不等式与线性规划
不等式与线性规划
一、常见不等式及解法 １.一次不等式：
b ax <
２.一元二次不等式：
02≤++c bx ax
３.分式不等式：
2
112+>
+x x x
４.绝对值不等式：
1|1|2
->+x x
５.高次不等式：
0)1()1)(3(2>+--x x x x
６.一个重要的不等式： ),(2+
∈≥+R b a ab b a 题型1：简单不等式的求解问题
例1．已知0)2(,0)(,0,),0)((=->'<∈≠f x f x R x x x f 且时当是奇函数，则不等式0)(>x f 的解集是
（ ）
A ．（—2，0）
B ．),2(+∞
C ．)
,2()0,2(+∞-
D ．),2()2,(+∞--∞ 例2．（1） 在4×□＋9×□=60的两个□中，分别填入两正数，使它们的倒数和最小，应分别
填上 和 。 （2）已知b a b
a
54,32
1
+=+
求的最小值 。 题型2：简单的绝对值、涉及指数、对数和三角的不等式的求解问题 例3．已知函数|
|1)(2
x x a x f +-=，
（1） 求函数)(x f y =的单调递增区间 （2） 若
),1(3)(+∞<在x x f 上恒成立，求实数a 的取值范围。
例4． 函数)1(lo g )(++=x a x f a x 在[0,1]上的最大值和最小值之和为a ，则a 的取值范围
是 。
例5.已知圆C ：),(0322+∈=-+++R b a ay bx y x 上任意一点关于直线02:=++y x l 的对称点
都在圆C 上，求
b
a 3
1+的最小值。
题型3 含参不等式
例6、解关于x 的不等式：(m 2
－4)x ＜m ＋2。
反思：(1) 引起讨论的原因是什么？——m 2
－4值的不确定性(2) 如何进行讨论？——不等式性质 例7、 解关于x 的不等式：x 2
－(m ＋2)x ＋2m ＜0。 反思：(1) 引起讨论的原因是什么？——m 与2大小的不确定性(2) 如何进行讨论？——比较大小 例8、 解关于x 的不等式：mx 2－(m ＋1)x ＋1＜0
反思：(1) 引起讨论的原因是什么？如何进行讨论？
第一层次：一次不等式还是二次不等式的不确定性，对m ≠0与m ＝0进行讨论 第二层次：x 2
前系数正负(不等号方向)的不确定性，对m ＜0与m ＞0进行讨论 第三层次：1
m
与1大小的不确定性，对m ＜1、m ＞1与m ＝1进行讨论
题型4 恒成立问题
例9 、k 为何值时，关于x 的一元二次不等式x 2
＋(k －1)x ＋4＞0的解集为(－∞，∞)？
变式1：k 为何值时，关于x 的一元二次不等式(k ＋1)x 2
－2x ＋k ＋1＞0的解集为(－∞，∞)？
变式2：k 为何值时，关于x 的不等式(k －1)x 2
＋(k －1)x ＋2＞0的解集为(－∞，∞)？
小结： (1) 数学知识与技能：一元二次不等式组、含系数一元二次不等式的解法；不等式恒成立问题
(2) 数学思想：分类讨论、数形结合、化归
例10、k 为何值时，关于x 的不等式(k ＋1)x 2
－2x ＋(k ＋1)＞0的解集为?？
反思：(1)要对不等式的类型进行讨论，即对x 2
前系数进行讨论；
(2)若是一元二次不等式，对应二次函数图象开口向下，与x 轴最多有一个交点。
题型5 均值不等式应用 例：y=
1x 3
x +-(x>3)的最小值是_________。
例：已知0,0x y >>且满足281x
y
+=，求x y +
的最小值
或已知0,0>>y x ，且082=-+xy y x ，求y x +
的最小值。
例：已知0 3 1 ，求代数式x (1-3x)最大值。 已知0,0>>b a 且12 22=+b a ，求21b a +的最大值________ 例：求函数)0(,322>+=x x x y 的最大值，下列解法是否正确？为什么？ 解： 2231222y x x x x x =+=++≥∴ 3min 43=y 例：经观测，某公路段在某时段内的车流量y （千辆/小时）与汽车的平均速度v （千/小时）之间有函数关系： )0(1600 39202 >++= v v v v y （1）在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时车流量y 最大？最大车流量为多少？（精确到0.01千辆） （2）为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？ 题型6：线性规划问题 例11．（1）(2009山东卷理)设x ，y 满足约束条件?? ? ??≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ， 若目标函数z=ax+by （a>0，b>0）的是最大值为12，则 23 a b +的最小值为( ). A. 6 25 B. 38 C. 3 11 D. 4 A. 例12.2009安徽卷理）若不等式组03434x x y x y ≥??+≥??+≤? 所表示的平面区域被直线4 3y kx =+分为面积相等的两 部分，则k 的值是 A. 73 B. 37 C.43 D. 34 例13.设函数 3()31()f x ax x x R =-+∈，若对于任意的[]1,1-∈x 都有0)(≥x f 成立，则实数 a 的值为 4 （2）在平面直角坐标系中，不等式组?? ? ??≤≥+-≥-+2,02,02x y x y x 表示的平面区域的面积是（ ） (A)21 (B)2 3 (C)81 (D) 89 题型7：不等式的应用 例9．（2009四川卷文）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨，B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨，B 原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元。该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨.那么该企业可获得最大利润是 A. 12万元 B. 20万元 C. 25万元 D. 27万元