(九)——电磁感应中的含容电路分析

微讲座(九)——电磁感应中的含容电路分析

一、电磁感应回路中只有电容器元件

这类问题的特点是电容器两端电压等于感应电动势，充电电流等于感应电流．

(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)如图，两条平行导轨所在平面与水平地面的夹角为

θ，间距为L .导轨上端接有一平行板电容器，电容为C .导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B ，方向垂直于导轨平面．在导轨上放置一质量为m 的金属棒，棒可沿导轨下滑，且在下滑过程中保持与导轨垂直并良好接触．已知金属棒与导轨之间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g .忽略所有电阻．让金属棒从导轨上端由静止开始下滑，求：

(1)电容器极板上积累的电荷量与金属棒速度大小的关系； (2)金属棒的速度大小随时间变化的关系．

[解析] (1)设金属棒下滑的速度大小为v ，则感应电动势为E ＝BLv ① 平行板电容器两极板之间的电势差为U ＝E ②

设此时电容器极板上积累的电荷量为Q ，按定义有C ＝Q U

③

联立①②③式得Q ＝CBLv . ④

(2)设金属棒的速度大小为v 时经历的时间为t ，通过金属棒的电流为i .金属棒受到的磁场的作用力方向沿导轨向上，大小为F 安＝BLi ⑤

设在时间间隔(t ，t ＋Δt )流经金属棒的电荷量为ΔQ ，据定义有i ＝ΔQ

Δt

⑥

ΔQ 也是平行板电容器两极板在时间间隔(t ，t ＋Δt )增加的电荷量．由④式得：ΔQ ＝CBL Δv ⑦

式中，Δv 为金属棒的速度变化量．据定义有a ＝Δv

Δt

⑧

金属棒所受到的摩擦力方向斜向上，大小为F f ＝μF N ⑨ 式中，F N 是金属棒对导轨的正压力的大小， 有F N ＝mg cos θ ⑩

金属棒在时刻t 的加速度方向沿斜面向下，设其大小为a ，根据牛顿第二定律有mg sin θ－F 安－F f ＝ma ⑪

联立⑤至⑪式得a ＝m sin θ－μcos θ

m ＋B 2L 2C

g ⑫

由⑫式及题设可知，金属棒做初速度为零的匀加速运动．t 时刻金属棒的速度大小为v ＝m sin θ－μcos θ

m ＋B 2L 2C

gt .

[答案] (1)Q ＝CBLv (2)v ＝m sin θ－μcos θ

m ＋B 2L 2C

gt

[总结提升] (1)电容器的充电电流用I ＝ΔQ Δt ＝C ΔU

Δt

表示．

(2)由本例可以看出：导体棒在恒定外力作用下，产生的电动势均匀增大，电流不变，所受安培阻力不变，导体棒做匀加速直线运动．

二、电磁感应回路中电容器与电阻并联问题

这一类问题的特点是电容器两端的电压等于与之并联的电阻两端的电压，充电过程中的电流只是感应电流的一支流．稳定后，充电电流为零．

如图所示，质量为M 的导体棒ab ，垂直放在相距为l 的平行光滑金属导轨上，导

轨平面与水平面的夹角为θ，并处于磁感应强度大小为B 、方向垂直于导轨平面向上的匀强磁场中．左侧是水平放置、间距为d 的平行金属板，R 和R x 分别表示定值电阻和滑动变阻器的阻值，不计其他电阻．

(1)调节R x ＝R ，释放导体棒，当导体棒沿导轨匀速下滑时，求通过导体棒的电流I 及导体棒的速率v .

(2)改变R x ，待导体棒沿导轨再次匀速下滑后，将质量为m 、带电荷量为＋q 的微粒水平射入金属板间，若它能匀速通过，求此时的R x .

[解析] (1)对匀速下滑的导体棒进行受力分析如图所示． 导体棒所受安培力F 安＝BIl ① 导体棒匀速下滑， 所以F 安＝Mg sin θ②

联立①②式，解得I ＝Mg sin θ

Bl

③

导体棒切割磁感线产生感应电动势E ＝Blv ④ 由闭合电路欧姆定律得I ＝

E

R ＋R x

，且R x ＝R ，所以

I ＝E 2R

⑤

联立③④⑤式，解得v ＝2MgR sin θ

B 2l

2

. (2)由题意知，其等效电路图如图所示．

由图知，平行金属板两板间的电压等于R x 两端的电压．

设两金属板间的电压为U ，因为导体棒匀速下滑时的电流仍为I ，所以由欧姆定律知

U ＝IR x ⑥

要使带电的微粒匀速通过，则mg ＝q U d

⑦

联立③⑥⑦式，解得R x ＝

mBld

Mq sin θ

.

[答案] (1)Mg sin θBl 2MgR sin θB 2l 2

(2)mBld

Mq sin θ

[总结提升] 在这类问题中，导体棒在恒定外力作用下做变加速运动，最后做匀速运动．

1．(单选)如图所示，两光滑平行金属导轨间距为L ，直导线MN 垂直跨在导轨上，且与导轨接触良好，整个装置处在垂直于纸面向里的匀强磁场中，磁感应强度为B .电容器的电容为C ，除电阻R 外，导轨和导线的电阻均不计．现给导线MN 一初速度，使导线MN 向右运动，关于最终状态的判断，正确的是( )

A ．电容器两端的电压为零

B ．电容器所带电荷量为零

C ．MN 做匀速运动

D ．MN 处于静止状态

解析：选C.由分析可知，MN 做加速度逐渐减小的减速运动，当感应电动势等于电容器两端电压时，电流为零，加速度为零，MN 最终做匀速运动，故C 正确．

2．(单选)如图所示，水平面有一平行金属导轨，导轨光滑且电阻不计．匀强磁场与导轨平面垂直．阻值为R 的导体棒垂直于导轨静止放置，且与导轨接触良好．t ＝0时，将开关S 由1掷到2.q 、i 、v 和a 分别表示电容器所带的电荷量、棒中的电流、棒的速度和加速度．下列图