勾股定理经典例题(含答案)83672
=16
类型一：勾股定理的直接用法
1 、在 Rt △ABC 中，∠ C=90°
(1) 已知 a=6， c=10 ，求 b ， (2) 已知 a=40，b=9，求 c ； (3) 已知 c=25， b=15，求 a. 思路点拨 : 写解的过程中， 一定要先写上在哪个直角三角形中， 注意勾
股定理的变形使 用。
解析： (1) 在△ ABC 中，∠ C=90°， a=6， c=10,b=
(2) 在△ ABC 中，∠ C=90°， a=40，b=9,c= (3)
在△ ABC 中，∠ C=90°， c=25，b=15,a=
举一反三
【变式】 : 如图∠B =∠ACD =90°, AD =13, CD =12, BC =3,则 AB 的长是 多少？
【答案】∵∠ ACD =90°
AD =13, CD=12
∴ AC 2 =AD 2－ CD 2 =13 2－ 122
=25
∴AC =5
又∵∠ ABC=90°且 BC =3 ∴由勾股定理可得
AB 2=AC 2－BC 2
=5 2
－ 32
经典例题透析
∴ AB= 4
∴ AB的长是 4. =16
举一反三【变式 1】如图，已知： ， ， 于 P . 求证： .
类型二：勾股定理的构造应用
2 、如图，已知：在 中， ， ， . 求： BC 的长 .
思路点拨 ：由条件 ，想到构造含 角的直角三角形，为此作 于 D ，则 有
， ，再由勾股定理计算出 AD 、 DC 的长，进 而求出
BC 的长 .
解析 ：作 于 D ，则因 ，
∴ （ 的两个锐角互余）
∴ （在 中，如果一个锐角等于 ， 那么它所对的直角边等于斜边的一半） . 根据勾股定理，在
中，
.
根据勾股定理，在 中，
.
∴
.
解析：连结BM，根据勾股定理，在中，
.
而在中，则根据勾股定理有
.
∴
又∵ （已知），∴.
在中，根据勾股定理有
，
∴.
【变式2】已知：如图，∠ B=∠D=90°，∠ A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。
分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。
解析：延长AD、BC交于E。
∵∠ A=∠60°，∠ B=90°，∴∠ E=30°。
C Ｈ＝０ . ６＋２ . ３＝２ . ９（米）＞２ . ５（米）．
因此高度上有米的余量，所以卡车能通过厂门．
（二）用勾股定理求最短问题
4 、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行
电
∴BE 2=AE 2-AB 2=82-4 2=48，BE= = 。 ∵DE 2= CE 2-CD 2=42-2 2=12，∴ DE= = 。 ∴ S 四边形 ABCD =S △ABE -S △CDE = AB · BE- CD · DE= 类型三：勾股定理的实际应用
一）用勾股定理求两点之间的距离问题
如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地 A 点出发，沿 3、
北偏 东 60°方向走了
到达 B 点，然后再沿北偏西 30°方向
走了
500m 到达目的地 C 点。
1）求 A 、 C 两点之间的距离。
2）确定目的地 C 在营地 A 的什么方向。
解 析 ： （ 1 ） 过 B 点 作 BE
米，
网改造，某地有四个村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，
现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线
部分．请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线．
思路点拨：解答本题的思路是：最省电线就是线路长最短，通过利用勾股定理计算线路长，然后进行比较，得出结论．
解析：设正方形的边长为1，则图（1）、图（2）中的总线路长分别为
AB+BC+CD ＝3，AB+BC+C＝D3
图（3）中，在Rt△ABC中
同理
∴图（3）中的路线长为
图（4）中，延长EF交BC于H，则FH⊥BC，BH＝CH
由∠ FBH＝及勾股定理得：
EA ＝ED＝FB＝FC＝
∴EF＝1－2FH＝1－∴此图中总线路的长为4EA+EF＝
3>>
∴图（4）的连接线路最短，即图（4）的架设方案最省电线．举一反三
【变式】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一
只蚂蚁从点 A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．
（提问：勾股定理） ∴ AC ＝
＝ ＝
≈１０．７７（ cm ）（勾股定理）．
答：最短路程约为１０．７７ cm ． 类型四：利用勾股定理作长为 的线段
5 、作长为 、 、 的线段。
思路点拨： 由勾股定理得，直角边为 1 的等腰直角三角形，斜边长就等于 ， 为 和 1 的直角三角形斜边长就是 ，类似地可作 。 作法：如图所示
斜边为 ；
样斜边 、 、 、 的长度就是
、、、。
举一反三 【变式】在数轴上表示 的点。 解析： 可以把 看作是直角三角形的斜边， 为了有利于画图让其他两边的长为整数，
解：
直角边 1） 2）
作直角边为 1（单位长）的等腰直角△ ACB ，使 AB 为斜边； 以 AB 为一条直角边，作另一直角边为 1 的直角
3） 顺次这样做下去， 最后做到直角三角形 ，这
如图，
cm ， 根据勾股定理
得
而10 又是9 和 1 这两个完全平方数的和，得另外两边分别是 3 和 1 。
作法：如图所示在数轴上找到A点，使OA=3，作AC⊥OA且截取AC=1，以OC 为半径，以O为圆心做弧，弧与数轴的交点 B 即为。
类型五：逆命题与勾股定理逆定理
6 、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确
1 ．原命题：猫有四只脚．（正确）
2 ．原命题：对顶角相等（正确）
3 ．原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等．（正确）
4 ．原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等．（正确）
思路点拨：掌握原命题与逆命题的关系。
解析： 1. 逆命题：有四只脚的是猫（不正确）
2. 逆命题：相等的角是对顶角（不正确）
3. 逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．? （正确）
4. 逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上．（正确）总结升
华：本题是为了学习勾股定理的逆命题做准备。
7 、如果Δ ABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断Δ ABC的形状。
思路点拨：要判断Δ ABC的形状，需要找到a、b、c 的关系，而题目中只有条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，故只有从该条件入手，解决问题。
解析：由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，得：
a 2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0,
222
∴ （a-3）2+（b-4）2+（c-5）2=0。
222
∵ （a-3）2≥0, （b-4）2≥0, （c-5）2≥0。
∴ a=3 ，b=4，c=5。
∵ 3 2+42=52,
222 ∴ a +b=c
由勾股定理的逆定理，得Δ ABC是直角三角形。
总结升华：勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的, 在证明中也常
要用到。
举一反三【变式1】四边形ABCD中，∠ B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边
形ABCD的面积
答案】：连结AC
∵∠ B=90°，AB=3，BC=4
∴AC2=AB2+BC2=25（勾股定理）∴AC=5
∵AC2+CD2=169，AD2=169
∴ AC+CD=AD
∴∠ ACD=9°0 （勾股定理逆定理）
变式 3】如图正方形 ABCD ， E 为 BC 中点， F 为 AB 上一点，且 BF= AB 。
请问 FE 与 DE 是否垂直请说明。 【答案】答： DE ⊥EF 。
证明：设 BF=a ，则 BE=EC=2a, AF=3a ， AB=4a, ∴ EF 2=BF 2+BE 2=a 2+4a 2=5a 2；
DE 2=CE 2+CD 2=4a 2+16a 2=20a 2。
连接 DF （如图）
DF 2=AF 2+AD 2=9a 2+16a 2=25a 2。
∴ DF 2=EF 2+DE 2, ∴ FE ⊥ DE 。 经典例题精析
类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法
1 、若直角三角形两直角边的比是 3： 4，斜边长是 20，求此直角三角形的面积。
思路点拨： 在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度， 求面积，可以先通过比值
设未知数，再根据勾股定理列出方程，求出未知数的值进而求面积。 解析： 设此直角三角形两直角边分别是 3x ，4x ，根据题意得：
2 2 2 （3x ）2+（4x ）2＝202
化
简得 x ＝ 16；
变式 2】已知: △ABC 的三边分别为 m 2－n 2,2mn,m 2+n 2（m,n 为正整数,且 m >n ）, 判断△
ABC 是否为直角三角形
分析:本题是利用勾股定理的的逆定理， 只要证明 : a 2+b 2=c 2即可 证明：
所以△ ABC 是直角三角形 .
∴直角三角形的面积＝×3x×4x＝6x2＝96
总结升华：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股
定理列方程（组）求解。
举一反三【变式1】等边三角形的边长为2，求它的面积。
【答案】如图，等边△ ABC，作AD⊥BC于D
则：BD＝BC（等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）∵AB＝AC＝BC＝2（等边三角形各边都相等）
∴BD＝1
在直角三角形ABD中，AB2＝AD2+BD2，即：AD2＝AB2－BD2＝4－1＝3
∴AD＝
S △ ABC＝BC·AD＝
注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为a，则其面积为a。
【变式2】直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积。
【答案】设此直角三角形两直角边长分别是x，y，根据题意得：
由（1）得：x+y＝7，
（x+y）2＝49，x2+2xy+y2＝49 （3）
（3）－（2），得：xy＝12
∴直角三角形的面积是xy＝×12＝6（cm2）
【变式3】若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求n。
思路点拨：首先要确定斜边（最长的边）长n+3，然后利用勾股定理列方程求解。
解：此直角三角形的斜边长为n+3，由勾股定理可得：
2 2 2
（n+1）2+（n+2）2＝（n+3）2
化简得：n2＝4
∴n＝± 2，但当n＝－2 时，n+1＝－1<0，∴ n＝2
总结升华：注意直角三角形中两“直角边”的平方和等于“斜边”的平方，在题目没有给出哪条是直角边哪条是斜边的情况下，首先要先确定斜边，直角边。
【变式4】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）
A 、8，15，17
B 、4，5，6
C 、5，8，10
D 、8，39，40
解析：此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断，
对数据较大的可以用 c 2＝a2+b2的变形：b2＝c2－a2＝（c－a）（c+a）来判断例如：对于选择D，
∵82≠（40+39）×（40－39），
∴以8，39，40 为边长不能组成直角三角形。同理可以判断其它选项。【答
案】：A
【变式5】四边形ABCD中，∠ B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。
解：连结AC
∵∠ B=90°，AB=3，BC=4
∴AC2=AB2+BC2=25（勾股定理）
∴AC=5
∵AC2+CD2=169，AD2=169
∴ AC+CD=AD
∴∠ ACD=9°0 （勾股定理逆定理）
∴S 四边形ABCD=S△ABC+S△ ACD= AB·BC+ AC· CD=36
类型二：勾股定理的应用
2 、如图，公路MN和公路PQ在点P 处交汇，且∠ QPN＝30°，点 A 处有一所中学，AP ＝160m。假设拖拉机行驶时，周围100m 以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒
思路点拨：(1)要判断拖拉机的噪音是否影响学校A，实质上是看 A 到公路的距离是否小于100m, 小于100m则受影响，大于100m则不受影响，故作垂线段AB并计算其长度。 (2)要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校A 的影响所行驶的路程。因此
必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学校。
解析：作AB⊥MN，垂足为B。
在Rt ΔABP中，∵∠ ABP＝90°，∠ APB＝30°，AP＝160，
∴ AB＝AP＝80。 (在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半)
∵点 A 到直线MN的距离小于100m, ∴这所中学会受到噪声的影响。
如图，假设拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响，那么AC ＝100(m)，
由勾股定理得：BC2＝1002-802＝3600,∴ BC＝60。
同理，拖拉机行驶到点 D 处学校开始脱离影响，那么，AD＝100(m)，BD＝
60(m), ∴CD＝120(m)。
拖拉机行驶的速度为: 18km/h ＝5m/s
t ＝120m÷5m/s＝24s。
答：拖拉机在公路MN 上沿PN方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为24 秒。
总结升华: 勾股定理是求线段的长度的很重要的方法,若图形缺少直角条件,则可以通过
作辅助垂线的方法, 构造直角三角形以便利用勾股定理。
举一反三 【变式 1】如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷 径”，在花园内走出了一条“路” 。他们仅仅少走了 ____ 步路（假设 2 步为 1m ），却 踩伤了花草。
解析：他们原来走的路为 3+4＝ 7（m ）
设走“捷径”的路长为 xm ，则 故少走的路长为 7－ 5＝ 2（m ）
又因为 2步为 1m ，所以他们仅仅少走了 4步路。【答案】 4
【变式 2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长 为 1 的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形。 （1）直接写出单位正三角形的高与面积。
（2）图中的平行四边形 ABCD 含有多少个单位正三角形平行四边形 ABCD 的面积是多少？
3）求出图中线段 AC 的长（可作辅助线）
3）过 A 作 AK ⊥BC 于点 K （如图所示），则在 Rt △ACK
中，
答案】
1）单位正三角形的高为 2）如图可直接得出平行四边形
面积是
ABCD 含有 24 个单位正三角形，因此其面积
，故
类型三：数学思想方法
（一）转化的思想方法我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决．
3 、如图所示，△ ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥ DF，若BE=12，CF=5．求线段EF的长。
思路点拨：现已知BE、CF，要求EF，但这三条线段不在同
一三角形中，所以关键是线段的转化，根据直角三角形的特征，
三角形的中线有特殊的性质，不妨先连接
通过此题，我们可以
AD．解：连接AD．
因为∠ BAC=90°，AB=AC．又因为AD为△ ABC的中线，
所以AD=DC=D．BAD⊥ BC．
且∠ BAD=∠C=45°．
因为∠ EDA+∠ADF=90°．又因为∠ CDF+∠ADF=90°．
所以∠ EDA=∠CDF．所以△ AED≌△ CFD（ASA）．
所以AE=FC=．5
同理：AF=BE=1．2
在Rt △AEF中，根据勾股定理得：
，所以EF=13。
总结升华：此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识了解：当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解。