62 线性分组码
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线性分组码定义
•2k长度为n，有2k个码字的分组码，当且仅当这个码字是GF(2)上n维矢量空间（所有n 重）的一个k维子空间时，称为(n,k)线性分组码，简称(n,k)码。
等于非零码字的最小重量
最小汉明距离d
由于k维子空间是在模2加法下运算的，构
成了一个加法交换群，所以线性分组码也称为群码。
生成矩阵
线性分组码是GF(2)上n 维空间中的一个k 维子空间，因此它可以由k 个线性无关n 维矢量完全确定。由于这组矢量的所有线性组合给出了码C 中的任一个码字，称生成码C 。
{}110,,,−k g g g "C 中任何一组基底所构成的矩阵G 称作码C 的生成矩阵
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
⎤
⎢
⎢⎢⎢⎣⎡=
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=−−−−−−−−−×1,11
,11
,11,11,10,11,01,00,0110n k n k n k n n k n
k g g g g g g
g g g "#"##""
#g g g G
生成矩阵
对于任何一个给定的信息序列，可指定
),,,(110−=k m m m "m G m c ⋅=⎥⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=−−1101
10),,,(k k m m m g g g #"作为相应的码字。
G 矩阵的每一行都是一个码字矢量，分别对应信息位为
(10…0),(010…0)…(00…01)时的码字。
(n,k )码的n -重矢量空间中的一个k 维子空间的基底可以有多个，因此可以有不同的生成矩阵G ，但都产生相同的码组。
例题
设二元（5,3）码，其生成矩阵为
将其化为标准形式？
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111110*********G
一致校验矩阵
与任何一个(n,k )码的码空间C 相对应，一定存在一个对偶空间D ，它的每个矢量都与C 中的每个矢量正交，其维数为n-k 。
事实上，若找出生成空间D 的基底（n -k 个）用这n -k 个
矢量同样可以生成包含个码字的(n,n -k )线性分组码，我们称其(n,k )码的对偶码，生成矩阵为
k
n −2⎥
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢
⎢⎢⎢⎣⎡=
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=−−−−−−−−−−−1,11
,10
,11,11,10,11,01,00,0110n k n k n k n n n k n h h h h h h
h h h "#
"
###"#h h h H
一致校验矩阵
由对偶空间的定义知，有对任意的C
c ∈0
cH T
=即H 可以检验一个n 重是否为码字，称H 为码C 的一致校验矩阵。
⎥
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢
⎢⎢⎢⎣⎡=
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=−−−−−−−−−−−1,11
,10
,11,11,10,11,01,00,0110n k n k n k n n n k n h h h h h h
h h h "#
"
###"#h h h H
典型一致校验矩阵
⎥
⎥
⎥⎥⎦⎤
⎢
⎢⎢⎢⎣⎡=
−−−−−−−−−−−−−−100000100011,11
,11
,11,11,10,11,01,00,0""%"""#"##"
"
k n k n n k n n k n k n k n h h h h h h
h h h H 系统码的一致校验矩阵为
即H=[P I r ],
其中，I r 为r ×r 单位阵，P 为r ×k 矩阵。
一致校验矩阵与生成矩
阵之间的关系
由于生成矩阵每一行都是一个码字，因此应当满足一致校验矩阵所规定的校验关系，即应当有：
GH T=0
或者
HG T=0
因此H与G互为正交矩阵，说明G和H的行空间互为零化空间。
一致校验矩阵与生成矩阵之间的关系
对于系统码，已知校验矩阵H 就可以确定典型生成矩
阵G ，反之，已知生成矩阵也就可以确定校验矩阵。
(),0T
k k k n k G I Q GH ××−⎡⎤==⎣⎦
()()()()()()0k n k k k k n k k n k k n k n k n k Q I Q Q Q I
×−××−×−×−−×−⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦()()()k n k T
n k n k Q H I ×−−×−⎡⎤=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
()
()(),T
k n k n k n k H Q I ×−−×−⎡⎤=⎣
⎦
例题
【例】设二元(7,4)码的生成矩阵为
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡=1011000
111010011000100110001G 求其一致校验矩阵？
【例】设二元(5,3)码，其生成矩阵为
⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=111110*********G 求其一致校验矩阵？
线性分组码编码
•线性分组码的编码过程分为两步：
–把信息序列按一定长度分成若干信息码组，每组由k 位组成；
–编码器按照预定的线性规则，把信息码组变换成n
重(n>k) 码字。
•信息码组长k 位，有2k 个不同的信息码组，则有2k 个码字与它们一一对应。