应用数学论文---定积分在生活中的应用

定积分在生活中的应用

引 言

通过学习了定积分后，我了解到定积分在生活中有很重要的应用。定积分作为大学里很重要的一部分，在生活有广泛的应用；微积分是与应用联系发展起来的，最初牛顿应用微积分是为了从万有引力导出行星三定律，此后，微积分极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天文学、物理学、化学、工程学、经济学等自然科学的发展，而且随着人类知识的不断发展，微积分正指引着人类走向认知的殿堂。

一、定积分的概述

1、定积分的定义

设函数()f x 在区间[],a b 上有界，在[],a b 中任意插入若干个分点

011n n a x x x x b -=<<

<<=， 把区间[],a b 分成n 个小区间：

有[][][]01121,,,,,,,n n x x x x x x -且

各个小区间的长度依次为110x x x ∆=-，221x x x ∆=-，…，1n n n x x x -∆=-。在每个小区间

[]1,i i x x -上任取一点i ξ，作函数()i f ξ与小区间长度i x ∆的乘积()i i f x ξ∆（1,2,

,i n =）

，并作出和()1n

i i i S f x ξ==∆∑。记{}12max ,,

,n P x x x =∆∆∆，如果不论对[],a b 怎样分法，

也不论在小区间[]1,i i x x -上点i ξ怎样取法，只要当0P →时，和S 总趋于确定的极限I ，这时我们称这个极限I 为函数()f x 在区间[],a b 上的定积分（简称积分），记作

()b

a

f x dx ⎰，即

()b

a

f x dx ⎰=I =()0

1

lim n

i i

P i f x ξ→=∆∑,

其中()f x 叫做被积函数，()f x dx 叫做被积表达式，x 叫做积分变量，a 叫做积分下限，

b 叫做积分上限，],a b ⎡⎣叫做积分区间。 2．定积分的性质.

设函数()f x 和()g x 在[],a b 上都可积，k 是常数，则()kf x 和()f x +()g x 都可积，并且

性质1 ()b a

kf x dx ⎰=()b

a

k f x dx ⎰;

性质2 ()()b a f x g x dx +⎡⎤⎣

⎦⎰=()b a f x dx ⎰+()b

a g x dx ⎰ ()()b

a

f x

g x dx -⎡⎤⎣⎦⎰

=()b a f x dx ⎰-()b

a g x dx ⎰.

性质3 定积分对于积分区间的可加性

设()f x 在区间上可积，且a ，b 和c 都是区间内的点，则不论a ，b 和c 的相对位置如何，都有()c

a

f x dx ⎰=()b

a

f x dx ⎰+()c

b

f x dx ⎰。

性质 4 如果在区间[],a b 上()f x ≡1，则1b a

dx ⎰=b

a

dx ⎰=b a -。

性质 5 如果在区间[],a b 上()f x ≥0,则()b

a

f x dx ⎰≥0()a b <。

性质 6 如果在],[b a 上,M x f m ≤≤)(,则

⎰-≤≤-b

a

a b M dx x f a b m )()()(

性质 7（积分中值定理）如果)(x f 在],[b a 上连续，则在],[b a 上至少存一点ξ使得

⎰-=b

a

a b f dx x f ))(()(ξ

3．定理及方法

1、定理

定理1 微积分基本定理

如果函数()f x 在区间[],a b 上连续,则积分上限函数()x φ=()x

a f t dt ⎰在[],a

b 上可导,并

且它的导数是

()'x φ=

()x

a

d f t dt

dx

⎰=()f x ()a x b ≤≤.

定理 2 原函数存在定理

如果函数()f x 在区间[],a b 上连续,则函数()x φ=()x

a

f t dt ⎰就是()f x 在[],a b 上的一个原函

数.

定理3 牛顿-莱布尼茨公式.

如果函数()F x 是连续函数()f x 在区间[],a b 上的一个原函数, 则

()b

a

f x dx ⎰=()()F b F a -

称上面的公式为牛顿-莱布尼茨公式.

2、方法

定积分的换元法

假设函数()f x 在区间[],a b 上连续,函数()x t φ=满足条件 (1)()a φα=,()b φβ=;

(2) ()t φ在[],αβ(或[],βα)上具有连续导数,且其值域R φ⊂[],a b ,则有

()b a

f x dx ⎰=()()'f t t dt β

α

φφ⎡⎤⎣⎦⎰,

上面的公式叫做定积分的换元公式.

定积分的分部积分法

根据不定积分的分部积分法,有 ()()'b

a u x v x dx ⎰= ()()'b

a

u

x v x dx ⎡⎤⎰⎣

⎦

=

()()()()'b

a

u x v x u x v x dx -⎡⎤⎰⎣⎦

=()()b a

u x v x ⎡⎤⎣

⎦

-()()'b

a

v x u x dx ⎰

简写为

'b a

uv dx ⎰=

[]b

a

uv -'b

a

vu dx ⎰

或

b

a

udv ⎰

=

[]b a

uv -vdu ⎰.

二 、定积分的应用

㈠计算平面图形面积、旋转体体积、曲线弧长上的应用

1、利用定积分计算平面图形的面积

（1）设连续函数)(x f 和)(x g 满足条件)(x g ≤)(x f ，∈x ],[b a ．求曲线=y )(x f ，=y )(x g 及直线b x a x ==,所围成的平面图形的面积S ．（如图1） 解法步骤：

第一步：在区间],[b a 上任取一小区间],[dx x x +，并考虑它上面的图形的面积，这块面积可用以)]()([x g x f -为高，以dx 为底的矩形面积近似，于是dx x g x f dS )]()([-=．