浙江大学现代测试技术第二讲作业
第二讲作业解答
3. 试说出离散及连续信源信息量的量化公式，并解释其中各变量。 答：
，I(x i )是信源输出状态发生所含有的信息
量，在离散的信源信息中P(x i )(i 1,2,..., N) 为各个状态出现的概率（可能性），在连续的信源信息中P(x i )是随机变量的概率密度函数，对数的底数a 大于1。
4. 什么是最大离散熵定理？试举例说明。证明当信源有两状态时 的最大离散熵定理。
答：在离散信源中，当信源的输出符号是等概率分布时，信源的熵去最大值，这就是最大离散熵定理。例如，假设信源有两个状态，P(x 1）=0.5, P(x 2）=0.5,则熵为H 1(X)=-(0.5log 20.5+0.5log 20.5)=1,而当P(x 1）=0.25, P(x 2）=0.75时,则熵为
H 2(X)=-(0.25log 20.25+0.75log 20.75)=0.811。显然H 1(X)> H 2(X)。 证明：当信源有两状态时，
1122''()()log (1/())()log (1/())log (1)log (1)()log ((1)/)
()0,1/2()n n n n n H x p x p x p x p x x x x x H x x x H x x H x =+=-+--=-==当即时 有最大值
12. 试解释相关函数的由来。以正弦信号为例解释自相关函数和互 相关函数的性质。
答：相关函数描述了两个信号之间的关系或相似程度，也可以描述同一信号的现在值与过去值的关系，或者根据过去值、现在值来估计未来值。
自相关函数的性质：
1）自相关函数是τ的偶函数；
2）当τ =0时，自相关函数具有最大值；
3）周期信号的自相关函数仍然是同频率的周期信号，但不具有原信号的相位信息。
例如正弦函数的自相关函数为
为偶函数。
当τ =0时，取得最大值1，进而使取得最大值。
可以看出和是具有同频率的周期信号，但不具有原信号的相位信息。
互相关函数的性质：
1）互相关函数不是偶函数，但有。
2）互相关函数的最大值不一定发生在τ =0处。
3）两同频率周期信号的互相关函数仍然是同频率的周期信号，但保留了原信号的相位信息。
4）两个非同频的周期信号互不相关。
例如正弦函数和正弦函数的互相关函数为
R yx(τ)=cos(wτ+θ)
可以看出互相关函数不是偶函数，但有。
当wτ-θ=0时取得最大值，最大值不一定发生在τ =0处。
这两个同频率周期信号的互相关函数仍然是同频率的周期信号，但保留了原信号的相位信息。
又例正弦函数和正弦函数
的互相关函数为
可以看出两个非同频的周期信号互不相关。
13. 现有一测得的相关函数图形，如题图。试问这个图形是自相关函数还是互相关函数图形？从图形中可以得到原信号的哪些信息？
答：此图是互相关函数的图形。从图形中可以得到的信息有原信号的周期（频率）和相位信息。
14. 在频域分析中，周期信号、非周期信号以及随机信号分别可采 用哪些物理量加以描述？这些物理量是如何定义的？每个物理量 的单位是什么？
答：1）周期信号可以用幅值谱、相位谱及功率谱描述。 幅值谱——之间的关系。 相位谱——之间的关系。 功率谱——
之间的关系。
2）非周期信号可以用幅值谱密度、能量谱密度和相位谱密度描述。 幅值谱密度：
；能量谱密度：
；相位谱密度：
。
3）随机信号可以用自功率谱密度与互谱密度描述。 自功率谱密度：；
互谱密度：
。
15. 什么是维纳-辛钦公式？试证明之。 答：平稳随机过程的自功率谱密度
与自相关函数
是一个
Fourier
变换偶对，即。
证明：
T T X E S X T X 2]
),([lim
)(2
ωω∞→=
)]
,(),([21
lim
*ωωT X T X E T X X T ∞→=
＝T T 21lim
∞→])()([2211
2
1??---T T t j T T t j dt e t X dt e t X E ωω
交换积分和数学期望顺序
＝??----∞→T T T T t t j T dt dt e t X t X E T 21)
(2112)]()([21lim
ω ＝??----∞→-T T T T t t j X T dt dt e t t R T 21)
(1212)(21lim ω
设
12t t -=τ，12t t u +=，则
22u
t +=
τ，
21τ
-=
u t 所以：
21212
1
21
2
1
),(),(21=-=??=u t t J τ
则
du e R d T S j X T
T T T X ωτττττω--+-∞→??=)(21{21lim
)(2022}
)(210222du e R d j X T T T ωτττττ--+--??+
＝}
)(2121{lim 2222du e R d T j X T
T T T T ωτττττ---+-∞→??
＝τττωτ
d e R T T j X T T
T --∞→?-)()2(21lim
22
＝τ
ττ
ωτd e R T
j X T
T T --∞→?-
)()21(lim
22
＝?∞
∞
--τ
τωτ
d e
R j X )(－τ
ττ
ωτd e R T
j X T
T T --∞
→?)()2lim
22
＝
?∞
∞--ττωτ
d e R j X
)(
证毕。
17. 什么是相干函数？试采用系统输入和输出的互谱密度函数以及 自谱密度函数描述系统的频率响应函数，并证明之；同时说明相干函
数的物理意义，并解释之。 答：相干函数
。
利用互谱密度函数可以定义相干函数
22()()()()
xy xy
x y G G G ωγωωω=
()
()()xy x G H G ωωω=
可以证明2
0()1xy γω≤≤；在系统的辨识中相干函数可
以判别y(t)与输入x(t)之间的关系,当2()1
xy γω=的时候说明y(t)
与输入x(t)完全相当,当
2
()1
xy γω<时说明y(t)与输入x(t)的过程
中由噪声干扰,或者存在着系统的非线性关系.
其物理意义是: 相关函数描述了两个信号之间的关系或相似程度，也可以描述同一信号的现在值与过去值的关系，或者根据过去值、现在值来估计未来值。
18. 什么是巴什瓦等式，采用相关定理证明之。并说明它的物理意义。 答：巴什瓦等式
。
证明：由相关定理知[]2
()()x F R X τω=，所以 2
1
()()2j x
R X e d ωτωωω
π∞
-∞
=?
，
当
2
1
0,()()2x R X d τωωω
π∞
-∞
==
?
，又，能量有限信号的自相关函数
1()()()x R x t x t dt T ττ∞-∞=-?，当20,()()x R x t dt ττ∞
-∞==?，因此有 2
2
2
1
(0)()()()2x R x t dt X d X f df
ωωπ
∞
∞
∞
-∞-∞
-∞
==
=??
?
则该等式得证。 物理意义：对于能量有限信号，
时域内的曲线所覆盖的面积等于
频域内
所覆盖的面积。也就是说，时域内信号的能量等于频域
内信号的能量，信号经过傅里叶变换前后的总能量保持不变。
19.
结合巴什瓦等式及等式
证明自功率谱密度与幅值谱密度的关系为
答：
/222
/2
1lim
()T x T T x t dt
T φ-→∞=?，根据巴什瓦等式，上式可以写为
ω
ωπ
?d T
x T x
2
2)(lim
21?
∞
∞-∞
→=
，由于
/22/211
(0)lim
()()2T x x T T R x t dt S d T ωω
π
+∞
--∞
→∞==
??
，所
以可以得出
2
()()lim
x T X S T
ωω→∞
=。
20. 什么是卷积定理？试证明之。 答：若
时域卷积定理：
证明：
)
()()()(])()[(])()([)](*)([ωωτ
ωωτ
τττττωτωωH X d e X h d dt e t x h dt
e d t x h t x t h F j t j t j ==-=-=-∞
∞
-∞∞-∞
∞
--∞
∞
-∞
∞--?????
频域卷积定理：如果[][()]()
()()F h t H F x t X ωω==，则有 [][]1
()()(()*()2()()()*()F h t x t H X F h t x t H f X f ωωπ
=
=
证明：
[]()
()()[()()]1()[()]21()[()]21()()21[()*()]2j t j t
jut j u F h t x t h t x t e dt
x t e
H u e du dt
H u du x t e dt H u X u du H X ωωωπ
πωπωωπ∞
--∞
∞
∞
--∞
-∞
∞∞---∞-∞-∞====-=???
???