三角函数和向量综合题

三角函数和向量综合题

1、设向量a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，c ＝(cos β，－4sin β)．

(1)若a 与b －2c 垂直，求tan(α＋β)的值；

(2)求|b ＋c|的最大值；

(3)若tan αtan β＝16，求证：a∥b.

2、已知向量()cos ,sin m θθ=和()

2sin ,cos n θθ=

-，[],2θππ∈ （1）求m n +的最大值； （2）当825m n +=时，求cos 28θπ⎛⎫+ ⎪⎝⎭

的值。 3、已知向量()1,1m =，向量n 与向量m 的夹角为34π，且1m n =-， （1）求向量n ；

（2）若向量n 与向量(1,0)q =的夹角为2π，向量2cos ,2cos 2C p A ⎛⎫= ⎪⎝

⎭，其中,,A B C 为ABC ∆的内角，且2B=A+C ，求n p +的取值范围。

4、已知向量)21,sin (--=→

θa m ，)cos ,21(θ=→n ． （1）当2

2=a ，且→→⊥n m 时，求θ2sin 的值； （2）当0=a ，且→m ∥→

n 时，求θtan 的值．

5、已知→a ＝(cos x ＋sin x ，sin x )，→b ＝(cos x －sin x ，2cos x ).

（1）求证：向量→a 与向量→b 不可能平行；

（2）若f (x )＝→a ·→b ，且x ∈[－π4,π4]时，求函数f (x )的最大值及最小值． 6、()f x a b =⋅，其中向量(,cos 2)a m x =，(1sin 2,1)b x =+，x R ∈，且函数()y f x =的图象经过点(,2)4π

．

（Ⅰ）求实数m 的值；

（Ⅱ）求函数()y f x =的最小值及此时x 值的集合。

7、设向量(sin ,cos ),(cos ,cos ),a x x b x x x R ==∈，函数()()f x a a b =⋅+.

（Ⅰ）求函数()f x 的最大值与最小正周期；

（Ⅱ）求使不等式3()2

f x ≥成立的x 的取值集合。

8、设函数()()f x a b c =⋅+，其中向量(sin ,cos ),(sin ,3cos )a x x b x x =-=-，

(cos ,sin ),c x x x R =-∈．

（Ⅰ）求函数()x f 的最大值和最小正周期；

（Ⅱ）将函数()x f y =的图像按向量d 平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心

对称，求长度最小的d ．

9、已知向量(sin ,1),(1,cos ),22a b ππθθθ==-

<<．

（Ⅰ）若a b ⊥，求θ； （Ⅱ）求a b +的最大值．

10、将π2cos 36x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象按向量,24π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭

a 平移，则平移后所得图象的解析式为（ ）

Ａ．2cos 234x y π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ Ｂ．π2cos 234x y ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭

Ｃ．π2cos 2312x y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ Ｄ．π2cos 2312x y ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ 11、在△ABC 中，A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知向量→m ＝(1，2sin A )，→n ＝(sin A ，1＋cos A )，满足→m ∥→n ，b ＋c ＝3a .

(1)求A 的大小；

(2)求sin(B ＋π6)的值。

12、 已知角A ，B ，C 是△ABC 三边a ，b ，c 所对的角，m ＝⎝⎛⎭⎫－cos A 2，sin A 2，n ＝⎝⎛⎭⎫cos A 2，sin A 2，a ＝23，且m ·n ＝12

. (1)若△ABC 的面积S ＝3，求b ＋c 的值；

(2)求b ＋c 的取值范围．

13、已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫3sin x 4，1，n ＝⎝⎛⎭⎫cos x 4，cos 2x 4. (1)若m ·n ＝1，求cos ⎝⎛⎭⎫2π3－x 的值；

(2)记f (x )＝m ·n ，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求函数f (A )的取值范围。