河北省衡水中学2021届上学期高三年级二调考试(数学)
河北省衡水中学2021届上学期高三年级二调考试
数 学
本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。共4页，总分150分，考试时间120分钟。
第I 卷（选择题 共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
1．已知集合}02|{2
≤-=x x x A ,}8131|{<<=x
x B ,},2|{N n n x x C ∈==，则 )(B A =C
A ．}2{
B ．}2,0{
C ．}4,2{
D ．}4,2,0{
2．要得到函数x y cos 2=的图象，只需将函数??? ?
?
+=4sin 2πx y 的图象
A ．向左平移
4π
个单位 B ．向右平移
4π
个单位 C ．向上平移4π
个单位
D ．向下平移4
π
个单位
3．已知函数b a x x x f +-=)()(，若函数)1(+=x f y 为偶函数，且0)1(=f ，则b 的值为 A ．-2
B ．-1
C ．1
D ．2
4．已知等差数列}{n a 的前n 项和为1,2
21=+a a S n , 2a 与4a 的等差中项为2，则4S 的值为
A ．6
B ．-2
C ．-2或6
D ．2或6
5．已知3
33sin =???
?
?+πα，则=??? ?
?
-32cos πα A ．
3
3 B ．36
C ．3
1
D ．3
1
-
6．已知函数)(x f y =的部分图象如图，则)(x f 的解析式可能是
A ．x x x f 2sin 2
1
)(-
=
B ．x x x f 2sin )(+=
C ．x x x f tan )(+=
D ．x x x f cos 2
1
)(-
= 7．已知min },{n m 表示实数n m ,中的较小数，若函数}log ,log 3min{)(24
1x x x f +=，当<0b
a <时，有)()(
b f a f =，则b a 的值为 A ．6
B ．8
C ．9
D ．16
8．设n S 为数列}{n a 的前n 项和，*
,2
1)1(N n a S n
n n
n ∈-
-=，则=+++10021S S S A ．????
????-?
?
?
??12131100
B ．????????-??? ??1213198
C ．???
?????-???
??1213150
D ．???
?????-???
??1213149
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。
9．已知等差数列}{n a 是递增数列，其前n 项和为n S ，且满足573a a =，则下列结论正确的是 A ．0>d
B ．01 C ．当5=n 时，n S 最小 D ．当0>n S 时，n 的最小值为8 10．设函数)(x f y =和)(x f y -=，若两函数在区间],[n m 上的单调性相同，则把区间],[n m 叫做 )(x f y =的“稳定区间” ，已知区间[1，2020]为函数a y x +?? ? ??=21的“稳定区间”，则实数a 的可能取值是 A ．2 3- B ．65- C ．0 D ．321 11．已知函数)30(4sin )(≤ +=ωπωx x f 的图象的一条对称轴为直线8π=x ，函数 =)(x g ??? ? ? ++42cos 2)(πx x f ，则下列关于函数)(x g 的说法错误的是 A ．直线8 π= x 是)(x g 图象的一条对称轴 B ．)(x g 的最小正周期为π C ．点?? ? ??0,8π是)(x g 图象的一个对称中心 D ．)(x g 的最大值为5 12．已知函数??? ? ?< >+=2||,0)sin()(π?ω?ωx x f 在区间?? ? ???-32,2ππ上至少存在两个不同的21,x x 满足1)()(21=x f x f ，且)(x f 在区间??????-12,3ππ上具有单调性，点?? ? ??-0,6π和直线127π=x 分 别为)(x f 图象的一个对称中心和一条对称轴，则下列命题中正确的是 A ．)(x f 在区间??? ? ?2,6ππ上的单调性无法判断 B ．)(x f 图象的一个对称中心为?? ? ??0,659π C ．)(x f 在区间?? ? ???- 4,4ππ上的最大值与最小值的和为21 D ．将)(x f 图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移6 π 个单位得到)(x g y =的图象，则x x g cos )(-= 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知等比数列}{n a 的前n 项和n n b a S 2?+=，且52,9,a a 成等差数列，则b a -的值为 . 14．已知函数)0,0(cos sin )(>>+=ωωωa x x a x f 的最大值为2．若函数)(x f 在区间[0，7]上至 少取得两次最大值，则ω的最小整数值为 . 15．记函数][)(x x x f -=，其中][x 表示不大于x 的最大整数，??? ??<-≥=.0,1, 0,)(x x x kx x g 若方程 )()(x g x f =在区间[-5，5]上有7个不同的实数根，则实数k 的取值范围为 ． 16．在ABC ?中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,．若ac a b =-2 2，则A B = ； b a a A b +cos 的取值范围为 ． （本题第一空2分，第二空3分） 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（10分） 如图，在圆内接ABC ?中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，满足 .cos 2cos cos B b A c C a =+ (1)求B ; (2)若点D 是劣弧AC 上一点，2=AB ,3=BC ,1=AD ，求四边形 ABCD 的面积． 18．(12分) 已知正项数列}{n a 的前n 项和为n S ,11=a ,12 12++-=n n n S a S λ，其中λ为常数． (1)证明：.21λ+=+n n S S (2)是否存在实数λ，使得数列{}n a 为等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由． 19．(12分) 从① 3=BN AN ，②34=?AMN S ，③AM AC =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行求解. 问题：在ABC ?中，内角C B A ,,所对的边分别为8,3 ,,,== c B c b a π ，点N M ,是BC 边上的 两个三等分点，BM BC 3=， ，求AM 的长和ABC ?外接圆的半径． 注：如果选择多个条件分别进行解答，按第一个解答进行计分． 20．(12分) 设函数ax x x x f +-=2 3 3)(, .,23323)(2 22 R a a x a ax x g ∈-??? ? ??++-= (1)求函数)(x f 的单调区间； (2)若函数])2,0[(2 3 )()(2)(2∈--=x x x g x f a x ?在0=x 处取得最大值，求a 的取值范围． 21．（12分） 甲、乙两名同学在复习时发现他们曾经做过的一道数列题目因纸张被破坏，导致一个条件看不清，具体如下： 等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知 ， (1)判断321,,S S S 的关系并给出证明． (2)若331=-a a ，设||12n n a n b = ,}{n b 的前n 项和为n T ，证明：.3 4 如果甲、乙两名同学记得的答案是正确的，请通过推理把条件补充完整并解答此题． 22．(12分) 定义可导函数)(x f y =在x 处的弹性函数为) ()('x f x x f ? ，其中)('x f 为)(x f 的导函数. 在区间D 上，若函数)(x f 的弹性函数值大于1，则称)(x f 在区间D 上具有弹性，相应的区间D 也称作)(x f 的弹性区间． (1)若1)(+-=x e x r x ，求)(x r 的弹性函数及弹性函数的零点； (2)对于函数tx x e x x f x -+-=ln )1()(（其中e 为自然对数的底数）． (i)当0=t 时，求)(x f 的弹性区间D ; (ii)若1)(>x f 在(i)中的区间D 上恒成立，求实数t 的取值范围． 数学参考答案 一、选择题 1．B 【解析】因为}20|{≤≤=x x A ,}40|{<<=x x B ,},6,4,2,0{ ±±±=C ，所以 }40|{<≤=x x B A ,所以}.2,0{)(=C B A 2．A 【解析】因为??? ??+==2sin 2cos 2πx x y ，所以由函数??? ? ? +=4sin 2πx y 的图象得到函 数??? ? ? += 2sin 2πx y 的图象，只需向左平移4π 个单位． 3．C 【解析】因为)1(+=x f y 为偶函数，所以)(x f y =的对称轴为1-=x ．又因为0)1(=f ， 所以)(x f y =的顶点坐标为(1，0). 由+??? ? ?-=+-=22 2)(a x b ax x x f 42 a b -, 得?? ???=+-==,01)1(, 12b a f a 解得???==.1,2b a 4．C 【解析】设公差为d ，由题意知???=+==++, 22,1)(13211d a a d a a 解得???==1,01d a 或???=-=.5, 81d a 当=1a 0, 1=d 时，64=S ，当81-=a ,5=d 时，?=44S .252 3 4)8(-=??+ - 5．D 【解析】因为ππαπα-??? ??+=-3232，所以=????????? ? ?+-=??????-??? ??+=??? ??-32cos 32cos 32cos παππαπα .3113323sin 212 2-=-??? ? ???=????????? ??+--πα 6．A 【解析】由题图知函数的定义域为R 且)(x f 为奇函数，所以排除C ，D 选项；B 选项中， +=1)('x f x 2cos 2，则3)0('=f ，不满足原点处切线斜率为0，排除B 选项；A 选项中，x x f 2cos 1)('-=，则0)0('=f 符合题意． 7．B 【解析】作出函数)(x f 的图象，如图中实线所示，由)()(b f a f =可知，3log log 4 12+=b a ， 所以+a 2log 3log 4=b ，即3)(log log log 222==+b a b a , 所以.8=b a 8．A 【解析】由n n n n a S 2 1)1(--=,* N n ∈，当1=n 时，2111--=a S ，得411-=a ；当2≥n 时，=n a 11 1 121)1(21)1(----+--- -=-n n n n n n n n a a S S ，即n n n n n n a a a 21)1()1(1+-+-=-. 当n 为偶数时，=-1n a )2(21 ≥- n n ，所以12 1+-=n n a ，当n 为奇数时，=-1n a 112121 21)2(212-+=+??? ??--=+-n n n n n a ，所以=n a n 21，所以2121=-a ,2221=a ，所以 =?=+-221212a a 21,4321=-a ,4421=a ，所以 34432 1 212=?=+-a a 100100100992 1 ,21==-a a ，所以.212129910010099=?=+-a a 因为+-++-=++++321100321()(a a a S S S S -+-+++-+)()()10099654a a a a a =??? ??+++-++++=??? ??+++100299531002212 121212********* 21 .121312 11211214114112110010050??? ??-=-? ?? ??---??? ??- 二、选择题 9．ABD 【解析】因为}{n a 是递增数列，所以0>d ．因为573a a =，所以5532a d a =+，所以5a d =，所以=1a 0345<-=-d d a ，故A ，B 正确；又因为=-=d a a 540=-d d ，所以43S S =，且 为 n S 的最小值，故C 错误；又 044)(42)(8554818>==+=+= d a a a a a S ,=7S 072 ) (7471==+a a a ，故D 正确． 10．AB 【解析】由题意得a x f x +?? ? ??=21)(与=)(x f |2|a x +在区间[1，2020]上同增或同减．若 同增，则?????≥+≤+??? ??0 2,021a a x x 在区间[1，2020]上恒成立，即??? ?? -≥-≤,2,21a a 所以.212-≤≤-a 若同减， 则?????≤+≥+??? ??02,021a a x x 在区间[1，2020]上恒成立，即?????-≤??? ??-≥, 2,2120202020 a a 无解，所以A ，B 选项符合题意． 11．AC 【解析】由8 π = x 为)(x f 的一条对称轴，得? ωππ π π k += + 2 4 8 ，即k 82+=ω,.Z k ∈ 又 因 为 , 0(∈ω] 3，所 以 2 =ω，所以 +++=x x x g 2cos(2)42sin()(π =+=-=??π)(tan 2cos(52sin 222cos 223)4x x x )31．易知Z k k ∈+=/ ,4ππ ?，且Z k k ∈+=/ ,4 3ππ ?，故A ，C 错误，B ，D 正确． 12．BC 【解析】由题意得0 6 =+-?ωπ, +=+2127π?πωZ k k ∈,π，即??? ??+=2134k ω．又)(x f 在区间??????-32,2ππ上至少存在两个最大值或最小值，且在区间?? ????-12,3ππ上具有单调性，则1=k ，此时==?ω,23π，即?? ? ?? +=32sin )(πx x f ．因为26ππ< 以)(x f 在区间??? ??2,6ππ上单调递减，故A 错误；由πππ2036592=+?，所以?? ? ??0,659π为)(x f 图象的一个对称中心，故B 正确；因为4 4 π π ≤ ≤- x ，所以6 53 26 π π π ≤ + ≤- x , =min )(x f 216sin 4-=?? ? ??-=??? ??-ππf ， =?? ? ??=12)(max πf x f 12sin =π，所以最大值与最小值之和为21，故C 正确；将)(x f 图象上所 有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到??? ? ? +=3sin πx y 的图象，再向左平移6π个单位，得到 =??? ? ? +=??? ??++=2sin 36sin πππx x y x cos 的图象，即x x g cos )(=，故D 错误．综上，B ，C 正确． 三、填空题 13．-2【解析】当2≥n 时，-?+=-=-)2(1n n n n b a S S a 112)2(--?=?+n n b b a ；当1=n 时， +==a S a 11022?=b b ，所以0=+b a ①．又52,9,a a 成等差数列，所以1852=+a a ，即 18224=?+b b ②. 由①②解得1,1=-=b a ，所以.2-=-b a 14．2【解析】++=+=x a x x a x f ωωωsin(1cos sin )(2)?，所以)(x f 的最大值为212=+a ， 解得3= a 或3-=a （舍去），所以=+=x x x f ωωcos sin 3)(??? ? ?+6sin 2πωx ．当 Z k k x ∈+= + ,22 6 ππ π ω时， 函数)(x f 取得最大值，则当0>x 时，前两个最大值分别为0=k 和1=k ．当1=k 时，由ππ π ω22 6 += +x ，得737≤= ω πx ，所以3π ω≥，所以ω的最小整数 值为2． 15．?? ? ???41, 51【解析】作出函数)(),(x g x f 的图象，如图所示． 方程)()(x g x f =在区间)0,5[-上有3个实根，故在区间[0，5]上有4个不同实根．当直线 kx y =经过点(4，1)时，41=k ，经过点(5，1)时，5 1 =k ．若在区间[0，5]上有4个根，则.41,51?? ????∈k 16．2 ?? ? ??25,23 【解析】由余弦定理得-+=222c a b B ac cos 2，即B ac c a b cos 2222-=-， 所以?-ac c 22 ac B =cos ，即a B a c =-cos 2．由正弦定理得-C sin A B A sin cos sin 2=， 即=-+B A B A cos sin 2)sin(A sin ，所以A A B sin )sin(=-，所以A A B =-或π=+-A A B )(（舍去），所以A B 2=，即2=A B ． 因为),0(3π∈=+A B A ，所以?? ? ??∈3,0πA ，所以 +a A b cos =+=+=A A A A A B A A A B b a 2sin sin sin cos 2sin sin sin sin cos sin A A cos 21 cos 22+ ．令A x cos =，则∈+=x x x x f ,212)(2 ?? ? ??1,21，0218214)('2 32>-=-=x x x x x f ，所以)(x f 在区间??? ??1,21 上单调递增．又2321=??? ??f ，25)1(=f ，所以.25,23)(?? ? ??∈x f 四、解答题 17．解：(1)由正弦定理得=+A C C A cos sin cos sin B B cos sin 2，得.cos sin 2sin B B B = 因为π< cos = B ，即.3 π=B （5分） (2)在ABC ?中，2=AB ，3=BC ，3 π = B ， 129423 cos 2 222AC BC AB AC BC AB -+=?-+=π ，解得.7=AC 在ADC ?中，7=AC ，1=AD ，D C B A ,,,在圆上，因为3 π = B ，所以3 2π = ∠ADC ， 所以DC DC DC AD AC DC AD 271232cos 2222-+=?-+=π，解得2=DC ， 所以四边形ABCD 的面积=+=??ADC ABC S S S .323 sin 2132sin 21=?+?ππBC AB DC AD (10分) 18．(1)证明：因为n n n S S a -=++11，12 12++-=n n n S a S λ， 所以12 12)(++--=n n n n S S S S λ，所以.0)2(11=--++λn n n S S S 因为0>n a ，所以01>+n S ，所以021=--+λn n S S ， 所以.21λ+=+n n S S （6分） (2)解：因为λ+=+n n S S 21，所以)2(21≥+=-n S S n n λ， 两式相减，得).2(21≥=+n a a n n 因为λ+=122S S ，即λ+=+1122a a a ， 所以λ+=12a ，由02>a ，得.1->λ 若}{n a 是等比数列，则2 231a a a =， 即2 )1()1(2+=+λλ，解得.1=λ 经检验，1=λ符合题意. 故存在1=λ，使得数列}{n a 为等比数列． (12分) 19．解：若选择条件①： 因为 3=BN AN ，所以.32=BM AN 设t BM =，则.32t AN = 又8,60==c B ，所以在ABN ?中，?-+=AB BN AB AN 22 22B BN cos ， 即 60cos 28248)32(222t t t ??-+=，即0822 =-+t t ， 解得2=t 或-4 (舍去)． （6分） 在ABM ?中，=?-+=B BM AB BM AB AM cos 22 22,5260cos 282482 =??-+ 所以.132=AM （8分） 同理-+=?-+=2 222268cos 2B BC AB BC AB AC ,5260cos 682=??? 所以.132=AC 由正弦定理可得339 42 3 13260sin sin 2==== AC B b R ， 所以ABC ?外接圆的半径.3 39 2=R (12分) 若选择条件②： 因为点N M ,是BC 边上的三等分点，且=?AMN S 34，所以.312=ABC S 因为 60=B ，所以=?= = 60sin 2 1 312BC AB S ABC 23821???BC ， 所以6=BC ，所以.2=BM （6分） 在ABM ?中，=?-+=B BM AB BM AB AM cos 22 2 2 5260sin 282482 =??-+ ， 所以.132=AM （8分） 同理-+=?-+=2 2 2 2 2 68cos 2B BC AB BC AB AC 5260cos 682=?? ， 所以132=AC ， 由正弦定理可得339 42 3 13260sin sin 2==== AC B b R ， 所以ABC ?外接圆的半径.3 39 2=R (12分) 若选择条件③： 设t BM =，则.3t BC = 在ABM ?中，=?-+=B BM AB BM AB AM cos 2222t t t t 8860cos 8282 2 2 2 -+=?-+? ， 同理在ABC ?中，??-+=BC AB BC AB AC 2222.2496460cos 38298cos 222t t t t B -+=??-+= 因为AM AC =，所以,24964882 2 2 t t t t -+=-+ 所以.2=t （6分） 在ABM ?中，=?-+=B BM AB BM AB AM cos 22 2 2 5260cos 282482 =??-+ ， 所以.132=AM （8分） 同理-+=?-+=2 2 2 2 2 68cos 2B BC AB BC AB AC 5260cos 682=?? ， 所以.132=AC 由正弦定理可得339 42 3 13260sin sin 2==== AC B b R ， 所以ABC ?外接圆的半径.3 39 2=R (12分) 20．解：(1)3)1(363)('2 2 -+-=+-=a x a x x x f （1分） 当3≥a 时，0)('≥x f ， 所以)(x f 的单调递增区间为),(∞+-∞，无单调递减区间；（2分） 当3x f ，得331a x -- <或>x 3 31a -+， 所以)(x f 的单调递增区间为???? ??--∞-331,a 和.,331???? ? ?