最优化课程论文-三点二次插值法
基于三次样条插值的木料抛光机轨迹优化
基于三次样条插值的木料抛光机轨迹优化随着经济的发展和科技的进步，木材工业在现代制造业中扮演着重要的角色。
木料抛光机是木料生产线中非常重要的设备，它能够对木料表面进行高效的抛光，提高木料的表面光洁度和美观度。
但是，在实际应用过程中，木料抛光机的抛光轨迹存在问题，可能导致木料表面出现不平整或磨损等质量问题。
因此，本文提出了基于三次样条插值的木料抛光机轨迹优化方法，以提高木料抛光机的生产效率和抛光质量。
1. 三次样条插值方法简介三次样条插值法是一种常用的插值方法，它通过连接相邻数据点的三次多项式来构建插值函数，同时满足一定的光滑性条件。
该方法具有插值精度高、插值函数光滑性好、求解方便等优点，在工程领域得到了广泛应用。
2. 木料抛光机轨迹优化方法在木料抛光机上，通常需要对木料表面进行不同方向的抛光，以保证木料表面光洁度和美观度。
但是，由于木料具有一定的不规则性，抛光过程中容易出现抛光轨迹不均匀和重叠等问题，导致抛光效果不佳。
针对这一问题，本文提出了基于三次样条插值的木料抛光机轨迹优化方法。
具体实现步骤如下：1) 首先，将木料进行数字化处理，将木料表面的坐标点构建成一个数据点序列。
2) 然后，使用三次样条插值方法对数据点序列进行插值，得到一条光滑的轨迹曲线。
3) 根据轨迹曲线，确定木料抛光机的运动轨迹。
具体来说，可以对轨迹曲线进行离散化处理，得到一系列离散点。
然后，将木料抛光机的运动轨迹设置为通过这些离散点的一系列直线段。
4) 对于不同方向的抛光任务，可以分别确定不同的轨迹曲线和运动轨迹，以保证抛光效果的一致性。
3. 实验验证为了验证本文提出的木料抛光机轨迹优化方法的有效性，我们进行了一系列实验。
具体实验内容如下：1) 选择不同的木料样本，分别使用传统抛光方法和三次样条插值方法进行抛光，记录抛光时间和抛光质量数据。
2) 对比两种方法的抛光效果和抛光时间，以及设备的使用寿命和清洁维护难度等方面的差异。
实验结果表明，使用三次样条插值方法进行木料抛光，可以显著提高抛光效率和抛光质量，同时减少设备的使用寿命和清洁维护难度等问题。
三次样条插值算法原理
三次样条插值算法原理
1.数据点的拟合：首先，将给定的离散数据点分割成多个区间，每个
区间内有一组数据点。
然后，在每个区间内使用三次多项式来拟合数据点，以找到一个插值函数。
2.条件的引入：为了确保插值函数的光滑性，需要引入一些条件。
常
见的条件是：插值函数在每个区间的端点处连续，一阶导数在插值点处连续，二阶导数在插值点处连续。
这些条件可以确保插值函数没有拐点，并
且在整个数据区间内光滑。
3.构造方程组：通过将插值函数的定义代入条件方程中，可以建立一
个包含未知系数的线性方程组。
这些未知系数表示每个区间内的三次多项
式的系数。
方程组的求解将得到这些系数的值。
4.矩阵求解：使用线性代数的方法，将方程组转化为矩阵形式，并通
过求解矩阵方程来得到未知系数的值。
常用的矩阵求解方法有高斯消元法
和LU分解法等。
5.插值计算：当未知系数的值确定后，就可以使用插值函数来计算任
意插值点的函数值。
这些插值点可以是原始数据点之间的任意位置。
然而，三次样条插值算法也存在一些问题。
首先，该算法在处理大数
据集时可能会产生较高的计算复杂度。
其次，如果数据点分布不均匀，可
能会导致插值函数的误差较大。
此外，在数据点数量过少的情况下，插值
函数可能会失去准确性。
总之，三次样条插值算法通过拟合离散数据点，构造光滑的插值函数，从而实现数据的逼近和预测。
该算法在数值计算、数据分析和图形绘制等
领域有广泛的应用。
通过进一步的优化和改进，可以提高算法的性能和稳定性，使其更适用于复杂的实际问题。
2点三次Hermite插值多项式
f ( x) cos x,
''
| f ( x) | 1
''
h2 1 | R | 104 8 2
h 2 102
最大步长h应取0.02.
三.分段三次Hermite插值
1.问题的提法
定义:设n 1个插值节点x0，x1， xn。已知在节点上的 函数值yi f ( xi )和导数值yi f ( xi )，i 0， 1， ，n。 分段三次Hermite插值多项式S 3 ( x )应满足条件： ( x )在[a , b]上连续; (1) S3 ( x )和S3 (2)在每个小区间[ xi , xi 1 ]上是三次多项式； ( xi ) yi( i 0,1, , n)。 (3) S3 ( xi ) yi , S 3
利用 f(x) – H3(x)=C(x)(x – x0)2(x – x1)2 构造辅助函数
F (t ) f (t ) H3 (t ) C( x)(t x0 ) (t x1 )
2
2
10
显然,F(t)有三个零点x0, x, x1,由Rolle定理知, F'(t) 至少有两个零点t0, t1满足x0<t0<t1<x1,而x0和x1也是
事实上已被证明：对于 n 的高阶插值 公式 Ln ( x )只有当 x 3.63时才有 Ln ( x ) f ( x ).
分段插值的概念
所谓分段插值，就是将被插值函数逐段多项式 化。一般来说，分段插值方法的处理过程分两步， 先将所考察的区间作一分划 ：a x0 x1 xn b
F'(t)零点, 故F'(t) 至少有四个相异零点.
三次插值法原理
三次插值法原理
三次插值法是一种多项式插值方法，其基本原理是通过三次曲线
φ(t)=a₀+a₁t+a₂t²+a₃t³的极小点逼近来寻求函数f(t)的极小点。
这种方法在1959年由Davidon首先提出，是一种迭代算法。
具体做法是，首先设定一个初始点t₁，然后根据函数在该点的值和一阶导数值，构造一个三次多项式来逼近原来的函数。
然后通过求解该三次多项式的极小点，得到新的t值。
重复这个过程，直到找到满足精度要求的极小点。
在三次插值法中，为了保证找到的极小点在给定区间的内部，需要满足一些条件。
例如，要求函数在a点的右边下降，而在b点的右边上升。
这可以通过对a、b两点的导数进行限制来实现。
另外，为了保证插值函数的连续性和光滑性，需要满足一些约束条件，例如插值条件、连续性条件、一阶导数连续条件和二阶导数连续条件。
以上信息仅供参考，如果需要更多信息，可以查阅数学类书籍或咨询专业人士。
【MATLAB与机械设计】一维优化之二次插值法（抛物线法）
【MATLAB与机械设计】⼀维优化之⼆次插值法（抛物线法）⼆次插值法⼜称抛物线法，它是利⽤函数在极值点附近具有⼆次函数的性质建⽴起来的⼀种多项式逼近⽅法。
利⽤⽬标函数在若⼲点的信息（函数值、导数值等），构造⼀个与⽬标函数值相接近的插值多项式，⽤该多项式的最优解作为函数的近似最优解，随着搜索区间的逐次缩短，多项式的最优点与原函数最优点的距离逐渐减⼩，直⾄满⾜精度要求。
1.⼆次插值的程序框图：2. MATLAB可执⾏程序function [x,f_x]=Quadratic_interpolation(f,x1,x2,x3,exp)%% 函数说明%{本函数应⽤于⼆次插值其中f表⽰输⼊函数x1,x2,x3表⽰要进⾏插值的三个点exp精度x：为输出的极⼩值点f_x：为输出的极⼩值调⽤⽅法:clc;clear;f=@(x)(x+1/x);[x,f]=n_d(f,0,10,30,0.01);xf%}%% 函数主题f1=f(x1);f2=f(x2);f3=f(x3);%{sov_f=[f1,f2,f3]';sov_x=[1,x1,x1^21,x2,x2^21,x3,x3^2];sov_a=sov_x\sov_f;a=sov_a;a0=a(1);a1=a(2);a2=a(3);%x_m=-a1/(2*a2);%}while 1A=2*(f1*(x2-x3)+f2*(x2-x1)+f3*(x1-x2));B=(f1*(x2^2-x3^2)+f2*(x2^2-x1^2)+f3*(x1^2-x2^2));if A==0disp('run is lost!!')elsex_m=B/A;if abs(x2-x_m)<expif f(x_m)<=f2x=x_m;f_x=f(x_m);breakelsex=x2;f_x=f2;breakendelseif (x_m-x1)*(x_m-x2)<0if f(x_m)<=f2x3=x2;x2=x_m;f3=f2;f2=f(x_m);elsex1=x_m;f1=f(x_m);endelseif f(x_m)<=f2x1=x2;x2=x_m;f1=f2;f2=f(x_m);elsex3=x_m;f3=f(x_m);end end endendendend。
2点三次Hermite插值多项式.
Ri ( x)
f
(i
2!
)
(
x
xi
)(
x
xi1 )
在区间 [a,上b]
| R( x) |
max
0 i n1
|
Ri
(
x)
|
M2 2
(x
xi )( x
xi 1 )
由于
max
(x
xi )( x
xi1 )
( xi1 4
xi )2
h2 4
于是
h2 | R( x) || f ( x) L1( x) | 8 M2
L~1 ( x)
L1,1 ( x)
L1,n1 ( x)
x0 x x1 x1 x x2
xn1 x xn
分段线性插值曲线图：
注：由图象可知， L~1( x) 在节点 处的光滑性较差，为了提高光滑性， 讨论分段三次埃尔米特插值。
3.分段线性插值函数的余项
)(
x x1
x0 x0
)2
6
设 0 ( x) a( x x0 )( x x1 )2
由β'0(x0)=1 ，得
a
( x0
1 x1)2,
于是 同理有
0
(
x)
(
x
x0
)(
x x0
x1 x1
)2
1(
x)
(
x
x1
)(
x x1
x0 x0
)2
7
定理：满足插值条件（*）的三次Hermite插值 多项式H3(x)存在且唯一。
机械优化设计外推法,黄金分割法,二次插值法
for(;a1>a3;) {t=a3; a3=a1; a1=t; t=y1; y3=y1;
if(f(x1)>f(x2)) *a=x1; else *b=x2; *n=*n+1; s=hj(a,b,e,n); } return s; } void main() { double s,a,b,e,m; int n=0; printf("输入 a，b 值和精度 e 值\n"); scanf("%lf %lf %lf",&a,&b,&e); s=hj(&a,&b,e,&n); m=(a+b)/2; printf("a=%lf,b=%lf,s=%lf,m=%lf,n=%d\n",a,b,s,m,n); }
} } while(sqrt(pow((x[2][1]-x[0][1]),2)+ pow((x[2][2]-x[0][2]),2))>=1e-6); xx[1]=x[2][1]; xx[2]=x[2][2]; fi=fun2(xx[1],xx[2]); printf("the best answer is : \nx1*= %f\nx2*=%f\nf*=%f\n",xx[1],xx[2],fi);
for(i=1;i<=2;i++) { if(i==1) {d[i][1]=1;
插值平滑算法范文
插值平滑算法范文插值算法的思想是基于数据平滑的两个原则：一是趋势平滑原则，即相邻点之间的数值变化应该趋于平缓；二是连续性原则，即估计的数值应该与已知数据点相近。
最简单的插值算法是线性插值算法，它假设数据序列中的变化趋势是线性的。
对于缺失点的数值，线性插值算法通过连接两个已知数据点的直线来进行估计。
具体步骤如下：1.找到缺失点前后最近的两个已知数据点，记为(x1,y1)和(x2,y2)，其中x1<x缺失点<x22.根据已知数据点的坐标和数值，构造一条直线：y=(y2-y1)/(x2-x1)*(x-x1)+y13.将线性方程中的x替换为缺失点的横坐标，计算得到该点的估计值。
线性插值算法简单有效，但它只考虑了两个已知数据点的信息，忽略了其他可能的影响因素。
为了更好地估计缺失点的数值，可以使用更高阶的插值算法，如二次插值或三次插值。
二次和三次插值算法分别基于二次函数和三次函数来进行估计。
它们通过更多的已知数据点，考虑更多的数值变化情况，从而得到更加精确的估计结果。
二次插值算法的具体步骤如下：1.找到缺失点前后最近的三个已知数据点，记为(x1,y1)、(x2,y2)和(x3,y3)，其中x1<x缺失点<x32.根据已知数据点的坐标和数值，构造一个二次函数：y=a(x-x2)^2+b(x-x2)+c。
3.将二次函数的系数a、b和c分别计算为：a=((y3-y2)/(x3-x2)-(y2-y1)/(x2-x1))/(x3-x1)b=(y2-y1)/(x2-x1)-a(x2+x1)c = y1 - (ax1^2 + bx1)4.将二次函数中的x替换为缺失点的横坐标，计算得到该点的估计值。
三次插值算法的步骤类似，只是构造的函数改为三次函数。
具体系数的计算公式较为复杂，不再赘述。
需要注意的是，插值算法只能用于填充较小范围内的缺失点，且要求数据的变化趋势较为平滑。
对于包含大量噪声和突变的序列，插值算法可能会导致估计误差较大，因此需要根据具体情况选择合适的插值方法。
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四川理工学院《最优化方法》课程论文******专业：统计班级：1班学号：***********完成日期：2014-6-25无约束最优化方法——三点二次插值法摘要在生产过程、科学实验以及日常生活中，人们总希望用最少的人力、物力、财力和时间去办更多的事，获得最大的效益，在管理学中被看作是生产者的利润最大化和消费者的效用最大化，如果从数学的角度来看就被看作是“最优化问题”。
最优化问题分为无约束最优化和约束最优化，本文主要拟就无约束最优化进行分析。
无约束最优化计算方法是数值计算领域中十分活跃的研究课题之一，快速的求解无约束最优化问题，除了自身的重要性以外，还体现在它也构成一些约束最优化问题的子问题。
因此，对于无约束最优化问题，如何快速有效的求解一直是优化工作者十分关心的事。
本文研究求解无约束最优化问题的精确线性搜索方法——三点二次插值法，并且讨论了这种方法的优缺点以及适用范围，同时论文中对这种方法给出了具体实例，并对例子进行了matlab软件实现。
关键词：三点二次插值法、插值多项式、目标函数目录一、问题的提出 (3)二、设计思路和步骤 (3)3.1设计思路 (3)3.2 设计步骤 (3)三、程序设计 (5)3.1问题分析 (5)3.2 算法设计 (5)3.3 算法框图 (5)3.4 程序编制 (7)四、结果分析 (8)四、结果分析3.1理论结果 .......................................................... 8 3.2 编程结果 .......................................................... 9 五、收获提高 (11)5.1设计的优缺点 ..................................................... 11 5.2收获与启发 ....................................................... 11 参考文献 . (11)一、问题的提出用精确线性搜索方法求()23min 30+-=≥αααϕα的近似最优解（精确极小点为*α=1）。
设已确定其初始搜索区间为[0,3]，取初始插值点为0α=2，终止误差ε=0.05。
二、设计思路和步骤2.1设计思路在求解一元函数()αϕ的极小点时，在搜索区间中用低次（通常不超过三次）插值多项式()αq 来近似目标函数，后求该多项式的极小点（比较容易计算），并以此作为目标函数()αϕ的近似极小点。
如果其近似的程度尚未达到所要求的精度时，反复使用此法，逐次拟合，直到满足给定的精度时为止。
2.2设计步骤考虑二次多项式()c b a q ++=ααα2 则b a q +='αα2)(四川理工学院《最优化方法》课程论文令0)(='αq ，得ab2-=α。
这意味着我们要求a ，b 。
今考虑在包含）（αϕ的极小点*α的搜索区间[]00,b a 中，给定三个点1α，2α，3α，满足1α<2α<3α）（1αϕ>）（2αϕ<）（3αϕ利用三点处的函数值）（1αϕ，）（2αϕ，）（3αϕ构造二次函数，并要求插值条件满足 )()(11211αϕαα=++∂=c b a q ， )()(22222αϕαα=++∂=c b a q ， )()(33233αϕαα=++∂=c b a q 。
令()()i i αϕϕ=，i=1,2,3。
解上述方程组得 ()()()()()()133221*********-------ααααααϕααϕααϕαα++=a()()()()()()133221322212212312322------ααααααϕααϕααϕαα++=b于是，二次函数()αq 的极小点为()()()()()321213132322212212312322)(-----212b -ϕααϕααϕααϕααϕααϕααα-++++==a 设()αϕϕ∆=。
求得α和ϕ以后，如果ϕϕ-2≤21ϕε，当2ϕ>2ε时， 或者如果ϕϕ-2≤1ε，当2ϕ<2ε时。
则我们认为收敛准则满足。
如果ϕ<2ϕ,则极小点估计为α，否则为2α。
若终止准则不满足，则利用α提供的信息，从1α，2α，3α和α中选出相邻的三个点，将原来的搜索区间缩小，然后重复上述过程，直到终止准则满足为止。
四、结果分析三、程序设计3.1问题分析用精确线性搜索方法进行搜索，通过取试探点和进行函数值的比较，使包含极小点的搜索区间[0,3]不断缩小，当区间长度缩短到小于终止误差0.05，区间上个点的函数值均接近极小值，从而各点可以看作为极小点的近似。
3.2 算法设计初始步 给出1α，2α，3α，满足上述设计步骤。
步1 由上述设计步骤计算α。
步2 比较α和2α的大小，如果α>2α，则转步3；否则转步4。
步3 如果ϕ≤2ϕ，则21αα⇐，αα⇐2，21ϕϕ⇐，ϕϕ⇐2， 转步5；否则αα⇐3，ϕϕ⇐3，转步5。
步4 若2ϕϕ≤，则23αα⇐，αα⇐2，23ϕϕ⇐，ϕϕ⇐2， 转步5；否则αα⇐1，ϕϕ⇐1，转步5。
步5 如果收敛准则满足，停止迭代；否则转步1，在新的搜索区间[1α，3α上按公式计算二次插值函数的极小点α。
3.3 算法框图 其中13131ααϕϕ--=c ()()12112122/ααααϕϕ----=c c()2121c c -5.0ααα+=四川理工学院《最优化方法》课程论文四、结果分析3.4 程序编制function ecczsyms x; %定义f=x^3-3*x+2; %目标函数a1=0;a2=2;a3=3; %插值区间k=0;while (abs(a3-a1)>0.05) %精度 f1=subs(f,x,a1);f2=subs(f,x,a2);f3=subs(f,x,a3);C1=(f3-f1)/(a3-a1);C2=((f2-f1)/(a2-a1)-C1)/(a2-a3);ap=0.5*(a1+a3-C1/C2);fp=subs(f,x,ap);if ap>a2;if f2>=fpa1=a2;f1=f2;a2=ap;f2=fp;elsea3=ap;f3=fp;endelseif f2>=fp;a3=a2;f3=f2;四川理工学院《最优化方法》课程论文a2=ap; f2=fp; else a1=ap; f1=fp; end end k=k+1 a=apff=subs(f,x,ap) end四、结果分析4.1 理论结果a =0,α=2,b =3第一次迭代：()0a ϕ=2,()0αϕ=4，()0b ϕ=20 代入公式求得： α=0.9 由于α<0α和()αϕ=0.029≤()0αϕ=4， 并且0-αα=1.1>ε,故继续迭代，令：1a ：=0a =0，1α：=α=0.9，1b ：=0b =2 第二次迭代：()1a ϕ=2，()1αϕ=0.029，()1b ϕ=4 带入公式求得：α=0.82759四、结果分析由于α<1α和 ()αϕ=0.08405≥()1αϕ=0.029并且1-αα=0.07241>ε，故继续迭代，令：2a ：=α=0.82759，2α：=1α=0.9，2b ：=1b =2 第三次迭代：()2a ϕ=0.08405，()2αϕ=0.029，()2b ϕ=4 代入公式求得：α=0.96577 由于α≥2α和()αϕ=0.00347≤()2αϕ=0.029并且2-αα=0.06577>ε，故继续迭代，令：3a ：=2α=0.9，3α：=α=0.96557，3b ：=2b =2 第四次迭代：()3a ϕ=0.029，()3αϕ=0.00347，()3b ϕ=4 代入公式求得：α=0.98308 由于α≥3α和()αϕ=0.000854≤()3αϕ=0.00347并且3-αα=0.01731<ε，故停止迭代，输出近似最优解：α=0.983084.2 编程结果将程序输入matlab ，运行后得如下结果：四川理工学院《最优化方法》课程论文四、结果分析从运行结果可以看出：经过四次迭代，结果已经满足精度要求，故停止迭代，得出最优解为0.9831，与理论结果相符。
五、总结提高5.1设计的优缺点优点：插值法仅需计算函数值，不涉及导数、hesse矩阵等的计算，计算起来相对比较简单，能够适用于非光滑和导数表达式复杂或表达式写不出等种种情形。
缺点：当迭代步数较多时，计算过程比较复杂，计算量较大，计算起来比较麻烦。
当迭代点离目标函数的最优解较远时，追求线性搜索的精度反而会降低整个算法的效率。
5.2 收获与启发通过对此次课程论文的撰写，使我进一步了解了逐次插值逼近法——三点二次插值法的原理及方法，能够运用matlab对算法进行实现，并能从中分析出每一次迭代的结果、迭代的次数、最终结果等；同时在平时学习的基础上进一步巩固了手工计算的方法及步骤，能够快速准确地在题中所给精度范围内计算出最优解。
三点二次插值法是精确性线性搜索中一种较好的方法，但是会存在迭代点离目标函数最优解较远时，过分追求精度反而降低了整个算法效率的问题。
因此在工作中我们可 精度要求的方法，只要求目标函数在迭代的每一步有充分的下降即以选择一些放松对k可。
这就涉及到收敛速度不依赖于精度的一些一维搜索过程，例如牛顿法、拟牛顿法等，在这里就不一一赘述了。
参考文献[1] 最优化方法/孙文瑜、徐成贤、朱德通编著. —2版.北京：高等教育出版社，2010.7(2013.11重印)[2] 三点插值与搜索逼近法确定复杂泵系统运行工况/姜及昌、陈锦章编编著中国建筑工业出版社,1986.5。