要条件求参数的取值范围例3已知p：－4<x－a<4，q：(x－2)(x－3)<0，且q是p的充分条件，则实数a的取值范围为() A．(－1,6)B．[－1,6]C．(－∞，－1)∪(6，＋∞)D．(－∞，－1]∪[6，＋∞)[归纳提升]根据充分条件与必要条件求参数取值范围的步骤如下：(1)记集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}；(2)根据以下表格确定集合M与N的包含关系：条件类别集合M与N的关系p是q的充分不必要条件M Np是q的必要不充分条件M Np是q的充要条件M＝Np是q的充分条件M⊆Np是q的必要条件M⊇N(3)根据集合M与N的包含关系建立关于参数的不等式(组)．(4)解不等式(组)求出参数的取值范围．【对点练习】❸设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，a∈R；q：实数x满足x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0.若a<0且p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．误区警示误将充分条件当作充要条件例4给出下列各组条件：①p：ab＝0，q：a2＋b2＝0；②p：xy≥0，q：|x|＋|y|＝|x＋y|；③p：m>0，q：方程x2－x－m＝0有实根；④p：x>2或x<－1，q：x<－1.其中p是q的充要条件的有()A．1组B．2组C．3组D．4组[方法点拨]对于两个条件A，B，若A⇒B成立，则A是B的充分条件(B成立的充分条件是A)，B是A的必要条件；若B⇒A成立，则A是B的必要条件，B是A的充分条件；若A⇔B，则A，B互为充要条件．解题时最容易出错的就是颠倒了充分性与必要性．学科素养充分条件、必要条件的证明充分条件与必要条件是高中数学的重要概念，与数学中其他知识的联系较强，是高考的热点之一，同时也是易错点，充要条件的证明是本节的难点．例5已知a≥12，设二次函数y＝－a2x2＋ax＋c，其中a，c均为实数．证明：对于任意x∈[0,1)，均有y≤1成立的充要条件是c≤3 4 .[归纳提升]充要条件的证明思路(1)根据充要条件的定义，证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明：①充分性：把p当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q；②必要性：把q当作已知条件，结合命题的前提条件，推出p.解题的关键是分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，至于先证明充分性还是先证明必要性则无硬性要求．(2)在证明过程中，若能保证每一步推理都有等价性(⇔)，也可以直接证明充要性．课堂检测·固双基1．“a＋b>2c”的一个充分不必要条件是()A．a>c或b>c B．a>c或b<cC．a>c且b<c D．a>c且b>c2．若“x<a”是“x≥3或x≤－1”的充分不必要条件，则a的取值范围是()A．a≥3B．a≤－1C．－1≤a≤3D．a≤33．写出平面内的一个四边形为平行四边形的两个充要条件：充要条件①充要条件②(写出你认为正确的两个充要条件)4．若“x>2”是“x>m”的必要不充分条件，则m的取值范围是.5．下列各题中，哪些p是q的充要条件？(1)p：三角形为等腰三角形，q：三角形存在两角相等；(2)p：⊙O内两条弦相等，q：⊙O内两条弦所对的圆周角相等；(3)p：A∩B为空集，q：A与B之一为空集．课后作业A组·课后自测一、选择题1．设x∈R，则“x>1”是“|x|>1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．已知x∈R，则{x|x<－1}是{x|x>12或x<－1}的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．命题“对所有的x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是() A．a≥4B．a≤4C．a≥5D．a≤54．若a，b为实数，则ab(a－b)<0成立的一个充要条件是()A．0<1a <1bB．0<1b<1aC．1a<1bD．1b<1a二、填空题5．下列说法正确的是.①x2≠1是x≠1的必要条件；②x>5是x>4的充分不必要条件；③xy＝0是x＝0且y＝0的充要条件；④x2<4是x<2的充分不必要条件．6．已知p：x<8，q：x<a，且q是p的充分不必要条件，则a的取值范围为.三、解答题7．已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：1x <1y的充要条件是xy>0.B组·课后提升一、选择题1．方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是()A．0<a≤1B．a<1C．a≤1D．0<a≤1或a<02．(多选题)设全集为U，在下列条件中，是B⊆A的充要条件的有()A．A∪B＝B B．(∁U A)∩B＝∅C．∁U A⊆∁U B D．A∪∁U B＝U二、填空题3．设集合A＝{x∈R|x－2>0}，B＝{x∈R|x<0}，C＝{x∈R|x<0或x>2}，则“x∈(A∪B)”是“x∈C”的条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)4．若p：x2＋x－6＝0是q：ax＋1＝0的必要不充分条件，且a≠0，则实数a的取值为三、解答题5．是否存在实数p，使“4x＋p<0”是“x>2，或x<－1”的充分条件？如果存在，求出p的取值范围；若不存在，请说明理由．。
14年高考 数学 基础+突破 第3讲 命题及其关系、充分条件、必要条件 (2)
课时作业(三) [第3讲命题及其关系、充分条件、必要条件](时间：35分钟分值：80分)基础热身1．[2012·重庆卷] 命题“若p，则q”的逆命题是( )A．若q，则pB．若綈p，则綈qC．若綈q，则綈pD．若p，则綈q2．[2012·佛山模拟] 已知非零向量a，b，则“a＋b＝0”是“a∥b”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件3．下列命题中为真命题的是( )A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题B．命题“若x>1，则x2>1”的否命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D．命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题4．[2013·扬州中学月考] 已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是________________________．能力提升5．“a＝2”是“函数f(x)＝x a－12为偶函数”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．下列有关命题的说法中，正确的是( )A．命题“若x2>1，则x>1”的否命题为“若x2>1，则x≤1”B．“x>1”是“x2＋x－2>0”的充分不必要条件C．命题“∃x0∈R，使得x20＋x0＋1<0”的否定是“∀x∈R，都有x2＋x＋1>0”D．命题“若α>β，则tanα>tanβ”的逆命题为真命题7．下列命题中，真命题的个数是( )①x，y∈R，“若x2＋y2＝0，则x，y全为0”的逆命题；②“若a＋b是偶数，则a，b都是偶数”的否命题；③“若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0”的逆否命题．A．0 B．1C．2 D．38．[2012·郑州模拟] 设p：|2x＋1|>a， q：x－12x－1>0，使p是q的必要不充分条件的实数a的取值范围是( )A．(－∞，0) B．(－∞，－2]C．[－2，3] D．(－∞，3]9．[2012·焦作质检] 写出一个使不等式x2－x<0成立的充分不必要条件________．10．已知命题“若a>b，则ac2>bc2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中正确命题的个数是________．11．“x＝2”是“向量a＝(x＋2，1)与向量b＝(2，2－x)共线”的________条件．12．(13分)π为圆周率，a，b，c，d∈Q，已知命题p：若aπ＋b＝cπ＋d，则a＝c且b＝d.(1)写出命题p的否定并判断真假；(2)写出命题p的逆命题、否命题、逆否命题并判断真假；(3)“a＝c且b＝d”是“aπ＋b＝cπ＋d”的什么条件？并证明你的结论．难点突破13．(12分)已知集合A＝y错误!y＝x2－错误!x＋1，x∈错误!，2，B＝{x|x＋m2≥1}．条件p：x∈A，条件q：x∈B，并且p是q的充分条件，求实数m的取值范围．课时作业 (三)【基础热身】1．A [解析] 根据原命题与逆命题的关系知“若p，则q”的逆命题是“若q，则p”，故选A.2．A [解析] 若a＋b＝0，则a＝－b，所以a∥b，反之若a∥b，不一定有a＋b＝0.故选A.3．A [解析] 命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题是“若x>|y|，则x>y”，无论y是正数、负数、0都成立，故选A.4．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3 [解析] 根据否命题的概念可得，原命题的否命题为“若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3”．【能力提升】5．A [解析] 当a＝2时， f(x)＝x2－12，则有f(－x)＝f(x)，且定义域关于原点对称，所以函数f(x)为偶函数；反之则不成立．故选A.6．B [解析] 对于A，否命题为“若x2≤1，则x≤1”，所以A错误；对于B，x>1时，x2＋x－2>0成立，反之，x2＋x－2>0，则有x>1或x<－2，所以B正确；对于C，命题的否定是“∀x∈R，都有x2＋x＋1≥0”，所以C错误；对于D，命题的逆命题是假命题．故选B.7．D [解析] “若x2＋y2＝0，则x，y全为0”的逆命题是“若x，y全为0，则x2＋y2＝0”是真命题；“若a＋b是偶数，则a，b都是偶数”的否命题是“若a＋b不是偶数，则a，b不都是偶数”是真命题；命题“若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0”是真命题，其逆否命题也是真命题．故选D.8．A [解析] q：x>1或x<12，因为q⇒p，所以|2x＋1|有最小值0，所以a<0，此时有p推不出q，故选A.9.错误!(不唯一) [解析] 由x2－x<0得0<x<1，只要是{x|0<x<1}的真子集都满足题设条件．10．2 [解析] 其中原命题和逆否命题为假命题，逆命题和否命题为真命题．11．充分不必要[解析] 若a＝(x＋2，1)与b＝(2，2－x)共线，则有(x ＋2)(2－x)＝2，解得x＝±2，所以“x＝2”是“向量a＝(x＋2，1)与向量b＝(2，2－x)共线”的充分不必要条件．12．解：(1)原命题p的否定是：“若aπ＋b＝cπ＋d，则a≠c或b≠d”．假命题．(2)逆命题：“若a＝c且b＝d，则aπ＋b＝cπ＋d”，真命题．否命题：若“aπ＋b≠cπ＋d，则a≠c或b≠d”，真命题．逆否命题：“若a≠c或b≠d，则aπ＋b≠cπ＋d”，真命题．(3)“a＝c且b＝d”是“aπ＋b＝cπ＋d”的充要条件．证明如下：充分性：若a＝c，则aπ＝cπ，∵b＝d，∴aπ＋b＝cπ＋d.必要性：∵a π＋b ＝c π＋d ，∴a π－c π＝d －b ， 即(a －c )π＝d －b .∵d －b ∈Q ，∴a －c ＝0，d －b ＝0，即a ＝c ，b ＝d .∴“a ＝c 且b ＝d ”是“a π＋b ＝c π＋d ”的充要条件．【难点突破】13．解：化简集合A ，由y ＝x 2－32x ＋1， 得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋716.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2，∴y min ＝716，y max ＝2， ∴y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤716，2，∴A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪716≤y ≤2. 化简集合B ，由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2，B ＝{x |x ≥1－m 2}． ∵p 是q 的充分条件，∴A ⊆B ，∴1－m 2≤716，解得m ≥34或m ≤－34， ∴实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞.。
新教材高考数学 第一章 集合与常用逻辑用语 1.4 充分条件与必要条件 第1课时 充分条件与必要条件
充分条件与必要条件课标解读课标要求核心素养1.通过对典型数学命题的梳理,理解必要条件的意义,理解性质定理与必要条件的关系.(重点)2.通过对典型数学命题的梳理,理解充分条件的意义,理解判定定理与充分条件的关系.(难点)1.通过对必要条件、充分条件的学习和理解,培养数学抽象的核心素养.2.体会必要条件、充分条件在数学表达、论证等方面的作用,提升逻辑推理的核心素养.某居民的卧室里有一盏灯,在卧室门口和床头各有一个开关,任意一个开关都能够独立控制这盏灯,这就是电器上常用的“双刀〞开关,如下图.问题1:A 开关闭合时B 灯一定亮吗? 答案 一定亮.问题2:B 灯亮时A 开关一定闭合吗? 答案 不一定,还可能是C 开关闭合.1.命题可以判断真假的陈述句是命题,而且,判断为真的语句称为①真命题,判断为假的语句称为假命题. 2.充分条件与必要条件“假设p,那么q 〞为真命题“假设p,那么q 〞为假命题推出关系 p②⇒qp③⇒/q条件 关系p 是q 的④充分条件; q 是p 的⑤必要条件p 不是q 的⑥充分条件; q 不是p 的⑦必要条件定理 关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件; 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件思考:“x<2〞是“x<3〞的 条件,“x<3〞是“x<2〞的 条件.提示 充分;必要 特别提醒对充分条件和必要条件的理解(1)假设p ⇒q,那么p 是q 的充分条件.所谓充分,就是说条件是充足的,条件是足够的,条件是足以保证的.“有之必成立,无之未必不成立〞.(2)假设p ⇒q,那么q 是p 的必要条件.所谓必要,就是条件是必须有的,必不可少的,缺其不可.“有之未必成立,无之必不成立〞.(3)假设p ⇒/ q,那么p 不是q 的充分条件,q 不是p 的必要条件,也可以称为p 是q 的不充分条件,q 是p 的不必要条件.探究一 充分条件、必要条件的判断例1 (1)以下各题中,p 是q 的充分条件的是 (填序号).①p:(x -2)(x-3)=0,q:x-2=0;②p:两个三角形面积相等,q:两个三角形全等; ③p:m<-2,q:方程x 2-x-m=0无实根.(2)以下“假设p,那么q 〞形式的命题中,q 是p 的必要条件的有 (填序号). ①假设x=1,那么x 2-4x+3=0;②假设x为有理数,那么1x为有理数;③假设x=y,那么x2=y2.答案(1)③(2)①③解析(1)①∵(x-2)(x-3)=0,∴x=2或x=3,不能推出x-2=0.∴p不是q的充分条件.②∵两个三角形面积相等不能推出两个三角形全等,∴p不是q的充分条件.③∵m<-2,∴12+4m<0,∴方程x2-x-m=0无实根,∴p是q的充分条件.(2)①∵命题“假设x=1,那么x2-4x+3=0〞是真命题,∴q是p的必要条件.②当x=0时,x是有理数,1x 无意义,∴1x不是有理数,∴q是p的不必要条件.③∵x=y,等号左右平方后,等式依然成立,p⇒q,∴q是p的必要条件.思维突破充分条件、必要条件的判断方法(1)判断p是q的什么条件,主要判断p成立时,能否推出q成立,反过来,q成立时,能否推出p成立:假设p⇒q为真,那么p是q的充分条件,假设q⇒p为真,那么p是q的必要条件.(2)除了用定义判断充分条件、必要条件之外,还可以利用集合间的关系判断,假设p构成的集合为A,q构成的集合为B,A⊆B,那么p是q的充分条件,q是p的必要条件.1.(1)以下选项中,p是q的必要条件的是( )A.p:a=1,q:|a|=1B.p:-1<a<1,q:a<1C.p:a<b,q:a<b+1D.p:a>b,q:a>b+1(2)“a>2且b>2〞是“a+b>4,ab>4〞的条件(填“充分〞或“必要〞).答案(1)D (2)充分解析(1)要满足p是q的必要条件,即q⇒p,只有q:a>b+1⇒p:a>b,应选D.(2)∵a>2且b>2⇒a+b>4,ab>4,∴是充分条件.探究二根据充分条件或必要条件求参数的范围例2 p:实数x满足3a<x<a,其中a<0;q:实数x满足-2≤x≤3.假设p是q的充分条件,求实数a的取值范围.解析p:3a<x<a,记集合A={x|3a<x<a},由题意知,A≠⌀.q:-2≤x≤3,记集合B={x|-2≤x≤3}.因为p⇒q,所以A⊆B,所以{3x≥-2,x≤3,x<0⇒-23≤a<0,即实数a的取值范围是{x|-23≤a<0}.思维突破充分条件与必要条件的应用技巧(1)应用:可利用充分性与必要性进行相关问题的求解,特别是求参数的值或取值范围问题.(2)求解步骤:先把p,q等价转化,利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系,建立关于参数的不等式(组)进行求解.2.(1)(变条件)将本例中的条件“p:实数x满足3a<x<a,其中a<0〞改为“p:实数x满足a<x<3a,其中a>0〞,假设p是q的必要条件,求实数a的取值范围;(2)(变条件)将本例中的条件“q:实数x满足-2≤x≤3〞改为“q:实数x满足-3≤x≤0〞,其他条件不变,求实数a的取值范围.解析(1)p:a<x<3a,记集合A={x|a<x<3a}.q:-2≤x≤3,记集合B={x|-2≤x≤3}.因为q⇒p,所以B⊆A,所以{3x>3,x<-2,x>0⇒a无实数解.(2)p:3a<x<a,其中a<0,记集合A={x|3a<x<a}.q:-3≤x≤0,记集合B={x|-3≤x≤0}.因为p是q的充分条件,所以p⇒q,所以A⊆B,所以{3x≥-3,x≤0,x<0⇒-1≤a<0,即a的取值范围是{a|-1≤a<0}.1.以下语句是命题的是( )A.今天天气真好啊!B.你怎么又没交作业?C.x>2D.方程x2+2x+3=0无实根答案 D A是一个感叹句,不能判断真假,所以不是命题;B是问句,不能判断真假,不是命题;C中x的值不确定,所以不能判断真假,不是命题;D是真命题.2.使x>3成立的一个充分条件是( )A.x>4B.x>0C.x>2D.x<2答案 A 只有x>4⇒x>3,其他选项均不可推出x>3.3.“x2>4〞是“x>2〞的条件(填“充分〞或“必要〞).答案必要解析x>2⇒x2>4,故“x2>4〞是“x>2〞的必要条件.4.假设“x>1〞是“x>a〞的充分条件,那么a的取值范围是.答案a≤1解析因为x>1⇒x>a,所以a≤1.5.分析以下各题中p与q的关系.(1)p:α为锐角,q:α=45°;(2)p:x+1=0,q:(x+1)(x-2)=0.解析(1)由于q⇒p,故p是q的必要条件,q是p的充分条件.(2)由于p⇒q,故p是q的充分条件,q是p的必要条件.数学建模——探究性试题的问题转化或x>1,是否存在实数a,使p是q的充分条件但不是必要条件?条件p:x<1-a或x>1+a和条件q:x<12假设存在,求出最小的正整数a;假设不存在,说明理由.素养探究:解答此类问题的关键是条件“p 是q 的充分条件但不是必要条件〞的转化,利用两个解集间的包含关系建立不等关系求解,过程中表达数学建模核心素养.解析 存在.由题意知a>0.由条件p:x<1-a 或x>1+a,可设集合M={x|x<1-a 或x>1+a}, 由条件q:x<12或x>1,可设集合N=x x<12或x>1. 要使p 是q 的充分条件但不是必要条件, 那么M ⫋N,应有{1-x ≤12,1+x >1 或{1-x <12,1+x ≥1,解得a≥12.令a=1,那么M={x|x<0或x>2}⫋N={x |x <12或x >1}.即p ⇒q,且q ⇒/p.∴存在最小的正整数a=1符合题意.是否存在实数p,使“4x+p<0〞是“x>2或x<-1〞的充分条件?假设存在,求出p 的取值范围;假设不存在,说明理由.解析 存在.令集合A={x|x>2或x<-1},集合B={x|4x+p<0}={x |x <-x4}.由题意知,B ⊆A,即-x4≤-1,即p≥4.∴当p≥4时,“4x+p<0〞是“x>2或x<-1〞的充分条件.1.假设p 是q 的充分条件,那么q 一定是p 的( ) A.充分条件 B.必要条件C.既不充分又不必要条件D.既是充分条件,又是必要条件答案 B 因为p 是q 的充分条件,所以p ⇒q,所以q 一定是p 的必要条件. 2.使x>1成立的一个必要条件是( )A.x>0B.x>3C.x>2D.x<2答案 A 只有x>1⇒x>0,其他选项均不可由x>1推出,应选A. 3.以下“假设p,那么q 〞形式的命题中,p 是q 的充分条件的是( ) A.假设1x =1x ,那么x=y B.假设x 2=1,那么x=1 C.假设x=y,那么√x =√x D.假设x<y,那么x 2<y 2答案 A B 项中,x 2=1⇒x=1或x=-1;C 项中,当x=y<0时,√x ,√x 无意义;D 项中,当x<y<0时,x 2>y 2,所以B,C,D 中p 不是q 的充分条件.4.假设“x 2=4〞是“x=m〞的必要条件,那么m 的一个值可以是( ) A.0 B.2C.4D.16答案 B 由“x=2〞能得出“x 2=4〞,选项B 正确. 5.设p:x<3,q:-1<x<3,那么p 是q 成立的( ) A.既是充分条件,又是必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件答案 C 因为{x|-1<x<3}⫋{x|x<3},所以p 是q 成立的必要不充分条件.6.设集合M={x|0<x≤3},N={x|0<x≤2},那么“a∈M〞是“a∈N〞的 条件.(填“充分〞或“必要〞) 答案 必要解析 因为N ⊆M,所以“a∈M〞是“a∈N〞的必要条件.7.假设集合A={1,m 2},B={2,4},那么“m=2〞是“A∩B={4}〞的 条件.(填“充分〞或“必要〞)答案充分解析当m=2时,m2=4,所以A∩B={4},所以“m=2〞是“A∩B={4}〞的充分条件.8.以下说法不正确的是.(只填序号)①“x>5〞是“x>4〞的充分条件;②“xy=0〞是“x=0且y=0〞的充分条件;③“-2<x<2〞是“x<2〞的充分条件.答案②解析由xy=0不能推出x=0且y=0,那么②不正确;①③正确.9.指出以下命题中,p是q的充分条件,还是必要条件.(1)p:x2=2x+1,q:x=√2x+1;(2)p:a2+b2=0,q:a+b=0;(3)p:(x-1)2+(y-2)2=0,q:(x-1)(y-2)=0.解析(1)∵x2=2x+1⇒/ x=√2x+1,x=√2x+1⇒x2=2x+1,∴p是q的必要条件.(2)∵a2+b2=0⇒a=b=0⇒a+b=0,a+b=0⇒/ a2+b2=0,∴p是q的充分条件.(3)∵(x-1)2+(y-2)2=0⇒x=1且y=2⇒(x-1)(y-2)=0,(x-1)(y-2)=0⇒/ (x-1)2+(y-2)2=0,∴p是q的充分条件.10.(多选)对任意实数a,b,c,以下命题中是真命题的是( )A.“ac2>bc2〞是“a>b〞的必要条件B.“ac=bc〞是“a=b〞的必要条件C.“ac2>bc2〞是“a>b〞的充分条件D.“ac=bc〞是“a=b〞的充分条件答案BC 当c=0时,“a>b〞⇒/ “ac2>bc2〞,所以A是假命题;“a=b〞⇒“a-b=0〞⇒“(a-b)c=0〞⇒“ac=bc〞,所以“ac=bc〞是“a=b〞的必要条件,所以B是真命题;“ac2>bc2〞⇒“(a-b)c2>0〞,因为c2>0,所以a-b>0,即a>b,所以“ac2>bc2〞是“a>b〞的充分条件,所以C是真命题;当c=0时,“ac=bc〞⇒/ “a=b〞,所以D是假命题.11.集合A={x∈R|-1<x<3},B={x∈R|-1<x<m+1},假设“x∈B〞成立的一个充分条件是“x∈A〞,那么实数m的取值范围是( )A.m≥2B.m≤2C.m>2D.-2<m<2答案 A 因为“x∈B〞成立的一个充分条件是“x∈A〞,所以A⊆B,所以3≤m+1,即m≥2.12.假设A={x|a<x<a+2},B={x|x<-1或x>3},且A是B的充分条件,那么实数a的取值范围为.答案{a|a≤-3或a≥3}解析因为A是B的充分条件,所以A⊆B,又A={x|a<x<a+2},B={x|x<-1或x>3},所以a+2≤-1或a≥3,所以实数a的取值范围是{a|a≤-3或a≥3}.13.(1)是否存在实数m,使“2x+m<0〞是“x<-1或x>3〞的充分条件?(2)是否存在实数m,使“2x+m<0〞是“x<-1或x>3〞的必要条件?解析(1)欲使“2x+m<0〞是“x<-1或x>3〞的充分条件,那么只要{x|x<-x2}⊆{x|x<-1或x>3},即只需-x2≤-1,所以m≥2.故存在实数m≥2,使“2x+m<0〞是“x<-1或x>3〞的充分条件.(2)欲使“2x+m<0〞是“x<-1或x>3〞的必要条件,那么只要{x|x<-1或x>3}⊆{x|x<-x2},这是不可能的.故不存在实数m,使“2x+m<0〞是“x<-1或x>3〞的必要条件.14.假设p:-2<a<0,0<b<1,q:关于x的方程x2+ax+b=0有两个小于1的不等正根,那么p是q的什么条件?解析①假设a=-1,b=12,那么Δ=a2-4b<0,关于x的方程x2+ax+b=0无实根,故p⇒/ q.②关于x的方程x2+ax+b=0有两个小于1的不等正根,不妨设这两个根分别为x1,x2,且0<x1<x2<1,那么Δ>0,x1+x2=-a,x1x2=b,所以0<-a<2,0<b<1,即-2<a<0,0<b<1,故q⇒p.所以p是q的必要不充分条件.。
【全程复习方略】2014版高考数学 7.4垂直关系课时提升作业 理 北师大版
【全程复习方略】2014版高考数学 7.4垂直关系课时提升作业理北师大版一、选择题1.(2013·沈阳模拟)已知直线l,m,平面α,β,且l⊥α,mÜβ,则“α∥β”是“l⊥m”的( )(A)充要条件(B)充分不必要条件(C)必要不充分条件(D)既不充分也不必要条件2.(2013·铜州模拟)已知直线m,n与平角α,β,若α⊥β,α∩β=m,nÜα,要使n⊥β,则应增加的条件是( )(A)m∥n (B)n⊥m(C)n∥α(D)n⊥α3.对于直线m,n和平面α,β,α⊥β的一个充分条件是( )(A)m⊥n,m∥α,n∥β(B)m⊥n,α∩β=m,nα(C)m∥n,n⊥β,mα(D)m∥n,m⊥α,n⊥β4.(2013·青岛模拟)已知a,b,c为三条不重合的直线,下面有三个结论:①若a⊥b,a⊥c,则b∥c;②若a⊥b,a⊥c,则b⊥c;③若a∥b,b⊥c,则a⊥c.其中正确的个数为( )(A)0个(B)1个(C)2个(D)3个5.a,b,c是三条直线,α,β是两个平面,bα,cα,则下列命题不成立的是( )(A)若α∥β,c⊥α,则c⊥β(B)“若b⊥β,则α⊥β”的逆命题(C)若a是c在α内的射影,a⊥b,则b⊥c(D)“若b∥c,则c∥α”的逆否命题6.已知两条直线m,n,两个平面α,β,给出下面四个命题:①m∥n,m⊥α⇒n⊥α;②α∥β,mα,nβ⇒m∥n;③m∥n,m∥α⇒n∥α;④α∥β,m∥n,m⊥α⇒n⊥β.其中正确命题的序号是( )(A)①③(B)②④(C)①④(D)②③7.已知α,β,γ是三个不同的平面,命题“α∥β,且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题,如果把α,β,γ中的任意两个换成直线,另一个保持不变,在所得的所有新命题中,真命题有( )(A)0个(B)1个(C)2个(D)3个8.已知直线m,n和平面α,β满足m⊥n,m⊥α,α⊥β,则( )(A)n⊥β(B)n∥β(C)n⊥α(D)n∥α或nα9.设α,β,γ为平面,l,m,n为直线,则m⊥β的一个充分条件为( )(A)α⊥β,α∩β=l,m⊥l(B)n⊥α,n⊥β,m⊥α(C)α∩γ=m,α⊥γ,β⊥γ(D)α⊥γ,β⊥γ,m⊥α10.如图,PA⊥正方形ABCD,下列结论中不正确的是( )(A)PB⊥CB (B)PD⊥CD(C)PD⊥BD (D)PA⊥BD二、填空题11.P为△ABC所在平面外一点,且PA,PB,PC两两垂直,则下列命题:①PA⊥BC;②PB⊥AC;③PC⊥AB;④AB⊥BC.其中正确的个数是.12.(2013·马鞍山模拟)如图,PA⊥☉O所在的平面,AB是☉O的直径,C是☉O上一点,AE⊥PC,AF⊥PB,给出下列结论:①AE⊥BC;②EF⊥PB;③AF⊥BC;④AE⊥平面PBC,其中真命题的序号是.13.(2012·安徽高考)若四面体ABCD的三组对棱分别相等,即AB=CD,AC=BD,AD=BC,则(写出所有正确结论的编号).①四面体ABCD每组对棱相互垂直;②四面体ABCD每个面的面积相等;③从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180°;④连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分;⑤从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长.14.(2013·安庆模拟)如图,正方形BCDE的边长为a,已知AB=BC,将直角△ABE沿BE边折起,A点在平面BCDE上的射影为D点,则对翻折后的几何体有如下描述:(1)AB与DE所成角的正切值是.(2)三棱锥B-ACE的体积是a3.(3)AB∥CD.(4)平面EAB⊥平面ADE.其中正确的叙述有(写出所有正确结论的编号).三、解答题15.(2013·济宁模拟)如图,A,B,C,D为空间四点.在△ABC中,AB=2,AC=BC=.等边三角形ADB以AB为轴转动.(1)当平面ADB⊥平面ABC时,求CD.(2)当△ADB转动时,是否总有AB⊥CD?证明你的结论.答案解析1.【解析】选B.当α∥β,l⊥α时,有l⊥β,又mÜβ,故l⊥m.反之,当l⊥m,mÜβ时,不一定有l⊥β,故α∥β不一定成立.因此“α∥β”是“l⊥m”的充分不必要条件.2.【解析】选B.由面面垂直的性质定理可知,当n⊥m时,有n⊥β.3.【解析】选C.对于C项:∵m∥n,n⊥β,∴m⊥β,又mα,∴α⊥β.4.【解析】选B.①不对,b,c可能异面;②不对,b,c可能平行或异面;③对,选B.5.【解析】选B.一条直线垂直于两个平行平面中的一个,则垂直于另一个,故A正确;若c∥α,∵a是c在α内的射影,∴c∥a.∵b⊥a,∴b⊥c;若c与α相交,则c与a相交,由线面垂直的性质与判定定理知,若b⊥a,则b⊥c,故C正确;∵bα,cα,b∥c,∴c∥α,因此原命题“若b∥c,则c∥α”为真,从而其逆否命题也为真,故D正确;当α⊥β时,平面α内的直线不一定垂直于平面β,故B不成立.【误区警示】平面几何中的一些结论引用到立体几何中造成错误.对空间中位置关系的考虑不周,也是造成判断错误的因素.6.【解析】选C.对于①,由于两条平行线中的一条直线与一个平面垂直,则另一条直线也与该平面垂直,因此①是正确的;对于②,分别位于两个平行平面内的两条直线必没有公共点,但它们不一定平行,因此②是错误的;对于③,直线n可能位于平面α内,此时结论显然不成立,因此③是错误的;对于④,由m⊥α且α∥β得m⊥β,又m∥n,故n⊥β,因此④是正确的.7.【解析】选C.若α,β换为直线a,b,则命题化为“a∥b,且a⊥γ⇒b⊥γ”,此命题为真命题;若α,γ换为直线a,b,则命题化为“a∥β,且a⊥b⇒b⊥β”,此命题为假命题.若β,γ换为直线a,b,则命题化为“a ∥α,且b⊥α⇒a⊥b”,此命题为真命题,故选C.8.【解析】选D.如图所示,图①中n与β相交,②中nβ,③中n∥β,n∥α,∴排除A,B,C,故选D.9.【解析】选B.如图①知A错;如图②知C错;如图③在正方体中,两侧面α与β相交于l,都与底面γ垂直,γ内的直线m⊥α,但m与β不垂直,故D错.由n⊥α,n⊥β知α∥β.又m⊥α,故m⊥β,因此B正确.10.【解析】选C.由CB⊥BA,CB⊥PA,PA∩BA=A,知CB⊥平面PAB,故CB⊥PB,即A正确;同理B正确;由条件易知D正确.11.【解析】如图所示.∵PA⊥PC,PA⊥PB,PC∩PB=P,∴PA⊥平面PBC.又∵BC平面PBC,∴PA⊥BC.同理PB⊥AC,PC⊥AB.但AB不一定垂直于BC.答案:312.【解析】①AE平面PAC,BC⊥AC,BC⊥PA AE⊥BC,故①正确;②易知AE⊥PB,又AF⊥PB EF⊥PB,故②正确;③若AF⊥BC AF⊥平面PBC,则AF∥AE,与已知矛盾,故③错误;由①可知④正确.答案:①②④13.【解析】①错误,当AB=4,AC=3,AD=3时,AC与BD不垂直;②正确,在△ABC与△CDA中,AB=CD,AD=BC,AC=AC,故△ABC与△CDA全等;同理四面体的四个面都全等,故四面体ABCD每个面的面积相等;③错误,根据四面体的四个面都全等可得从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角为一个三角形的三个内角,故其和为180°;④正确,如图所示,E,F,G,H是所在边的中点时,四边形EFGH为菱形,故EG与FH互相垂直平分,同理可得连接四面体ABCD的每组对棱中点的线段相互垂直平分;⑤正确,因为AD=BC,AB=CD,AC=BD,所以从四面体ABCD的顶点A出发的三条棱的长可组成△BCD,同理可得从四面体ABCD的每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长.答案:②④⑤14.【解析】翻折后得到的直观图如图所示.AB与DE所成的角也就是AB与BC所成的角,即为∠ABC.因为AD⊥平面BCDE,所以平面ADC⊥平面BCDE.又因为四边形BCDE为正方形,所以BC⊥CD.可得BC⊥平面ACD.所以BC⊥AC.因为BC=a,AB=BC=a,则AC== a.在Rt△ABC中,tan∠ABC==.故(1)正确;由AD==a,可得V B-ACE=V A-BCE=×a2·a=,故(2)正确;因为AB与CD异面,故(3)错;因为AD⊥平面BCDE,所以平面ADE⊥平面BCDE.又BE⊥ED,所以BE⊥平面ADE,故平面EAB⊥平面ADE,故(4)正确. 答案:(1)(2)(4)15.【解析】(1)取AB的中点E,连接DE,CE,因为△ADB是等边三角形,所以DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时,因为平面ADB∩平面ABC=AB,所以DE⊥平面ABC,可知D E⊥CE.由已知可得DE=,EC=1,在Rt△DEC中,CD==2.(2)当△ADB以AB为轴转动时,总有AB⊥CD.证明:①当D在平面ABC内时,因为AC=BC,AD=BD,所以C,D都在线段AB的垂直平分线上,即AB⊥CD.②当D不在平面ABC内时,由(1)知AB⊥DE.又因AC=BC,所以AB⊥CE.又DE,CE为相交直线,所以AB⊥平面CDE.由CD平面CDE,得AB⊥CD.综上所述,总有AB⊥CD.。
2014版高中数学复习方略课时提升作业：单元评估检测(一)(北师大版)(北师大版·数学理·通用版)
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单元评估检测(一)第一章(120分钟 150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.定义A-B={x|x∈A,且x∉B},若A={1,3,5,7,9},B={2,3,5},则A-B=( )(A)A (B)B(C){1,2,7,9} (D){1,7,9}2.(2013·汉中模拟)集合M={4,5,-3m},N={-9,3},若M∩N≠∅,则实数m的值为( ) (A)3或-1 (B)3(C)3或-3 (D)-13.设集合M={x|x<2013},N={x|0<x<1},则下列关系中正确的是( )(A)M∪N=R (B)M∩N=N(C)N∈M (D)M∩N=∅4.在△ABC中,“A>B”是tanA>tanB”的( )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件5.设全集U={-2,-1,0,1,2},集合A={1,2},B={-2,1,2},则A∪(B)等于( )U(A) (B){1}(C){1,2} (D){-1,0,1,2}6.(2013·南昌模拟)集合A={x||x|≤4,x∈R},B={x|(x+5)(x-a)≤0},则“A⊆B”是“a>4”的( )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件7.命题“有些x∈Z,x2+2x+m≤0”的否定是( )(A)有些x∈Z,x2+2x+m>0(B)不存在x∈Z,使x2+2x+m>0(C)任意x∈Z,x2+2x+m≤0(D)任意x∈Z,x2+2x+m>08.(2013·吉安模拟)若集合P={x|3<x≤22},非空集合Q={x|2a+1≤x<3a-5},则能使Q⊆(P∩Q)成立的所有实数a的取值范围是( )(A)(1,9) (B)[1,9] (C)[6,9) (D)(6,9]9.(2013·西安模拟)下列“若p,则q”形式的命题中,p是q的充分不必要条件的有( )①若x∈E或x∈F,则x∈E∪F;②若关于x的不等式ax2-2ax+a+3>0的解集为R,则a>0;③若x是有理数,则x是无理数.(A)0个(B)1个(C)2个(D)3个10.(2013·南昌模拟)已知集合M={(x,y)|y=f(x)};若对于任意(x1,y1)∈M,存在(x2,y2)∈M,使得x1x2+y1y2=0成立,则称集合M是“好集合”,给出下列集合:①M={(x,y)|y=};②M={(x,y)|y=e x-2};③M={(x,y)|y=cosx};④M={(x,y)|y=lnx}.其中所有“好集合”的序号是( )(A)①②④(B)②③(C)③④(D)①③④二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)11.(2013·六安模拟)设方程x2-px-q=0的解集为A,方程x2+qx-p=0的解集为B,若A∩B={1},则p+q= .12.已知集合A={-1,1},B={x|ax+1=0}.若B⊆A,则实数a的取值集合为.13.已知命题p:方程x2+x-1=0的两实根的符号相反;命题q:存在x∈R,使x2-mx-m<0.若命题“p且q”是假命题,则实数m的取值范围是. 14.设全集U=R,A={x|<2},B={x|lo(x2+x+1)>-log2(x2+2)},则图中阴影部分表示的集合为.15.已知下列四个结论:①命题“若p,则q”与命题“若q,则p”互为逆否命题;②命题p:存在x∈[0,1],e x≥1,命题q:存在x∈R,x2+x+1<0,则p或q为真;③若p或q为假命题,则p,q均为假命题.④“若am2<bm2,则a<b”的逆命题为真命题.其中正确结论的序号是.三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(12分)已知集合A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10}.求:(1)A∪B.A)∩B.(2)(R17.(12分)(2013·新密模拟)已知命题p:方程x2+mx+1=0有两个不相等的负实根,命题q:不等式4x2+4(m-2)x+1>0的解集为R.若p或q为真命题、p且q为假命题,求实数m的取值范围.18.(12分)(2013·忻州模拟)A={x|≤2-x≤4},B={x|x2-3mx+2m2-m-1<0}.(1)当x∈N时,求集合A的非空真子集的个数.(2)若A⊇B,求实数m的取值范围.19.(12分)(2013·亳州模拟)已知命题p:实数x满足-2≤1-≤2;命题q:实数x满足x2-2x+1-m2≤0(m>0),若⌝p是⌝q的必要不充分条件,求实数m的取值范围.20.(13分)(2013·屯溪模拟)集合A={x|y=},集合B={x|y=ln(x2-x-6)}. (1)求集合A∩B.(2)若不等式ax2+2x+b>0的解集为A∪B,求a,b的值.21.(14分)设a,b,c为△ABC的三边,探究方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件.答案解析1.【解析】选D.属于集合A而不属于集合B的元素为1,7,9,故A-B={1,7,9}.2.【解析】选A.由M∩N≠ ,可知-3m=-9或-3m=3,所以m=3或-1.3.【解析】选B.M∩N={x|x<2013}∩{x|0<x<1}={x|0<x<1}.4.【解析】选D.因为函数y=tanx在(0,π)上不是单调函数,所以“A>B”是“tanA>tanB”的既不充分也不必要条件,选D.5.【解析】选D.因为U B={-1,0},所以A∪(UB)={-1,0,1,2}.6.【解析】选B.集合A=[-4,4],当A⊆B时有a≥4;若a>4,则A⊆B.故为必要不充分条件.7.【解析】选D.根据特称命题的否定是全称命题得答案.8.【解析】选D.Q⊆(P∩Q)⇔Q⊆P,故实数a满足解得6<a≤9.9.【解析】选A.①若x∈E或x∈F,则x∈E∪F,是充要条件;②若关于x的不等式ax2-2ax+a+3>0的解集为R,则a>0,是必要不充分条件;③若x是有理数,则x 是无理数,是既不充分也不必要条件.10.【思路点拨】对于①,利用渐近线互相垂直判断其正误即可.对于②,③可通过取特殊点加以验证,对于④,画出函数图像,取一个特殊点即能说明不满足好集合的定义.【解析】选B.对于①,y=是以x,y轴为渐近线的双曲线,渐近线的夹角为90°,在同一支上,任意(x1,y1)∈M,不存在(x2,y2)∈M满足好集合的定义;对任意(x1,y1)∈M,在另一支上也不存在(x2,y2)∈M,使得x1x2+y1y2=0成立,所以不满足好集合的定义,不是好集合.对于②,M={(x,y)|y=e x-2},如图1,图中直角始终存在,例如取M(0,-1),N(ln2,0),满足好集合的定义,所以正确.对于③,M={(x,y)|y=cosx},如图2,对于任意(x1,y1)∈M,存在(x2,y2)∈M,使得x1x2+y1y2=0成立,例如(0,1),(,0),∠yOx=90°,满足好集合的定义,旋转90°,都能在图象上找到满足题意的点,所以M是好集合.对于④,M={(x,y)|y=lnx},如图3,取点(1,0),曲线上不存在另外的点,使得两点与原点的连线互相垂直.11.【解析】已知两个方程有公共根x=1.代入第一个方程得p+q=1.答案:112.【解析】当a=0时,B= ,符合要求;当a≠0时,B={-},根据B⊆A可得a=1或-1.故实数a的取值集合为{-1,0,1}.答案:{-1,0,1}【误区警示】不要忽视集合B为空集的情况.13.【解析】方程x2+x-1=0有两个实数根且两根之积为负值,故两根的符号相反,命题p是真命题,若p且q为假命题,只能是命题q为假命题,即其否定是真命题,即任意x∈R,x2-mx-m≥0为真命题,即Δ=m2+4m≤0,即-4≤m≤0.答案:[-4,0]14.【解析】由(x-1)2<1,得0<x<2,故集合A={x|0<x<2};由lo(x2+x+1)>-log2(x2+2)=lo(x2+2),又y=lo x为减函数,得0<x2+x+1<x2+2,解得x<1,故集合B={x|x<1}.图中的阴影部分为集合A∩(B).UB)={x|0<x<2}∩{x|x≥1}A∩(U={x|1≤x<2}.答案:{x|1≤x<2}(也可以填[1,2))15.【解析】根据四种命题的关系,结论①正确;②中命题p为真命题、q为假命题,故p或q是真命题,结论②正确;根据或命题的真假判断方法知结论③正确;④中命题的逆命题是“若a<b,则am2<bm2”,这个命题在m=0时不成立,结论④不正确.答案:①②③16.【解析】(1)A∪B={x|3≤x<7}∪{x|2<x<10}={x|2<x<10}.A={x|x<3或x≥7},(2)因为R所以(A)∩B={x|2<x<3或7≤x<10}.R17.【解析】命题p为真时,实数m满足Δ1=m2-4>0且-m<0,解得m>2;命题q 为真时,实数m满足Δ2=16(m-2)2-16<0,解得1<m<3.p或q为真命题、p且q为假命题,等价于p真且q假或者p假且q真.若p真且q假,则实数m满足m>2且m≤1或m≥3,解得m≥3;若p假且q真,则实数m满足m≤2且1<m<3,解得1<m≤2.综上可知,所求m的取值范围是(1,2]∪[3,+∞).18.【解析】化简集合A={x|-2≤x≤5},集合B={x|(x-m+1)(x-2m-1)<0}.(1)当x∈N时,集合A={0,1,2,3,4,5},即A中含有6个元素,所以A的非空真子集数为26-2=62(个).(2)(2m+1)-(m-1)=m+2.①当m=-2时,B=∅⊆A;②当m<-2时,2m+1<m-1,此时B=(2m+1,m-1),若B⊆A,则只要解得-≤m≤6,与m<-2无公共部分,所以m的值不存在;③当m>-2时,2m+1>m-1,此时B=(m-1,2m+1),若B⊆A,则只要解得-1≤m≤2,此时m满足-1≤m≤2.综上所述,m的取值范围是m=-2或-1≤m≤2.19.【解析】令A={x|-2≤1-≤2}={x|-2≤x≤10},B={x|x2-2x+1-m2≤0(m>0)} ={x|1-m≤x≤1+m(m>0)}.因为“若⌝p则⌝q”的逆否命题为“若q则p”,又⌝p是⌝q的必要不充分条件,所以q是p的必要不充分条件,所以A B,故解得m≥9.【方法技巧】条件、结论为否定形式的命题的求解策略处理此类问题一般有两种策略:一是直接求出条件与结论,再根据它们的关系求解.二是先写出命题条件与结论的否定,再根据它们的关系求解.如果p是q的充分不必要条件,那么p是q的必要不充分条件;同理,如果p是q 的必要不充分条件,那么p是q的充分不必要条件,如果p是q的充要条件,那么p是q的充要条件.20.【解析】(1)由2x-1>0,解得x>0,即集合A=(0,+∞);又x2-x-6>0,解得x<-2或x>3,即集合B=(-∞,-2)∪(3,+∞).所以A∩B=(3,+∞).(2)A∪B=(-∞,-2)∪(0,+∞).不等式ax2+2x+b>0的解集为A∪B,即方程ax2+2x+b=0的两个实根为-2,0,根据根与系数的关系得a=1,b=0.21.【思路点拨】设出方程的公共根,消掉这个公共根就可以得到两个方程有公共根的必要条件,再证明这个条件是充分的即可.【解析】设m是两个方程的公共根,显然m≠0.由题设知:m2+2am+b2=0 ①,m2+2cm-b2=0 ②,由①+②得2m(a+c+m)=0,所以m=-(a+c) ③,将③代入①,得(a+c)2-2a(a+c)+b2=0,化简得a2=b2+c2.所以所给的两个方程有公共根的必要条件是a2=b2+c2.下面证明其充分性.因为a2=b2+c2,所以方程x2+2ax+b2=0,即x2+2ax+a2-c2=0,它的两个根分别为x1=-(a+c)和x2=c-a;同理,方程x2+2cx-b2=0的两根分别为x3=-(a+c)和x4=a-c.圆学子梦想铸金字品牌因为x1=x3,所以方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根.综上所述,方程x2+2ax+b2=0与方程x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件是a2=b2+c2.关闭Word文档返回原板块。
2014版高中数学复习方略课时提升作业：1.3量词、逻辑联结词(北师大版)(北师大版·数学理·通用版)
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课时提升作业(三)一、选择题1.命题p:0是偶数;命题q:2是3的约数,则下列命题中为真命题的是( )(A)p且q (B)p或q (C)⌝p (D)(⌝p)且(⌝q)2.(2013·太原模拟)已知命题p:任意x∈R,x>sinx,则p的否定形式为( )(A)存在x∈R,x<sinx (B)存在x∈R,x≤sinx(C)任意x∈R,x≤sinx (D)任意x∈R,x<sinx3.命题“对任意的x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是( )(A)不存在x∈R,x3-x2+1≤0(B)存在x∈R,x3-x2+1≤0(C)存在x∈R,x3-x2+1>0(D)对任意的x∈R,x3-x2+1>04.已知命题p:所有有理数都是实数,命题q:正数的对数都是负数,则下列命题中为真命题的是( )(A)(⌝p)或q (B)p且q(C)(⌝p)且(⌝q) (D)(⌝p)或(⌝q)5.命题“所有x∈[1,2],x2-a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )(A)a≥4 (B)a≤4(C)a≥5 (D)a≤56.(2013·黄山模拟)给出以下命题:(1)存在x∈R,使得sinx+cosx>1.(2)函数f(x)=在区间(0,)上是减函数.(3)“x>1”是“|x|>1”的充分不必要条件.(4)在△ABC中,“A>B”是“sinA>sinB”的必要不充分条件.其中是真命题的个数是( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)47.(2013·重庆模拟)下列3个命题:(1)命题“若a<b,则am2<bm2”.(2)“a≤2”是“对任意的实数x,|x+1|+|x-1|≥a成立”的充要条件.(3)命题“存在x∈R,x2-x>0”的否定是“任意x∈R,x2-x<0”.其中正确的命题个数是( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)08.下列命题是假命题的为( )(A)存在x∈R,lge x=0(B)存在x∈R,tanx=x(C)任意x∈(0,),sinx<1(D)任意x∈R,e x>x+19.下列四个命题p1:存在x∈(0,+∞),()x<()x;p 2:存在x∈(0,1),lo x>lo x;p 3:所有x∈(0,+∞),()x>lo x;p 4:所有x∈(0,),()x<lo x.其中的真命题是( )(A)p1,p3(B)p1,p4 (C)p2,p3(D)p2,p410.给出下列命题:①若命题p是真命题,则命题p且q是真命题;②若命题p且q是真命题,则命题p是真命题;③若命题p且q是假命题,则命题p是假命题;④若命题p或q是假命题,则命题p是假命题;⑤若命题p是假命题,则命题p或q是假命题;⑥如果“若p,则q”是真命题,则“若非q,则非p”是真命题.其中真命题是( )(A)①③⑤(B)②④⑥(C)①②⑤(D)③④⑥11.(能力挑战题)已知命题P:关于x的方程x2-ax+4=0有实根;命题Q:关于x的函数y=2x2+ax+4在[3,+∞)上是增函数.若P或Q是真命题,P且Q是假命题,则实数a的取值范围是( )(A)(-12,-4]∪[4,+∞) (B)[-12,-4]∪[4,+∞)(C)(-∞,-12)∪(-4,4) (D)[-12,+∞)12.(能力挑战题)给出下列说法:①命题“若α=,则sinα=”的否命题是假命题;②命题p:存在x∈R,使sinx>1,则⌝p:任意x∈R,sinx≤1;③“φ=+2kπ(k∈Z)”是“函数y=sin(2x+φ)为偶函数”的充要条件;④命题p:存在x∈(0,),使sinx+cosx=,命题q:在△ABC中,若sinA>sinB,则A>B,那么命题(⌝p)且q为真命题.其中正确的个数是( )(A)4 (B)3 (C)2 (D)1二、填空题13.命题“对任意x∈R,|x-2|+|x-4|>3”的否定是.14.命题p:若函数f(x)=sin(2x-)+1,则f(+x)=f(-x);命题q:函数g(x)=sin2x+1可能是奇函数.则复合命题“p或q”“p且q”“非q”中真命题的个数为.15.(2013·黄冈模拟)设p:存在x∈(1,)使函数g(x)=log2(tx2+2x-2)有意义,若p为假命题,则t的取值范围为.16.(能力挑战题)命题“末位数字是0或5的整数能被5整除”的否定是;它的否命题是.三、解答题17.(2013·六安模拟)给定两个命题:p:对任意实数x都有ax2+ax+1>0恒成立;q:关于x的方程x2-x+a=0有实数根;如果p与q中有且仅有一个为真命题,求实数a的取值范围.答案解析1.【解析】选B.p为真命题,q为假命题,所以p或q为真命题.2.【解析】选B.命题中“任意”与“存在”相对,则 p:存在x∈R,x≤sinx.3.【解析】选C.全称命题的否定为特称命题,故“对任意的x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是“存在x∈R,x3-x2+1>0”.4.【解析】选D.不难判断命题p 为真命题,命题q 为假命题,结合选项只有(⌝p)或(⌝q)为真命题.5.【解析】选C.满足命题“所有x ∈[1,2],x 2-a ≤0”为真命题的实数a 即为不等式x 2-a ≤0在[1,2]上恒成立的a 的取值范围,即a ≥x 2在[1,2]上恒成立,即a ≥4,要求的是充分不必要条件,因此选项中满足a>4的即为所求,选项C 符合要求.【误区警示】这类题把“条件”放在选项中,即选项中的条件推出题干的结论,但题干中的结论推不出选项中的条件.本题容易分不清这种关系而致误.6.【解析】选C.由于sinx+cosx ∈[-,],命题(1)为真命题;f'(x)=2xcos x sin x x -,由于在(0,)上tanx>x,即xcosx<sinx,所以f'(x)<0在(0,)上恒成立,函数f(x)=在区间(0,)上是减函数.命题(2)为真命题;命题(3)也是真命题;由于A>B ⇔a>b ⇔2RsinA>2RsinB ⇔sinA>sinB,故命题(4)是假命题.7.【解析】选A.(1)当m=0时不成立;(2)中,根据绝对值三角不等式得|x-1|+|x+1|≥|(x-1)-(x+1)|=2,故“a ≤2”是“对任意的实数x,|x+1|+|x-1|≥a 成立”的充要条件;(3)中,命题“存在x ∈R,x 2-x>0”的否定是“任意x ∈R,x 2-x ≤0”.故只有(2)正确.8.【解析】选D.当x=0时,e x =x+1,故选D.【变式备选】下列命题中是真命题的是( )(A)存在x ∈R,使得sinxcosx=(B)存在x ∈(-≦,0),2x >1(C)任意x ∈R,x 2≥x+1(D)任意x ∈(0,),tanx>sinx【解析】选D.当x∈(0,)时,0<cosx<1,0<sinx<1,∴>sinx,即tanx>sinx.9.【思路点拨】根据全称命题为真的情况使用指数函数、对数函数的性质进行判断.全称命题为假的情况只要找出反例.对特称命题为真的判断,只要找出一个值使命题为真,特称命题为假的判断结合函数性质进行.【解析】选D.根据指数函数的性质,对所有x∈(0,+≦),()x>()x,故命题p1是假命题;由于lo x-lo x=-=,故对任意x∈(0,1),lo x>lo x,故存在;当x∈(0,)时,()x<1,lo x>1,故x∈(0,1),lo x>lo x,命题p()x>lo x不成立,命题p 3是假命题;所有x∈(0,),()x<1,lo x>1,故()x<lo x 恒成立,命题p4是真命题.10.【解析】选B.①是假命题,因为q可能是假命题;②是真命题,因为p且q是真命题,则p,q均为真命题;③是假命题,因为p且q是假命题,只要其中有一个命题是假命题即可,可以p真,q假;④是真命题,因为p或q是假命题,则p,q均为假命题;⑤是假命题,因为q可能是真命题;⑥是真命题,因为后一个命题是原命题的逆否命题.11.【思路点拨】问题等价于命题P和Q一真一假,分类求解a的取值范围后求其并集即可.【解析】选C.命题P为真等价于Δ=a2-16≥0,解得a≤-4或a≥4;命题Q为真等价于-≤3,a≥-12.P或Q是真命题,P且Q是假命题,则命题P和Q一真一假.当P真Q假时a<-12;当Q真P假时-4<a<4.故所求实数a的取值范围是(-≦,-12)∪(-4,4).12.【解析】选B.①中命题的否命题是“若α≠,则sinα≠”这个命题是假命题,如α=时,sinα=,故说法①正确;根据对含有量词的命题否定的方法,说法②正确;说法③中函数y=sin(2x+φ)为偶函数⇔sin(-2x+φ)=sin(2x+φ)⇔cosφsin2x=0对任意x恒成立⇔cosφ=0⇔φ=kπ+(k∈Z),所以y=sin(2x+φ)为偶函数的充要条件是φ=kπ+(k∈Z),说法③不正确;当x∈(0,)时,恒有sinx+cosx>1,故命题p为假命题,⌝p为真命题,根据正弦定理sinA>sinB⇔2RsinA>2RsinB⇔a>b⇔A>B,命题q为真命题,故(⌝p)且q为真命题,说法④正确.13.【思路点拨】根据全称命题的否定是特称命题,直接写出命题的否定.【解析】命题的否定是“存在x∈R,|x-2|+|x-4|≤3”.答案:存在x∈R,|x-2|+|x-4|≤314.【解析】易知命题p为真命题;g(0)=1≠0,故函数g(x)不是奇函数,命题q为假命题.所以“p或q”“非q”为真命题.答案:215.【解析】p为假命题,则p为真命题,不等式tx2+2x-2>0有属于(1,)的解,即t>-有属于(1,)的解.又1<x<时,<<1,所以-=2(-)2-∈[-,0).故t>-. 答案:(-,+≦)【变式备选】命题“存在x∈R,2x2-3ax+9<0”为假命题,则实数a的取值范围是 .【解析】因为命题“存在x∈R,2x2-3ax+9<0”为假命题,所以“任意x∈R,2x2-3ax+9≥0”为真命题.∴Δ=9a2-4×2×9≤0,解得-2≤a≤2.答案:-2≤a≤216.【解析】如果把末位数字是0或5的整数集合记为M,则这个命题可以改写为“所有x∈M,x能被5整除”,因此这个命题的否定是“存在x∈M,x不能被5整除”,即“存在末位数字是0或5的整数不能被5整除”;这个命题的条件是“末位数是0或5的整数”,结论是“这样的数能被5整除”,故其否命题是“末位数字不是0且不是5的整数不能被5整除”.答案:存在末位数字是0或5的整数不能被5整除末位数字不是0且不是5的整数不能被5整除17.【解析】对任意实数x都有ax2+ax+1>0恒成立⇒a=0或⇒0≤a<4;关于x的方程x2-x+a=0有实数根⇒1-4a≥0⇒a≤;如果p为真,且q为假,有解得<a<4.如果q为真,且p为假,有解得a<0,所以实数a的取值范围为(-≦,0)∪(,4).关闭Word文档返回原板块。
高考数学一轮总复习 第一章 1.2命题及其关系、充分条件与必要条件
思维升华
(1)写一个命题的其他三种命题时，需注意： ①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写； ②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提. (2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题 需举出反例即可. (3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真
师生共研
题型二 充分、必要条件的判定
(2)设n∈N*，则一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条 解析 由Δ＝16－4n≥0，得n≤4， 又n∈N*，则n＝1,2,3,4. 当n＝1,2时，方程没有整数根； 当n＝3时，方程有整数根1,3， 当n＝4时，方程有整数根2.综上可知，n＝3或4.
核心素养之逻辑推理
HEXINSUYANGZHILUOJITUILI
(2)已知条件p：x>1或x<－3，条件q：5x－6>x2，则綈p是綈q的
√A.充分不必要条件
C.充要条件
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
解析 由5x－6>x2，得2<x<3，即q：2<x<3.
所以q⇒p，p⇏q，所以綈p⇒綈q，綈q⇏綈p，
所以綈p是綈q的充分不必要条件，故选A.
思维升华
解 由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴P＝{x|－2≤x≤10} 由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.
1－m≤1＋m， 则1－m≥－2， ∴0≤m≤3.
1＋m≤10，
引申探究
若本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条 解 若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，
3.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p⇒q，则p是q的 充分 条件，q是p的 必要 条
p是q的 充分不必要 条件
北师大版必修第一册1.2.1必要条件与充分条件课件
定理5“四边形的对角线互相平分”是“四边形是平行四边形”的一个充分条件
定理6“ 平行于三角形一边的直线截其他两边”是“截得其他两边所得的三角形
是一个四边形是菱形的必要条件，是菱形的重要特征，因此，性质定理是描述了数
学对象的某一类特征，阐述了一个数学研究对象所具有的重要性质，其作用是提示
这个研究对象的某个特征，是判定一个事物的必要条件，它仅仅是从某些方面反应
事物的特征，因此，必要条件可用来区分一个事物与另外一个事物，一般地，数学
中的每个性质定理都给出了成为相应数学对象的一个必要条件。
勾股定理的逆定理 如果一个三角形的一边的平方等于其他两边的平方和那么这条边
所对的角是直角
……
01
课前预习
发现问题
(1)命题定义
可以判断真假、用文字或符号表述的陈说句叫作命题．
(2)命题真假分类
①真命题：判断为真的语句叫作真命题；
②假命题：判断为假的语句叫作假命题．
(3)命题的结构情势：一般地,一个命题由条件和结论两部分组成，
∈⇒∈
p⇒q
q是p的必要条件
01
课前预习
发现问题
从集合角度判定逻辑关系:
对于命题“若p，则q”，
设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，
若A⊆B，则p⇒q， q是p的必要条件，
从集合的角度可知，小范围⇒ 大范围
，
所以说“大范围”是“小范围”的必要条件，
也可以说 “小范围”的必要条件是“大范围”
基本语言——逻辑语言,即 “常用逻用语”
问题1：阅读课本第14页第一段和第二段及课本P14-P17的标题部分，
回答下列问题：
（1）本节将要研究哪些内容？
【创新设计】2014版高考数学一轮复习 第一章 第2讲 命题及其关系、充要条件配套限时规范训练 理
第2讲 命题及其关系、充要条件分层训练A 级 基础达标演练 (时间：30分钟 满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．命题“若x 2<2，则|x |<2”的逆否命题是________． 解析 “若p ，则q ”的逆否命题是“若綈q ，则綈p ”． 答案 若|x |≥ 2，则x 2≥22．(2012·某某、某某、某某三市调研)对于定义在R 上的函数f (x )，给出三个命题： ①若f (－2)＝f (2)，则f (x )为偶函数；②若f (－2)≠f (2)，则f (x )不是偶函数；③若f (－2)＝f (2)，则f (x )一定不是奇函数．其中正确命题的序号为________．解析 ①设f (x )＝x (x 2－4)，则f (－2)＝f (2)，但f (x )是奇函数；②正确；③设f (x )＝0(x ∈R )，则f (－2)＝f (2)＝0，f (x )是奇函数．所以②正确． 答案 ②3．(2012·某某二模)下列命题是假命题的是________(填序号)．①命题“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”的逆否命题是“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”； ②若0<x <π2，且x sin x <1，则x sin 2x <1；③互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是两条互相平行的直线； ④“x >2”是“3x ＋1－1≤0”的充分不必要条件． 解析 ①正确；②由0<x <π2，得0<sin x <1，又x sin x <1，则x sin 2x <sin x <1，②正确；③射影可能是点，③不正确；④由3x ＋1－1≤0，得x <－1或x ≥2，所以④正确． 答案 ③4．(2013·某某市测试)已知a ，b ∈R ，则“log 3a >log 3b ”是“⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12b”的________条件． 解析log 3a >log 3b ⇒a >b >0⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12b， 但⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12b⇒a >b ，不一定有a >b >0.答案 充分不必要5．(2013·莱芜市检测)在锐角△ABC 中，“A ＝π3”是“sin A ＝32”成立的________条件．解析 因为△ABC 是锐角三角形，所以A ＝π3⇔sin A ＝32.答案 充要6．(2013·某某省实验中学测试)设p ：x 2－x －20＞0，q ：1－x2|x |－2＜0，则p 是q 的________条件．解析p ：x 2－x －20＞0⇒x ＜－4或x ＞5.q ：1－x2|x |－2＜0⇒⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2＜0，|x |－2＞0或⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2＞0，|x |－2＜0⇒x ＜－2或－1＜x ＜1或x ＞2，则p ⇒q ，q /⇒p ，p 是q 的充分不必要的条件．答案 充分不必要二、解答题(每小题15分，共30分)7．(2012·某某第一次调研)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n ＋1}是公比为2的等比数列．证明：数列{a n }成等比数列的充要条件是a 1＝3.证明因为数列{S n ＋1}是公比为2的等比数列，所以S n ＋1＝S 1＋1·2n －1，即S n ＋1＝(a 1＋1)·4n －1.因为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1，n ＝1，3（a 1＋1）·4n －2，n ≥2，显然，当n ≥2时，a n ＋1a n ＝4. ①充分性：当a 1＝3时，a 2a 1＝4，所以对n ∈N *，都有a n ＋1a n＝4，即数列{a n }是等比数列． ②必要性：因为{a n }是等比数列，所以a 2a 1＝4， 即3（a 1＋1）a 1＝4，解得a 1＝3.8．已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R .若a ＋b ≥0，则f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )．问：这个命题的逆命题是否成立，并给出证明．解 逆命题为“已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ，若f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ≥0”．该命题是真命题，证明如下：法一 (利用原命题的逆命题与否命题等价证明)： 若a ＋b <0，则a <－b ，b <－a ， 因为f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数， 所以f (a )<f (－b )，f (b )<f (－a )， 因此f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )，因为原命题的逆命题与它的否命题等价，所以该命题正确． 法二 (用反证法给出证明)： 假设a ＋b <0，则a <－b ，b <－a ， 因为f (x )在(－∞，＋∞)上的增函数， 所以f (a )<f (－b )，f (b )<f (－a )， 因此f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )，这与f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )矛盾，该命题正确．分层训练B 级 创新能力提升1．设A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x －1x －2<0，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x －a x －a 2－1<0，命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若q 是p 的必要条件，则实数a 的取值X 围是________． 解析A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |a <x <a 2＋1}， 因为q 是p 的必要条件，所以p ⇒q ，A ⊆B ， 从而有a ≤1且a 2＋1≥2，解得a ≤－1或a ＝1， 所以a 的取值X 围是{1}∪{a |a ≤－1}． 答案 {1}∪{a |a ≤－1}2．关于x 的方程x 2－(2a －1)x ＋a 2－2＝0至少有一个非负实根的充要条件的a 的取值X 围是________．解析 设方程的两根分别为x 1，x 2，当有一个非负实根时，x 1x 2＝a 2－2≤0，即－2≤a≤2；当有两个非负实根时，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（2a －1）2－4（a 2－2）≥0，x 1＋x 2＝2a －1＞0，x 1x 2＝a 2－2≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧4a ≤9，a ＞12，a ≤－2或a ≥2.即2≤a ≤94.综上，得－2≤a ≤94.答案⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，94 3．(2012·某某三模)若三条抛物线y ＝x 2＋4ax －4a ＋3，y ＝x 2＋(a －1)x ＋a 2，y ＝x 2＋2ax－2a 中至少有一条与x 轴有公共点，则a 的取值X 围是________________． 解析 假设这三条抛物线与x 轴均无公共点，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝（4a ）2－4（－4a ＋3）<0，Δ2＝（a －1）2－4a 2<0，Δ3＝4a 2－4（－2a ）<0，解得－32<a <－1. 记A ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1，则所求a 的X 围是∁R A ＝⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪[－1，＋∞)．答案⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪[－1，＋∞) 4．使得关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件的a 的取值X 围是________．解析 当a ＝0时，原方程变形为一元一次方程2x ＋1＝0，有一个负实根，当a ≠0时，原方程为一元二次方程，有实根的充要条件是Δ＝4－4a ≥0，即a ≤1， 设两根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－2a ，x 1x 2＝1a，当有一负实根时，⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，1a＜0⇔a ＜0，有两个负实根时，⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，－2a ＜0，⇔0＜a ≤1.1a ＞0综上所述，a ≤1.答案 (－∞，1]5．已知a ＞0，设p ：不等式x 2＋2ax ＋a ＜0的解集为∅，q ：不等式x ＋|x －2a |＞1的解集为R ，如果p 和q 有且仅有一个正确，求a 的取值X 围．解 “x 2＋2ax ＋a ＜0的解集为∅”等价于“x 2＋2ax ＋a ≥0的解集为R ”，所以当p 成立，Δ＝4a 2－4a ≤0，解得0≤a ≤1.又a ＞0，∴0＜a ≤1“不等式x ＋|x －2a |＞1的解集为R ”等价于： 法一 函数y ＝x ＋|x －2a |在R 上的最小值大于1.∵x ＋|x －2a |＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2a ，x ≥2a ，2a ，x ＜2a ，∴函数y ＝x ＋|x －2a |在R 上的最小值为2a ，于是由2a ＞1，得a ＞12.法二 |x －2a |＞1－x 恒成立，即y ＝|x －2a |的图象恒在y ＝1－x 图象的上方，如图所示，得 2a ＞1，所以a ＞12.如果p 正确且q 不正确，则0＜a ≤12；如果p 不正确且q 正确，则a ＞1.∴a 的取值X 围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪(1，＋∞)．6．(2012·东城模拟)在等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列，则a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列．(1)写出这个命题的逆命题；(2)判断逆命题是否为真？并给出证明．解 (1)逆命题：在等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列，则S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列．(2)设数列{a n }的首项为a 1，公比为q . 由题意知，2a m ＋2＝a m ＋a m ＋1， 即2a 1·qm ＋1＝a 1·qm －1＋a 1·q m.因为a 1≠0，q ≠0，所以2q 2－q －1＝0， 解得q ＝1或q ＝－12.当q ＝1时，有S m ＝ma 1，S m ＋2＝(m ＋2)a 1，S m ＋1＝(m ＋1)a 1.显然2S m ＋2≠S m ＋S m ＋1，此时逆命题为假． 当q ＝－12时，有2S m ＋2＝2a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12m ＋21＋12＝43a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12m ＋2，S m ＋S m ＋1＝a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12m 1＋12＋a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12m ＋11＋12＝43a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12m ＋2， 故2S m ＋2＝S m ＋S m ＋1，此时逆命题为真． 综上所述，当q ＝1时，逆命题为假； 当q ＝－12时，逆命题为真．。
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- 1 - 【全程复习方略】（陕西专用）2014高考数学 第一章 第二节 命题、充分条件与必要条件课时提升作业 文 北师大版 一、选择题 1.已知命题p:若x>0,y>0,则xy>0,则p的否命题是( ) (A)若x>0,y>0,则xy≤0 (B)若x≤0,y≤0,则xy≤0 (C)若x,y至少有一个不大于0,则xy<0 (D)若x,y至少有一个小于或等于0,则xy≤0 2.(2013·吉安模拟)已知条件p:x≤1,条件q:<1,则p是q的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 3.(2013·延安模拟)命题“若a,b∈R,a=b=0,则a2+b2=0”的逆否命题是( ) (A)若a,b∈R,a2+b2=0,则a≠b≠0 (B)若a,b∈R,a2+b2≠0,则a≠b≠0 (C)若a,b∈R,a2+b2≠0,则a≠0且b≠0 (D)若a,b∈R,a2+b2≠0,则a≠0或b≠0 4.(2013·合肥模拟)设a>0且a≠1,则“函数f(x)=ax在R上是增函数”是“函数g(x)=xa在R上是增函数”的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 5.已知a,b,c都是实数,则在命题“若a>b,则ac2>bc2”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中,真命题的个数是( ) (A)4 (B)2 (C)1 (D)0 6.(2013·安康模拟)对任意实数a，b，c给出下列命题: ①“a=b”是“ac=bc”的充要条件; ②“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件; ③“a>b”是“a2>b2”的充分条件; ④“a<5”是“a<3”的必要条件. 其中真命题的个数是( ) - 2 -
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 7.下列各小题中,p是q的充要条件的是( ) (1)p:m<-2或m>6;q:y=x2+mx+m+3有两个不同的零点. (2)p:=1;q:y=f(x)是偶函数. (3)p:cosα=cosβ;q:tanα=tanβ. (4)p:A∩B=A;q: UðB⊆U
ðA.
(A)(1)(2) (B)(2)(3) (C)(3)(4) (D)(1)(4) 8.已知向量a=(1,2),b=(2,3),则λ<-4是向量m=λa+b与向量n=(3,-1)夹角为钝角的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 9.(2013·西安模拟)已知集合M={x|log2x≤0},N={x|x2-2x≤0},则“a∈M”是 “a∈N”的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 10.(2013·重庆模拟)设非零实数a,b,则“a2+b2≥2ab成立”是“+≥2成立”的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 11.(能力挑战题)若m,n∈N+,则“a>b”是“am+n+bm+n>anbm+ambn”的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 12.(能力挑战题)已知a,b为实数,集合A={x|ax+b=0},则下列命题为假命题的是 ( ) (A)当a≠0时,集合A是有限集 (B)当a=b=0时,集合A是无限集 - 3 -
(C)当a=0时,集合A是无限集 (D)当a=0,b≠0时,集合A是空集 二、填空题 13.若“对于任意x∈R,ax2+ax+1>0”为真命题,则实数a的取值范围是 . 14.sinα≠sinβ是α≠β的 条件. 15.(能力挑战题)在空间中:①若四点不共面,则这四点中任何三点都不共线; ②若两条直线没有公共点,则这两条直线是异面直线.以上两个命题中,逆命题为真命题的是 . 16.(2013·渭南模拟)已知p:2x2-9x+a<0，q:且q是p的充分条件，则实数a的取值范围是 . 三、解答题 17.已知集合A={y|y=x2-x+1,x∈[,2]},B={x|x+m2≥1}.若“x∈A”是“x∈B”的充分条件,求实数m的取值范围.
答案解析 1.【解析】选D.否命题应在否定条件的同时否定结论,而原命题中的条件是“且”的关系,所以条件的否定形式是“x≤0或y≤0”. 2.【解析】选A.p:x>1;<1,解得x<0或x>1.所以p是q的充分不必要条件. 3.【解析】选D.“a=b=0”的否定为“a≠0或b≠0”,“a2+b2=0”的否定为“a2+b2≠0”,故原命题的逆否命题是“若a,b∈R,a2+b2≠0,则a≠0或b≠0”. 4.【解析】选D.当a=2时,函数f(x)=ax在R上为增函数,函数g(x)=xa在R上不是增函数;当a=时,g(x)=xa在R上是增函数,f(x)=ax在R上不是增函数. 5.【解析】选B.原命题是一个假命题,因为当c=0时,不等式的两边同乘上0得到的是一个等式;原命题的逆命题是一个真命题,因为当ac2>bc2时,一定有c2≠0,所以必有c2>0,不等式两边除以同一个正数,不等号方向不变,即若ac2>bc2,则a>b成立.根据命题的等价关系,四个命题中有2个真命题.
6.【解析】选B.对于①，a=bac=bc，但ac=bca=b，故①错. - 4 -
对于②，a+5是无理数⇔a是无理数，故②正确. 对于③，a>ba2>b2，故③错. 对于④，a<3a<5，故④正确，故选B. 7.【解析】选D.(1)y=x2+mx+m+3有两个不同的零点的充要条件是m2-4(m+3)>0,解得m<-2或m>6. (2)由=1可得f(-x)=f(x),函数y=f(x)是偶函数,但函数y=f(x)是偶函数时,有可能f(x)=0,此时无意义. (3)cosα=cosβ≠0时,sinα=±sinβ,得出tanα=±tanβ,cosα=cosβ=0时,tanα,tanβ无意义. (4)A∩B=A⇔A⊆B⇔UðB⊆U
ðA.
综上可知,p是q的充要条件的是(1)(4). 8.【解析】选A.m=(λ+2,2λ+3),m,n的夹角为钝角的充要条件是m·n<0且m≠μn(μ<0).m·n<0,即3(λ+2)-(2λ+3)<0,即λ<-3;若m=μn,则λ+2= 3μ,2λ+3=-μ,解得μ=,故m≠μn(μ<0),所以,m,n的夹角为钝角的充要条件是λ<-3.λ<-4是m,n的夹角为钝角的充分不必要条件. 9.【解析】选A.集合M={x|010.【解析】选B.若a2+b2≥2ab,则+≥2不一定成立;若+≥2,则a2+b2≥2ab成立. 11.【解析】选D.am+n+bm+n>anbm+ambn⇔(am-bm)(an-bn)>0.当a>b时,由于a,b可能为负值,m,n奇偶不定,因此不能得出(am-bm)(an-bn)>0;当(am-bm)·(an-bn)>0时,即使在a,b均为正数时也有aa>b.所以“a>b”是“am+n+bm+n>anbm+ambn”的既不充分也不必要条件. 【误区警示】因没有注意不等式性质成立的条件而出错. 【变式备选】(2012·郑州模拟)若a1x2+b1x+c1<0和a2x2+b2x+c2<0的解集分别为集合M和N,ai,bi,ci(i=1,2)均不为零,那么“a1b2=a2b1且a1c2=a2c1”是“M=N”的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 【解析】选D.若a1b2=a2b1且a1c2=a2c1,则有===k, 当k<0时,M≠N; 反之,若M=N, 则a1b2=a2b1且a1c2=a2c1不一定成立, 故“a1b2=a2b1且a1c2=a2c1”是“M=N”的既不充分也不必要条件. - 5 -
12.【思路点拨】集合A是一个含有参数的方程的解的集合,根据参数的不同取值这个方程解的个数也不同,分类讨论即可解决. 【解析】选C.A中,当a≠0时,有x=-,此时集合A是有限集;B中,当a=b=0时,一切实数x都是集合A的元素,此时集合A是无限集;C中,当a=0时,方程变为0x+b=0,此时只有b=0集合A才可能是无限集;D中,当a=0,b≠0时,没有实数x满足ax+b=0,此时集合A是空集. 13.【解析】问题等价于对任意实数x,不等式ax2+ax+1>0恒成立.当a=0时,显然成立;当a≠0时,只能是a>0且Δ=a2-4a<0,即0答案:[0,4) 【误区警示】因忽略二次项系数可能为零的情况而出错. 14.【解析】即判断α=β是sinα=sinβ的什么条件,显然是充分不必要条件. 答案:充分不必要 15.【解析】①中的逆命题是:在空间中,若四点中任何三点都不共线,则这四点不共面.我们用正方体AC1
做模型来观察:上底面A1C1内A1,B1,C1,D1四点中任何三点都不共线,但A1,B1,C1,D1四点共面,所以①中逆命题
为假命题.②中的逆命题是:在空间中,若两条直线是异面直线,则这两条直线没有公共点.由异面直线的定义可知,成异面直线的两条直线不会有公共点.所以②中逆命题是真命题. 答案:② 16.【思路点拨】求出条件q，由q是p的充分条件知qp，再转化为不等式恒成立问题求解. 【解析】由得∴2∵q⇒p， ∴x∈(2，3)时，2x2-9x+a<0恒成立. 记f(x)=2x2-9x+a，则即 ∴a≤9. 答案:(-∞，9] 17.【解析】y=x2-x+1=(x-)2+, ∵x∈[,2],∴≤y≤2, ∴A={y|≤y≤2}. 由x+m2≥1,得x≥1-m2, ∴B={x|x≥1-m2}.