非线性四阶周期边值问题正解的存在性和多重性
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四阶变系数泛函微分方程边值问题正解的存在性
１
厶
（ ０ ） 一 ０ ； ｆ ｏ ｒ Ｖ ｔ ∈［ ０ ， １ ］ ， “ （ ） 一ｕ （ ｔ ＋ ） ， ∈［ 一 ｒ ， ０ ］ ， ｏ ≤ｒ ≤＿ 去 ＿ ｉ ｓ ａ ｃ ｏ ｎ ｓ ｔ ａ ｎ ｔ ．
Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄ ｓ ：ｆ ｏ ｒ ｔ ｈ ｏ ｒ ｄ ｅ ｒ ｆ ｕ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ ｄ ｉ ｆ ｆ ｅ ｒ ｅ ｎ ｔ ｉ ａ ｌ ｅ ｑ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ； ｏ ｐ ｅ ｒ ａ ｔ ｏ ｒ ｓ ｐ ｅ ｃ ｔ ｒ ａ ｌ ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ｅ ｍ ；ｆ ｉ ｘ ｅ ｄ ｐ ｏ ｉ ｎ ｔ ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ｅ ｍ
ｆ Ｕ ‘ （ ｔ ） ＋ Ｂ（ ￡ ） （ ￡ ） 一Ａ（ ） （ ￡ ）一 ｆ （ ｔ ， Ｕ ） ，ｔ ∈Ｅ ｏ ， １ ］ ，
（ ￡ ）一 （ ） ，ｔ ∈［ 一ｒ ， ０ ］ ，
ｌ “ （ ０ ）一 （ １ ） 一Ｕ ｐ （ ０ ）一 Ｕ ｐ （ １ ） 一０
≠ （ ｏ ） ＝ ０ ； 对 Ｖ ￡ ｅ ［ ｏ ， １ ］ ， （ ） 一 “ （ ＋ ） ， 这 里 ｏ ｅ Ｅ — ｒ ， ｏ ］ ， ｏ ≤ ｒ ≤ ÷ 为 一 个 常 数
关 键 词 ： 四 阶 泛 函微 分 方 程 ；预 解 算 子 定 理 ；不 动 点 定理
中图 分 类 号 ：０ １ ７ ５ ． ８ 文 献标 识 码 ：Ａ 文 章 编 号 ：］ ０ ０ １ — ９ ８ ８ Ｘ（ ２ ０ １ ３ ） ０ １ — ０ ０ ０ ５ — ０ ５
Ｉ “ （ ｏ ）一 （ １ ）一 （ ｏ ）一 （ １ ）＝ ０
正 解 的存 在 性 ， 其 中 Ａ（ ￡ ） ， Ｂ（ ） ∈ｃ ［ ｏ ， １ ］ ， ｆ （ ｔ ， Ｕ ） ： ［ Ｏ ， １ ］ ×Ｃ 一 一 ［ Ｏ ， 。 。 ） 是连 续 泛 函， （ ） ∈Ｃ （ ［ 一ｒ ， Ｏ ］ ， ［ Ｏ ， ｏ 。 ） ） ，
厶
（ ０ ） 一 ０ ； ｆ ｏ ｒ Ｖ ｔ ∈［ ０ ， １ ］ ， “ （ ） 一ｕ （ ｔ ＋ ） ， ∈［ 一 ｒ ， ０ ］ ， ｏ ≤ｒ ≤＿ 去 ＿ ｉ ｓ ａ ｃ ｏ ｎ ｓ ｔ ａ ｎ ｔ ．
Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄ ｓ ：ｆ ｏ ｒ ｔ ｈ ｏ ｒ ｄ ｅ ｒ ｆ ｕ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ ｄ ｉ ｆ ｆ ｅ ｒ ｅ ｎ ｔ ｉ ａ ｌ ｅ ｑ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ； ｏ ｐ ｅ ｒ ａ ｔ ｏ ｒ ｓ ｐ ｅ ｃ ｔ ｒ ａ ｌ ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ｅ ｍ ；ｆ ｉ ｘ ｅ ｄ ｐ ｏ ｉ ｎ ｔ ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ｅ ｍ
ｆ Ｕ ‘ （ ｔ ） ＋ Ｂ（ ￡ ） （ ￡ ） 一Ａ（ ） （ ￡ ）一 ｆ （ ｔ ， Ｕ ） ，ｔ ∈Ｅ ｏ ， １ ］ ，
（ ￡ ）一 （ ） ，ｔ ∈［ 一ｒ ， ０ ］ ，
ｌ “ （ ０ ）一 （ １ ） 一Ｕ ｐ （ ０ ）一 Ｕ ｐ （ １ ） 一０
≠ （ ｏ ） ＝ ０ ； 对 Ｖ ￡ ｅ ［ ｏ ， １ ］ ， （ ） 一 “ （ ＋ ） ， 这 里 ｏ ｅ Ｅ — ｒ ， ｏ ］ ， ｏ ≤ ｒ ≤ ÷ 为 一 个 常 数
关 键 词 ： 四 阶 泛 函微 分 方 程 ；预 解 算 子 定 理 ；不 动 点 定理
中图 分 类 号 ：０ １ ７ ５ ． ８ 文 献标 识 码 ：Ａ 文 章 编 号 ：］ ０ ０ １ — ９ ８ ８ Ｘ（ ２ ０ １ ３ ） ０ １ — ０ ０ ０ ５ — ０ ５
Ｉ “ （ ｏ ）一 （ １ ）一 （ ｏ ）一 （ １ ）＝ ０
正 解 的存 在 性 ， 其 中 Ａ（ ￡ ） ， Ｂ（ ） ∈ｃ ［ ｏ ， １ ］ ， ｆ （ ｔ ， Ｕ ） ： ［ Ｏ ， １ ］ ×Ｃ 一 一 ［ Ｏ ， 。 。 ） 是连 续 泛 函， （ ） ∈Ｃ （ ［ 一ｒ ， Ｏ ］ ， ［ Ｏ ， ｏ 。 ） ） ，
非线性四阶椭圆边值问题解的存在性与唯一性
定 １设 、 Ｂａ空 ， 非 性 子 Ｊ ｉ ｌ 义 Ｆ ａ ｈ 间如 线 算 Ｉｉ『 为ｎ ｃ 果 ｎｌ ７
－ Ｆ在 Ｅ上是 单一 的 ， 厂 ： 并且－和厂 别 在 Ｅ和 － ） 厂 分 厂 （ ２ 若 对所 有 的 粕 ∈ ） 上是连续 的 ， 称－是 一个 将 Ｅ映上 － ） 同胚 ； 则 厂 厂 的 （ 如果 （ ） ２ 的解在 Ｅ中唯
非线性 四阶椭 圆边值 问题 解 的存在 性与 唯 一性
赵 静 ， 松 年 何
（ 国民航 大 学 理 学 院 ， 中 天津 ３ ０ ０ ） ０ ３０
摘 要 ： 别 利 用全 局 同胚 理论 和动 力 系统 理 论 的 一 些 结论 ， 究 了非 线 性 四 阶 椭 圆边 值 问题 解 的 存 在性 与唯 一性 。得 分 研
（ 、 ） （ ）
任意 的 Ｙ∈Ｆ 非 线性方 程 ， ）Ｙ ＝ （） ２
曲线 ， 并且边界 曲线的主曲率是有界 的，
是定义在 上 的 Ｓ ｂ ｌ 空间凹 ｏ ｏｅ ｖ ， △是 ｎ 维拉普拉斯算子 。
到 的 结 果 改进 和 推 广 了非 线性 四阶 椭 圆边 值 问题 的 相 应 结 果 。
关 键 词 ： 阶 椭 圆方 程 ； 值 问题 ； 胚 ； 值 问题 ； 拓 性 四 边 同 初 延
中图 分 类 号 ： ７ ． ０１ ７２
文 献 标识 码 ： Ａ
文 章 编 号 ：０ １５ ０ （ ０ ８ ０ ・０ ・ ４ １ ０ ・０ ０ ２ ０ ） ２ ０ ６１０
Ｅｘ ｓｅ ｅ ａ Ｕｎｉ ｕｅ ｓ ｏ ｏ ｕ ｉ ｎ ｏ ｉｔｎｃ ｎｄ ｑ ｎｅ ｓ ｆ Ｓ ｌ ｔｏ ｓ ｆ ｒ Ｎｏ ｌｎｅ ｒ ｎ ｉ ａ Ｆｏ ｔ Ｏｒ ｒ Ｅｌｉ ｉ ｕｎｄａ ｙ Ｖａ ｕｅ ｕｒ ｈ ｄｅ ｌｐｔｃ Ｂｏ ｒ ｌ Ｐｒ ｂｌｍ ｓ ｏ ｅ
两参数非线性四阶边值问题的可解性
论文 始终假 设 ：
（１ 日 ）存在 ｄ＞０ 使得ｆ （ ，）×［ ， ］×［ ｌ ，１］×［ ２ｄｋｄ ， ：０ １ 一ｄ ｄ 一ｋｄ ｋ ｄ 一ｋ ，，２］×［ ３ｄｋｄ 一 一ｋ， ， ］ ３ （ 一∞ ，＋∞）连 续 ； （ ２ 存在非负函数 ｈ∈ｃ ｏ １ ０ １ ， ／） ４ （ ，）ｎ Ｌ ［ ，］ 使得 ｌ （，０ｕ ，２ ３ Ｉ ｈ ｔ ， ∈ （ ，）Ｍ ∈ ，ｔｕ ，１“ ， ） ≤ （）ｔ ０ １ ，ｊ
［ ｄ ｄ ， ＝０，，，． 一 ， ］ １２３
此 记 （ ＝ （—）＋ ｃ＋ （ 一 一 —） ｌ ＝ａ ｕ￡， 外 ｆ 吉Ｄ ｃ 寺ｆ ６ ６ ２ Ｄ ＋，＝｝ ｌ ’ Ｉ ） ￡ ＢＡＣ ｔ ｙ ｕ ｍ （ ｘ ） Ｉ
第３ ２卷 第 ５期
两参数非 线性 四阶边值 问题 的可解性
蝴 庆 六 ＆
（ 南京财经大 学 应用数学系 ， 江苏 南京 摘 ２０ ０ ） １０ ３
要 ： 用全连续映像 的 Ｌｒｙ—Ｓｈｕ ｅ 不动 点定 理 ， 含有 各 阶导数 的两参 数非 线性 四 阶边 利 ｅａ ｃ ａｄｒ 对
值 问题 建立 了一个解 的存 在定理． 这个定 理表 明如果非线 性项是 在某个有 界集合 上的 “ 高度 ” 的积 分是
设 ０卢 ∈ ， ＜２ ０ ≥一 ， ＋ ［ 卢 ， 盯 ，ｃ
＿ ｒ １ Ｔ 丌
＜１ 文考 察下 列非 线 性 四阶两 点边 值 问题 ．论
， 、 ’ ｔ ｐ ｆ ¨ （）＋３”ｔ ｕ（）一Ｏ （）＝ ￡ （） （）ｔ（） （） ， ｔ １ ｔ ｔ ， ｔ ， ｔ ，ｎ￡ ， ｔ ）０≤ ≤ Ｕ ｔ 【（ ）＝Ａ， （ ） ：Ｂ， （ ） ＝ Ｃ，”１ ＝Ｄ “０ ｕ１ ０ （） 在力学中， 问题 （ ） Ｐ 是一类典型的梁方程 ＿ ． ２ 它描述了两个端点被简单支撑的弹性梁的形变． ］ 在
带2个参数四阶边值问题的正解及多个正解的存在性
０ Ｉ … ） ２ ｓ ｄ ｉ ｄ ， １ ＝＝ ＋ ｕ）ｎ ｔ ｓ警 ＝ 矛 ｌ （ ” ） ＝ ｎ ｔ １ 盾 （ｉ
２ 预 备 知 识 及 主 要 工 具
设 Ａ ， ２ 多项式 Ｐ（ 。Ａ 是 Ａ）＝Ａ ＋ 一Ｏ的两根 ，即 Ａ ，２＝ （ 卢 ± ｔ ｌＡ 一 ＋４ ）２ ａ ／．
正解的存在性．文［ ］ ６ 利用锥上的不动点指数理论讨论 了非线性项含二阶导数项的边值问题
ｆ ” ￡ Ｍ （）＋卢 ￡ “ （ ）一Ｏ （ ）： ｔ ， （ ） ， Ｌ ， ） ” ） ｔ∈ （ ，１ ， Ｕ （ ０ ） 【 比较少 ． ｕ０ （ ）＝ Ｍ １ ＝ ／（ ）＝ ｕ（ ） ＝０ （） ｆ ０ ｉ ｔ ”１
设 Ｅ＝｛ ∈ ０ １ 且 ｕ Ｏ ＝ １ ： ｎＯ ＝ １ ＝ ｝ 定义范数为 『 『＝｝ ”ｌ ， ∈ ． ｕ Ｃ ［ ，］ （ ） Ｕ（ ） Ｕ（ ） Ｕ （ ） Ｏ ， ｌ ｌ Ｊ ｌ Ｖ Ｅ “ ａｘ ｌ ｔ Ｉ 其 中： ＊＝ ｍ ＇ ］ ） ， Ｅ是一个 Ｂ ｎｃ Ｉ Ｉ ［ｌ ｕ ＭＩ （ 则 ａａｈ空间・ ０
第２ ５卷第 １期
２１ ０ ２年 １ 月
烟 台大 学学 报 （ 自然科 学 与工程 版 ）
Ｊｕｎ ｌ ｆ ａｔｉ ｎｖｒｔ Ｎ ｔｒ ｃ ｎｅａ ｄＥ ｇ ｅｒ ｇＥ ｉｏ ） ｏ ｒａ ｏ Ｙ ｎａ ’ ｉｅｓｙ（ ａｕａ Ｓ ｉ ｃ ｎ ｎ ｉ ｅｉ ｄｔ ｎ Ｕ ｉ ｌ ｅ ｎ ｎ ｉ
的正解及 多个正解的存在性 ，平 出了与该问题相应的线性 问题的第一个特征值有关的 ：给
最优 结果 ． 文首先 给 出了一 个锥 ， 对 ．施 加 一 定 的条 件 ， 本 并 厂 然后 应 用锥 上 的不 动 点 指数 理 论得 到 了该 问题 正 解的存 在性 ．
一类四阶两点边值问题多个正解的存在性
第２卷 第１ ７ 期
２ １ 年 ０ 月 ００ ２
工
程
数
学
学
报
ｖ １２ ｏ １ ｏ ７ ． ． Ｎ
Ｆ ｂ ００ ｅ ．２ １
ＣＨＩ ＮＥＳ Ｊ ＵＲＮＡＬ Ｆ ＥＮＧＩ Ｅ Ｏ Ｏ ＮＥＥＲＩ ＮＧ ＡＴＨＥＭ ＡＴＩ Ｍ ＣＳ
文章编－： ０—ｏ５２ｌ）ｌ０３—６ ￣ １ ５３８（ＯＯＯ一１３０ －０
（ ３ ）
受 以上工作 的启发 ，本文试 图考察 四阶边值 问题 ｆ） ３ 多个正解 的存在性 。当 ＝ ＝ ０ 时，
问题 （） 化为 问题 （） ３退 １，当 Ｏ＝ ＝ ０ Ｉｔ ｌ ， （ ）＝ ｈｔｆｕ 时， 问题 （） ， （ （） ） ３ 退化为 问题 （） ２。因此
本文的结果更具有一般性 。
（ ） ｆ： ， 】 ０ ｏ） ［ 。） １ ［ １×［ 。 一 ０ 。 连续； ０ ， ， （ ） Ｏ ∈Ｒ且 ＜２ Ｌ ， ７， ｒ 一 ／， ／ｒ＋ ７ ４ ７ ／ｒ ＜１ 。
２
预 备 知 识 及 引 理
设ｃｏ１为定义在 ［１上的连续实值函数构成的Ｂ ｎｃ 空间，其上范数为 ［ ］ ， ０】 ， ａａｈ
一
类 四阶 两点边值 问题 多个正解 的存在 性木
闰东 明
（ 西北师范大学数学与信息科学学院 ，兰州 ７ ０ ７ ） ３ ０ ０
摘
要：两端简单支撑弹性梁 的形变 可以用四阶常微分方程两点边值 问题 来描述 。 由于其在 物理 中的重要 性 ， 已有 许 多人 研 究 了 该类 问题 解 的 存 在 性 ，但 在 实 际应 用 中该 类 问 题 正 解 以及 多 个 正 解 的 存 在
在２０ 年，文献 【 应用不动点指数定理研究了四阶边值问题 ０３ ３ 】
２ １ 年 ０ 月 ００ ２
工
程
数
学
学
报
ｖ １２ ｏ １ ｏ ７ ． ． Ｎ
Ｆ ｂ ００ ｅ ．２ １
ＣＨＩ ＮＥＳ Ｊ ＵＲＮＡＬ Ｆ ＥＮＧＩ Ｅ Ｏ Ｏ ＮＥＥＲＩ ＮＧ ＡＴＨＥＭ ＡＴＩ Ｍ ＣＳ
文章编－： ０—ｏ５２ｌ）ｌ０３—６ ￣ １ ５３８（ＯＯＯ一１３０ －０
（ ３ ）
受 以上工作 的启发 ，本文试 图考察 四阶边值 问题 ｆ） ３ 多个正解 的存在性 。当 ＝ ＝ ０ 时，
问题 （） 化为 问题 （） ３退 １，当 Ｏ＝ ＝ ０ Ｉｔ ｌ ， （ ）＝ ｈｔｆｕ 时， 问题 （） ， （ （） ） ３ 退化为 问题 （） ２。因此
本文的结果更具有一般性 。
（ ） ｆ： ， 】 ０ ｏ） ［ 。） １ ［ １×［ 。 一 ０ 。 连续； ０ ， ， （ ） Ｏ ∈Ｒ且 ＜２ Ｌ ， ７， ｒ 一 ／， ／ｒ＋ ７ ４ ７ ／ｒ ＜１ 。
２
预 备 知 识 及 引 理
设ｃｏ１为定义在 ［１上的连续实值函数构成的Ｂ ｎｃ 空间，其上范数为 ［ ］ ， ０】 ， ａａｈ
一
类 四阶 两点边值 问题 多个正解 的存在 性木
闰东 明
（ 西北师范大学数学与信息科学学院 ，兰州 ７ ０ ７ ） ３ ０ ０
摘
要：两端简单支撑弹性梁 的形变 可以用四阶常微分方程两点边值 问题 来描述 。 由于其在 物理 中的重要 性 ， 已有 许 多人 研 究 了 该类 问题 解 的 存 在 性 ，但 在 实 际应 用 中该 类 问 题 正 解 以及 多 个 正 解 的 存 在
在２０ 年，文献 【 应用不动点指数定理研究了四阶边值问题 ０３ ３ 】
四阶奇异边值问题的正解的开题报告
四阶奇异边值问题的正解的开题报告一、研究背景和意义奇异边值问题是数学中的一个经典问题，其解决方法在实际工程和科学中有着广泛的应用。
而四阶奇异边值问题是一类更具有挑战性的问题，需要更为深刻的数学理论和方法来解决。
特别地，在实际工程中，四阶奇异边值问题通常出现在弹性力学、流体力学等领域。
例如，在弹性力学中，对于一些具有奇异边界条件的弹性体模型，其形变方程涉及到四阶导数，从而无法直接利用常规方法求解。
因此，研究四阶奇异边值问题的解析表达式，对于指导实际工程中的问题求解与应用，都具有非常重要的意义。
二、目标和内容本文主要研究四阶奇异边值问题的正解表示式，即通过数学方法，得到该问题在解析意义下的精确解。
具体地，本文将首先阐述四阶奇异边值问题的定义和数学模型，然后介绍现有方法对该问题进行求解的局限性和不足之处。
接着，讨论本文所采用的一种新的数学方法——非局部方式，以及如何将其应用到该问题的求解中。
最后，本文将给出四阶奇异边值问题的正解的数学表达式，以及对所得结果的分析和讨论。
三、方法和步骤本文所采用的数学方法为非局部方式。
具体而言，本文首先利用奇异积分算子将四阶奇异边值问题转化为定常弱奇异积分方程。
然后，采用非局部方式（Non-local Means, NLM）对该方程进行求解。
NLM方法是在经典局部图像处理中提出的一种非局部平均滤波算法，其解决了图像噪声去除中的大部分问题。
而在数学领域，该方法也被用于解决一些非线性偏微分方程的数值求解问题中。
本文将首先对该方法进行适当的调整，以适用于求解四阶奇异边值问题。
然后，将其应用到该问题的求解中，并对所得结果进行验证和比较。
四、预期成果和贡献本文的预期成果为：得到四阶奇异边值问题的正解表示式，该表示式将在解析意义下给出该问题的精确解。
同时，本文将对该问题的解析特征进行讨论和分析，从而为实际问题的解决提供相关的参考和指导。
本文的主要贡献在于：首次将非局部方式应用到四阶奇异边值问题的求解中，并给出该问题的正解表示式。
具变号非线性项的p-Laplacian方程边值问题正解的存在性
Ｖ０ ． ２ Ｎｏ． １３ １
Ｒｅ ． ０ ８ ｂ２ｏ
文章编号 ：００５ ６ （０８０ —０５０ １０ —８２２ ０ ） １ １—４ ０
具 变 号 非 线 性 项 的 Ｐ ａ ｌ ｉｎ方 程 边 值 —Ｌ ｐａ ａ ｃ 问 题 正 解 的 存 在 性
李相锋
（ 陇东学院 数学系 ，甘肃 庆阳 ７５０ ） ４０ ０
维普资讯
第３ ２卷第 １ 期 ２０ 年 ２月 ０８
江西 师范大学学报 （ 自然科 学版 ） Ｊ Ｕ Ｎ ＬＯ ＩＮ Ｘ Ｏ ＭＡ ＮＶ Ｒ ＩＹ Ｎ Ｔ Ｒ ＬＳ ＩＮ Ｅ Ｏ Ｒ Ａ ＦＪ Ｇ ＩＮ Ｒ ＬＵ ＩＥ ＳＴ （ Ａ Ｕ Ａ ＣＥ Ｃ ） Ａ
摘要 ： 利用不动点指数理论 ， 考虑了边值问题（ｖ ） ＢＰ ：
ｆ （ ｔ） ＋口 ｔ “ ｔ）＝００＜ ｔ １ （ “（）） （） （） ， ＜ ，
Ｉ， ） （ ＝ “０ ＝ １ ０ （ ）
．
在非线 性项 ＿ 变号的情况下 两个正解存 在的充分条件 ， 厂 可 推广 和改进 了现有 结果
（ （ ｔ ） ＋ａ ｔ “ ｔ ）＝０ ０＜ ｔ＜ １ 仍 “（） ） （） （ ） ， ， “ （ ）＝ “ １ ０ （ ）＝０ ， （） １ （） ２
至 少 ２ 正解 的存在 性 ．其 中 伤 （ 个 ）＝Ｉ
ｒｌ
， ＞１ （ Ｐ ． ）＝Ｉ Ｉ－ ２ ｑ 是 （ ）的反 函数 ， （／ ）＋ 且 １ｐ
维普资讯
１ ６
江西师范大学学报 （ 自然科学 版）
２Ｏ Ｏ８正
（ｕ＋（ ｔ １一ｔ ）≥ ｔ（ ）＋（ ） ａｕ １一 ｔ ） ） （ ，
对 所有 的 ｕ Ｅ Ｐ 以及 ｔ ［ ，］ ， ０１． Ｅ
一些非线性微分方程的存在性与多重性
一些非线性微分方程的存在性与多重性
本文主要考虑一些非线性微分方程(包括波动方程和椭圆方程)解的存在性与多重性问题.所使用的研究方法主要是非线性分析中的拓扑度理论.首先,我们考虑一类非线性变系数波动方程的Dirichlet-Neumann边值问题,通过分析变系数波算子的谱特征,在系数满足一定条件下,证明了变系数波算子的可逆性以及逆算子的紧性,然后利用Leray-Schauder度理论得到了时间周期解的存在性.进一步,在外力具有某种对称性条件下,我们还得到至少存在两个时间周期解.然后,我们考虑了非线性常系数波动方程的Neumann边值问题,通过引入适当的子空间,证明了波算子在子空间上的可逆性以及逆算子的紧性,进而利用拓扑度理论得到了时间周期解的存在性和多重性.最后,我们考虑变系数椭圆方程的
Dirichlet-Neumann边值问题,在系数满足适当的条件下证明了变系数椭圆算子的可逆性以及逆算子的紧性,利用拓扑度理论得到了解的存在性和多重性.。
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（） １
（） ２
其 中 厂∈ Ｃ（０ １ ［ ， ｏ ） ， ｃ（０ １ ，ｏ １） ａ ∈ （ 。 ， ｃ ） 常数 ． ［ ，７× Ｏ ＋ 。 ）ｒ∈ ［ ，］ Ｅ ，］ ， ， 一 。＋ ｘ 为 ３
Ｐ ＶＰ １ 一（ ） 述 了弹性 梁在周 期 边界 条件 下 的平 衡 态． Ｂ （） ２描 由于 其 在物 理 和数 学领 域 的重 要作 用 ，
正解 ， 指 满 足方 程 （ ） 是 １ 及边 界条 件 （ ） 并 且 （）＞ ０ ｔ∈ ［ ，］． ２， ￡ ， ０１ 记 Ｊ Ｏ １ 一 （ Ｃ ， 。 ），碾 一［ ，１， 一 × ＋ 。 ３ 一Ｅ ， 。 ） 首 先 ， ａ ａ ａ和 Ｌ ｉ 建 立 了 四 阶 算 子 ０ ＋ 。． Ｃｂｄ ｏｓ Ｅ
第２ ７卷 第 ５期
２１ 年 ｌ ０１ Ｏ月
大 学 数 学
ＣＯＬＬＥＧＥ ＡＴＨＥＭ ＡＴＩ Ｍ ＣＳ
Ｖｏ ． ７ № ． １２ ， ５
Ｏｃ ． ０１ ｔ２ １
非 线 性 四阶周 期 边 值 问题 正 解 的存 在 性 和多 重 性
．
杨 和
（ 北师范大学 数 学与信息科学学院 ， 肃 兰州 ７０７） 西 甘 ３０ ０
［ 稿 日期 ］ ２ ０—２２ 收 ０ ８１—２
３ ４
大 学 数 学
Hale Waihona Puke 第２ ７卷 一一
ｌ ｆ ｎ＿ ｉ ｉ ， ｍ ｎ ｍｉ
Ⅱ Ｏ 十 ｔ Ｉ Ｅ
—
，
７ 一ｌ ｐ ｘ 。 ｉ ｓ ， ｍ ｕ ｍａ ＿
＂ ０ 斗 ＋ ｔ 』 Ｅ
，
．
ｌ ｆ ｎ ｉ ｉ ｍ ｎ ｍｉ
种不 同的 四阶边值 问题 ［ ． 文研 究 四 阶常微分 方程 周期 边值 问题 （ Ｂ ） １本 ］ Ｐ ＶＰ ：
“ （） ￡ 一 （） 口 ｆ 一ｆ ｔ ｒ ｆ） ， ｔ ［ ，３ ｔ ＋ （） （， （） ） （ ∈ ０１，
‘ ０ （ ）一 ‘ １ ， ｉ １ ２ ３， （ ） 一 ， ，
“ ＋。 一 。 ｔ Ｅ “
，
—ｌ ｕ ｘ￡ ｉ ｓｐ ｍ ｍａ
“ ＋∞ 一 ｔ Ｉ ６ Ｕ
一
因此 ， 文献 ［］ 很大程 度 上推 广 了 文献 ［ ，］ ５在 ３ ４ 的结 论． 近 ， 献 Ｅ３ 文 献 ［ ］ 最 文 ６在 ５ 的基 础 上 当 ＞ ａ，
＞ ａ时 ， 加序 条件 增
（） ＜ ＜（＋丌 ，８－丌 ＋ ＋ ＞ ． Ｐ 。 ０ ａ 导 ２） ＞ ２ ， ： １ ｏ ２
若 下列 条 件之 一成 立 ：
（） ｉ ＜ 口， ＞ ａ ； （ ）ｆ ＞ 口 ， ｉ ｏ ｉ ＜ ａ，
则 Ｐ ＶＰ １ 一 （ ） Ｂ （ ） ２ 至少 有一 个正 解． 这里
Ｌ 一 “ ＋ ａ 在周 期边 界条 件下 的极 大值 原理 ， 运用 该 极大值 原 理证 明 了周 期边 值 问题
ｆ“ （）＝ｆ ｔ“ ￡） ｔ Ｅ ，］ ＝ （， （） ， ∈ ｏ １ ， ＝
Ｉ“ （ ） ’Ｏ 一 “ （ ） ｉ １ ２ ３ １ ， 一 ， ，
［ 中图分类号］Ｏ１ ５ １ ７．５
［ 文献标识 码］ Ａ
［ 文章编号］１ ７—４ ４ ２ １ ） ５０ ３ —６ ６２１ ５ （０ １０ —０ ３０
１ 引
言
在数 学 上 ， 弹性梁 的平衡 态 是通 过 四阶边 值 问题来 描 述 的． 据 梁 两端 支 撑 条 件 的不 同 ， 引 出各 根 会
（ Ｈ ）存 在 Ｐ＞ ０ ０＜ ＜ １ 使 得 ｆ ｔ ， ， （， ）＜ ａ ｐ， ｔ ， Ｊ Ｅ
当 厂 ＜ ａ， 。 ＜ 口时 ， ０ ｆ。 增加 序条 件 （ ）存在 Ｐ＞ ０ ０＜ 口＜ １ 使 得 ｆ ｔ Ｈ２ ， ， （， ）＞ ａ ｐ， ｔ ， Ｉ Ｅ
≤ ≤ Ｐ；
≤ ≤ Ｐ ，
证 明了 Ｐ ＶＰ １ 一 （ ） Ｂ （ ） ２ 至少 有两 个正解 ， 广 了文 献 ［ ］ 推 ５ 的结论 ． 受文 献［ ，］ ５ ６ 的启 发 ， 文在 ｆ ｔ 本 （， ）变 号且下 有界 的情 形下 ， 先运 用锥 上 的不动点 指数 理论 证 明了 当 ｆ ｔ （， ）在其 定义 域 中某 些有 界集 合上 增
该 问题 已被许 多作 者研究
． 在 实际应 用 中， 但 只有其 正解 才有 重要 意义 ． 文运 用锥 上 的不 动点 本
指数理 论研 究 Ｐ ＶＰ １ 一（ ） 解 的存在 性 ， Ｂ （） ２正 多重 性和 不存 在性 ． 称 ∈ Ｃ Ｅ ，］是 Ｐ ＶＰ １ 一 （ ） ｏ １ Ｂ （ ） ２ 的
解 的存 在性 和上 下解 单调 迭代 方法 的有 效性 ． 文献 Ｅ － 立 了四阶算 子 Ｌ 一 一 ５１ 建 “ 存在 性 ， 即 定理 Ａ 设 ｒ 三 ｔ， × （） ｆ： 一 连续， ， ∈ ａ 满足 条件
＋ ａ 在 周期 边
界 条件 下 的极 大值 原 理 ， 且运 用锥 上 的不动 点 指数 理论 证 明 了当 ｒ 并 （）三 ｔ Ｐ ＶＰ（ ） （ ） 时 Ｂ １ 一 ２ 正解 的
［ 摘 要］研究 了四阶两参 数常微分方程周期边值问题
ｆ“ （） 卢 ￡ ＋ ａ （）一 ｆ ｔ“ ｒ ） ， ｔ Ｅ ，３ 一 “ （） “ ￡ （， （（） ） ∈ ０ １，
ｌ 【
“ Ｏ “ （ ）＝ “ １ ， ｉ一 １ ２， “（ ） ， ３
正解 的存 在 性 、 重性 和不 存 在 性 ． 非 线 性 项 ｆ ｔ“ 变 号 的 情 形 下 ， 锥 上 的 不 动 点 指 数 理 论 证 明 了 该 问 多 在 （， ） 用 题 至 少 个 甚 至 无 穷 多 个 正 解 的 存 在 性 ， 且 获 得 了 该 问 题 正 解 的不 存 在 性 定 理 ． 并 ［ 键 词 ］ 存 在 性 ； 重 性 ； 穷 多 个 正 解 ； 存 在 性 ； 号 非 线 性 项 关 多 无 不 变