一类非线性四阶波动方程的初边值问题

（ ）且 ｕ ｘ０ ， （ ， ）＝／ （ Ｚ ）于 （ ）ｎ （ ， ｏ 力） ｕ（ ０ ， ）＝ ｕ （ ）于 ￡ （ ． 力） 定 理 １ 设 “ ）满 足 （ ，。∈ ／ （２ Ｈ） ｔ ／）ｎ ２ ｏ
而 ｐ＋２≤
＜
， ＞４ ２ ＜ｐ＋２ ＜ ∞ ， ｎ ；
第２ ６卷 第 ４期
哈 尔 滨 师 范 大 学 自然 科 学 学 报
ＮＡＴ ＵＲＡ ＣＥＮＣ ＳＪ ＬＳ Ｉ Ｅ ＯＵＲ ＮＡＬ ＯＦ ＨＡＲ Ｎ ＮＯ ＢＩ ＲＭＡＬ ＵＮ ＶＥ Ｉ Ｙ Ｉ ＲＳＴ
Ｖ １２ ， ｏ４２ １ ｏ． ６ Ｎ ． ０ ０
一
类 非 线 性 四 阶 波 动 方 程 的 初 边 值 问题
△“ Ｊｎ＝０ 其 中 ∈Ｒ 为有界 域． ， 利用 Ｇ ｌｒｉ 方 法证 明 了如 果厂 （ ）≤ Ｃ 且 存在 ａｅｋｎ Ｓ ｏ
Ａ
常数 Ａ、 Ｂ使 得 Ｉ ≤ Ａｌ ＋Ｂ， 中 ０ ＜Ｐ≤ 厂 （ ）Ｉ ５ Ｉ 其
儿 一
， 凡＞４ ０ ＜Ｐ ＜ ∞ ， ： ； ｎ
收稿 日期 ：０ ９—０ ２０ ５—１ ２
Ｅ［，） ０Ｔ 成立（； ＋ｌ △ ， ）ｒ （ ｕ ） （ △ ｄ ＋ ，） ，
０
，Ｉ
＝
ｆ（ ） ） ＋（１ ， ｄ Ⅱ， （ｏ‘ ， ∈ ）＋ ，） Ｖ Ｐ
第 ４期
一类非线性四阶波动方程 的初边值问题
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一
时 ， Ｐ ＜ ∞ ， Ｉ ｌ ≤ ＣＩ １≤ 且 ｌ ｌ ＵＩ ｌ ｌ 引 理 ２。 对 ∈ （ ） ｌ ｕｌ 为 ，Ｉ △ ｌ ｌ ｌ 的等价模 ． ｌ ｌ ． 文中 ， 对 ｕ ）作如 下假 设 ：
估计 和 时空估 计 ， 利用 这 些估 计 研究 了 并
卞 春 雨
（ 哈尔滨师范大学 ）
【 摘要 】 研究 当ｎ≥４ 一类弱阻尼非线性 四阶波动方程的初边值 问题 “ Ａ ＋
＋Ｏ ｌ＝／ ） ＞０ ∈力， Ｌ Ｕ ． ， （ ， ｔ＞０ “ ， ） ｔ （ ，ｌ ０ ＝Ｉ （ ， ＝０ ， （ ０ ＝Ｉ ） “（ ） ｔ ） “Ｉ ０ ， １ ｍ ，
ｎ＝４， 而 由（ ） 、７ 式 、 从 ６ 式 （ ） 引理 １ 引理 ２ 得 及 可
（ ， ∈ （ ，（）＝一Ｉ （）ｙ （） ） ）Ｆ Ｙｄ ｓ
，ｌ
般 的非 线 性 项 ， 而且 关 于 问题 （ ） ～ （ ）的 １ ４
解 还 未被 研 究 过． 该 文 中利 用 Ｇ ｌｒｉ 在 ａｅｋｎ方 法 研究 了问题（ ）～（ ） １ ４ 整体弱解的存在性 、 唯一性 及 渐 进 性 质 ． 方 便 记 ， 函数 的 （ 为 将 力）
＋Ｂ， 中 ０＜Ｐ≤—！ ｎ＞４０ ＜Ｐ ＜∞ ， 其 ， ； ｎ＝４ ． 定义 称 “ ，） 问题 （ ） 一 （ ）在 × （ ｔ是 １ ４
论． 陈勇明 ， 杨晗等在参考文献 ［ ，］中利用位势 ２３ 井 理论 研究 了方 程 ＋ 。 “＝Ｉ ｌ 整体解 △ “＋ “ ｆ“ 卜

其 中 力为 Ｒ 中边界 充分 光滑 的有界 域 ， ＞０ ． 方 程 （ ） 一类 梁 震 动 方 程 …． 不具 有 耗 １是 在
散项 的情 况下 Ｌｖｎ ｏｋ 在参考 文献 ［ ］ ｅａｄ ｓｙ １ 中研究 了方程 ｕ ＋△ ｕ＋ ＝Ｉ Ｉ Ｍ 对应 的线性 方程 的
（ ）的范数 用 ｌ ｌ， Ｍ 表示 Ｉ・Ｉ ｐ ； ｋ
“ ＋Ａ ＋ Ⅱ ＃＝厂 ｕ ， Ｅ ， （ ） ｔ＞０ （ ） １ “ ， ） ＝ｕ （ ， （ ０ （ ０ ０ ） ， ）＝“ （ ， ∈力 １ ）
（） ２ ｕＩ ＝０ ｍ △ 加 ＝０ Ｍｌ （） ３ （） ４
的存 在性 、 唯一性 及光 滑性 ， 构造不 稳定集 证 明 了 解在 有 限时刻 发生 爆 破． 是 上 述 方 程都 不 具备 但
一
［ ，） ０ Ｔ 的整体弱解 ： “ ， 若 （ ｔ ）∈Ｌ ０ ； （ （ ， ）
ｎ （ ） ， ，）∈Ｌ ０ Ｔ Ｌ（－ ）对 所有 ｔ ） ｕ（ ｔ （ ， ； １） １
［， ５ １２，］所研 究的 问题 ， 到 了较 好的 结果． 得
关键词 ：波动 方程 ； 整体弱 解 ； 边值 问题 初
考 虑如 下 非 线性 四 阶 波 动方 程 的初 边 值 问
题：
范 数记 为 ｌ Ｉ・ Ｓｂ ｌ ｏ ｏｅ 间 ｖ空
， ＝２时 ，Ｉ・ Ｐ Ｉ
＝ Ｉ ｌ・
“ 对时间变量 ｔ 求导 ；ｕ （， ）＝Ｊ ｖｘ ｆｕｄ． ｎ
引理 １ Ｓ ｂ ｌｖ 入定 理 ） （ ｏ ｏｅ 嵌 设 ｃ Ｒ 有 “
， ＇ ’．
界且 是 有 锥 性 质 ， 当 ２ 则 ｋ≤ 几时 ， （ ）嵌 入
（ ）其 中 ２ ， ｋ＜乃时 ， １≤Ｐ≤ ； ２ ＝凡 当
叶
４，。∈ （ “ 力）ｎ （ ）ｕ ，。∈ Ｌ （ ） 则 问题 存 在 整 体 弱 解 （ ￡ ∈ Ｌ ０， ， ，） （ ； （ ）ｎ ｎ （ ） ｏ ） ．并 且 讨 论 了 问题 整 体 弱 解 的 唯 一 性 及 渐 进 性 ， 宽 了文 献 ＇ 拓
方程 １ ３ ， “＋△ ｕ＋ｕ＋仅 ‘＝ ＿ ｕ ＩｕＩ 。 ｕ的 Ｃ ｕ ｈ ａ ｃ ｙ问
题 的局部 解 的存在 性及 渐进 性质 和低 能量 散射 理
（ ） 凡≥４ ∈Ｃ Ｈ 设 （） ｓ 上方有界 ， 即存 在 常数 Ｃ ， ｆ （）≤ Ｃ ， Ｉ ｓ ≤ Ａ｝ 。使 ｓ ｏ且 厂 （）Ｉ ｓ Ｉ