第一章 函数、极限与连续综合练习参考答案

第一章 函数、极限与连续

一、判断题

1、若()0

lim x x f x A →=，则()0f x A =; （ ⨯ ） 2、已知()0f x 不存在，但()0

lim x x f x →有可能存在； （ ∨ ） 3、若()00f x +与()00f x -都存在，则()0

lim x x f x →必存在； （ ⨯ ） 4、sin lim

1;x x x

→∞= （ ⨯ ） 5、1lim(1).x x e x →∞-= （ ⨯ ） 6、若(),()f x g x 在点0x 处均不连续，则()()f x g x +在0x 处亦不连续； （ ⨯ ）

7、 ||y x =在0x =处不连续； （ ⨯ ）

8、()f x 与0x 处连续当且仅当()f x 在0x 处既左连续又右连续； （ ∨ ）

9、设()y f x =在[,]a b 上连续，且无零点，则()f x 在[,]a b 上恒为正

或恒为负； （∨ ）

10、设()y f x =在(,)a b 上连续，则()f x 在(,)a b 内必有界； （⨯ ）

二、选择题

1．设()x f 在R 上有定义，函数()x f 在点0x 左、右极限都存在且相等是函数()x f 在点0x 连续的( C )

A ．充分条件

B ．充分且必要条件

C ．必要条件

D ．非充分也非必要条件

2．若函数()x f 在某点0x 极限存在，则( C )

A ． ()x f 在0x 的函数值必存在且等于极限值

B ．()x f 在0x 函数值必存在，但不一定等于极限值

C ．()x f 在0x 的函数值可以不存在

D ．如果()0x f 存在的话，必等于极限值

3．数列0，31，42，53，64

，…是( B )

A ．以0为极限

B ．以1为极限

C ．以n n 2

-为极限 D ．不存在在极限

4．=∞→x x x 1sin lim ( C )

A ．∞

B ．不存在

C ．1

D ．0

5．=⎪⎭⎫

⎝⎛-∞→x

x x 211lim ( A )

A ．2-e

B ．∞

C ．0

D ．21

6．无穷小量是( C )

A ．比零稍大一点的一个数

B ．一个很小很小的数

C ．以零为极限的一个变量

D ．数零

7．若函数()⎩⎨⎧<≥+=1,cos 1

,2x x x a x x f π在R 上连续，则a 的值为( D )

A ．0

B ．1

C ．-1

D ．-2

8．设()⎩⎨⎧≥+<=0,0

,x x a

x e x f x 要使()x f 在0=x 处连续，则=a ( B )

A ．2

B ．1

C ．0

D ．-1

9．设()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0

,0,3

s i n 1x a x x

x x f ，若()x f 在()+∞∞-,上是连续函数，

则=a ( C )

A ．0

B ．1

C ．31

D ．3

10．方程014=--x x 至少有一根的区间是( D )

A ．⎪⎭⎫

⎝⎛21,0 B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21

C ．()3,2

D ．()2,1

三、填空题

1．()=--+∞→13lim n n n x 23。 2．()

=-++∞→x x x 1lim 2 0 。 3．=++++++++

∞→n n n 31913112141211lim 34。 4．=+→x x x ln lim 0

0 。 5．()()()=++-∞→503020152332lim x x x x 50

3020532⋅。 6．函数()⎪⎩

⎪⎨⎧≥-<≤-<=2,321,11,x x x x x x x f 的不连续点为 1 。

7．=∞→n

n n x 3sin

3lim x 。 8．函数()112-=x x f 的连续区间是()1,-∞-、()1,1-、()+∞-,1。 9．若01lim 2=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+-+∞→b ax x x x ，a ，b 均为常数，则=a 1 ，=b 1 。 10．函数()⎪⎩

⎪⎨⎧-=-≠+-=1,1,112

x A x x x x f ，当=A 2 时，函数()x f 连续。

四、计算题

1．求下列极限 (1) 2

31lim 220---→x x x x 解：原式2

1= (2) 1

1lim 1--→m n x x x (n ，m 为正整数)， 解：原式m n x

x x x x x m m n n x =++++++=----→0210211lim

(3) x x

x -++∞→11lim

解：原式11

1

11

lim -=-+=+∞→x x x (4) 7

cos lim ---∞→x x x x 解：原式171cos 1lim =--

=-∞→x x x

x (5) ()()()

1001981328574lim ---∞→x x x x 解：原式1931100100100

198154254lim ==∞→x

x x (6) ⎪⎭⎫ ⎝

⎛---→311311lim x x x 解：原式()()()()11121lim

21-=++-+-=→x x x x x x (7) x

x x x sin 2cos 1lim 0-→ 解：原式2sin sin 2lim 20==→x

x x x (8) 2cos lim

2ππ

-→x x x

解：原式12

2sin lim 2-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=→πππx x x (9) x

x x x 1011lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+→