与平面向量相关的最值问题

与平面向量相关的最值问题与平面向量共线有关的最值问题是高考的热点与难点，常以中档小题、压轴小题出例题：如图，在扇形OAB 中，∠AOB ＝60°，C 为弧AB 上的一动点，若OC →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R ) ，求x ＋4y 的取值范围．变式1设点A ，B ，C 为单位圆上不同的三点，若∠ABC ＝π4，OB →＝mOA →＋nOC →(m ，n∈R )，则m ＋n 的最小值为________________．变式2如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 为以A 为圆心，AB 为半径的圆弧上的任意一点，设向量AC →＝λDE →＋μAP →(λ，μ∈R )，求λ＋μ的最小值．串讲1已知△ABC 是边长为3的等边三角形，点P 是以A 为圆心的单位圆上一动点，点Q 满足AQ →＝23AP →＋13AC →，则|BQ →|的最小值为________________．串讲2已知三角形ABC 中，过中线AD 的中点E 任作一条直线分别交边AB ，AC 于M ，N 两点，设AM →＝xAB →，AN →＝yAC →(xy ≠0)，求4x ＋y 的最小值．(2017·新课标Ⅲ卷)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，若AP →＝λAB →＋μAD →，求λ＋μ的最大值．(2018·洛阳三模)在△ABC 中，点P 满足BP →＝2PC →，过点P 的直线与AB ，AC 所以直线分别交于点M ，N ，若AM →＝mAB →，AN →＝nAC →(m ＞0，n ＞0)，求m ＋2n 的最小值．答案：3.解析：因为BP →＝2PC →，所以，AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →，4分又因为AM →＝mAB →，AN →＝nAC →，所以AP →＝13m AM →＋23n AN →，7分由于M ，P ，N 三点共线，所以13m ＋23n＝1，9分所以m ＋2n ＝13(m ＋2n)⎝⎛⎭⎫1m ＋2n ＝13⎝⎛⎭⎫1＋4＋2n m ＋2m n ≥13⎝⎛⎭⎫5＋22n m ·2m n ＝3，12分 当且仅当m ＝n ＝1时，等号成立，所以m ＋2n 的最小值为3.14分例题答案：[1，4]．解法1建立如图所示的直角坐标系，设此扇形的半径为1，∠AOB ＝60°，所以A ⎝⎛⎭⎫12，32，B(1，0)，设⎩⎨⎧x C ＝cos θ，y C ＝sin θ，⎝⎛⎭⎫θ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，因为OC →＝xOA →＋yOB →，所以(cosθ，sin θ)＝x ⎝⎛⎭⎫12，32＋y(1，0)， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2sin θ3，y ＝cos θ－sin θ3，则t ＝x ＋4y ＝4cos θ－23sin θ3，θ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，以下用导数方法求解函数t 的最值情况，因为t′＝－4sin θ－233cos θ，当θ∈⎣⎡⎦⎤0，π3时，sin θ＞0，cos θ＞0，则t′＜0，即函数t 在θ∈⎣⎡⎦⎤0，π3时是单调递减的，所以当θ＝0时，t max ＝4×1－233×0＝4，当θ＝π3时，t min ＝4×12－233×32＝1，综上所述，x ＋4y 的取值范围是[1，4]．解法2建立解法1中的直角坐标系xOy ，设此扇形的半径为1，由于∠AOB ＝60°，则A ⎝⎛⎭⎫12，32，B(1，0)，设C(m ，n)，因为C 为弧AB 上的一个动点，则m 2＋n 2＝1⎝⎛⎭⎫12≤m ≤1，0≤n ≤32，由于OC →＝xOA →＋yOB →，所以(m ，n)＝x ⎝⎛⎭⎫12，32＋y(1，0)，从而⎩⎨⎧m ＝x2＋y ，n ＝32x ，解得 ⎩⎨⎧x ＝23n 3，y ＝m －33n ，所以x ＋4y ＝233n ＋4×⎝⎛⎭⎫m －33n ＝233(23m －n)，记t ＝23m －n ，则直线l ：n ＝23m －t 过弧AB 上的点，当点l 过点B(1，0)时t 取得最大值t max ＝23，当l 过点A ⎝⎛⎭⎫12，32时，t 取得最小值t min＝32，所以x ＋4y ＝233t ∈[1，4]．解法3取OB 的四等分点(靠近点O)D ，连接AD 交OC 于点E ，设此扇形的半径为1，则|OC →|＝1，由于OC →＝xOA →＋yOB →，则OC →＝xOA →＋4y ×14OB →＝xOA →＋4yOD →，因为A ，E ，D 共线，设OE →＝λOA →＋μOD →，则λ＋μ＝1，又因为O ，E ，C 共线，设OC →＝kOE →，则OC →＝kOE →＝kλOA →＋kμOD →＝xOA →＋4yOD →，所以x ＋4y ＝k ＝|OC →||OE →|＝1|OE →|，当E ，D 重合时，|OE →|取得最小值，x ＋4y 取得最大值4；当E ，A 重合时，|OE →|取得最大值，x ＋4y 取得最小值1，所以x ＋4y ∈[1，4]．(用等和线的知识三言两语就能得出结果，用平面向量基本定理转化需要大量篇幅)．变式联想变式1 答案：－ 2. 解法1因为∠ABC ＝π4，所以∠AOC ＝π2，不妨设A(1，0)，C(0，1)，B(cos θ，sin θ)，θ∈⎝⎛⎭⎫π2，2π，则cos θ＝m ，sin θ＝nm ＋n ＝cos θ＋sin θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4≥－2，当且仅当θ＝5π4时取等号． 解法2如图，因为∠ABC ＝π4，所以∠AOC ＝π2，不妨设A(1，0)，C(0，1)，B(x ，y)(优弧上的点)，由于OB →＝mOA →＋nOC →，则(x ，y)＝m(1，0)＋n(0，1)，即x ＝m ，y ＝n ，所以m ＋n ＝x ＋y ≥－2（x 2＋y 2）＝－2，当且仅当x ＝y ＝－22时取等号．解法3如图，因为∠ABC ＝π4，所以∠AOC ＝π2，不妨设A(1，0)，C(0，1)，B(x ，y)(优弧上的点)，则|OB →|＝1，记OB 的反向延长线交AC 于点D ，则因为A ，D ，C 共线，设OD →＝λOA →＋μOC →，则λ＋μ＝1，又因为O ，D ，B 共线，设OB →＝kOD →(k ＜0)，则OB →＝kOD →＝kλOA →＋kμOC →＝mOA →＋nOC →，所以m ＋n ＝k(λ＋μ)＝k ＝－|OB →||OD →|＝－1|OD →|，当D 位于AC 中点时，|OD →|取得最小值，m ＋n 取得最小值－2，此时x ＝y ＝－22. (用等和线的知识三言两语就能得出结果，用平面向量基本定理转化需要大量篇幅) 变式2 答案：12.解法1以A 为原点，以AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，设正方形ABCD 的边长为1，则E ⎝⎛⎭⎫12，0，C(1，1)，D(0，1)，A(0，0)，设P(cos θ，sin θ)，所以AC →＝(1，1)，又AC →＝λDE →＋μAP →.故λ⎝⎛⎭⎫12，－1＋ μ(cos θ，sin θ)＝(1，1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧12λ＋μcos θ＝1，－λ＋μsin θ＝1，故⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2sin θ－2cos θ2cos θ＋sin θ，μ＝32cos θ＋sin θ，从而λ＋μ＝3＋2sin θ－2cos θ2cos θ＋sin θ＝（－2cos θ－sin θ）＋3sin θ＋32cos θ＋sin θ＝－1＋3sin θ＋32cos θ＋sin θ，记f(θ)＝－1＋3sin θ＋32cos θ＋sin θ，由题意得，0≤θ≤π2，则f(θ)＝6＋6sin θ－3cos θ（2cos θ＋sin θ）2＞0.所以f (θ)＝－1＋3sin θ＋32cos θ＋sin θ在⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递增，所以当θ＝0时，λ＋μ的最小值为12.解法2如图，设正方形边长为1，将向量DE →沿DA 平移至AF →，则DE →＝AF →，连接FP 并延长交AC 的延长线于点Q ，由于F ，P ，Q 共线，设AQ →＝xAF →＋yAP →＝xDE →＋yAP →，则x ＋y ＝1， 因为A ，C ，Q 共线，设AC →＝kAQ →，则AC →＝kAQ →＝k(xDE →＋yAP →)，又因为AC →＝λDE →＋μAP →，由平面向量基本定理得λ＝kx ，μ＝ky ，所以λ＋μ＝kx ＋ky ＝k ＝|AC →||AQ →|＝2|AQ →|，当|AQ →|最大时，λ＋μ取得最小值，此时P ，B 重合，|AQ →|＝22，所以(λ＋μ)min ＝k min ＝12.(用等和线的知识三言两语就能得出结果，用平面向量基本定理转化需要大量篇幅！) 说明：平面向量线性表示背景下的最值问题涉及平面向量的线性表示、平面向量基本定理、向量共线等知识点，解决此类问题通常是先合理设元将向量关系数量化进而得出未知元之间的关系式，再依据函数的单调性或基本不等式求目标函数的最值．解决问题的关键是目标的有效选择与合理表征，等和线在解决线性目标函数问题时，比较快捷．串讲激活串讲1 答案：7－23.解法1以A 为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y 轴，建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B ⎝⎛⎭⎫－32，－323， C ⎝⎛⎭⎫32，－323，设P(cos θ，sin θ)，AQ →＝23AP →＋13AC →＝23(cos θ，sin θ)＋ 13⎝⎛⎭⎫32，－323＝⎝⎛⎭⎫23cos θ＋12，23sin θ－32，BQ→＝BA →＋AQ →＝⎝⎛⎭⎫32，323＋⎝⎛⎭⎫23cos θ＋12，23sin θ－32＝⎝⎛⎭⎫23cos θ＋2，23sin θ＋3，则|BQ →|＝⎝⎛⎭⎫23cos θ＋22＋⎝⎛⎭⎫23sin θ＋32＝679＋437sin （θ＋α）(α是以sin α＝277， cos α＝217的非特殊角)，所以 |BQ →|＝679＋437sin （θ＋α） ≥679－437 ＝67－1279＝37－23＝7－23. 解法2如图，取AC 的三等分点D(靠近A)，则AD →＝13AC →，又AQ →＝23AP →＋13AC →，即AQ→＝23AP →＋AD →，及DQ →＝23AP →，因为点P 是以A 为圆心的单位圆上一动点，所以点Q 是以点D 为圆心，23为半径的圆上的动点，又BD ＝BC 2＋DC 2－2BC·DC cos ∠BCD ＝32＋22－2×3×2cos 60° ＝7，所以|BQ →|的最小值为7－23.串讲2 答案：94.解法1由题意可知，M ，E ，N 三点共线，故设ME →＝λMN →(0＜λ＜1)，而AE →＝12AD →＝14(AB →＋AC →)，所以ME →＝λMN →，即AE →－AM →＝λ(AN →－AM →)，即14(AB →＋AC →)－xAB →＝λ(y AC →－xAB →)，即⎝⎛⎭⎫14－x ＋λx AB →＋⎝⎛⎭⎫14－λy AC →＝0，所以⎩⎨⎧14－x ＋λx ＝0，14－λy ＝0，即⎩⎨⎧x ＝14（1－λ），y ＝14λ，故4x ＋y ＝11－λ＋14λ＝⎝⎛⎭⎫11－λ＋14λ[λ＋(1－λ)]＝λ1－λ＋1－λ4λ＋54≥2λ1－λ·1－λ4λ＋54＝94，当且仅当λ1－λ＝1－λ4λ时，即λ＝13时等号成立，故4x ＋y 的最小值是94. 解法2由于M ，E ，N 共线，设AE →＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ＝1，因为AM →＝xAB →，AN →＝yAC →，所以AE →＝λx AB →＋μy AC →，由于AD 为三角形ABC 的中线，所以AD →＝12AB →＋12AC →，又因为E 为AD 中点，所以AE →＝12AD →＝14AB →＋14AC →＝λx AB →＋μy AC →，所以⎩⎨⎧λx ＝14，μy ＝14，且λ＋μ＝1，所以1x ＋1y ＝4(xy ≠0)，所以4x ＋y ＝14×(4x ＋y)⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ＝ 14⎝⎛⎭⎫4＋1＋4x y ＋y x ≥14×⎝⎛⎭⎫5＋24x y ×y x ＝94，当且仅当x ＝38，y ＝34时取得等号．所以4x ＋y 的最小值是94.新题在线答案：3.解析：如图，建立平面直角坐标系，设A(0，1)，B(0，0)，C(2，0)，D(2，1)，P(x ，y)．根据等面积公式可得圆的半径r ＝25，即圆的方程是(x －2)2＋y 2＝45，AP →＝(x ，y －1)，AB →＝(0，－1)，AD →＝(2，0)，若满足AP →＝λAB →＋μAD →，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2μ，y －1＝－λμ＝x 2，λ＝1－y ，所以λ＋μ＝x 2－y ＋1，设z ＝x 2－y ＋1，即x2－y ＋1－z ＝0，点P(x ，y)在圆(x－2)2＋y2＝45上，所以圆心到直线的距离d≤r，即|2－z|14＋1≤25，解得1≤z≤3，所以z的最大值是3，即λ＋μ的最大值是3.。