一、分子的自由度 确定一个物体的空间位置所需要的独立坐标数目。
第7章气体动理论习题解答
第7章 气体动理论7.1基本要求1.理解平衡态、物态参量、温度等概念，掌握理想气体物态方程的物理意义及应用。
2.了解气体分子热运动的统计规律性，理解理想气体的压强公式和温度公式的统计意义及微观本质，并能熟练应用。
3.理解自由度和内能的概念，掌握能量按自由度均分定理。
掌握理想气体的内能公式并能熟练应用。
4.理解麦克斯韦气体分子速率分布律、速率分布函数及分子速率分布曲线的物理意义，掌握气体分子热运动的平均速率、方均根速率和最概然速率的求法和意义。
5.了解气体分子平均碰撞频率及平均自由程的物理意义和计算公式。
7.2基本概念1 平衡态系统在不受外界的影响下，宏观性质不随时间变化的状态。
2 物态参量描述一定质量的理想气体在平衡态时的宏观性质的物理量，包括压强p 、体积V 和温度T 3 温度宏观上反映物体的冷热程度，微观上反映气体分子无规则热运动的剧烈程度。
4 自由度确定一个物体在空间的位置所需要的独立坐标数目，用字母i 表示。
5 内能理想气体的内能就是气体内所有分子的动能之和，即2iE RT ν= 6 最概然速率速率分布函数取极大值时所对应的速率，用p υ表示，p υ==≈其物理意义为在一定温度下，分布在速率p υ附近的单位速率区间内的分子在总分子数中所占的百分比最大。
7 平均速率各个分子速率的统计平均值，用υ表示，υ==≈8 方均根速率各个分子速率的平方平均值的算术平方根，用rms υ表示，rms υ==≈ 9 平均碰撞频率和平均自由程平均碰撞频率Z 是指单位时间内一个分子和其他分子平均碰撞的次数；平均自由程λ是每两次碰撞之间一个分子自由运动的平均路程，两者的关系式为:Zυλ==或λ=7.3基本规律1 理想气体的物态方程pV RT ν=或'm pV RT M=pV NkT =或p nkT =2 理想气体的压强公式23k p n ε=3 理想气体的温度公式21322k m kT ευ==4 能量按自由度均分定理在温度为T 的平衡态下，气体分子任何一个自由度的平均动能都相等，均为12kT 5 麦克斯韦气体分子速率分布律 （1）速率分布函数()dNf Nd υυ=表示在速率υ附近单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比或任一单个分子在速率υ附近单位速率区间内出现的概率，又称为概率密度。
气体动理论-2
av v 0 0 v v 0 f (v ) a 0
求 (1) 作速率分布曲线并求常数 a
v 0 v 2v 0 v 2v 0
(2) 速率大于v0 和速率小于v0 的粒子数
解 (1) 由归一化条件
v0
1 v 0a v 0a 1 2
0 av v dv
0 0
f (v )dv 1
i k t r kT 2
3 单原子 k kT 2
5 双原子 k kT 2
6 多原子 k kT 2
三、理想气体内能 (刚性分子)
i i E N k N kT RT 2 2
单原子分子气体
3 E RT 2
双原子分子气体 多原子分子气体
4) 缩小速率间隔Δv → dv ， 该区间内分子数为dN
dN f (v ) dv N
dN f (v ) Ndv
速率分布 函数
dN 速率分布函数 f (v ) Ndv
物理意义: 表示平衡态下气体分布在速率v 附近单位速 率间隔内的分子数与总分子数的比率。 ●对单个分子而言,速率分布函数表示该气体分子出现在 速率v 附近单位速率区间内的概率。 表示平衡态下， 分子速率在v～v+ dv dN f (v ) dv 区间内分子数占总分子数的比率. N
3）在v1~v2 区间内,曲线下的面积
v
N f (v )dv N
表示速率分布在v1~v2 之间的 分子数与总分子数的比率.
4）曲线下面的总面积 等于分布在整个速 率范围内所有各个 速率间隔中的分子
f(v) T
数与总分子数的比 率的总和
O
v
0
f (v )dv 1
大学物理：chap3-5刚体的自由度
当物体的运动受到限制时，自由度会减少 物体有n个自由度，它的运动规律 就可归结为几个独立的方程式
二、刚体的自由度 1.自由刚体：
总的说来，自由刚体共有6个自由度，其中3 个平动自由度，3个转动自由度。
2.平面平行运动的刚体：
§4-4 刚体的自由度
一、自由度 决定物体在空间的位置所需要的独立坐标的数目
一个物体有几种自由运动可能性，确定它 的空间位置时就需要几个独立坐标
所以自由度是表示物体有多少种自由运 动可能性的物理量
一质点在空间 3个独立坐标 自由度为3 （飞机） 自由运动
若质点被限制在 2个独立坐标 自由度为2 （轮船） 平面上运动
质心：2个自由度 绕轴转动：1个自由度 一共3个自由度
3.定轴转动的刚体：
气体动理论-2
返回 退出
二、能量均分定理
分子的平均平动动能：
kt
1 2
m v2
1 2
m
vx2
1 2
m vy2
1 2
m
vz2
3 kT 2
vx2
v2y
vz2
1 v2 3
1 2
m vx2
1 2
m vy2
1 2
m vz2
1 2
kT
分子的平均平动动能 3kT/2 是均匀地分配在每个
§3-3 能量均分定理 理想气体的内能
一、分子的自由度
自由度 ( i )： 决定某物体在空间的位置所需要的 独立坐标数目。
质点: (x, y, z)
i=3
做直线运动的质点： 做平面运动的质点： 做空间运动的质点：
1个自由度 2个自由度 3个自由度
返回 退出
运动刚体的自由度： 随质心的平动+绕过质心轴的转动 自由刚体有 6个自由度：
(t r 2s) 1 kT
2
返回 退出
三、理想气体的内能
气体的内能：气体中所有分子的热运动能量和分 子间相互作用势能的总和。
理想气体内能：气体中所有分子的平均能量的总和。
1mol 理想气体的内能： （只考虑刚性分子）
Emol
NA
i 2
kT
i 2
RT
质量为m'，摩尔质量为M的理想气体内能：
E
率在 v 附近单位速率区间 的分子数占总
数的百分比 .
f (v)dv 的物理意义：
表示速率在v v dv区间的分 子数占总分子数的百分比.
速率在v v dv内分子数：dN Nf (v)dv
7.5 能量按自由度均分的统计规律
7.5 能量按自由度均分的统计规律
三 理想气体的内能 理想气体的内能 ：分子动能和分子内原子 间的势能之和.
i E N A RT 1 mol 理想气体的内能 2 i 理想气体的内能 E RT 2 i 理想气体内能变化 dE RdT 2
7
大学物理
第一版
选择进入下一节：
7.0 教学基本要求 7.1 分子运动的基本概念 7.2 理想气体物态方程 7.3 理想气体的压强公式 7.4 理想气体温度公式
本章目录
7.5 能量按自由度均分的统计规律 7.6 气体分子速率分布的统计规律 7.7 气体分子碰撞的统计规律 7.8 真实气体的范德瓦耳斯方程
第7章 气体动理论
8
说明：一般来说，n≥3个原子组成的分子，共有3n个自由度， 其 中3个平动自由度，3个转动自由度，(3n-6)个振动自由度。 当气体处于低温状态时，可把分子视为刚体。
3
大学物理
第一版
7.5 能量按自由度均分的统计规律
自由度数目
i t r v
平 转 振 动 动 动
刚性分子能量自由度 自由度 分子 单原子分子 双原子分子 多原子分子
2 能量按自由度均分定理 在温度为T的平衡态下，气体分子每个自由度 的平均动能都相等，都等于kT/2。这就是能量按自 由度均分定理，简称能量均分定理。
k
3 例子
i kT 2
单原子分子 i=3 ε k=3kT/2
双原子分子 i=5 ε k=5kT/2
多原子分子 i=6 ε k=6kT/2
6
大学物理
大学物理
第一版
7.5 能量按自由度均分的统计规律
一 分子运动的自由度
定义：
z
大学物理(12.4.1)--能量均分定理理想气体内能
一、自由度力学中要确定一个物体在空间的位置所需要的独立坐标数目，叫做这个物体的自由度。
在热力学中一般不涉及原子内部的运动，仍将原子当作质点而将分子当作是由原子质点构成的。
一个要确定一个自由运动质点的空间位置需要3个独立坐标，因此单原子分子的自由度是3，即它有3个平动自由度。
对于刚性（原子间的相对位置不变）双原子分子气体，可看作两个原子（质点）被一条直线连接，需要用3个坐标确定其质心的位置，再用2个坐标确定其连线的方位，因此刚性双原子分子气体的自由度为5。
对于刚性多原子分子，具有3个平移自由度和3个转动自由度，总自由度为6。
二、能量按自由度均分定理1．能量按自由度均分定理理想气体分子平均平动动能 kT k 23=ε 222221212121z y x k v m v m v m v m ++==ε 又 222231v v v v z y x === 有 kT v m v m v m z y x 21212121222===这表明，气体分子沿x 、y 、z 三个方向的平均平动动能都相等，且都等于kT /2。
因为在温度公式中的分子是看作质点的，它只有三个自由度，而这个结果说明，每个分子的平均平动动能是均匀地分配给每个自由度，即每个自由度都均匀地分配了kT /2的能量。
这个现象可以这样解释：气体平衡态的建立和维持，是靠分子无规则运动和频繁碰撞实现的，在碰撞过程中，能量可以从一个分子传到另一个分子，也可以由一种运动形式转化成另一种运动形式，也可以从一个自由度转移到另一个自由度，这些转变是无规则的，但总的趋势是各种形式的平均能量趋于相等，这一结论是否可以推广到转动和振动上呢？经典统计物理已经证明了这一点：在温度为T 的平衡状态下，分子的每一个自由度上都具有相同的平均能量，其大小都为kT /2。
2．说明：1）能量均分定理是统计规律，是大量分子的整体表现。
对单个分子而言，分子的能量并不一定是均分分配的，但由于分子间的相互碰撞，在相互碰撞中分子可以交换能量；对于某一自由度来说，其上的能量也不一定均匀的，但由于分子的无规则运动和分子间的相互碰撞，使得在各个自由度上的能量不断“搅拌”，最后达到均匀。
10.3 能量按自由度均分原理
一个氮气(或一氧化碳)分子的转动动能为
J
2 kT 1.381023 273 3.7 1021 J 2
（4）单位体积内分子的总平均平动动能为
3 kTn 3 kT p 3 p 1.5103 J
2
2 kT 2
大学物理 第三次修订本
第10章 气体动理论及热力学
（5）0.3摩尔氮气(或一氧化碳)分子的内能为
u 2v
则
Z 2vn 2πd 2vn
二、平均自由程
每两次连续碰撞之间，分子自由运动的平 均路程。
平均自由程 v 1
Z 2πd 2n
19
大学物理 第三次修订本
第10章 气体动理论及热力学
利用 P nkT 得 kT
2πd 2P
T 一定时,
1
p
标况下多数气体 ~10-8m，氢气约为10-7m。 一般分子直径 d~10-10m， 故 d。
E
M
NA
i 2
kT
i RT
2
5 0.38.31 273 1.7 103 J 2
大学物理 第三次修订本
第10章 气体动理论及热力学
10.9 气体分子的平均自由程
前面讨论了气体处于平衡态的性质和一些 统计规律，在其中起关键作用的是分子间的碰 撞。不仅如此，系统由非平衡态向平衡态的转 变过程中，如热传递过程、扩散过程，气体分 子间的碰撞也起关键作用。
可求得: Z ~109/秒。每秒钟一个分子竟发 生几十亿次碰撞！
20
大学物理 第三次修订本
第10章 气体动理论及热力学
例 估计两种情况下空气分子的平均自由程。 (1) 273 K ,1.013×105pa 时;
(2)273 K ,1.333 ×10-3pa 时。
第四章气动理论(1)
(1)单一性 (p，T 处处相等)； 平衡态的特点 (2)物态的稳定性—— 与时间无关； (3)自发过程的终点； (4)热动平衡(有别于力平衡).
§3-1 气体动理论的基本概念
四 气体的压强、体积、温度(宏观量)
（1）宏观可测量p取决于微观量n、 k 的统计平均值！ （2）增大p的方法有二：增大n；增大 k ！
（3）理想气体压强公式只适用于平衡态！
大学物理
三、理想气体温度公式（牢记）
理想气体压强公式
2 p ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ k 3
理想气体状态方程
k
p nkT
3 kT 2
统计意义：温度是 气体分子平均平动 动能大小的量度！
两个方程
1、R-------气体状态方程。
m PV RT M
2、K-------气体状态方程。
P nkT
（1）m:理想气体实际质量。 （2）M气体分子摩尔质量。 （3）R普适气体常量。 （1）n理想气体分子数密度。 （2）k波尔兹曼常量。
大学物理
§8-2
理想气体的压强和温度
两个假设
（一） 个体假设（力学性质假设；或理想气体分子微观模型）： 1 气体分子的大小比分子之间的距离小得多，可忽略其大小而视为质点， 其运动遵循牛顿运动定律。 2 除碰撞瞬间，气体分子之间以及分子与容器器壁之间的相互作用力可 忽略不计，所受重力也可忽略不计。 3 气体分子之间的碰撞以及分子与器壁之间的碰撞是完全弹性碰撞。 （二） 集体假设（统计性假设）： 1 平衡态气体每个分子的运动速度各不相同，且通过碰撞不断发生变化。 2 平衡态气体分子的位置处在容器空间内任一点机会（概率）是一样的。 即，分子按空间位置的分布是均匀的。 3 平衡态气体分子的速度指向任何方向的机会（概率）是一样的。即， 分子速度按方向的分布是均匀的。(推导压强公式）
物理名词解释
名词解释：2.刚体：在任何情况下大小、形状都保持不变的物体.3.转动惯量：反映刚体的转动惯性大小。
4.多普勒效应：由于声源与观察者的相对运动，造成接收频率发生变化的现象。
5.惠更斯原理：在波的传播过程中，波前上的每一点都可看成是发射子波的波源，在波的前进方向上经Δt时间后这些子波波面的包迹就是t+Δt时刻的新波面。
6. 自由度：确定一个物体在空间的位置需要的独立坐标数目。
7.能量按自由度均分定理：气体分子的每一个自由度都具有相同的平均平动动能，其大小都等于kT/2。
8.熵增加原理：在绝热过程中，系统的熵永不减少.对于可逆绝热过程，系统的熵不变，对于不可逆绝热过程，系统的熵总是增加.9. 电通量：通过电场中任一面积的电场线数目。
10.真空中的高斯定理：在真空中,通过任一闭合曲面的电场强度通量,等于该曲面所包围的所有电荷的代数和除以ε0.11. 静电感应现象：导体中的自由电子在电场力的作用下要产生定向移动，使导体中的电荷重新分布.外电场使导体上电荷重新分布的现象。
12：电介质的极化：将有极分子或无极分子放到外电场中，会发现电介质沿方向在两端出现等量异号电荷的现象。
13：磁通量：通过磁场中给定面的磁感线的总条数。
14：电磁感应现象：当穿过闭合导电回路所包围曲面的磁通量发生变化时，回路中产生电流的现象。
15半波损失：由光疏到光密介质的反射光，在反射点有位相π的突变，相当于有λ/2的光程差。
16. 干涉现象：两个频率相同、振动方向相同、相位差恒定或相位相同的波源发出的两列波，在它们相遇区域内，某些点处的振动始终加强，而在另一些点处的振动始终减弱的现象。
17. 光的衍射现象：当光通过窄缝（缝宽小到可以与波长相比拟(10-4m数量级以下)时，在屏幕上呈现明暗相间的条纹的现象。
18.偏振光（线偏振光）：光振动只沿某一固定方向的光。
19. 光电效应：金属表面被光照射后有释放出电子(称为光电子) 的现象。
20. 康普顿效应：在散射光中，除了原波长λ0的光外，还出现波长λ的光.这种改变波长的散射现象。
大学物理(张三慧)
vx =v y =vz
2 2 v 2 = v x + v y + v z2
1 2 v =v =v = v 3
2 x 2 y 2 z
李玉琦 河南科技学院
三,理想气体的压强公式
1. 从气体分子运动看气体压强的形成
例: 雨 点对伞 的持续 作用
大量气体分子与器壁碰撞 → 气体分子动量变化(冲量) → 对器壁的冲量(冲力) →压强
pV p0V0 = T T0
(其中 p0 ,V0 和 T0 为标准状态下的状态参量)
整理可得
p0Vm, 0 p0V0 pV = T =ν T T0 T0
李玉琦 河南科技学院
令 则
R=
p0Vm , 0 T0
= 8.31 J (mol K) 普适气体常量
m RT pV = ν RT = M
上式称为理想气体状态方程,它给出了理想气 体在任意平衡状态下各宏观状态参量之间的关系 若以 N 德罗常量 表示气体分子总数,N A 表示阿伏伽
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
上页 下页 返回 退出
i tr 3
z
i tr5
三原子分子
C(x, y, z)
y
x
平动自由度t=3 转动自由度r=3
i tr 6
上页 下页 返回 退出来自二、能量均分定理k
1 2
mv2
3 2
kT
vx2
vy2
vz2
1 3
v2
1 2
mvx2
1 2
mv y 2
1 2
mvz2
1 2
kT
气体分子沿 x,y,z 三个方向运动的平均平动动能完全
相等，可以认为分子的平均平动动能3kT/2均匀分配
在每个平动自由度上。
能均分定理：平衡态下，不论何种运动，相应于每 一个可能自由度的平均动能都是kT/2。
如果气体分子有i个自由度，则分子的平均动能为ikT/2.
上页 下页 返回 退出
三、理想气体的内能
分子间相互作用 可以忽略不计
分子间相互作用的势能=0
理想气体的内能=所有分子的热运动动能之总和
1mol理想气体的内能为
E0
N0
(
i 2
kT )
i 2
RT
一定质量理想气体的内能为 E m i RT M mol 2
温度改变，内能改变量为 E m i RT M mol 2
上页 下页 返回 退出
选择进入下一节 §5-0 教学基本要求 §5-1 热运动的描述 理想气体模型和物态方程 §5-2 分子热运动和统计规律 §5-3 理想气体的压强和温度公式 §5-4 能量均分定理 理想气体的内能 §5-5 麦克斯韦速率分布律 *§5-6 麦克斯韦-玻耳兹曼能量分布律 重力场中粒
§5-4 能量均分定理 理想气体的内能
一、分子的自由度
确定一个物体的空间位置所需要的独立坐标数目。
He
O2
H2O
NH3
以刚性分子（分子内原子间距离保持不变）为例。
上页 下页 返回 退出
z
z
C(x, y, z)
y x
单原子分子
C(x, y, z)
y
x 双原子分子
平动自由度t=3
平动自由度t=3 转动自由度r=2