力学三个守恒定律及其成立的条件

有关机械能守恒定律的一些看法

古春红

摘要：机械能守恒定律是自然界中普遍存在的规律，也是中学物理知识考查中的重点。在对能量守恒定律的理解和应用中，存在一些容易混淆的问题。本文就这些疑问，从机械能守恒定律的成立条件、适用范围加以分析，希望能澄清这些问题。

关键字：机械能守恒 保守系 保守力 非保守力 能量的相对性

一．问题的提出

能量守恒定律是自然界中普遍存在的规律，从宏观低速物体到微观高速的微粒，都符合能量守恒定律。能量的形式多种多样，有动能、势能、核能、热能等等，因此能量守恒定律可以具体到某种形式的能量的守恒律，比如在机械运动中的机械能守恒定律。机械能与我们的生活最接近，最容易感受到，同时它也是中学物理教学中的一个重点，是中学物理知识考查的重头戏。由于中学生对机械能守恒律理解得不深入，常常不顾机械能守恒定律的成立条件而妄加应用，又或把机械能守恒的条件和动量守恒的条件混为一谈。学生中还会提出这样的问题：既然一个物体的速度大小与选择的参考系有关，那么物体的动能大小也跟参考系的选择有关、机械能守恒定律成立的条件也跟参考系有关吗？一个物体在外力作用下在粗糙的水平面上匀速运动，那么它的机械能守恒吗？对此，我们有必要对机械能守恒定律的成立条件、适用范围以及一些有争议的问题做一做辨析。

二．有关机械能守恒定律

赵凯华、罗蔚茵主编的《新概念物理教程——力学》中提到机械能守恒定律的内容为：一个保守系总机械能的增加等于（未计入外场部分的）外力对它所作的功；如果从某个参考系看来，这部分外力做功为零，则该系统的机械能不变。

这里需要理解的关键字有：保守系、外力做功、从某个参考系看来。搞清楚了这几个关键字，那么前面提出的问题自然就解决了。

下面下先从理论上推导关于保守系的机械能守恒的条件。

对于单个质点，其动能的增量和力对它做功的关系式可以表示为：

dE k ＝d （mv 2/2）＝f •dr ＝d A ，

式中dA 代表力f 对它做的元功，dE k 代表其动能的增加。把此式运用到一个物体系，该物体系由若干个相互作用着的物体（质点）组成，并用脚标i 标记第i 个质点，对i 求和：

∑∑∑∑==∙===i

i i i i i i 2i i ki k dA dA dr )v m 21(

d dE dE f 式中，∑∑==i

i 2i i ki k v m 21E E 为系统的总动能，dA 是对系统内所有质点所做的元功。下面讨论dA 。

系统内的质点i 所受的力f i 可以分解为内力和外力：

f i =f i 外＋f i 内

而 ∑≠=i j ij i f

f 内

从而元功可以分解为内力的功和外力的功：

dA=dA 外＋dA 内

对于内力的功，把它写成对系统内质点i 、j 对称的形式，再利用牛顿第三定律：

r ij r i r j o 图1 ∑∑∑∑∑

≠≠≠≠∙=-∙=∙+∙=∙=i j )

j i (j ,i j i j i ij ij j i ij j ji i ij i ij i dr f 21)r r (d f 21)dr f dr f (21dr f dA 内 式中r ij ≡r i －r j 为质点i 相对质点j 的位矢（见图1）

我们进一步把内力f ij 分解为保守部分f ij c 和非保守部分f ij D .

保守力和非保守力的概念。沿任意闭合回路作功（或者说，抵抗它作功）为零的力，叫做保守力，其所做的功仅跟质点的始末位置有关，且与某种势能的增减相对应；否则，就是非保守力，非保守力做功没有与势能相对应。重力和弹力都是保守力，摩擦力为非保守力。保守内力的功等于相互作用势能U （r ij ）的减少：

∑∑≠≠-=-=∙=j i j

i p ij ij c ij c dE )r (dU 21dr f 21dA 内内 式中∑≠=

j i ij P )r (U 21E 内为系统内质点间的相互作用势能总和，即系统的总内势能。 对于外力做功：在很多场合下，人们一般不再把外力做功dA 外作进一步的分解。不过

在有保守外场的情况下，还是经常把它分解成C dA 外和 D dA 外两部分。所谓“外场”，是指产

生这种力场的外部物体非常庞大，内部质点的反作用力对它运动状态的影响可以忽略（比如对于地面上的物体，地球的引力场可以看作矢外场）。如果外场是保守的，则它对系统的内部质点i 所做的功可以写成势能减少的形式：f i C •d r i ＝－dU 外（r i ），

∑∑-=-=∙=i i

p i i C i C dE )r (dU dr f dA 外外外

式中∑=i i P )r (U

E 外外为系统内各质点的外势能总和，即总外势能。

至于D dA 外就是dA 外中除了C dA 外外的其余部分，它不可用势能的减少来表达，或者由

于某种考虑本可以用而不用势能的减少来表达。

综上所述，

D D p D D p p D D C C dA

dA dE dA dA dE dE dA dA dA dA dA 外内外内外内外内外内++-=++--=+++= 式中E p ＝E p 内＋E p 外为系统的总势能，又因为dE k ＝dA ，上式可以变为：

d （E k ＋E p ）＝D D dA dA 外内+

对于保守系（即使所有非保守内力都不做功的系统）有：0dA D

=内

于是对于保守系有：d （E k ＋E p ）＝D dA 外

如果在某个参考系内有0dA D =外，则 d （E k ＋E p ）=0，或

E k ＋E p =常量E

m 1

m 2 图2

这便是机械能守恒定律。我们也得到了机械能守恒的条件：对于保守系的每一个元过程，外力做的总功为零，保守内力做功为零，则每一个瞬间，机械能为一个恒量。对此，还需要作以下的补充说明：

1．对于保守系，即是所有非保守内力都不做功的系统。注意这里的“所有的非保守内力都不做功”不包括非保守内力做的总功为零的情况。比如，一个球在静摩擦力的作用下从斜面上滚下来，摩擦力不做功，则球和斜面是保守系；若一部机器在发动机的推动下克服阻力匀速转动，虽然非保守力做功的总和为零，但是该系统不能看作是保守系。因为该系统的非保守力一个做了正功，一个做了负功。

2．非保守力包括摩擦力、阻力等，其做功会使得机械能转化为热能；还包括爆炸力等，其做功会使得其他形式的能量向机械能转化。换句话说，机械能守恒就是能量在动能和势能间转化，而没有与其他形式的能量转化。

3．机械能守恒的条件要求保守系的外力做功为零，不是要求每一个外力做功为零，而只要每个外力做功的代数和为零即可。

4．机械能守恒的条件要求外力做功和非保守内力做功分别为零，而不是两者的代数和为零。否则，这时候该系统已经不是保守系了，因为非保守内力做功不为零，讨论机械能是否守恒已经没有意义了。

5．机械能是否守恒跟参考系的选择有关。内力做功只是与系统内质点间的相对位移有关，从而与参考系的选择无关。然而对于外力，选择不同的参考系做伽利略变换时，

d r i `＝d r i －v dt ，f i `＝f i ，于是

∑∑∙-=-∙=∙=i i

i i i i i vdt f dA )vdt dr f `dr `f `dA 外外外外外（

上式表明，dA 外是否为零与参考系的选择有关。

6．机械能是否守恒，跟选择的保守系中的物体的范围有关。如图2所示，一条不可伸长的的轻绳将m 1和m 2绕过定滑轮系于两边，不计绳子和滑轮间的摩擦力，m 1>m 2。如果但对于m 1和地球这个系统，机械能不守恒，因为有绳子对m 1的力做了负

功。但若选择m 1、m 2和地球这个系统，因为绳子对m 1、m 2的力所做

的功等大，符号相反，即外力做的总功为零，则机械能守恒。

三．机械能守恒定律在中学教学中的解读

在中学阶段，机械能守恒定律是非常重要的一个知识点，学生对一些稍微复杂些的系统要判断其机械能是否守恒便出现困难。 1．中学教材对机械能守恒定律的表述

在中学教材中，编者总是把原理、规律用最简洁最通俗的语言表述出来。高中教材1对机械能守恒定律的表述为：在只有重力做功的情形下，物体动能和重力势能发生相互转化，但机械能的总量保持不变。教材后面还补充了动能和弹性势能转化的情况。这种表述，暗含了将物体和地球作为一个系统，而且选择的参考系就是地球。“动能和势能发生相互转化”，即是说，没有机械能和其他形式的能量的转化。

2．易错问题的释疑

本文开头提到的几个问题，现在可以很容易地作出解析了。

（1）一个物体在推力作用下在粗糙的水平面上匀速运动，那么它的机械能守恒吗?这个问题可以从两个角度分析：首先，对于该物体和地球构成的系统本身就不是保守系，因为有非保守内力（摩擦力）做了功，故机械能不守恒；或者认为，这个系统有机械能的的输出和输入：由于摩擦力做了负功，有一部分机械能转化为内能；同时又由于其他的非保守力（此处是推力）做功使得系统的机械能增加，虽然机械能的输入和输出平衡，但不能认为机械能守恒，只能叫做机械能的总量不变。