导数中的零点问题教学文案
导数中的零点问题
导数中的零点问题
1．已知函数.
（Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线垂直，求实数的取值；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）记.当时，函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围.
2．已知函数
（Ⅰ）若的图像与直线相切，求
（Ⅱ）若且函数的零点为,
设函数试讨论函数的零点个数.（为自然常数）
3．已知函数.
（1）若时，讨论函数的单调性；
（2）若函数在区间上恰有2个零点，求实数的取值范围.
4．已知函数（为自然对数的底数，），在处的切线为.
（1）求函数的解析式；
（2）在轴上是否存在一点，使得过点可以作的三条切钱？若存在，请求出横坐标为整数的点坐标；若不存在，请说明理由.
5．已知函数()()2
2ln ,0x f x x a R a a
=-∈≠.
（1）讨论函数()f x 的单调性；
（2） 若函数()f x 有最小值，记为()g a ，关于a 的方程
()2
19g a a m a
+-
-=有三个不同的实数根，求实数m 的取值范围.
6．已知函数()2x a
f x x e
=-+
(a R ∈， e 为自然对数的底数). （Ⅰ）求函数()f x 的极值；
（Ⅱ）当1a =时，若直线:2l y kx =-与曲线()y f x =没有公共点，求k 的最大值.
7．已知函数（为自然对数的底数）.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）当时,不等式恒成立,求实数的取值范围；
（3）设，当函数有且只有一个零点时,求实数的取值范围.
8．已知函数.
（1）若函数有两个零点，求实数的取值范围；
（2）若函数有两个极值点，试判断函数的零点个数.
9．已知函数.
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）是否存在实数，使得有三个相异零点？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
10．已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）记，当时，函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围.
11．已知函数.
（1）讨论的导函数零点的个数；
（2）若函数的最小值为，求的取值范围.
12．．
（1）证明：存在唯一实数，使得直线和曲线相切；（2）若不等式有且只有两个整数解，求的范围．
13．已知函数()()323,f x ax bx x a b R =+-∈在点()()1,1f 处的切线方程为
20y +=．
（1）求函数()f x 的解析式；
（2）若经过点()2,M m 可以作出曲线()y f x =的三条切线，求实数m 的取值范围．
14．已知函数()()22
ln ,f x x a x a R x
=+
-∈． （1）若()f x 在2x =处取极值，求()f x 在点()()1,1f 处的切线方程； （2）当0a >时，若()f x 有唯一的零点0x ，求[]0.x
参考数据： ln20.693,ln3 1.099,ln5 1.609,ln7 1.946.====
15．已知函数()()ln 1x m f x e x x m x -=---； （1）若1m =，求证： ()f x 在()0,+∞上单调递增； （2）若()()='g x f x ，试讨论()g x 零点的个数.
16．已知函数()?sin 1ax f x e x =-，，其中0a >．
(I)当1a =时，求曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线方程； (Ⅱ)证明： ()f x 在区间[]0π，上恰有2个零点．
参考答案
1．（Ⅰ）；（Ⅱ）当时,减区间为；当时，增区间为，减区间为；（Ⅲ）．
【解析】
【分析】
（1）先求出函数f（x）的定义域和导函数f′（x），再由两直线垂直的条件可得f′（1）＝﹣3，求出a的值；
（2）求出f′（x），对a讨论，由f′（x）＞0和f′（x）＜0进行求解，即判断出函数的单调区间；
（3）由（1）和题意求出g（x）的解析式，求出g′（x），由g′（x）＞0和g′（x）＜0进行求解，即判断出函数的单调区间，再由条件和函数零点的几何意义列出不等式组，求出b的范围．
【详解】
（Ⅰ）定义域，，，
∴．
（Ⅱ）
当，，单减区间为
当时
令，单增区间为；令，单减区间为
当时，单减区间
∴当时,减区间为；
当时，增区间为，减区间为；
（Ⅲ）
令，，
令，；令，
∴是在上唯一的极小值点，也是唯一的最小值点∴
∵在上有两个零点
∴只须
∴．
【点睛】
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性以及几何意义、函数零点等基础知识，注意求出函数的定义域，考查计算能力和分析问题的能力．
2．（1）（2）有两个不同的零点
【解析】分析：（Ⅰ）设切点坐标为，故可以关于的方程组，从该方程组解得．
（Ⅱ）因，故为减函数，结合可得的零点．又是分段函数，故分别讨论在上的单调性，结合
利用零点存在定理得到有两个不同的零点．
详解：（Ⅰ）设切点，所以，故，从而
又切点在函数上，所以即，故，
解得，．
（Ⅱ）若且函数的零点为，
因为，，为上的减函数，
故．
当时，，
因为，
当时，；
当时，，
则在上单调递增，上单调递减，则,
所以在上单调递减．
当时，，
所以在区间上单调递增．
又，且；
又，
所以函数在区间上存在一个零点，在区间上存在一个零点．
综上，有两个不同的零点．
点睛：处理切线问题的核心是设出切点坐标，因为它的横坐标沟通了切线的斜率和函数在该值处的导数．零点问题需要利用导数明确函数的单调性，再结合零点存在定理才能判断函数零点的个数．
3．（1）见解析；（2）
【解析】分析：（1）求出，分三种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）分三种情况讨论的范围，分别利用导数研究函数的单调性，结合零点存在定理与函数图象，可筛选出函数在区间上恰有2个零点的实数的取值范围.
详解：（1）
当时，，此时在单调递增；
当时，
①当时，，恒成立，，此时在单调递增；
②当时，令
在和上单调递增；在上单调递减；
综上：当时，在单调递增；
当时，在和上单调递增；
在上单调递减；
（2）当时，由（1）知，在单调递增，，
此时在区间上有一个零点，不符；
当时，，在单调递增；，
此时在区间上有一个零点，不符；
当时，要使在内恰有两个零点，必须满足
在区间上恰有两个零点时，
点睛：导数及其应用通常围绕四个点进行命题．第一个点是围绕导数的几何意义展开，；第二个点是围绕利用导数研究函数的单调性、极值(最值)展开，设计求函数的单调区间、极值、最值，已知单调区间求参数或者参数范围等问题，在考查导数研究函数性质的同时考查分类与整合思想、化归与转化思想等数学思想方法；第三个点是围绕导数研究不等式、方程展开，涉及不等式的证
明、不等式的恒成立、讨论方程根等问题，；第四个点是围数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力．
4．（1）（2）不存在横坐标为整数的点，过该点可以作
的三条切线.
【解析】分析：(1)求出f（x）的导数，由切线方程可得切线斜率和切点坐标，可得a=2，即可得到f（x）的解析式；(2)令，设
图象上一点，，该处的切线, 又过点则过作3条不同的切线，则方程有3个不同实根,进而构造，图象与轴有3个不同交点
详解：（1），
由题意可知
，，即
（2），令，
设图象上一点，，
该处的切线
又过点则①
过作3条不同的切线，则方程①关于有3个不同实根
令
，
图象与轴有3个不同交点
（1）当，，是单调函数，不可能有3个零点 （2）当，
或
时，
当时，
所以在
单调递减，
单调递增，
单调递减
曲线
与轴有个交点，应该满足
，
，当，又，所以无解 （3）当
，
或
时，
，当
时，
在
单调递减，单调递增，单调递减，应满足
，，当，又，无解，
综上，不存在横坐标为整数的点，过该点可以作
的三条切线.
点睛：（1）函数零点个数（方程根的个数）的判断方法：①结合零点存在性定理，利用函数的单调性、对称性确定函数零点个数；②利用函数图像交点个数判断方程根的个数或函数零点个数．
（2）本题将方程实根个数的问题转化为两函数图象交点的问题解决.
5．（1）当0a <时， ()f x 在()0,+∞上递减，当0a >时， ()f x 在(a 上递
减，在
)
,a +∞上递增；（2）11
ln23ln333
ln m -+<<-+.
【解析】试题分析：（1）函数求导得()22
'x f x a x
=-，分0a <和0a >两种情况
讨论即可；
（2）结合（1）中的单调性可得最值()1ln g a a =-，即2
ln (0)9m a a a a
=-->，令()2
ln (0)9F a a a a a
=-->，求导得单调性得值域即可. 试题解析： （1）()22
'x f x a x
=
-， (0)x >， 当0a <时， ()'0f x <，知()f x 在()0,+∞上是递减的； 当0a >时， (
)(
2'x x f x ax
-=
，知()f x
在(
上是递减的，在
)
+∞上递增的.
（2）由（1）知， 0a >， (
)min 1ln f x f a ==-，即()1ln g a a =-，
方程()219g a a m a +-
-=，即2
ln (0)9m a a a a
=-->， 令()2
ln (0)9F a a a a a
=--
>，则()()()22
313212'199a a F a a a a --=-+=， 知()F a 在10,3?? ???和2
,3??+∞ ???是递增的， 12,33?? ???是递减的，
()11ln333F a F ??==-+ ???极大， ()21
ln2333
F a F ln ??==-+ ???极小，
依题意得11
ln23ln333
ln m -+<<-+.
点睛：已知函数有零点求参数常用的方法和思路：
（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成函数的值域问题解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一个平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解.
6．（1）见解析（2）k 的最大值为1.