旋转体的体积

2a
Vy 2 0 x | f ( x) | dx
2
20 a(t sin t) a(1 cos t)d[a(t sin t)]
2a3
2
(t
sin t)(1 cos t)2 dt
63a3.
0
例 4 求由曲线 y 4 x2及y 0 所围成的图形 绕直线x 3旋转构成旋转体的体积.
a3 2 (t sin t)2 sin tdt 63a3 . 0
补充 如果旋转体是由连续曲线y f ( x) 、 直线x a 、x b 及x 轴所围成的曲边梯形绕 y 轴旋转一周而成的立体，体积为
b
Vy 2 a x | f ( x) | dx
利用这个公式，可知上例中
三、小结
绕 x轴旋转一周

旋转体的体积

绕
y轴旋转一周
绕非轴直线旋转一周
平行截面面积为已知的立体的体积
思考题
求曲线xy 4， y 1，x 0 所围成 的图形绕y 轴旋转构成旋转体的体积.
思考题解答
y
xy 4

y

1
立体体积
交点 (4,1),
y1
o
x
Vy


y2

2 a 3

2
x3
3
Biblioteka Baidua
x [a, a]
o
ax


旋转体的体积
V
aa
a
2 3

2
x3
3
dx

32 105
a3 .
例3
计算由椭圆 x2 a2

y2 b2
1
所成的图形绕x轴旋转而成的
旋转体(旋转椭球体)的体积．
解 这个旋转椭球体也可以看作是由半个椭圆 y b a2 x2 a
一、旋转体的体积
旋转体就是由一个平面图形饶这平面内 一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做 旋转轴．
圆柱
圆锥
圆台
一般地，如果旋转体是由连续曲线 y f ( x) 、
直线x a 、x b 及x 轴所围成的曲边梯形绕
x 轴旋转一周而成的立体，体积为多少？
取积分变量为x ，
y
y f (x)
及x轴围成的图形绕x轴旋转而成的立体．
体积元素为 dV y 2dx ，
于是所求旋转椭球体的体积为
y b
y b a2 x2 a
V
a

a
y 2dx
a a
b2 a2
(a 2x 2)dx
O

b2 a2
[a
2x

1 3
x
3
]aa

4 3

a
b
2．
ax
类似地，如果旋转体是由连续曲线
转构成旋转体的体积.
解 绕x 轴旋转的旋转体体积
y( x)
Vx
2a y2 ( x)dx
0
a
2a
2 a2 (1 cos t)2 a(1 cos t)dt 0
a3
2
(1
3cos t

3 cos2
t
cos3
t )dt

52a3 .
0
绕 y轴旋转的旋转体体积
y
2a C
B x x2( y)
可看作平面图OABC 与OBC
x x1( y) o
A
2a x
分别绕y 轴旋转构成旋转体的体积之差.
Vy
2a
x
2
2
(
y
)dt

0
2a
x
2
1
(
y
)dt
0
a2 (t sin t)2 a sin tdt 2 a2 (t sin t)2 a sin tdt 0
2 R
3
例 6 求以半径为R的圆为底、平行且等于底圆
半径的线段为顶、高为h 的正劈锥体的体积.
解 取坐标系如图
y
底圆方程为
x2 y2 R2,
o x Rx
垂直于x 轴的截面为等腰三角形
截面面积 A( x) h y h R2 x2
立体体积
V

h R R
R2 x2dx 1 R2h. 2
x ( y)、直线 y c 、 y d 及y 轴所围
成的曲边梯形绕y 轴旋转一周而成的立体，
体积为
y
V d [ ( y)]2 dy c
d
x ( y)
c
o
x
例 4 求摆线 x a(t sin t)，y a(1 cos t)的 一拱与 y 0所围成的图形分别绕 x轴、 y 轴旋
解 取积分变量为y , y [0,4]
体积元素为
P
dy Q M
dV [PM 2 QM 2 ]dy 3 [(3 4 y)2 (3 4 y)2]dy
12 4 ydy,
4
V 120 4 ydy 64.
二、平行截面面积为已知的立体的体积
并与底面交成角 ，计算这平面截圆柱体所得立体
的体积.
解 取坐标系如图
R
底圆方程为
o
y
x2 y2 R2
x
R
垂直于x 轴的截面为直角三角形
x
截面面积 A( x) 1 (R2 x2 )tan ,
2
立体体积 V 1 R (R2 x2 )tandx 2 R3 tan .
七、设直线 y ax b与直线x 0 ，x 1 及y 0 所围 成梯形面积等于A ，试求a , b 使这个梯形 绕 y 轴 旋转所得体积最小 .
练习题答案
一、1、
b f 2 ( x)dx ,2
b
xf ( x)dx ；
a
a
2、已知平行截面面积的； 3、2ax02 ；
2、v b f ( x)dx 常用来表示__________________立 a 体的体积；
3、抛物线 y 2 4ax 及直线 x x0 ( x0 0) 所围成的图 形绕 x 轴旋转而成的立体的体积______；
4、 y a cosh x , x 0, x a, y 0 所围成的图形绕 x 轴旋转而成a的立体的体积 v _________；
四、求摆线x a ( t sin t )， y a ( 1 cos t )的一拱， y 0，绕直线y 2a 旋转所成旋转体的体积.
五、求 x 2 y 2 a 2 绕 x b ( b a 0) 旋转所成旋转 体的体积 .
六、 设有一截锥体，其上，下底均为椭圆，椭圆的轴 长分别为 2 A , 2B 和2a , 2b ,高为 h ，求这截锥体 的体积 .
4、a3 [2 sh2]. 4
二、(克) .
三、 32 a3. 105
四、72a3 .
五、22a2b. 六、1 h[2(ab AB) aB bA]. 6
七、a 0 , b A.
x h及x 轴围成一个直角三角形．将它绕x 轴旋
转构成一个底半径为r 、高为h 的圆锥体，计算
圆锥体的体积．
y
P
解 直线 OP方程为
r
o
y x
h
r
h
x
取积分变量为x ， x [0, h]
在[0, h]上任取小区间[ x, x dx]，
以dx 为底的窄边梯形绕x 轴旋转而成的薄片的
体积为
二、有一铁铸件，它是由抛物线 y 1 x 2 、 10
y 1 x 2 1与直线y 10 围成的图形，绕 y 轴 旋 10
转而成的旋转体，算出它的质量（长度单位是厘
米，铁的密度是7.8克 厘米3 ）.
2
2
2
三、把星形线x 3 y 3 a 3 绕 x 轴 旋转，计算所得旋转
体的体积 .
y
dV


r h
x

2
dx
o
P
r
h
x
圆锥体的体积
V
h 0

r h
x

2
dx

r 2 h2
x3 h 3 0

hr2 3
.
2
2
2
例 2 求星形线x 3 y 3 a 3(a 0) 绕x 轴旋转
构成旋转体的体积.
y
2
2
2
解 y3 a3 x3,

1
x 2dy


1
1y62 dy


16 y

1
16.
练习题
一、填空题： 1、连续曲线 y f (x) , 直线x a ，x b 及 x 轴 所 围图形绕 x 轴 旋转一周而成的立体的体积 v __________，绕 y 轴 旋转一周而成的立体的 体积 v ____________；
x [a,b]
在[a,b]上任取小区 o
x x dx
x
间[ x, x dx]，
取以dx 为底的窄边梯形绕x 轴旋转而成的薄
片的体积为体积元素， dV [ f ( x)]2 dx
旋转体的体积为 V b [ f ( x)]2 dx a
例 1 连接坐标原点O 及点P(h, r)的直线、直线
如果一个立体不是旋转体，但却知道该立
体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这 个立体的体积也可用定积分来计算.
A( x) 表示过点 o a x 且垂直于x 轴
x x dx b
x
的截面面积， A( x)为x 的已知连续函数
dV A( x)dx,
立体体积 V
b
A( x)dx.
a
例 5 一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心，