苏科版平行四边形专题(题型详细分类全)

特殊的平行四边形讲义

知识点归纳

四边形分类专题汇总

专题一：特殊四边形的判定 【知识点】

1.平行四边形的判定方法：

（1）______________ （2）______________ （3）______________ （4）______________ （5）______________ 2.矩形的判定方法：

（1）______________ （2）______________ （3）______________ 3.菱形的判定方法：

（1）

______________

（2）______________ （3）______________ 4.正方形的判定方法：

（1）______________ （2）______________ （3）______________

5.等腰梯形的判定方法：

（1）______________ （2）______________ （3）______________

【练一练】

一．选择题

1．能够判定四边形ABCD是平行四边形的题设是（）．

A．AB∥CD，AD=BC B．∠A=∠B，∠C=∠D

C．AB=CD，AD=BC D．AB=AD，CB=CD

2．具备下列条件的四边形中，不能确定是平行四边形的为（）．

A．相邻的角互补 B．两组对角分别相等

C．一组对边平行，另一组对边相等 D．对角线交点是两对角线中点

3.下列条件中，能判定四边形是平行四边形的条件是( )

A.一组对边平行，另一组对边相等

B.一组对边平行，一组对角相等

C.一组对边平行，一组邻角互补

D.一组对边相等，一组邻角相等

4．如下左图所示，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列判断正确的是（）． A．若AO=OC，则ABCD是平行四边形;

B．若AC=BD，则ABCD是平行四边形;

C．若AO=BO，CO=DO，则ABCD是平行四边形;

D．若AO=OC，BO=OD，则ABCD是平行四边形

5．不能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是（）

A．AB=CD，AD=BC B．AB∥CD，AB=CD

C．AB=CD，AD∥BC D．AB∥CD，AD∥BC

6.四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，能判断它为矩形的题设是（）

A．AO=CO，BO=DO B．AO=BO=CO=DO

C．AB=BC，AO=CO D．AO=CO，BO=DO，AC⊥BD

7.四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（）

A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD

8.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，下列条件能判定这个四边形是正方形的是（）

A、AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD

B、AD∥BC，∠A＝∠C

C、AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD

D、AC＝CO，BO＝DO，AB＝BC

9.在下列命题中，真命题是（）

Ａ．两条对角线相等的四边形是矩形Ｂ．两条对角线互相垂直的四边形是菱形

Ｃ．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形

Ｄ．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

10.在下列命题中，正确的是（）

A一组对边平行的四边形是平行四边形B有一个角是直角的四边形是矩形

C有一组邻边相等的平行四边形是菱形D对角线互相垂直平分的四边形是正方形

11.如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A ．当AB=BC 时，它是菱形 B ．当AC ⊥BD 时，它是菱形

C ．当∠ABC=900时，它是矩形

D ．当AC=BD 时，它是正方形

12.如图，在ABC △中，点E D F ，，分别在边AB ，BC ，CA 上，且DE CA ∥，DF BA ∥．下列四个判断中，不正确．．．

的是（ ） A ．四边形AEDF 是平行四边形 B ．如果90BAC ∠=o ，那么四边形AEDF 是矩形 C ．如果AD 平分BAC ∠，那么四边形AEDF 是菱形

D ．如果AD BC ⊥且AB AC =，那么四边形AEDF 是菱形 13.下列条件中不能判定四边形是正方形的条件是（ ）。 A 、对角线互相垂直且相等的四边形 B 、一条对角线平分一组对角的矩形 C 、对角线相等的棱形 D 、对角线互相垂直的矩形 14.下列命题中，假命题是（ ）。

A 、四个内角都相等的四边形是矩形

B 、四条边都相等的平行四边形是正方形

C 、既是菱形又是矩形的四边形是正方形

D 、对角线互相垂直的平行四边形是菱形 15.在四边形中，是对角线的交点，能判定四边形是正方形的条件是（ ）。 A 、，

B 、，

C 、，

D 、，， 16.下列命题正确的是（ ）

A ．对角线相等且互相平分的四边形是菱形

B ．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形

C ．对角线相等且互相平分的四边形是矩形

D ．对角线相等的四边形是等腰梯形 17.如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A 、当AB=BC 时，它是菱形 B 、当AC ⊥BD 时，它是菱形 C 、当∠ABC=90°时，它是矩形 D 、当AC=BD 是，它是正方形 18.顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是 （ ）

A.等腰梯形

B.正方形

C.平行四边形

D.矩形

一．矩形

例1：若矩形的对角线长为8cm ，两条对角线的一个交角为600

，则该矩形的面积为

例2：菱形具有而矩形不具有的性质是 （ ）A ． 对角线互相平分； B.四条边都相等； C.对角相等；D.邻角互补 例3： 已知：如图， □ABCD 各角的平分线分别相交于点E ，F ，G ，?H ，求证：?四边形EFGH 是矩形．

ABCD O BD AC =CD

AB //BC AD //C A ∠=∠DO CO BO AO ===BD AC ⊥CO AO =DO BO =BC AB = D C B A Ａ

Ｆ

Ｃ Ｄ Ｂ Ｅ

A

二．菱形

例1已知：如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．求证：四边形AFCE是菱形．

例2、已知如图，菱形ABCD中，E是BC上一点，AE 、BD交于M，若AB=AE,∠EAD=2∠BAE。求证：AM=BE。

例3（中考题）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°,=4,O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．

求线段的长．

例4、如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥AB交BA的延长线于E，DF⊥BC，交BC的延长线于F。请你猜想DE与DF的大小有什么关系？并证明你的猜想

AB

BE

B M

A

D

C

E

D

B

C

O

60

例5、如图，菱形ABCD的边长为2，BD=2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF=2.

（1）求证：△BDE≌△BCF；

（2）判断△BEF的形状，并说明理由；

（3）设△BEF的面积为S，求S的取值范围.

三．正方形

例1、（2011海南）如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB.

（1）求证：①PE=PD；②PE⊥PD；

（2）设AP=x, △PBE的面积为y.

①求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；

②当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值.

专题二：矩形的有关线段计算

1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，已知0

120

AOD

∠=，AB=2.5，则AC的长为。

2. 如图，将矩形纸ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，若EH＝3厘米，EF＝4厘米，则边AD的长是___________厘米.

3. 如图，矩形中，过对角线交点作交于则的长是（）

A．1.6 B．2.5 C．3D．3.4

4. 如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为（）

A．1 B．C．D．2

ABCD35

AB BC

==

，．O OE AC

⊥AD E，AE

3

4

2

3

A

B C

P

D

E

A′

G

D C

A

5. 将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、EF为折痕，∠BAE＝30°，AB＝，折叠后，点C落在AD边上的C1处，并且点B落在EC1边上的B1处．则BC的长为（）．

A、B、2 C、3 D、

6. 如图矩形纸片ABCD，AB＝5cm，BC＝10cm，CD上有一点E，ED＝2cm，AD上有一点P，PD＝3cm，过P作PF

⊥AD交BC于F，将纸片折叠，使P点与E点重合，折痕与PF交于Q点，则PQ的长是_________cm.

7. 把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若AB = 3 cm，BC = 5 cm，则重叠部分△DEF的面积是 cm2．

8. 如图(十二)，长方形ABCD中，E为BC中点，作AEC

∠的角平分线交AD于F点。若AB＝6，AD＝16，则FD 的长度为（）

A．4 B．5 C．6 D．8

9.如图，将长8cm，宽4cm的矩形纸片ABCD折叠，使点A与C重合，则折痕EF的长为_____cm.

10.如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2cm，点E在BC上，且AE＝CE．若将纸片沿AE折叠，点B恰好与AC上的点B1重合，则AC＝cm．

专题三：菱形的有关线段计算

1. 已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4∶3，则这个菱形的面积是（）

A．12cm2 B．24cm2C．48cm2D．96cm2

2. .若一个菱形的边长为2，则这个菱形两条对角线的平方和为（）

A 16

B 8

C 4

D 1

3.如图，P是菱形ABCD对角线BD上一点，PE⊥AB于点E，PE＝4cm，则点P到BC的距离是_________cm.

4. 菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，则△AEF的周长为（）A．3

2 B．3

3 C．3

4 D．3

5. 已知菱形ABCD的面积是2

12cm，对角线4

AC=cm，则菱形的边长是__________cm；

6. 菱形ABCD中，AE垂直平分BC，垂足为E，4cm

AB=．那么，菱形ABCD的面积是，对角线BD的长是．

7. 已知菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD=120°，AC=4，则该菱形的面积是（）

A、163

B、16

C、83

D、8

3

33

2

F

A

D

E

B

C

A

D

E

B

8. 如图为菱形ABCD与△ABE的重迭情形，其中D在BE上．若AB=17，BD=16，AE=25，则DE的长度为何（）

A、8

B、9

C、11

D、12

9.如图所示，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形ABCD，若AD=6cm，∠ABC=60°，则四边形ABCD的面积等于cm2．

专题四：正方形的有关线段计算

1. 如图，正方形纸片ABCD的边长为1，M、N分别是AD、BC边上的点，将纸片的一角沿过点B的直线折叠，使A 落在MN上，落点记为A′，折痕交AD于点E,若M、N分别是AD、BC边的中点，则A′N=;

2. 如图，正方形ABCD的边长为1cm，E、F分别是BC、CD的中点，连接BF、DE，则图中阴影部分的面积是

cm2．

3. 如图，将边长为8㎝的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN 的长是（）

A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm

4. 如图,四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连结AG，点E、F分别在AG上，连接BE、

DF，∠1=∠2 ，∠3=∠4. （1）证明：△AB E≌△DAF；（2）若∠AGB=30°，求EF的长.

A'

N

M

B

C

A D

E

N

M

F

E

D

C

B

A

题3

A

B

D

E

F

1

4

2

3

5. 如图，四边形ABCD 是边长为9的正方形纸片，将其沿MN 折叠，使点B 落在CD 边上的B '处，点A 对应点为A '，且3B C '=，则AM 的长是B

A ．1.5 Ｂ．2 Ｃ．2.25 Ｄ．2.5

专题五：有关特殊四边形的角度计算

1. 如图，已知P 是正方形ABCD 对角线BD 上一点，且BP = BC ，则∠ACP 度数是 ．

2. 如图，，矩形的顶点在直线上，则 度．

3.如图，在菱形ABCD 中，，AD 的垂直平分线交对角线BD 于点P ，垂足为E ，连接CP ，则________度．

4. 如图，在菱形ABCD 中，∠A =110°，E ，F 分别是边AB 和BC 的中点，EP ⊥CD 于点P ，则∠FPC =（ ） A ．35° B ．45° C ．50° D ．55°

5. 如图19，将矩形纸片ABCD 折叠，使点D 与点B 重合，点C 落在点C ′处，折痕为EF ，若∠ABE ＝20°，那么∠EFC ′的度数为 度．

6. 如图，已知矩形纸片，点是的中点，点是上的一点，，现沿直线将纸片折

叠，使点落在约片上的点处，连接，则与相等的角的个数为（ ） A.4 B. 3 C.2 D.1

l m ∥ABCD B m α∠=72ADC ∠=o

CPB ∠=ABCD E AB G BC ?

>∠60BEG EG B H AH BEG ∠

B C

D A P

D

A

B C m

l

65°

D C

B

A E P

A D

E P C

B

F

四边形动点专题：

专题一：证明与计算

与中点相关的证明，或构造平行四边形将条件集中，或构造出中位线等等。

1.如图l ，在四边形A8CD 中，AB=CD ，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，连结EF 并延长,分别与BA 、CD 的延长线交于点M 、N ，则∠BME=∠CNE(不需证明)．

(温馨提示：在图1中，连结BD ，取BD 的中点H ，连结HE 、HF ，根据三角形中位线定理，可证得HE=HF ，从而∠HFE=∠HEF ，再利用平行线的性质，可证得∠BME=∠CNE ．)

问题一：如图2，在四边形ADBC 中，AB 与CD 相交于点O ，AB=CD ，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，连结EF ，分别交DC 、AB 于点M 、N ，判断△OMN 的形状，请直接写出结论．

问题二：如图3，在△ABC 中，AC>AB ，D 点在AC 上，AB=CD ，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，连结EF 并延长，与BA 的

延长线交于点G ， 若∠EFC=600

，连结GD ，判断△AGD 的形状并证

明．

2.在图1至图3中，点B 是线段AC 的中点，点D 是线段CE 的中点．四边形BCGF 和CDHN 都是正方形．AE 的中点是M ． （1）如图1，点E 在AC 的延长线上，点N 与点G 重合时，点M 与点C 重合， 求证：FM = MH ，FM⊥MH ；

（2）将图1中的CE 绕点C 顺时针旋转一个锐角，得到图2，求证：△FMH 是等腰直角三角形； （3）将图2中的CE 缩短到图14-3的情况，△FMH 还是等腰直角三角形吗？

A

C B D

F

E N

M O E B C D

H A F N M 1 2 图1

图2 图3

A

B

C D

F G

E G

F G

3.已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF ⊥BD 交BC 于F ，连接DF ，G 为DF 中点，连接EG ，CG ．

（1）求证：EG=CG ；

（2）将图①中△BEF 绕B 点逆时针旋转45o，如图②所示，取DF 中点G ，连接EG ，CG ．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

（3）将图①中△BEF 绕B 点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过

观察你还能得出什么结论？

4.已知：在Rt △ABC 中，AB=BC ，在Rt △ADE 中，AD=DE ，连结EC ，取EC 的中点M ，连结DM 和BM ． （1）若点D 在边AC 上，点E 在边AB 上且与点B 不重合，如图①，探索BM 、DM 的关系并给予证明；

（2）如果将图①中的△ADE 绕点A 逆时针旋转小于45°的角，如图②，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，

请举出反例；如果成立，请给予证明．

F B

A D C

E G

图①

F

B

A D C

E

G

图②

D F

A C

E

图③

图②

M D B

A C E 图①

M D B A C E