经典乘法公式的应用总结
乘法知识点公式总结
乘法知识点公式总结一、乘法知识点总结1. 乘法的基本概念乘法是数学中的基本运算法则之一，它是将两个数相乘得到积的过程。
在乘法运算中，我们把要相乘的两个数分别称为乘数和被乘数，它们的乘积称为积。
例如，3 × 4 = 12，其中3和4分别是乘数和被乘数，12是它们的积。
2. 乘法的性质（1）交换律：a × b = b × a乘法的交换律是指乘数和被乘数的位置可以交换，积不变。
例如，3 × 4 = 4 × 3 = 12。
（2）结合律：(a × b) × c = a × (b × c)乘法的结合律是指乘数之间可以结合起来，先乘两个数再乘第三个数的积等于先乘第二个数再乘这个积。
（3）分配律：a × (b + c) = a × b + a × c乘法对加法的分配律是指一个数乘一个括号中的两个数，等于这个数分别乘这两数后再加和。
（4）单位元：任何数乘以1等于它本身。
a × 1 = a， 1 × a = a。
3. 乘法的运算法则（1）乘法的口诀乘法的口诀是指用来记忆乘法表的方法，例如1乘到9的乘法口诀表为：```1 × 1 = 1 1 ×2 = 2 1 ×3 = 3 ... 1 × 9 = 92 × 1 = 2 2 × 2 = 4 2 ×3 = 6 ... 2 × 9 = 18...9 × 1 = 9 9 × 2 = 18 9 × 3 = 27 ... 9 × 9 = 81```通过口诀表，可以帮助孩子们快速记忆乘法表。
（2）乘法的计算方法乘法的计算方法有竖式、横式等多种，不同的计算方法适用于不同的题目，掌握多种计算方法可以帮助孩子更加灵活地运用乘法知识。
乘法公式的用法范文
乘法公式的用法范文乘法公式是数学中的一个重要概念，用于计算两个或多个数的乘积。
它是数学中最基础也是最常用的运算之一、下面将详细介绍乘法公式的定义、原理、推导以及一些常见的应用。
1.乘法公式的定义乘法公式是指将两个或多个数相乘的方法。
用符号“×”表示乘法。
例如，将两个数3和4相乘，可以表示为3×4=122.乘法公式的原理乘法公式的原理是根据数的乘法性质和分配律。
乘法性质是指任何数和0相乘的结果都等于0，即a×0=0。
分配律是指两个数相乘后再与第三个数相加，等于先将第一个数与第三个数相加，再与第二个数相乘的结果，即(a+b)×c=a×c+b×c。
3.乘法公式的推导根据乘法性质和分配律，可以推导出一些常用的乘法公式。
(1)平方的乘法公式平方是指一个数与自己相乘的结果。
例如，3的平方可以表示为3×3，记作3²=9、通常，正数的平方都是正数，负数的平方都是正数。
(2)倍数的乘法公式倍数是指一个数乘以一个正整数的结果。
例如，3的2倍可以表示为3×2=6(3)乘方的乘法公式乘方是指一个数连乘多次的结果。
例如，2的3次方可以表示为2³=2×2×2=84.乘法公式的应用乘法公式在日常生活、工作和学习中都有广泛的应用。
(1)计算面积和体积：乘法公式可以用于计算长方形的面积、圆的面积和球的体积等。
例如，长方形的面积可以通过将长和宽相乘来计算，圆的面积可以通过将π乘以半径的平方来计算。
(2)求解方程：乘法公式可以用于求解方程。
例如，如果已知一个方程的两个解分别是3和4，那么根据乘法公式，可以得出方程的形式为(x-3)(x-4)=0，从而求得方程的解。
(3)统计分析：乘法公式可以用于统计分析中的概率计算。
例如，在投掷两个骰子的情况下，根据乘法公式，可以计算出每种点数的出现概率。
(4)商业应用：乘法公式在商业计算中也有广泛的应用。
乘法公式知识讲解
乘法公式知识讲解乘法公式是指在数学中用于求解乘法运算的规则。
它们是数学中最基本也是最重要的公式之一，常用于求解各种复杂的乘法运算，可以大大简化计算过程。
在这篇文章中，我将详细介绍乘法公式的相关知识，并为大家提供一些实例来帮助理解。
首先，我们来讨论最基本的乘法公式，即两个数的乘法。
设有两个数a和b，它们的乘积可以表示为a × b或ab。
在乘法中，我们通常使用乘号（×）或圆点（·）来表示乘法运算。
下面是一些常见的乘法公式：1.乘法交换律：a×b=b×a乘法交换律表示，两个数相乘的结果与两个数的顺序无关。
例如，3×4=4×3=122.乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)乘法结合律表示，三个数相乘的结果与它们的运算顺序无关。
例如，(2×3)×4=2×(3×4)=243.数值相同的乘法：a×a=a^2数值相同的乘法表示，一个数与其自身相乘的结果可以用该数的平方来表示。
例如，4×4=4^2=16接下来，我们将进一步讨论乘法公式的应用。
1.乘法分配律：a×(b+c)=(a×b)+(a×c)乘法分配律是乘法中的一个重要规则。
它表示一个数乘以两个数的和等于该数分别乘以这两个数后的和。
例如，2×(3+4)=(2×3)+(2×4)=142.幂与乘法：a^m×a^n=a^(m+n)幂与乘法表示，两个具有相同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。
例如，2^3×2^4=2^(3+4)=2^7=1283.倒数乘法：a×(1/a)=1倒数乘法表示一个数与其倒数相乘的结果等于1、例如，5×(1/5)=14.零乘法：a×0=0零乘法表示任何数与0相乘的结果都是0。
乘法公式知识点梳理
乘法公式知识点梳理乘法公式是数学中常用的一种运算法则，它用于求解数的乘积。
乘法公式包含了一些常用的模式，可以提高计算乘法的效率。
以下是对乘法公式的知识点进行梳理。
一、基本乘法公式1.乘法的结合律：乘法满足结合律，即a*(b*c)=(a*b)*c，任意三个数的乘法运算结果不受括号位置的影响。
2.乘法的交换律：乘法满足交换律，即a*b=b*a，任意两个数的乘法运算结果不受顺序的影响。
3.乘零律：任何数与零相乘，结果为零，即a*0=0。
4.乘一律：任何数与一相乘，结果为其本身，即a*1=a。
5.乘法分配律：乘法满足分配律，即a*(b+c)=a*b+a*c，用于将括号内部的乘法运算分布到括号外的加法运算中。
二、特殊乘法公式1.平方：一个数自身乘以自身等于它的平方，即a*a=a^22.相同数相乘：相同的两个数相乘，结果等于这个数的平方，即a*a=a^23.倍数相乘：任意数与它的倍数相乘，结果等于这个数乘以倍数，即a*n=n*a。
4.零乘任意数等于零：零与任意数相乘，结果都等于零，即0*a=0。
5.倒数相乘等于一：一个数与它的倒数相乘等于一，即a*(1/a)=16.乘方运算：乘方是指一个数的连乘积的运算，表示为a^n，其中a为底数，n为指数。
乘方运算可以用于表示重复乘法、面积和体积等问题。
三、乘法规律1.指数相加：相同底数的指数相加，底数保持不变，指数相加，即a^m*a^n=a^(m+n)。
2.倍数相乘：两个数的乘积与其中一个因数的倍数相乘，结果等于乘积与该因数相同倍数的乘积，即a*b=(n*a)*b=a*(n*b)。
3.乘方相乘：两个乘方相乘，底数相乘，指数相加，即(a^m)*(a^n)=a^(m+n)。
四、应用举例乘法公式不仅适用于两个数的乘法，还可以用于解决更复杂的问题。
以下是几个与乘法公式相关的应用举例：1.多项式的乘法：多项式的乘法运算可以利用乘法分配律和结合律，将多项式展开成一系列乘法运算的和。
乘法公式灵活运用
乘法公式灵活运用乘法公式是数学中常用的一种计算方法，用于求解两个或多个数的乘积。
灵活运用乘法公式可以简化计算，提高解题效率。
本文将从实际问题出发，分析乘法公式的灵活运用方法，以及对应的数学技巧，帮助读者更好地掌握乘法公式的应用。
乘法公式的基本形式是：a×b=c，其中a和b是乘数，c是积。
乘法公式可以用于求解各类数学问题，包括乘法的基本性质、因数分解、最大公约数、公倍数等。
在乘法的基本性质中，乘法公式可以被运用于计算两个数相乘的结果。
例如计算12×35，我们可以使用乘法公式，将12拆解为10+2，35拆解为30+5，然后进行分配律运算：(10+2)×(30+5)=(10×30)+(10×5)+(2×30)+(2×5)=300+50+60+10=420。
这样，我们可以通过分解乘数，将原本复杂的乘法运算简化为几个简单的加法和乘法运算。
乘法公式还可以用于因数分解。
因数分解是将一个数分解为多个乘数的乘积，通过应用乘法公式，可以将这个过程简化。
例如对于数45，我们可以将它分解为3×15，然后继续对15进行因数分解，得到3×5×3、这样，45就可以表示为它的全部因数的乘积。
因数分解在数论、代数等领域有着重要的应用，通过乘法公式，我们可以更轻松地完成这个过程。
乘法公式在解决实际问题时，还可以通过一些数学技巧来进一步灵活运用。
例如在乘法运算中，可以通过重新排序进行简化。
如果要计算3×7×5，我们可以将其按需重新排列，得到5×7×3，然后再进行乘法运算：5×7=35，35×3=105、这样，我们可以通过重新排列乘积的顺序，在保持乘数不变的前提下，使得计算更加简单。
此外，乘法公式还可以和其他数学知识相结合，进一步拓展乘法的应用。
例如在代数中，乘法公式可以用于计算多项式的展开式。
乘法公式的运用
乘法公式的运用乘法公式是在多项式乘法的基础上，将多项式乘法的一般法则应用于一些特殊形式的多项式相乘，得出的既有特殊性、又有实用性的具体结论，在复杂的数值计算，代数式的化简求值、代数式的恒等变形、代数等式的证明等方面有着广泛的应用，在学习乘法公式时，应该做到以下几点：1．熟悉每个公式的结构特征，理解掌握公式；2．根据待求式的特点，模仿套用公式；3．对公式中字母的全面理解，灵活运用公式；4．既能正用、又可逆用且能适当变形或重新组合，综合运用公式．【例1】 (1)已知两个连续奇数的平方差为2000，则这两个连续奇数可以是 ．(2)已知(2000一a)(1998一a)=1999，那么(2000一a)2+(1998一a)2= ．从特殊到一般的过程是人类认识事物的一般规律，而观察、发现、归纳是发现数学规律最常用的方法. 常见公式变形有： (1)ab b a b a 2)(222 ±=+， 2)()(2)()(222222b a b a b a b a ab --+=+-+=． (2)222222)()(b a b a b a +=-++； (3) ab b a b a 4)()(22=--+；（4）4)()(22b a b a ab --+=，)(2)(2222ac bc ab c b a c b a ++-++=++ 【例2】 若x 是不为0的有理数，已知)12)(12(22+-++=x x x x M ，)1)(1(22+-++=x x x x N ，则M 与N 的大小是（ ）A ．M>NB ． M<NC ． M=ND ．无法确定思路点拨 运用乘法公式，在化简M 、N 的基础上，作差比较它们的大小．【例3】 计算：(1)6(7十1)(72十1)(74十1)(78十1)+1；(2)1.345×0.345×2.69—1.3452一1.345×0.3452．【例4】 (1)已知x 、y 满足x 2十y 2十45＝2x 十y ，求代数式yx xy +的值． (2)整数x ，y 满足不等式y x y x 22122+≤++，求x+y 的值．(3)同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整．甲商场：第一次提价的百分率为a ，第二次提价的百分率为b ，乙商场：两次提价的百分率都是2b a +(a>0，b>o)，丙商场：第一次提价的百分率为b ，第二次提价的百分率为a ，则哪个商场提价最多?说明理由．完全平方公式逆用可得到两个应用广泛的结论：(1)0)(2222≥±=+±b a b ab a ；(2)ab b a 222≥+ 揭示式子的非负性，利用非负数及其性质解题．【例5】 已知a 、b 、c 均为正整数，且满足222c b a =+，又a 为质数．证明：(1)b 与c 两数必为一奇一偶；(2)2(a+b+1)是完全平方数．思路点拨 从222c b a =+的变形入手；222b c a -=，运用质数、奇偶数性质证明． 学力训练1．观察下列各式：(x 一1)(x+1)＝x 2一l ；(x 一1)(x 2+x+1)=x 3一1；(x 一1)(x 3十x 2+x+1)=x 4一1．根据前面的规律可得(x 一1)(x n +x n-1+…+x+1)= ．2．已知052422=+-++b a b a ，则ba b a -+= ． 3．计算：(1)1.23452+0.76552+2.469×0.7655： ；(2)19492一19502+19512一19522+…+19972一19982+19992 = ；(3)2199919991999199719991998222-+ ． 4．如图是用四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分的面积的不同表示方法写出一个关于a 、b 的恒等式 ．5．已知51=+a a ，则2241a a a ++= ． 6．已知5,3-=+=-c b b a ，则代数式ab a bc ac -+-2的值为( )．A ．一15B ．一2C ．一6D ．6 7．乘积)200011)(199911()311)(211(2222----等于( )． A ．20001999 B ．20002001 C ．40001999 D ．40002001 8．若（x －y ）2＋N=x 2＋xy ＋y 2,则N 为（ ）。
乘法公式的综合运用
• 练习: • 1.在等号右边的括号里填上适当的项，并用 去括号法则检验。 • （1）a+b-c=a+( b-c ) • (2) a-b+c=a-( b-c ) • (3) a-b-c=a-( b+c ) • (4) a+b+c=a-( ) -b-c • 2.运用乘法公式计算
• （1）（a+2b-1）2
• • • • • • •
例题 用乘法公式计算： （1）（x+2y-3）（x-2y+3）; (2) (a+b+c)2. 解（1）原式=【x+(2y-3)】[x-(2y-3)] =x2-(2y-3)2 想一想，第一步为什 么作这样的变形？ =x2-(4y2-12y+9) =x2-4y2+12y-9
• (2) 原式=【（a+b）+c】2 • =(a+b)2+2(a+b)c+c2 • =a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2 • =a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc • 想一想：如何用语言来达（2）的结论？ • 三个数的和的平方，等于这三个数的 平方和，加上这三个数的两两积的2倍。
•
(2)
(2x+y+z)(2x-y-z)
• • • • •
看谁学得好 计算： （1）（x-y+z）（x+y+z） (2) (3x+y-z)(3x-y+2) (3) (2a+b-3)2
乘法公式的综合运用
复习回顾
• 1.平方差公式： 2 2 • （a+b）（a-b）= a - b • 2.完全平方公式： 2 2 2 • （a+b） =a +2ab+b 2 2 2 • （a-b） =a -2ab&3;（b+c）=a+b+c a -（b+c） = a - b - c 思考：由去括号法则如何得到添括号法则 呢？ • 添括号法则： • a+b+c = a +（b+c） • a - b - c=a -（b+c）
乘法公式的几种应用
乘法公式知识点总结
乘法公式知识点总结乘法是数学中一个基本的运算法则，而乘法公式作为乘法的特殊性质之一，在数学运算中起到了重要的作用。
本文将对乘法公式的相关知识进行总结和解释，帮助读者更好地理解和掌握乘法的运算规则。
1. 乘法的基本概念乘法是两个或多个数相乘的运算方式，其中每个数称为一个乘数，相乘的结果称为积。
例如，2×3=6，2和3就是乘数，6就是积。
2. 乘法的交换律乘法具有交换律，即乘数的顺序不影响积的结果。
换句话说，对于任意两个实数a和b，都有a×b=b×a。
例如，2×3=3×2=6。
3. 乘法的结合律乘法具有结合律，即多个数相乘时，可以任意改变括号的位置而不影响积的结果。
例如，对于任意三个实数a、b和c，有(a×b)×c=a×(b×c)。
4. 乘法的分配律乘法还具有分配律，对于任意三个实数a、b和c，有a×(b+c)=a×b+a×c。
这条公式表示，一个数字与一个括号内的两个或多个数的和相乘，等于该数字与每个加数分别相乘后的和。
例如，2×(3+4)=2×3+2×4=14。
5. 乘法的零乘法零乘法是乘法中的特殊情况，任何数与0相乘的结果都等于0。
即，对于任意实数a，都有a×0=0。
6. 乘法的一乘法一乘法是乘法中的特殊情况，任何数与1相乘的结果都等于它本身。
即，对于任意实数a，都有a×1=a。
7. 乘法规律的应用乘法公式的应用十分广泛，不仅仅用于数学运算中，也应用于其他领域。
在代数中，乘法公式可以应用于多项式的展开和因式分解。
在几何学中，乘法公式可以应用于计算长方形、正方形、圆的面积和体积等问题。
在物理学中，乘法公式可以应用于计算速度、。
乘法公式的灵活运用
乘法公式的灵巧应用一.温习:(a+b)(a-b)=a2-b2(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3(a-b)(a2+ab+b2)=a3－b3归纳小结公式的变式,精确灵巧应用公式：①地位变更,x y y x x2y2②符号变更,x y x y x2y2 x2y2③指数变更,x2y2x2y2x4y4④系数变更,2a b2a b4a2b2⑤换式变更,xy z m xy z mxy2z m2x2y2z m z mx2y2z2zm zm m2x2y2z22zm m2⑥增项变更,x y z x y zx y2z2x y x y z2x2xy xy y2z2x22xy y2z2⑦连用公式变更,x y x y x2y2x2y2x2y2x4y4⑧逆用公式变更,x y z2x y z2x y z x y z x y z x y z2x 2y 2z4xy4xz例1．已知2=+b a ,1=ab ,求22b a +的值.解：∵=+2)(b a 222b ab a ++∴22b a +=ab b a 2)(2-+ ∵2=+b a ,1=ab ∴22b a +=21222=⨯-例2．已知8=+b a ,2=ab ,求2)(b a -的值.解：∵=+2)(b a 222b ab a ++=-2)(b a 222b ab a +- ∴-+2)(b a =-2)(b a ab 4∴-+2)(b a ab 4=2)(b a - ∵8=+b a ,2=ab ∴=-2)(b a 562482=⨯- 例3：盘算19992-2000×1998〖解析〗此题中2000=1999+1,1998=1999-1,正好相符平方差公式. 解：19992-2000×1998 =19992-（1999+1）×（1999-1） =19992-（19992-12）=19992-19992+1 =1 例4：已知a+b=2,ab=1,求a 2+b 2和(a-b)2的值. 〖解析〗此题可用完整平方公式的变形得解. 解：a 2+b 2=(a+b)2-2ab=4-2=2 （a-b)2=(a+b)2-4ab=4-4=0例5：已知x-y=2,y-z=2,x+z=14.求x 2-z 2的值.〖解析〗此题若想根据现有前提求出x.y.z 的值,比较麻烦,斟酌到x 2-z 2是由x+z 和x-z 的积得来的,所以只请求出x-z 的值即可.解：因为x-y=2,y-z=2,将两式相加得x-z=4,所以x 2-z 2=（x+z ）(x-z)=14×4=56.例6：断定（2+1）（22+1）（24+1）……（22048+1）+1的个位数字是几？〖解析〗此题直接盘算是不成能盘算出一个数字的答案,故有必定的纪律可循.不雅察到1=（2-1）和上式可组成轮回平方差.解：（2+1）（22+1）（24+1）……（22048+1）+1=（2-1）（22+1）（24+1）……（22048+1）+1=24096=161024因为当一个数的个位数字是6的时刻,这个数的随意率性正整数幂的个位数字都是6,所以上式的个位数字必为6.例7．应用公式轻便盘算（1）1032（2）1982解：（1）10321003 2 10022100332100006009 10609（2）19822002 2 2002220022240000800 4 39204例8．盘算（1）a4b3c a4b3c（2）3x y23x y2解：（1）原式a3c4b a3c4b a3c24b2a26ac9c216b2（2）原式3x y23x y29x2y24y49x2y24y4例9．解下列各式（1）已知a2b213,ab6,求a b2,a b2的值.（2）已知a b 27,a b 24,求a2b 2,ab 的值.（3）已知a a 1a 2b2,求222a b ab +-的值.（4）已知13x x -=,求441x x +的值.剖析：在公式a b2a 2b 22ab 中,假如把a b ,a 2b 2和ab分离看作是一个整体,则公式中有三个未知数,知道了两个就可以求出第三个.解：（1）∵a2b 213,ab 6a b 2a 2b 22ab 132625 a b2a 2b 22ab 13261（2）∵a b27,a b24a 22ab b 27 ①a 22ab b 2 4 ②①②得 2a 2b 211,即22112a b +=①②得 4ab3,即34ab =（3）由a a 1a 2b 2 得a b 2（4）由13x x -=,得19x x 2⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 即22129x x +-=22111x x ∴+= 221121x x 2⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭ 即4412121x x ++=441119x x +=例10．四个持续天然数的乘积加上1,必定是平方数吗？为什么？ 剖析：因为1234125522345112111234561361192……得猜测：随意率性四个持续天然数的乘积加上1,都是平方数.解：设n,n1,n2,n3是四个持续天然数则n n1n2n3 1 n n3n1n2 1n23n22n23n1n23n n23n2 1 n23n12∵n是整数, n2,3n都是整数 n23n1必定是整数n23n1是一个平方数四个持续整数的积与1的和必是一个完整平方数.例11．盘算（1）x2x12（2）3m n p2解：（1）x2x12x22x2122x2x2x212x1x4x212x32x22xx42x33x22x1（2）3m n p23m2n2p223m n23m p2n p9m2n2p26mn6mp2np剖析：两数和的平方的推广a b c2a b c2a b22a b c c2a22ab b22ac2bc c2a2b2c22ab2bc2ac 即a b c2a2b2c22ab2bc2ac几个数的和的平方,等于它们的平方和加上每两个数的积的2倍. 二.乘法公式的用法(一).套用:这是最初的公式应用阶段,在这个环节中,应弄清乘法公式的前因后果,精确地控制其特点,为辨认和应用公式打下基本,同时能进步学生的不雅察才能.例1. 盘算：()()53532222xyxy+- 解：原式()()=-=-53259222244x y x y(二).连用:持续应用统一公式或连用两个以上公式解题.例2. 盘算：()()()()111124-+++a a a a解：原式()()()=-++111224a a a例3. 盘算：()()32513251x y z x y z +-+-+-- 解：原式()()[]()()[]=-++--+25312531y z x y z x三.逆用:进修公式不克不及只会正向应用,有时还须要将公式左.右双方交流地位,得出公式的逆向情势,并应用其解决问题.例4. 盘算：()()57857822a b c a b c +---+解：原式()()[]()()[]=+-+-++---+578578578578a b c a b c a b c a b c 四.变用: 标题变形后应用公式解题. 例5. 盘算：()()x y z x y z +-++26解：原式()[]()[]=++-+++x y z z x y z z 2424五.活用: 把公式本身恰当变形后再用于解题.这里以完整平方公式为例,经由变形或从新组合,可得如下几个比较有效的派生公式： 灵巧应用这些公式,往往可以处理一些特别的盘算问题,造就分解应用常识的才能.例6. 已知a b ab -==45，,求a b 22+的值.解：()a b a b ab 2222242526+=-+=+⨯=例7. 盘算：()()a b c d b c d a ++-+++-22解：原式()()[]()()[]=++-++--b c a d b c a d 22例8. 已知实数x.y.z 知足x y z xy y +==+-592，,那么x y z ++=23（）解：由两个完整平方公式得：()()[]ab a b a b =+--1422从而()[]z x y y 2221459=--+-三.进修乘法公式应留意的问题（一）.留意控制公式的特点,认清公式中的“两数”．例1 盘算(-2x 2-5)(2x 2-5)剖析：本题两个因式中“-5”雷同,“2x 2”符号相反,因而“-5”是公式(a +b )(a -b )=a 2-b 2中的a ,而“2x 2”则是公式中的b ．解：原式=(-5-2x 2)(-5+2x 2)=(-5)2-(2x 2)2=25-4x 4．例2盘算(-a 2+4b )2剖析：应用公式(a +b )2=a 2+2ab +b 2时,“-a 2”就是公式中的a ,“4b ”就是公式中的b ;若将标题变形为(4b -a 2)2时,则“4b ”是公式中的a ,而“a 2”就是公式中的b ．（解略）（二）.留意为应用公式创造前提 例3盘算(2x +y -z +5)(2x -y +z +5)．剖析：粗看不克不及应用公式盘算,但留意不雅察,两个因式中的“2x ”.“5”两项同号,“y ”.“z ”两项异号,因而,可应用添括号的技能使原式变形为相符平方差公式的情势．解：原式=〔(2x +5)+(y -z )〕〔(2x +5)-(y -z )〕=(2x +5)2-(y -z )2=4x 2+20x +25-y +2yz -z 2．例4盘算(a -1)2(a 2+a +1)2(a 6+a 3+1)2剖析：若先用完整平方公式睁开,运算十分繁冗,但留意逆用幂的运算轨则,则可应用乘法公式,使运算轻便．解：原式=[(a -1)(a 2+a +1)(a 6+a 3+1)]2=[(a 3-1)(a 6+a 3+1)]2=(a 9-1)2=a 18-2a 9+1例5盘算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)．剖析：此题乍看无公式可用,“硬乘”太繁,但若添上一项（2-1）,则可应用公式,使问题化繁为简．解：原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)=(24-1)(24+1)(28+1)=（28-1）（28+1）=216-1（三）.留意公式的推广盘算多项式的平方,由(a+b)2=a2+2ab+b2,可推广得到：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．可论述为：多项式的平方,等于各项的平方和,加上每两项乘积的2倍．例6盘算(2x+y-3)2解：原式=(2x)2+y2+(-3)2+2·2x·y+2·2x(-3)+2·y(-3)=4x2+y2+9+4xy-12x-6y．（四）.留意公式的变换,灵巧应用变形公式例7 (1)已知x+y=10,x3+y3=100,求x2+y2的值;(2)已知：x+2y=7,xy=6,求(x-2y)2的值．剖析：粗看似乎无从下手,但留意到乘法公式的下列变形：x2+y2=(x+y)2-2xy,x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y),(x+y)2-(x-y)2=4xy,问题则十分简略．解：(1)∵x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y),将已知前提代入得100=103-3xy·10,∴xy=30故x2+y2=(x+y)2-2xy=102-2×30=40．(2)(x-2y)2=(x+2y)2-8xy=72-8×6=1．例8盘算(a+b+c)2+(a+b-c)2+(a-b+c)+(b-a+c)2．剖析：直接睁开,运算较繁,但留意到由和及差的完整平方公式可变换出(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2),因而问题轻易解决．解：原式=[(a+b)+c]2+[(a+b)-c]2+[c+(a-b)]2+[c-(a-b)]2=2[(a+b)2+c2]+2[c2+(a-b)2]=2[(a+b)2+(a-b)2]+4c2=4a2+4b2+4c2（五）.留意乘法公式的逆应用例9盘算(a-2b+3c)2-(a+2b-3c)2．剖析：若按完整平方公式睁开,再相减,运算庞杂,但逆用平方差公式,则能使运算轻便得多．解：原式=[(a-2b+3c)+(a+2b-3c)][(a-2b+3c)-(a+2b-3c)]=2a(-4b+6c)=-8ab+12ac．例10盘算(2a+3b)2-2(2a+3b)(5b-4a)+(4a-5b)2剖析：此题可以应用乘法公式和多项式的乘法睁开后盘算,但逆用完整平方公式,则运算更为轻便．解：原式=(2a+3b)2+2(2a+3b)(4a-5b)+(4a-5b)2=[(2a+3b)+(4a-5b)]2=(6a-2b)2=36a2-24ab+4b2．四.如何闇练应用公式：（一）.明白公式的构造特点这是精确应用公式的前提,如平方差公式的构造特点是：符号左边是两个二项式相乘,且在这四项中有两项完整雷同,另两项是互为相反数;等号右边是乘式中两项的平方差,且是雷同项的平方减去相反项的平方．明白了公式的构造特点就能在各类情形下精确应用公式．（二）.懂得字母的普遍寄义乘法公式中的字母a .b 可所以具体的数,也可所以单项式或多项式．懂得了字母寄义的普遍性,就能在更普遍的规模内精确应用公式．如盘算（x +2y －3z ）2,若视x +2y 为公式中的a ,3z 为b ,则就可用（a －b ）2=a 2－2ab +b 2来解了.（三）.熟习罕有的几种变更有些标题往往与公式的尺度情势不相一致或不克不及直接用公式盘算,此时要根据公式特点,合理调剂变更,使其知足公式特色．罕有的几种变更是：1.地位变更 如（3x +5y ）（5y －3x ）交流3x 和5y 的地位后即可用平方差公式盘算了．2.符号变更 如（－2m －7n ）（2m －7n ）变成－（2m +7n ）（2m －7n ）后就可用平方差公式求解了（思虑：不变或不如许变,可以吗？）3.数字变更 如98×102,992,912等分离变成（100－2）（100+2）,（100－1）2,（90+1）2后就可以或许用乘法公式加以解答了．4.系数变更 如（4m +2n ）（2m －4n ）变成2（2m +4n ）（2m －4n ）后即可用平方差公式进行盘算了．5.项数变更 如（x +3y +2z ）（x －3y +6z ）变成（x +3y +4z －2z ）（x －3y +4z +2z ）后再恰当分组就可以用乘法公式来解了．（四）.留意公式的灵巧应用有些标题往往可用不合的公式来解,此时要选择最恰当的公式以使盘算更轻便．如盘算（a 2+1）2·（a 2－1）2,若分离睁开后再相乘,则比较繁琐,若逆用积的乘方轨则后再进一步盘算,则异常轻便．即原式=[（a 2+1）（a 2－1）]2=（a 4－1）2=a 8－2a 4+1．对数学公式只会顺向（从左到右）应用是远远不敷的,还要留意逆向（从右到左）应用．如盘算（1－221）（1－231）（1－241） (1)291）（1－2101）,若分离算出各因式的值后再行相乘,不但盘算繁难,并且轻易出错．若留意到各因式均为平方差的情势而逆用平方差公式,则碰巧解本题．即原式=（1－21）（1+21）（1－31）（1+31）×…×（1－101）（1+101）=21×23×32×34×…×109×1011 =21×1011=2011．有时有些问题不克不及直接用乘法公式解决,而要用到乘法公式的变式,乘法公式的变式重要有：a 2+b 2=（a +b ）2－2ab ,a 2+b 2=（a －b ）2+2ab 等．用这些变式解有关问题常能收到事半功倍之效．如已知m +n =7,mn =－18,求m 2+n 2,m 2－mn + n 2的值． 面临如许的问题就可用上述变式来解,即m 2+n 2=（m +n ）2－2mn =72－2×（－18）=49+36=85,m 2－mn + n 2= （m +n ）2－3mn =72－3×（－18）=103． 下列各题,难不倒你吧？！ 1.若a +a1=5,求（1）a 2+21a ,（2）（a －a1）2的值．2.求（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）（264+1）+1的末位数字．（答案：1.（1）23;（2）21．2. 6 ）五.乘法公式应用的五个层次乘法公式：(a ＋b)(a －b)=a 2－b 2,(a ±b)=a 2±2ab ＋b 2,(a ±b)(a 2±ab ＋b 2)=a 3±b 3．第一层次──正用即根据所求式的特点,模拟公式进行直接.简略的套用． 例1盘算(2)(－2x －y)(2x －y)．(2)原式=[(－y)－2x][(－y)＋2x]=y 2－4x 2．第二层次──逆用,即将这些公式反过来进行逆向应用． 例2盘算(1)19982－1998·3994＋19972;解(1)原式=19982－2·1998·1997＋19972=(1998－1997)2=1第三层次──活用 ：根据待求式的构造特点,探寻纪律,持续重复应用乘法公式;有时根据须要创造前提,灵巧应用公式．例3化简：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1．剖析直接盘算繁琐易错,留意到这四个因式很有纪律,假如再增加一个因式“2－1”即可持续应用平方差公式,从而问题水到渠成．解原式=(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1=(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1=216．例4盘算：(2x－3y－1)(－2x－3y＋5)剖析细心不雅察,易见两个因式的字母部分与平方差公式邻近,但常数不符．于是可创造前提─“拆”数：－1=2－3,5=2＋3,应用公式巧解．解原式=(2x－3y－3＋2)(－2x－3y＋3＋2)=[(2－3y)＋(2x－3)][(2－3y)－(2x－3)]=(2－3y)2－(2x－3)2=9y2－4x2＋12x－12y－5．第四层次──变用：解某些问题时,若能闇练地控制乘法公式的一些恒等变情势,如a2＋b2=(a＋b)2－2ab,a3＋b3=(a＋b)3－3ab(a＋b)等,则求解十分简略.明快．例5已知a＋b=9,ab=14,求2a2＋2b2和a3＋b3的值．解：∵a＋b=9,ab=14,∴2a2＋2b2=2[(a＋b)2－2ab]=2(92－2·14)=106,a3＋b3=(a＋b)3－3ab(a＋b)=93－3·14·9=351第五层次──分解后用：将(a＋b)2=a2＋2ab＋b2和(a－b)2=a2－2ab＋b2分解,可得 (a＋b)2＋(a－b)2=2(a2＋b2);(a＋b)2－(a－b)2=4ab;等,合理地应用这些公式处理某些问题显得新鲜.简捷．例6盘算：(2x＋y－z＋5)(2x－y＋z＋5)．解：原式=14[(2x+y-z+5)+(2x-y+z+5)]2-14[(2x+y-z+5)-(2x-y+z+5)]2=(2x＋5)2－(y－z)2=4x2＋20x＋25－y2＋2yz－z2六.精确熟习和应用乘法公式1.数形联合的数学思惟熟习乘法公式：对于进修的两种（三个）乘法公式：平方差公式：(a+b)(a-b)=a 2-b 2.完整平方公式：(a+b)2=a 2+2ab+b 2;(a-b)2=a 2-2ab+b 2,可以应用数形联合的数学思惟办法来区分它们.假设a.b 都是正数,那么可以用以下图形所示意的面积来熟习乘法公式.如图1,两个矩形的面积之和（即暗影部分的面积）为(a+b)(a-b),经由过程阁下两图的对比,即可得到平方差公式(a+b)(a-b)=a 2-b 2;图2中的两个图暗影部分面积分离为(a+b)2与(a-b)2,经由过程面积的盘算办法,即可得到两个完整平方公式：(a+b)2=a 2+2ab+b 2与(a-b)2=a 2-2ab+b 2.2.乘法公式的应用技能：①提出负号：对于含负号较多的因式,平日先提出负号,以防止负号多带来的麻烦.例1、 应用乘法公式盘算：（1）(-1+3x)(-1-3x); （2）(-2m-1)2解：（1）(-1+3x)(-1-3x)=[-(1-3x)][-(1+3x)]=(1-3x)(1+3x)=12-(3x)2=1-9x 2.（2） (-2m-1)2=[-(2m+1)]2=(2m+1)2= 4m 2+4m+1.②转变次序：应用交流律.联合律,调剂因式或因式中各项的分列次序,可以使公式的特点加倍显著.例2、 应用乘法公式盘算：（1）(13a-14b)(-14b-a 3); （2）(x-1/2)(x 2+1/4)(x+1/2) 解：（1）(13a-14b)(-14b-a 3)=(-14b+13a)(-14b-13a) =(14b- 13a )(14b+13a )=(14b)2- (13a)2= 116b2- 19a2 (2) (x-1/2)(x 2+1/4)(x+1/2)= (x-1/2) )(x+1/2)(x 2+1/4)=(x 2-1/4) (x 2+1/4)= x 2-1/16.③逆用公式将幂的公式或者乘法公式加以逆用,比方逆用平方差公式,得a 2-b 2 =(a+b)(a-b),逆用积的乘方公式,得a n b n =(ab)n ,等等,在解题时常会收到事半功倍的后果.例3、 盘算：（1）(x/2+5)2-(x/2-5)2 ; （2）(a-1/2)2(a 2+1/4) 2(a+1/2)2 解：（1）(x/2+5)2-(x/2-5)2 =[(x/2+5)+(x/2-5)] [(x/2+5)-(x/2-5)]=(x/2+5+x/2-5)( x/2+5-x/2+5)=x ·10=10x.（2）(a-1/2)2(a 2+1/4) 2(a+1/2)2 =[(a-1/2)(a 2+1/4)(a+1/2)] 2 =[(a-1/2) (a+1/2)(a 2+1/4)]2 =[(a 2-1/4) (a 2+1/4)] 2 =(a 4-1/16) 2 =a 8-a 4/8+1/256.④合理分组：对于只有符号不合的两个三项式相乘,一般先将完整雷同的项调到各因式的前面,视为一组;符号相反的项放在后面,视为另一组;再依次用平方差公式与完整平方公式进行盘算.盘算：（1）(x+y+1)(1-x-y); （2）(2x+y-z+5)(2x-y+z+5). 解：（1） (x+y+1)(1-x-y)=(1+x+y)(1-x-y)= [1+(x+y)][1-(x+y)]=12-(x+y)2=1-(x 2+2xy+y 2)= 1-x 2-2xy-y 2.（2）(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)=(2x+5+y-z)(2x+5-y+z)=[ (2x+5)+(y-z)][(2x+5)-(y-z)]= (2x+5)2-(y-z)2 =(4x 2+20x+25)-(y 2-2yz+z 2)= 4x 2+20x+25-y 2+2yz-z 2 = 4x 2-y 2-z 2+2yz +20x+25 .七.巧用公式做整式乘法整式乘法是初中数学的重要内容,是往后进修的基本,应用极为普遍.尤其多项式乘多项式,运算进程庞杂,在解答中,要细心不雅察,卖力剖析标题中各多项式的构造特点,将其恰当变更,找出纪律,用乘法公式将其睁开,运算就显得轻便易行.一. 先分组,再用公式例1. 盘算：()()a b c d a b c d -+-----简析：本题若以多项式乘多项式的办法睁开,则显得异常庞杂.经由过程不雅察,将整式()a b c d -+-应用加法交流律和联合律变形为()()--++b d a c ;将另一个整式()----a b c d 变形为()()---+b d a c ,则从个中找出了特色,从而应用平方差公式即可将其睁开. 解：原式[]()()[]=--++---+()()b d a c b d a c二. 先提公因式,再用公式例2. 盘算：8244x y x y +⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪简析：经由过程不雅察.比较,不难发明,两个多项式中的x 的系数成倍数,y 的系数也成倍数,并且消失雷同的倍数关系,若将第一个多项式中各项提公因数2出来,变成244x y +⎛⎝ ⎫⎭⎪,则可应用乘法公式.解：原式=+⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪24444x y x y三. 先分项,再用公式例3. 盘算：()()232236x y x y ++-+简析：两个多项中似乎没多大接洽,但先从雷同未知数的系数着手不雅察,不难发明,x 的系数雷同,y 的系数互为相反数,相符乘法公式.进而剖析若何将常数进行变更.若将2分化成4与-2的和,将6分化成4与2的和,再分组,则可应用公式睁开.解：原式=[]()()[]()()24232423x y x y +--++-四. 先整体睁开,再用公式例4. 盘算：()()a b a b +-+221简析：乍看两个多项式无接洽,但把第二个整式分成两部分,即[]()a b -+21,再将第一个整式与之相乘,应用平方差公式即可睁开. 解：原式[]=+-+()()a b a b 221五. 先补项,再用公式例5. 盘算：331313131842+++++()()()() 简析：由不雅察整式()31+,不难发明,若先补上一项()31-,则可知足平方差公式.多次应用平方差公式慢慢睁开,使运算变得轻便易行. 解：原式=+++++-331313131312842()()()()() 六. 先用公式,再睁开例6. 盘算：11211311411102222-⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪… 简析：第一个整式1122-⎛⎝ ⎫⎭⎪可暗示为11222-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥,由简略的变更,可看出整式相符平方差公式,其它因式相似变更,进一步变换成分数的积,化简即可. 解：原式=+⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪11211211311311411411101110…七. 乘法公式瓜代用 例7. 盘算：()()()()x z x xz z x z x xz z +-+-++222222 简析：应用乘法交流律,把第一个整式和第四个整式联合在一路,把第二个整式与第三个整式联合,则可应用乘法公式睁开.解：原式[][]=+++-+-()()()()x z x xz z x xz z x z 222222八.中考与乘法公式1. 结论凋谢例1.（02年济南中考）请你不雅察图1中的图形,根据图形面积的关系,不须要添加帮助线,即可得到一个你异常熟习的公式,这个公式是______________.剖析：应用面积公式即可列出()()x y x y x y +-=-22或()()x y x y x y 22-=+-或()x y x xy y -=-+2222 在上述公式中随意率性选一个即可.例2.（03年陕西中考）如图2,在长为a 的正方形中挖失落一个边长为b 的小正方形（a b >）,把余下的部分剪成一个矩形,如图3,经由过程盘算两个图形的面积,验证了一个等式,则这个等式是______________.剖析：应用面积公式即可列出()()a b a b a b +-=-22或()()a b a b a b 22-=+-2. 前提凋谢例 3.（03年四川中考）多项式912x +加上一个单项式后,使它能成为一个整式的完整平方,则加上的单项式可所以____________（填上你以为精确的一个即可,不必斟酌所有的可能情形）.剖析：解答时,可能习惯于按教材上的完整平方公式,得出 ()9163122x x x ++=+ 或()9163122x x x +-=-只要再动点头脑,还会得出9191222x x +-= 故所加的单项式可所以±6x ,或8144x ,或-1,或-92x等.3. 找纪律例4. （01年武汉中考）不雅察下列各式：由猜测到的纪律可得()()x x x x x n n n -+++++=--1112…____________.剖析：由已知等式不雅察可知 ()()x x x x x x n n n n -+++++=---+111121…4. 推导新公式例5.在公式()a a a +=++12122中,当a 分离取1,2,3,……,n 时,可得下列n 个等式将这n 个等式的阁下双方分离相加,可推导出乞降公式： 123++++=…n __________（用含n 的代数式暗示）剖析：不雅察已知等式可知,后一个等式的右边第一项等于前一个等式的左边,将已知等式阁下双方分离相加,得：()n n n +=+⨯+⨯++⨯+112122222… 移项,整顿得：。
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乘法公式的应用
1、平方差
2－b2
平方差公式：(a＋b)(a－b) ＝a
平方差公式的特征：
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
②右边是乘式中两项的平方差(相同项的平方减去相反项的平方)；
③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
④对于形如两数和与这两数差相乘的形式，就可以运用上述公式来计算．
推广：多项式平方公式:(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd。
即：多项式的平方等于各项的平方和，加上每两项积的2倍。
2、完全平方公式
完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab＋b2
完全平方公式的特征：
（a+b）2=a2+2ab＋b2与(a－b)2=a2－2ab＋b2都叫做完全平方公式，为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式．
①两公式的左边：都是一个二项式的完全平方，二者仅有一个符号不同；右边：都是二次三项式，其中有两项是公式左边两项中每一项的平方，中间是左边二项式中两项乘积的2倍，两者也仅有一个符号不同．
②公式中的a、b可以是数，也可以是单项式或多项式．
③对于形如两数和(或差)的平方的乘法，都可以运用上述公式计算．
④公式中的字母具有一般性，它可以表示数也可以表示多项式.
推广：（a＋b＋c）2=a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca
3、立方和（差）公式
立方和(差)公式: (a±b)(a2±ab+b2)=a3±b3。
4、由平方差,立方和(差)公式引申的公式
(a+b)(a3-a2b+ab2-b3)=a4-b4，
(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)=a5+b5
(a+b)(a5-a4b+a3b2-a2b3+ab4-b5)=a6-b6
5、公式的变形及其逆运算
由(a+b)2=a2+2ab+b2得a2+b2=(a+b)2-2ab；(a-b)2=(a+b)2-4ab。
由(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b)得a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)。
由公式的推广可知：当n为正整数时，a n-b n能被a-b整除；a2n+1+b2n+1能被a+b整除；a2n-b2n 能被a+b及a-b整除。
6、乘法公式的主要变式
(1) (a ＋b)2－(a －b)2＝4ab;
(2) (a ＋b)2＋(a －b)2=2(a 2＋b 2)；
(3) a 2＋b 2＝(a ＋b)2－2ab ＝(a －b)2＋2ab
(4) a 3＋b 3=(a ＋b)3－3ab(a ＋b)
7、三元公式的一些变化：
()()()22222212a b c a b b c ca a b b c c a ⎡⎤++---=-+-+-⎣⎦()()()222222
12a b c a b b c ca a b b c c a ⎡⎤+++++=+++++⎣⎦
注意：
(1)公式中的a ，b 既可以表示单项式，也可以表示多项式.
(2)乘法公式既可以单独使用，也可以同时使用.
(3)这些公式既可以正用，也可以逆用，因此在解题时应灵活地运用公式，以计算简捷为宜.
练习：
1、若16x 2+mxy+81y 2
是一个完全平方式，则m 的值为（ ）
A.36
B.72
C.-72
D.±72
2、若x+y=9,xy=16，则 x 2+y 2=( )、
A.81
B.17
C.49
D.145
3、x 2+x+( )=
4、9x 2-( )+49y 2=(3x-7y)
2 运用乘法公式计算：
5、 (a+b+c)(a-b-c)
6、(a-2b+3c)(a+2b-3c）
7、 (x+2y+z)2
8、(2x-3y-4z)2
9、已知a+b=3,ab=-8,求下列各式的值。
（1）a2+b2 (2) a2-ab+b2 (3) (a-b)2 (4) a3+b3 10、解方程：4(x-3)2-(2x+1)2=(3x+1)(1-3x)+9x2。