非线性反周期分数阶脉冲微分方程边值问题的解
非线性积分方程和非线性常微分方程边值问题的正解的开题报告
非线性积分方程和非线性常微分方程边值问题的正解的开题报告题目：非线性积分方程和非线性常微分方程边值问题的正解一、选题背景随着科学技术的不断发展和社会的不断进步，越来越多的问题需要研究者去求解，其中许多问题都涉及到非线性积分方程和非线性常微分方程边值问题的正解。
非线性积分方程在数学、物理、工程、财经等领域应用十分广泛，非线性常微分方程边值问题则在生物、天文、力学等领域有着广泛而深入的研究。
二、研究目的本研究旨在深入探究非线性积分方程和非线性常微分方程边值问题的正解，为解决实际问题提供理论依据和数学基础。
三、研究内容1.非线性积分方程的求解方法及其应用非线性积分方程作为一类特殊的积分方程，具有较强的适用性和广泛的应用领域。
针对非线性积分方程的求解方法，本研究将探究分歧理论、分支理论等方法，并结合实际问题进行分析。
2.非线性常微分方程边值问题的求解非线性常微分方程边值问题主要包含两类：Dirichlet问题和Neumann问题，本研究将以具体实例为例，详细阐述利用变分法、重点法、边值问题的变换方法等求解非线性常微分方程边值问题的方法。
3.理论分析和实际应用本研究将综合运用前两部分的内容，并根据学术研究和实际经验的结合，进行理论分析和实际应用的深入研究，为实现非线性积分方程和非线性常微分方程边值问题的正解提供有力的理论支持。
四、研究方法本研究将主要采用文献资料查阅法、数理统计法、数理分析法、计算机仿真模拟法等方法。
五、预期研究成果本研究预期得出非线性积分方程和非线性常微分方程边值问题的正解方法，为实际问题提供理论依据和数学基础，并探索其在工程、科学、经济等领域的应用，为相关科研工作提供有力的支撑。
六、研究时间安排本研究计划用两个学期的时间阅读相关文献、进行分析和实践，大致的时间安排如下：第一学期：文献查阅、理论学习、方法总结、模型建立；第二学期：模型计算、实验验证、实际应用、撰写论文、答辩等工作。
七、参考文献[1] Agarwal R P, Grace S R. Integral Equations and their Applications[M]. New York: Marcel Dekker, Inc., 1991.[2] Anderson D R, Freedman B R. Eigenvalues for some nonlinear boundary value problems[J]. Arch. Rat. Mech. Anal., 1981, 77(3): 253-262.[3] Agarwal R P, O'Regan D. Boundary Value Problems of Nonlinear Differential Equations[M]. Boston: Kluwer Academic Publishers, 1992.[4] Coddington E A, Levinson N. Theory of Ordinary Differential Equations[S]. Berlin: Springer, 1955.[5] Georgiev S V. Nonlinear Integral Equations and their Applications in Data Mining and Image[J]. Inform. Sci., 2007, 177(22): 5005-5029.。
分数阶微分方程解法
分数阶微分方程解法1、分数阶微积分介绍分数阶微积分是传统微积分的推广和扩展，在这门学科中，函数的导数和积分的阶数可以为分数，有时也可以是负数或复数。
与传统微积分相比，分数阶微积分的应用更加广泛，可以通过它来解释和研究各种复杂的自然现象，例如金融市场的非平稳性、地震的时序性等。
2、分数阶微分方程简介分数阶微分方程是指微分方程的微分阶数为分数，例如阶为1.5或2.7的微分方程。
在实际应用中，分数阶微分方程被广泛地用于描述自然现象的动态行为，例如分形、非线性动力学、力学、电动力学和生物学等。
3、分数阶微分方程的解法分数阶微分方程的解法是与传统微分方程不同的。
下面介绍两种常用的解法。
3.1、分式变换法分式变换法是最常用的解分数阶微分方程的方法之一。
它的基本思想是将分数阶微分方程转化为一些常见的函数或微分方程。
例如，我们考虑一个分数阶微分方程：D^βy(t)=f(t)，其中D^β表示分数阶导数运算符，y(t)是未知函数，f(t)是已知函数。
现在我们把分数阶微分方程改写为下面的形式：y(t)=1/Γ(α)(d/dt)^α∫_0^t f(u)(t-u)^{α-1}du其中α和β之间的关系可以用以下公式表示：α=β-n这里，n是一个正整数，它满足0<n<=β。
通过这个公式，分数阶微分方程就被转化为常数阶微分方程和分式变换的形式。
3.2、拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法也是解分数阶微分方程的有效方法。
它的基本思想是将分数阶微分方程转化为常数阶微分方程，然后通过拉普拉斯变换及其逆变换来得到方程的解。
例如，我们考虑一个分数阶微分方程：D^βy(t)+ay(t)=f(t)，其中a是常数，D^β表示分数阶导数运算符，y(t)是未知函数，f(t)是已知函数。
现在我们把分数阶微分方程改写为下面的形式：L{D^βy(t)}+aL{y(t)}=L{f(t)}其中L表示拉普拉斯变换，而L{D^βy(t)}和L{f(t)}分别是D^βy(t)和f(t)的拉普拉斯变换。
（应用数学专业论文）一类非线性常微分方程边值问题的求解方法及其解的定性分析
烟台大学硕士学位论文一类非线性常微分方程边值问题的求解方法及其解的定性分析姓名：***申请学位级别：硕士专业：应用数学指导教师：***20080401摘 要 本文基于非线性弹性力学的有限变形理论，将不可压缩超弹性材料组成的球形结构（如实心球体、初始状态含有微孔的球体、球壳）内部的空穴生成和增长问题归结为一类非线性常微分方程的边值问题，并对其进行了比较系统的研究，得到了一些新的理论结果和数值计算结果． 主要的工作和结论如下：１． 研究了由各向同性不可压缩的超弹性材料组成的实心球体在给定的表面径向拉伸死载荷作用下的空穴分岔问题． 得到了描述球体内部空穴生成和增长的空穴分岔方程． 特别地，对于各向同性的Rivlin- Saunders材料，给出了此类材料中有空穴现象出现的条件． 证明了空穴分岔方程的非平凡解在分岔点附近可以局部向左或向右分岔，这与其它各向同性不可压缩的超弹性材料中的空穴生成和增长现象有明显的不同． 最后，利用最小势能原理分析了空穴分岔方程解的稳定性和实际稳定的平衡状态． ２． 研究了在给定的表面拉伸死载荷作用下，由横观各向同性不可压缩的neo-Hookean 材料组成的球体内部预存微孔的增长问题． 利用材料的不可压缩条件和边界条件，得到了描述拉伸死载荷与微孔增长量之间的平衡关系的方程，并结合数值例图详细讨论了材料参数和结构参数对微孔增长的影响． ３． 研究了由横观各向同性不可压缩的Ogden材料组成的球壳在其内、外表面分别受到突加恒定载荷作用下的径向有限变形问题． 讨论了材料参数和结构参数对球壳内表面半径增长的影响，同时给出了相应的数值模拟． 关键词：不可压缩超弹性材料；预存微孔；球壳；有限变形；稳定性 AbstractBased on the finite deformation theory of Nonlinear Elasticity, the problems of cavity formation and growth in the interior of the spherical structures (such as a solid sphere, a sphere with an initial micro-void, a spherical shell) are described as a class of nonlinear ordinary differential equations with boundary conditions, where the structures are composed of incompressible hyper-elastic materials. These problems are discussed systemically, and s ome new theoretical and numerical results are obtained. The main works and results are as follows:1. A cavitated bifurcation problem is examined for a solid sphere composed of a class of isotropic incompressible hyper-elastic material s, where the surface of the sphere is subjected to a prescribed radially tensile dead-load. A cavitated bifurcation equation that describes cavity formation and growth in the interior sphere is obtained. Particularly, for the isotropic Rivlin-Saunders materials, the conditions of cavitation in the interior of this class of materials are presented. It is proved that the nontrivial solution can bifurcate locally to the left or the right near the bifurcation point, which is quite different from other isotropic incompressible hyper-elastic materials. Finally, the stability of the solutions and the actual stable equilibrium state are discussed by using the minimal potential principle.2. Under a prescribed uniform tensile dead-load, the growth of the pre-existing micro-void at the center of the sphere composed of the transversely isotropic incompressible neo-Hookean materials is examined. By using the incompressibility constraint and the boundary condition, an equation that describes the equilibrium relation between the tensile dead-load and the measure of void growth is obtained. The effects of material a nd structure parameters on the growth of the micro-void are discussed in detail with numerical examples.3. The radial finite deformation problem is examined for a spherical shell composed of the transversely isotropic incompressible Ogden materials, where the inner and the outer surfaces of the shell are subjected to different suddenly applied constant loads. The effects of material and structure parameters on the growth of the inner-surface are discussed. Simultaneously, the corresponding numerical simulations are given.Keywords: incompressible hyper-elastic material; pre-existing micro-void; spherical shell; finite deformation; stability烟台大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。
分数阶非线性迭代方程的周期解
第59卷 第3期吉林大学学报(理学版)V o l .59 N o .32021年5月J o u r n a l o f J i l i nU n i v e r s i t y (S c i e n c eE d i t i o n )M a y2021研究简报d o i :10.13413/j .c n k i .jd x b l x b .2020423分数阶非线性迭代方程的周期解李翠英1,吴 睿2,程 毅1(1.渤海大学数学科学学院,辽宁锦州121013;2.长春财经学院数学教研部,长春130122)摘要:考虑一类C a p u t o 型分数阶导数意义下非线性迭代微分方程的周期问题,在非线性项满足单边L i p s c h t i z 条件下,应用L e r a y -S c h a u d e r 不动点定理和拓扑度理论,证明该类非线性分数阶迭代微分方程解的存在性和唯一性.关键词:存在性;唯一性;分数阶;迭代方程中图分类号:O 175.14 文献标志码:A 文章编号:1671-5489(2021)03-0555-04P e r i o d i c S o l u t i o n s f o r aF r a c t i o n a lN o n l i n e a r I t e r a t i v eE qu a t i o n s L IC u i y i n g 1,WU Ru i 2,C H E N G Y i 1(1.C o l l e g e o f M a t h e m a t i c a lS c i e n c e s ,B o h a i U n i v e r s i t y ,J i n z h o u 121013,L i a o n i n g Pr o v i n c e ,C h i n a ;2.D e p a r t m e n t o f M a t h e m a t i c s ,C h a n g c h u nU n i v e r s i t y o f F i n a n c e a n dE c o n o m i c s ,C h a n gc h u n 130122,C h i n a )A b s t r a c t :W e c o n s ide r e d t h e p e r i o d i c p r o b l e m of ac l a s so fn o n l i n e a r i t e r a t i v ed i f f e r e n t i a l e qu a t i o n i n t h es e n s eo fC a p u t ot y p ef r a c t i o n a ld e r i v a t i v e .U n d e ro n es i d e d -L i p s c h t i zc o n d i t i o n so n n o n l i n e a r t e r m ,t h ee x i s t e n c ea n d u n i qu e n e s s o fs o l u t i o nf o rt h e n o n l i n e a rf r a c t i o n a li t e r a t i v e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s i s p r o v e d b y a p p l y i n g t h eL e r a y -S c h a u d e r f i x e d p o i n t t h e o r e ma n d t o p o l o g i c a l d e g r e e t h e o r y .K e y w o r d s :e x i s t e n c e ;u n i q u e n e s s ;f r a c t i o n a l o r d e r ;i t e r a t i v e e q u a t i o n 收稿日期:2020-12-18. 网络首发日期:2021-04-06.第一作者简介:李翠英(1983 ),女,汉族,硕士,讲师,从事分数阶微分动力系统的研究,E -m a i l :l n c y999@126.c o m.通信作者简介:吴 睿(1978 ),女,汉族,博士,教授,从事微分方程理论的研究,E -m a i l :w u r u i 0221@s i n a .c o m.基金项目:吉林省自然科学基金(批准号:20200201274J C ).网络首发地址:h t t ps ://k n s .c n k i .n e t /k c m s /d e t a i l /22.1340.O.20210406.0958.001.h t m l .0 引 言目前,关于迭代微分方程的边值㊁周期问题研究已得到广泛关注.P e t u k h o v [1]研究了如下二阶迭代微分方程周期边值问题:x ᵡ=λx (x (t)),x (0)=x (T )=α,得到了参数λ,α在不同范围内方程解的存在唯一性;K a u f m a n n [2]考虑一类二阶迭代微分方程的边值问题,用S c h a u d e r 不动点定理证明了该问题解的存在性;文献[3-6]用不同的不动点理论(K r a s n o s e l s k i i 不动点定理㊁S c h a u d e r 不动点定理等)证明了若干类迭代微分方程周期解或拟周期解的存在唯一性.分数阶微分方程在数学㊁化学㊁物理和工程等许多领域应用广泛,但关于分数阶迭代微分方程边值㊁周期问题的研究成果目前报道较少.当非线性函数满足L i ps c h i t z 条件时,I b r a h i m 等[7]将整数阶的一些结果推广到分数阶迭代微分方程中.但目前已有结果均为处理一维的迭代微分系统,对于向量迭代方程的研究尚未见文献报道.本文在非线性函数满足单边L i p s c h i t z 条件时,证明一类非线性C a pu t o 型分数阶迭代向量微分系统周期解的存在唯一性.本文令Tʒ=[0,b],ℝn为n维E u c l i d空间,<㊃,㊃>表示ℝn中的内积, ㊃ 表示ℝn空间的范数.设C(T,ℝn)表示从T到ℝn全体连续函数组成的空间,其范数定义为 x C=m a x tɪT x(t) .关于分数阶微积分的基础知识可参见文献[8-9].1主要结果考虑如下分数阶迭代向量微分方程:C Dαx(t)+A x(t)=f(t,x(t),x[2]+(t)), x(0)=x(b),(1)其中:x[2]+(t)=(x1( x ),x2( x ), ,x n( x ));C Dαx(t)=1Γ(1-α)ʏt0(t-s)-αxᶄ(s)d s, ∀αɪ(0,1);A:ℝnңℝn是一个线性算子;f:Tˑℝnˑℝnңℝn是一个连续函数.下面给出假设条件:(H1)设A:ℝnңℝn是一个有界㊁线性的正定算子,即对任意的zɪℝn,存在常数cɪℝ+,使得<A z,z>ȡc z 2;(H2)设f:Tˑℝnˑℝnңℝn是一个连续函数,且:(i)对任意的u,vɪℝn,存在一个非负函数λɪLɕ+[0,b],使得∀tɪ[0,b], f(t,u,v) ɤλ(t);(i i)对任意的tɪ[0,b],u1,u2,v1,v2ɪℝn存在函数μɪLɕ+[0,b],使得<f(t,u1,v1)-f(t,u2,v2),u1-u2>ɤμ(t) u1-u2 2,其中 μ ɕ<c,c是H1中的常数.定理1假设条件(H1),(H2)成立,且b大于某常数M1/(1-α),则分数阶迭代微分系统(1)存在唯一解.证明:由文献[10]中推论7.1知,问题(1)等价于如下积分迭代方程:x(t)=Eα(A tα)x(0)+ʏt0(t-τ)α-1Eα,α(A(t-τ)α)f(τ,x(τ),x[2]+(τ))dτ.(2)定义算子T1:C(T,ℝn)ңC(T,ℝn),且T1(x(t))ʒ=Eα(A tα)x(0)+ʏt0(t-τ)α-1Eα,α(A(t-τ)α)f(τ,x,x[2]+)dτ.首先,证明解的先验有界性.根据算子T1的定义和假设条件(H2)中(i),可推出T1(x(t)) ɤ x(0) Eα(A Tα) +m a x tɪT Eα,α(A tα)Γ(α)ʏt0(t-s)α-1f(s,x(s),x[2](s))d sɤx(0) Mα+ λ ɕ^MαΓ(α)ʏt0(t-s)α-1d sɤx(0) Mα+ λ ɕ^MααΓ(α)bα,(3)其中Mα= Eα(A Tα) ,^Mα=m a x tɪT Eα,α(A tα) .下面估计初值 x(0) .在式(2)中令t=b,可得x(b)=Eα(A bα)x(0)+ʏb0(b-τ)α-1Eα,α(A(b-τ)α)f(τ,x(τ),x[2]+(τ))dτ.由x(0)=x(b)和假设条件(H1)易知,行列式E-Eα(A bα)ʂ0,其中E表示单位矩阵.故x(0)=(E-Eα(A bα))-1b0(b-τ)α-1Eα,α(A(b-τ)α)f(τ,x(τ),x[2]+(τ))dτ.655吉林大学学报(理学版)第59卷根据假设条件(H 2)中(i ),类似式(3),可得 x (0) ɤM E ^M α λ ɕb ααΓ(α),(4)其中M E = (E -E α(A b α))-1 .将式(4)代入式(3),可得 T 1(x (t )) ɤ(M E M α+1)^M α λ ɕαΓ(α)b α, ∀t ɪT .记M =(M E M α+1)^M α λ ɕαΓ(α),由于b >M 1/(1-α),因此 T 1(x (t )) ɤM b α<b .其次,证明非线性算子T 1是全连续算子,从而得到解的存在性.先证明∀x ɪC (T ,ℝn ),T 1(x (t ))ɪC (T ,ℝn ).对任意的t ,t +δɪ[0,b ],且δ>0,满足T 1(x (t +δ))-T 1(x (t ))=1Γ(α)ʏt +δ0(t +δ-s )α-1E α,α(A (t +δ-τ)α)f (s ,x (s ),x [2](s ))d s -1Γ(α)ʏt(t -s )α-1E α,α(A (t -τ)α)f (s ,x (s ),x [2](s ))d s +[E α(A (t +δ)α)-E α(A t α)]x (0)ɤ λ ɕ^M αΓ(α)ʏt +δ0(t +δ-s )α-1d s +ʏt 0(t +δ-s )α-1-(t -s )α-1d s +[E α(A (t +δ)α)-E α(A t α)]x (0)ɤ2 λ ɕ^M ααΓ(α)δα+2 λ ɕ^M ααΓ(α)(t +δ-a )α-(t -a )α+[E α(A (t +δ)α)-E α(A t α)]x (0).当δң0时,有T 1(x (t +δ))-T 1(x (t ))ң0,故T 1(x (t ))ɪC (T ,ℝn ).取x n ңx ɪC (T ,ℝn ),则易推出T 1(x n )-T 1(x )ң0,从而T 1:C (T ,ℝn )ңC (T ,ℝn )是连续的.根据1)中先验估计,应用A r z e l a -A s c o l i 定理易知,算子T 1:ΩңΩ是全连续的,其中Ωʒ={u ɪC (T ,ℝn ): u C ɤb +1}.从而可将微分迭代系统(1)解的存在性转化为T 1的不动点问题.定义映射h ε(x )=x -εT 1(x ),其中εɪ[0,1].取p ∉h (∂Ω),则对任意的εɪ[0,1],可得d e g (h ε,Ω,p )=d e g (h 1,Ω,p )=d e g (I -T 1,Ω,p )=d e g (h 0,Ω,p )=d e g (I ,Ω,p )=1ʂ0,其中I 是恒等映射.因此T 1在Ω上存在不动点,即x =T 1(x ).从而微分迭代系统(1)至少存在一个解.最后,证明微分迭代系统(1)解的唯一性.假设x 1,x 2ɪC (T ,ℝn )是问题(1)的两个解,对这两个解做差再与x 1-x 2做内积,可得<x 1(t )-x 2(t ),D α(x 1(t )-x 2(t ))>+<x 1(t )-x 2(t ),A (x 1(t )-x 2(t ))>=<x 1(t )-x 2(t ),f (t ,x 1(t ),x [2]1+(t ))-f (t ,x 2(t ),x [2]2+(t))>.根据假设条件(H 1)和(H 2)中(i i),利用分数阶微分不等式[10],可推出D α x 1(t )-x 2(t ) 2ɤ2<x 1(t )-x 2(t ),D α(x 1(t )-x 2(t ))>ɤ2μ(t ) x 1-x 2 2-2c x 1-x 2 2.(5)为方便,令S (t )= x 1(t )-x 2(t ) 2,式(5)可简化为D αS (t )ɤ2(μ(t )-c )S (t ),755 第3期 李翠英,等:分数阶非线性迭代方程的周期解855吉林大学学报(理学版)第59卷从而S(t)ɤS(0)Eα(2( μ ɕ-c)tα), ∀tɪT.再令t=b,得S(b)ɤS(0)Eα(2( μ ɕ-c)bα).(6)由S(t)= x1-x2 2及边界条件x(b)=x(0)可知,S(b)=S(0),整理可得S(0){1-Eα[2( μ ɕ-c)bα]}ɤ0.由M i t t a g-L e f f l e r函数Eα(t)(tȡ0)的单调性和 μ ɕ<c知,Eα[2( μ ɕ-c)bα]<1.又由S(0)= x1(0)-x2(0) 2ȡ0,可推出S(0)=0.由式(6)知,S(t)ɤ0,从而S(t)恒为0,即x1=x2,故迭代微分方程(1)有唯一解.参考文献[1] P E T U K HO V V R.O n a B o u n d a r y V a l u e P r o b l e m[J].T r u d y S e m T e o r D i f f e r e n c i a l U r a v n e n iǐO t k l o nA r g u m e n t o m U n i vD r užb y N a r o d o vP a t r i s 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非线性偏微分方程数值解法
非线性偏微分方程数值解法非线性偏微分方程是研究自然界中许多现象的重要数学模型，其解析解往往难以获得。
因此，数值解法成为解决非线性偏微分方程问题的一种有效手段。
本文将介绍几种常用的非线性偏微分方程的数值解法。
一、有限差分法有限差分法是求解偏微分方程的一种常见数值方法。
其核心思想是将求解区域离散化为有限个网格点，并利用中心差分公式来近似替代微分运算。
对于非线性偏微分方程，可以采用迭代的方法进行求解。
具体步骤如下：1. 将求解区域离散化为有限个网格点，确定网格的步长。
2. 利用中心差分公式将偏微分方程离散化为差分方程。
3. 将差分方程转化为非线性代数方程组，采用迭代方法求解。
二、有限元法有限元法是求解偏微分方程的一种重要数值方法。
其核心思想是将求解区域划分为无重叠的小单元，通过在每个单元内构造适当的试探函数和加权函数，将问题转化为求解代数方程组。
对于非线性偏微分方程，可以采用Newton-Raphson迭代方法进行求解。
具体步骤如下：1. 将求解区域进行网格剖分，确定单元的形状和大小。
2. 构造试探函数和加权函数，并利用加权残差法将偏微分方程离散化为代数方程组。
3. 对于非线性方程组，采用Newton-Raphson迭代方法求解。
三、有限体积法有限体积法是求解偏微分方程的一种常用数值方法。
其核心思想是将求解区域划分为有限个体积单元，通过对单元内偏微分方程进行积分，将方程转化为守恒形式。
对于非线性偏微分方程，可以采用显式或隐式方法进行求解。
具体步骤如下：1. 将求解区域进行网格剖分，确定体积单元的大小和形状。
2. 对体积单元内的偏微分方程进行积分，建立守恒形式的方程。
3. 将方程离散化为代数方程组，采用显式或隐式方法进行时间步进求解。
四、谱方法谱方法是求解偏微分方程的一种高效数值方法。
其核心思想是采用特定的基函数展开待求解的函数，通过选取合适的基函数，可以有效地提高求解效率。
对于非线性偏微分方程，可以采用谱方法进行求解。
一阶非线性脉冲微分方程两点边值问题的正解_陈应生
犕１ 犕２ ， 狇 ， ）≤ 犌（ ， ）≤ 犌 ， ）≤ 狇 ， ）∈ ［ 狋 狊 狋 狊 狋 狊 狋 狊 ０， ０， ． ×［ 狓 ∈ 犡， （ ω］ ω］ １（ ２（ ≤犌 犓 １ 犓 － 狇 ２ 狇 １ －１ （犕１ －１ ） ） ｝ ， 其中σ＝犕１ 狇 ， 易证 犓 是 犡 上的 一个锥 ．又 狓∈犡∶狓（ 狋 狋 ０， 定义 犓 ＝ ｛ ≥ σ‖狓‖ ， ∈［ ω］ ） 犓 犕２（ －１ 狇 ２ 定义算子
脉冲微分方程边值问题是微分方程研究的焦点之一 ， 近 来很多 文 章 研 究 一 阶 脉 冲 微 分 方 程 的 边 值 问题
［ １ ９］ ?
， 文献 ［ ］研究脉冲边值问题 １ ） ） ）＝ 犳（ ， ） ） ， ｛ …， ， ′（ 狋 狋 狓（ 狋 狋 狓（ 狋 狋∈ ［ ０， 犜］ 狋 狋 狓 ＼ ＋犪（ １， 狆｝ 烌
１ 基本定义与引理
假设 Ｈ１） ） ， ） ， （ ， ， 其中 犪 ） ， ） 在［ 上连 续并且 犪 狋 犪（ 狋 狓） 犪 狋 狋 狓） ０， ×［ ０， ＋∞ ） 狋 犪 狋 ０， ≤ ≤ ∈［ ω］ ω］ １（ ２（ １（ ２（ ） 犪（ 狊 ｄ 狊 ＞ ０． ∫
１ ０
ω
考察 Ｂ ［ ， ｛ ） ，当狋 …， ， ａ ｎ ａ ｃ ｈ 空间 犡＝犘 犆（ ０， 犚） ＝｛ 狓∶ ［ ０， 狓（ ０ ＝ ０， 狋 狋 狓（ ω］ ω］ →犚 ｜ ω） ∈［ ω］ ＼｛ 狇 １， 狆｝
狊 ω ω 狆
∫
０
， ） ， ） ） ， ） 犌（ 狋 狊 狊 狓（ 狊 ｄ 狊＋ ∑犌（ 狋 狋 犐 狓（ 狋 ． 犳（ 犽） 犽（ 犽）
犽＝１∫∫∫∫ ∫∫ ∫ ∫ ， ）＝ 烅 犌（ 狋 狊 （犪 （ ｅ ｘ 狉） ｄ 狉） ｐ ∫ ， ０ ≤狋 ＜狊 ≤ ω， （ （ ） ） ｘ ｐ 犪 狉ｄ 狇ｅ 烆 ∫ 狉 －１ 烄 （犪（ ｘ 狉） ｄ 狉＋ 犪 （ ｄ 狉） ｐ 狇ｅ ∫ ∫ 狉） ， ０ ≤狊 ＜狋 ≤ ω， （犪（ ｘ 狉） ｄ 狉） －１ ｐ 狇ｅ ∫ ， ）＝ 烅 犌（ 狋 狊 （犪 （ ｅ ｘ 狉） ｄ 狉） ｐ ∫ ， ０ ≤狋 ＜狊 ≤ ω ． （ （ ） ） ｅ ｘ 犪 狉 ｄ 狉 １ － 狇 ｐ 烆 ∫
Banach空间中非线性二阶脉冲微分方程三点边值问题三解存在性
1引言非线性脉冲微分方程是微分方程的一个重要分支,文献[1],[2]及[6]-[10]针对不同的方程类型,在不同的空间中分别利用上下解方法及不动点定理等理论讨论了脉冲微分方程解、正解以及多个正解的存在性.文献[1]在R n 空间中利用Shauder 不动点定理考察了方程-x"=f(t,x,x')t ≠t k△x|t=t k=I k (x(t k ),x'(t k ))k=1,2,…m△x"|t=t k=I軃k (x(t k ),x'(t k ))k=1,2,…m x(0)=0x(1)=αx(η軃軃軃軃軃軃軃軃軃軃軃軃軃軃軃軃軃)(1)解的存在性，文[2]中我们利用严格集压缩算子范数形式的锥拉伸锥压缩不动点定理在Banach 空间中讨论了方程(1)的一种特殊情况即第三点η∈(t m ,1]时方程正解的存在性，本文则利用Bai 和Ge 的不动点定理[3]在Banach 空间中得到方程(1)三个正解的存在性.设E 是Banach 空间,J=[0,1],0<t 1<t 2<…<t m <1,J'=J\{t 1,t 2,…,t m },f ∈C[J ×E ×E,E],I k ∈C[E,E],I軃k ∈C[E ×E,E],且对任意r>0,f 在J ×T r ×T r (T r ={x ∈E\||x||<r})上有界,I k 在T r 上有界,I 軃k 在T r ×T r 上有界(k=1,2,…m).PC(J,E)={x:J →E,x(t)在t ≠t k 连续，在t=t k 左连续右极限存在}在范数||x||PC =sup t ∈J||x(t)||下完备PC 1[J,E]={x:J →E,x'(t)在t ≠t k 连续，在t=t k 左连续右极限存在}在范数||x||PC 1=max{||x||PC ,||x'||PC }下完备设P 是E 中的一个锥,它引入了E 的一个偏序关系≤,x ≤y 当且仅当y-x ∈P,如果P 是正规锥，则存在正常数N 满足当θ≤x ≤y 时可以推出||x||≤N||y||（N 称做P 的正规常数）.同样Q={x ∈PC 1[J,E]\x(t)≥θ,t ∈J}是PC 1[J,E]中的一个锥,且有f ∈[J ×P ×E,P].x ∈PC 1[J,E]∩C 2[J',E]是方程(1)的正解当且仅当它满足方程(1)且属于Q,x(t)≠θ.2几个引理引理1[3]设E 是Banach 空间，P 是E 中的一个锥，且存在r 4>r 3>r 2>r 1>0.假设α,β是满足(B 1)(B 2)的非负连续凸泛函，ψ是锥P 上的一个连续凹泛函且对所有x ∈P(α,r 4;β,L 2)有ψ(x)≤α(x).若T:P(α,r 4;β,L 2)→P(α,r 4;β,L 2)是全连续算子且满足：(C 1){x ∈P(α,r 3;β,L 2;ψ,r 2)|ψ(x)>r 2}≠覬,且ψ(Tx)>r 2,坌x ∈P(α,r 3;β,L 2;ψ,r 2)(C 2)α(Tx)<r 1,β(Tx)<r 1,坌x ∈P(α,r 1;β,L 1).(C 3)对于{x ∈P(α,r 4;β,L 2;ψ,r 2)|ψ(x)>r 2},若α(Tx)>r 3,必有ψ(Tx)>r 2.那么T 在P(α,r 4;β,L 2)中至少有三个不动点x 1,x 2,x 3且满足x 1∈P(α,r 1;β,L 1),x 2∈{x ∈P(α,r 4;β,L 2;ψ,r 2)|ψ(x)>r 2},x 3∈P(α,r 4;β,L 2)\(P(α,r 4;β,L 2;ψ,r 2)∪P(α,r 1;β,L 1)).上述引理中关于非负连续凸泛函α,β应满足的条件(B 1)(B 2)是(B 1)存在M >0,对任意的x ∈P 有||x||≤M max{α(x),β(x)}.Banach 空间中非线性二阶脉冲微分方程三点边值问题三解存在性杨静宇（赤峰学院数学学院，内蒙古赤峰024000；大连理工大学数学科学学院，辽宁大连116024）摘要：本文利用Bai 和Ge 的不动点定理在Bananch 空间中得到了一类非线性二阶脉冲微分方程三点边值问题三个正解的存在性.关键词：二阶脉冲微分方程；锥；不动点；凸泛函；凹泛函中图分类号：O175.8文献标识码：A文章编号：1673-260X （2012）01-0003-05基金项目:内蒙古高等学校科学研究项目（NJzr08150,NJzc08160）Vol.28No.1Jan.2012第28卷第1期（上）2012年1月赤峰学院学报（自然科学版）Journal of Chifeng University （Natural Science Edition ）(B 2)对任意的r>0,L>0有P(α,r;β,L)≠覬.这里P(α,r;β,L)={x ∈P\α(x)<r,β(x)<L}.P(α,r;β,L)={x ∈P\α(x)<r,β(x)≤L},P(α,r;β,L;ψ,b)={x ∈P\α(x)<r,β(x)<L,ψ(x)>b},P(α,r;β,L;ψ,b)={x ∈P\α(x)≤r,β(x)≤L,ψ(x)≥b}.考察算子方程Ax(t)=x(t)，其中Ax(t)=1乙G(t,s)f(s,x(s),x'(s))ds+0<t k <tΣ[I k (x(t k ))+(t-t k )I k (x(t k ),x'(t k )]+αt 1-αηmk =1Σ[I k(x(t k))+(η-t k )I k(x(t k),x'(t k))]-αt 1-αηmk =1Σ[Ik(x(t k))+(1-tk)I k (x(t k ),x'(t k ))]G(t,s)=s[(1-t)-α(η-t)0≤s ≤t ≤η0≤s ≤η≤tt[(1-s)-α(η-s)0≤t ≤s ≤ηs(1-t)+αη(t-s)η≤s ≤t ≤1t(1-s)1-αη0≤s ≤η≤s ≤10≤η≤t ≤s ≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤s （2）引理2[4]x ∈PC 1[J,E]∩C 2[J',E]是方程(1)的正解当且仅当x ∈PC 1[J,E]是方程(2)的正的不动点.方程(2)可改写为Ax(t)=1乙G(t,s)f(s,x(s),x'(s))ds+mk =1Σ[W k(t,η,x(t k),x'(t k)),(2')其中W k (t,η,x(t k ),x'(t k ))=-t [I k (x(t k ))+(1-t k )I 軃k (x(t k ),x'(t k ))]0≤t ≤η≤t k ,0≤η≤1≤t ≤t k ,1-t 1-αη軃軃I k (x(t k ))-αηt-(1-αη-t)t k 1-αηI 軃k (x(t k ),x'(t k ))]η≤t k <s ≤1,(α-1)t 1-αηI k (x(t k ))+(αη-1)t-(α-1)tt k )1-αηI 軃k (x(t k ),x'(t k ))]t ≤t k ≤η≤11-αη+(α-1)t 1-αη[I k (x(t k ))-t k I 軃k (x(t k ),x'(t k ))]t k <t ≤η≤1t k ≤η≤t ≤1≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤.引理3A:PC 1[J,E]→PC 1[J,E]是全连续算子.证明首先证明A 是连续算子.任取x,x n ∈PC 1[J,E]且||x n -x||PC 1→0（往证||Ax n -Ax||PC 1→0）||Ax n (t)-Ax(t)||≤1乙G(t,s)||f(s,x n(s),x n'(s))-f(s,x(s),x'(s))||ds+mk =1Σ[||I k(x n(t k))-I k(x (t k))||+(1-t k)||Ik(x n (t k ),x n '(t k ))-I k (x (t k ),x'(t k ))||]+α1-αηmk =1Σ[||I k(x n (t k))-I k(x(t k))||+(1-t k)||I k(x n (t k),x n'(t k))-I k(x(t k),x'(t k))||]+αmk =1Σ[||I k(x n (t k))-I k(x(t k))||+(1-t k)||I k(x n (t k),x n'(t k))-I k(x(t k),x'(t k))||]对任意s ∈[0,1]，由于f(s,x(s),x'(s))连续，所以取ε3q>0则存在δ1>0当||xn-x||PC 1<δ1时||f(s,x n (s),x n '(s))-f(s,x(s),x'(s))||<ε，从而1乙G(t,s)||f(s,x n(s),x n'(s))-f(s,x(s),x'(s))||ds<ε3其中q=max0≤t ≤11乙G(t,s)ds.同样由于I k ∈C[E,E],I k ∈C[E ×E,E],所以取ε1=(1-αη)ε>0存在δ2>0当||xn-x||PC1<δ2时||I k (x n (t k ))-I k (x(t k ))||<ε1同上ε1>0存在δ3>0当||x n -x||PC 1<δ3时||I k (x n (t k ),x n '(t k ))-I k (x(t k ),x'(t k ))||<ε1.综上取δ=min{δ1,δ2,δ3}当||x n -x||PC 1<δ时||Ax n (t)-Ax(t)||<ε.对于||Ax n '(t)-Ax'(t)||应用上述同样的方法可得||Ax n '(t)-Ax'(t)||<ε.因此当||x n -x||PC 1<δ时，||Ax n -Ax||PC 1<ε，所以算子A 是连续的.其次证明A 是列紧的算子.设S 是PC 1[J,E]中的有界集，那么||Ax(t)||≤1乙G(t,s)||f(s,x(s),x'(s))||ds+mk =1Σ[||I k(x(t k))||+(1-t k)||Ik(x(t k ),x'(t k ))||]+11-αηmk =1Σ[||I k(x(t k))||+(1-t k)||I k(x(t k),x'(t k))||+α1-αηmk =1Σ[||I k(x n (t k))||+(1-t k))||I k(x(t k),x'(t k))||]||Ax'(t)||≤1乙G t'(t,s)||f(s,x(s),x'(s))||ds+mk =1Σ||I k(x(t k),x'(t k))||+αmk =1Σ[||I k (x(t k ))||+(1-t k )||I k (x(t k ),x'(t k ))||+1mk =1Σ[||I k(x n (t k))||+(1-t k ))||I k (x(t k ),x'(t k ))||]由于对任意r>0,f 在J ×T r ×T r (T r ={x ∈E\||x||<r})有界,I k在T r 上有界,I k 在T r ×T r 上有界(k=1,2,…m).所以A(S)中诸函数及其导函数在J 上一致有界.取t',t"∈J k (k=1,2,…,m)||Ax (t')-Ax (t")||≤1乙|G (t',s)-G (t",s)|||f (s,x (s),x'(s))||ds+(α+1)|t'-t"|1-αηmk =1Σ[||I k (x(t k ))||+(2-αη+α)|t'-t"|1-αηmk =1Σ||I k(x(t k),x n'(t k))||由于G (t,s)关于t,s 是连续的，因此取ε1=ε>0存在δ1>0当|t'-t"|<δ1时|G(t's)-G(t",s)|<ε1.从而10乙|G(t',s)-G(t",s)|||f(s,x(s),x'(s))||ds<ε存在δ2=(1-αη)εk k ，当|t'-t"|<δ2时(α+1)|t'-t"|1-αηmk =1Σ||I k(x(t k)||<ε3.存在δ3=(1-αη)ε3(2+α-αη)||I 軃k (x(t k ),x'(t k ))||当|t'-t"|<δ3时(2-αη+α)|t'-t"|mk =1Σ||I k (x(t k ),x'(t k ))||<ε.综上取δ=min{δ1,δ2,δ3}当|t'-t"|<δ时对任意Ax ∈AS 有||Ax n (t')-Ax(t")||<ε.对于Ax'∈AS'(Ax)'(t')-(Ax)'(t")=1乙[G(t',s)-G(t",s)]f(s,x(s),x'(s))ds=S 埸[t',t"]乙[G t'(t',s)-G t'(t",s)]f(s,x(s),x"(s))+S ∈[t',t"]乙[G t'(t',s)-G t'(t",s)]f(s,x(s),x"(s))ds=S ∈[t',t"]乙[G t '(t',s)-G t '(t",s)]f(s,x(s),x'(s))ds当|t'-t"|→0时||(Ax)'(t')-(Ax)'(t")||≤||f(s,x(s),x'(s))|||t'-t"|→0因此AS,(AS)'在J k (k=1,2,…,m)上等度连续.所以A 是全连续算子.引理4[5]对于格林函数G(t,s)有不等式：G(t,s)≤q 1s(1-s)(t,s)∈[0,1]×[0,1],G(t,s)≥q 2s(1-s)(t,s)∈[η,1]×[0,1]埸.其中q 1=max{1,α}>0,q 2=min{η,1-η}·min{1,α}>0.3主要结果为方便起见将文中所用条件归列如下：(1)对任意(t,η,u,v)∈[0,1]×[0,1]×E ×E 有W k (t,η,u,v)≥0且对任意t ∈[0,1],η∈[0,1].u ∈C[J,P]有W k (t,η,u,v)≤Ωk (u(t k )),这里Ωk ≥0,(k=1,2,…,m)(2)存在r 1>0,满足N a 110乙s(1-s)F(s)ds+2α(1-η)1-αηm 乙乙M <r 1.存在L 1>0,满足1乙G t'(t,s)F(s)ds+2α-1-αη)mM >L 1.其中F(t)=max (||u||,||v||)∈[0,r 1]×[0,L 1]||f(t,u,v)||,M =max(||u||,||v||)∈[0,r 1]×[0,L 1]k=1,2,…,m{||I k (u)||,||I k (u,v)||}(3)存在r 4>0,满足N a 11乙s(1-s)F'(s)ds+2α(1-η)1-αηm 乙乙M <r 4,存在L 2>0满足10乙G t '(t,s)F'(s)ds+2α-1-αη1-αηmM >L 2.其中F'(t)=max (||u||,||v||)∈[0,r 4]×[0,L 2]||f(t,u,v)||,M =max(||u||,||v||)∈[0,r 4]×[0,L 2]k=1,2,…,m{||I k (u)||,||I k (u,v)||}.(4)存在c 0≥0,对任意t ∈[a k ,b k ],(k ∈{0,1,2,…,m}),u ∈C[J,P]有W j (t,η,u,v)≥c 0Ωj (u(tj)),j ∈{1,2,…,m}其中a k =3t k +t k+1,b k =t k +3t k+14,t 0=0,t 1=1.(5)存在r 2>0,满足q 2N 1乙s(1-s)F(s)ds>r 2.其中F(t)=max(||u||,||v||)∈[0,r 1]×[0,L 1]||f(t,u,v)||.定理1假设存在常数r 4>r 3>r 2>r 1>0,L 2≥L 1>0,且条件(1)-(5)满足，M 1r 3>r 2其中M 1=min q 2q 1,c 0埸乙则方程(1)至少有三个解x 1,x 2,x 3且满足sup t ∈J||x 1(t)<r 1,sup t ∈J||x 1'(t)||<L 1;r 2≤min t ∈[a k ,b k ]||x 2(t)≤sup t ∈J||x 2(t)||<r 4,sup t ∈J||x 2'(t)||<L 2;sup t ∈J||x 3(t)||<r 3,min t ∈[a k ,b k ]||x 3(t)≤r 2,sup t ∈J||x 3'(t)||<L 2.证明令P={x ∈PC 1[J,E]\x(t)≥θt ∈[0,1]},则知P 是PC 1[J,E]中的锥.定义泛函:α(x)=sup t ∈J||x(t)||,β(x)=sup t ∈J||x'(t)||,ψ(x)=min t ∈[η,1]min t ∈[a k ,b k ]||x(t)||.由定义知α,β,ψ是映P 入[0,+∞)的三个连续非负泛函，并且对任意x ∈P 有||x||PC 1=sup{α(x),β(x)},泛函α,β满足条件(B 1)(B 2).这里α,β是凸函数，ψ是凹函数并且根据α(x),ψ(x)的构造知对任意x ∈P 有ψ(x)≤α(x).对任意x ∈P 有Ax(t)=1乙G(t,s)f(s,x(s),x'(s))ds+mk =1ΣW k(t,η,x(t k),x'(t k)),由条件(1)知，Ax(t)≥θ.所以A 映P 入P,并且由引理3知A 是全连续算子.下面验证引理1的条件是否都满足.首先，对任意的x ∈P(α,r 4;β,L 2)有α(x)≤r 4,β(x)≤L 2.由条件(2),(3)有α(Ax)=sup t ∈J||Ax(t)||≤supt ∈J1乙G(t,s)f(s,x(s),x'(s))+0<t k <tΣ[I k(x(t k))+(t-t k)I軃k(x(t k),x'(t k))]+αt 1-αη0<t k <ηΣ[I k(x(t k))+(η-t k)I軃k(x(t k),x'(t k))]+t mk =1Σ[I k(x(t k))+(1-t k)I軃k(x(t k),x'(t k ))]≤N a 110乙s(1-s)F(s)ds+2α(1-η)m Σ乙M <r 1<r 4,β(Ax)=sup t ∈J||(Ax)'(t)||≤supt ∈J1乙G t'(t,s)f(s,x(s),x'(s))+0<t k <tΣI 軃k(x(t k),x'(t k))]+α0<t k <ηΣ[I k(x(t k))+(η-t k)I軃k(x(t k),x'(t k))]+11-αηmk =1Σ[I k(x(t k))+(1-t k)I軃k(x(t k),x'(t k ))]≤10乙G t'(t,s)F(s)ds+2α-1-αη1-αηmM <L 1<L 2,所以A 映P(α,r 4;β,L 2)入P(α,r 4;β,L 2).同理可以证得A 映P(α,r 1;β,L 1)入P(α,r 1;β,L 1).这时引理1的条件(C 2)满足.其次，对于x ∈P 且||x(t)=r 3我们知道x(t)∈{P(α,r 4;β,L 2;ψ,r 2)|ψ(x)>r 2}所以有{P(α,r 4;β,L 2;ψ,r 2)|ψ(x)>r 2}≠覬.事实上如果x(t)∈{P(α,r 4;β,L 2;ψ,r 2)}则有r 2≤||x(t)≤r 3,t ∈[η,1].利用引理4及条件(1)(5)可得ψ(Ax)=min t ∈[η,1]min t ∈[a k ,b k ]||Ax(t)||≥min t ∈[η,1]mint ∈[a k ,b k ]10乙G(t,s)f(s,x(s),x'(s))ds≥1N min t ∈[a k,b k]q 21乙s(1-s)F(s)ds=q 2N 1乙s(1-s)F(s)ds>r 2.所以对于x ∈P(α,r 4;β,L 2;ψ,r 2)有ψ(Ax)>r 2,因此引理1中的条件(C 1)也满足.最后验证(C 3)是否满足.设x ∈P(α,r 4;β,L 2;ψ,r 2)且α(Ax)>r 3,那么由ψ的定义和条件(4)以及引理4有α(Ax)≤N a 11乙s(1-s)f(s,x(s),x'(s))ds+mk =1ΣΩj(x(t j))ψ(Ax)=min t ∈[η,1]min t ∈[a k ,b k ]||Ax(t)||≥min t ∈[η,1]mint ∈[a k ,b k ]1乙G(t,s)f(s,x(s),x'(s))ds+mk =1ΣW k(t,η,x,x'≥1N a 21乙s(1-s)f(s,x(s),x'(s))ds+c 0mj =1ΣΩj(x(t j))≥1a 2a 1a11乙s(1-s)f(s,x(s),x'(s))ds+c 0mj =1ΣΩj(x(t j))≥M 1N2a 110乙s(1-s)f(s,x(s),x'(s))ds+c 0mj =1ΣΩj(x(t j))≥M 1α(Ax)≥M 1r 3>r 2.其中M 1=min q2q1,c 0≥≥由此引理1的条件(C 3)满足，所以方程有三个正解x 1,x 2,x 3满足sup t ∈J||x 1(t)<r 1,sup t ∈J||x 1'(t)||<L 1;r 2≤min t ∈[a k ,b k ]||x 2(t)||≤sup t ∈J||x 2(t)||<r 4,sup t ∈J||x 2'(t)||<L 2;sup t ∈J||x 3(t)||<r 3,min t ∈[a k ,b k ]||x 3(t)||≤r 2,sup t ∈J||x 3'(t)||<L 2.4应用f n (t,x,y)=t+12x n 2+|y n |4x n ≤34,t+1(35-x n )x n 2+|y n |34≤x n ≤35,t+1(x n -35)x n 2+|y n |35≤x n ≤36,t+3622+[y n ]4x n ≥36≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤,t ≠12△x n t=12=1x n+112≤≤△x'nt=1=1-x n+112≤≤-y n+112≤≤≤≤x n (0)=0x n (1)=x n14≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤证明在本例中我们知道m=1,t=1,α=1,η=1,满足引理4的q 1=43,q 2=13.E=l 1={x=(x 1,…,x n ,…)|x n ∈R 1,sup n |x n |<+∞}定义范数||x||=sup n|x n |则E 成为Banach 空间.令P={x ∈E|x n ≥0}是E 中一个正规锥，正规常数为1.I 1=(I 11,…I 1n ),I 1=(I 11,…I 1n ),其中I 1i =124|x i+1|,I i1=112[-|x i+1|-|y i+1|].因此有W li t,14,x,≤≤y =-4t I 1i (x)+1I 軃1i(x,y ≤≤)0≤t ≤11-4≤≤t I 1i(x)-t-1≤≤I 軃1i(x,y)12≤t ≤1≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤.根据I 1i ,I軃1i 的构造知对任意的(t,x,y)∈J ×E ×E 有W li t,1,x,≤≤y ≥θ并且当0≤t ≤12时W li t,1,x,≤≤y =-43t I 1i (x)+12I 軃1i(x,y ≤≤)=1t|y i+1|≤1|y i+1|当1≤t ≤1时W li t,14,x,≤≤y =1-43≤≤t I 1i (x)-t-12≤≤I 軃1i(x,y)=112t-124≤≤|y i+1|+1|x i+1|≤1|y i+1|,所以取Ω1i (y)=1|y i+1|这样有W li t,14,x,≤≤y ≤Ω1i (y)条件(1)满足.接下来在本例中a 0=3t 0+t 14=18,b 0=t 0+3t 14=38,a 1=3t 1+t 2=5,b 1=t 1+3t 2=7,W li t,14,x,≤≤y =1t|y i+1|0≤t ≤1112t-124≤≤|y i+1|+136t|x i+1|12≤t ≤1≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤.那么min t ∈[a k,b k]W li t,14,x,≤≤y =min 1144|y i+1|,196|y i+1|+5288|x i+1≥軃|=1144|y i+1|≥16Ω1i (y),所以可以取c 0=16这样定理中的条件(4)满足.满足定理1的M 1=minq 21,c 0軃軃=16.本例题中的f n (t,x,y)是连续的并且是有界的，I 1i ,I 軃1i 也是连续有界的.首先取r 1=1,L 1=2那么F(t)=t+1,M =1则N q 110乙s(1-s)F(s)ds+2α(1-η)1-αηm 乙乙M =1431乙s(1-s)(s+1)ds+21-14乙乙1-1×1×14乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙=431乙s(1-s)(s+1)ds+12=56<1=r 1,max t ∈[0,1]10乙G't(t,s)F(s)ds+2α-1-αηmM=10乙F(s)ds+2-1-141-1×1＝1乙(s+1)ds+1＝7<2=L 1，所以条件(2)满足.取r 2=36,r 3=216（这里1r 3=r 2符合定理要求）,L 2=1022那么F(t)=t+362,所以q 2N10乙s(1-s)F(s)ds=1310乙s(1-s)s+362乙乙ds =136+36>36=r 2.因此定理中的条件(5)满足.最后取r 4=446,L 6=1022那么F'(t)=t+3622+10224,M =146812则N a 110乙s(1-s)F(s)ds+2α(1-η)m 乙乙M =4310乙s(1-s)s+362+1022乙乙ds+2×146812乙乙=44559<446=r 4.max t ∈[0,1]10乙G t '(t,s)F'(s)ds+2α-1-αη)mM =10乙F'(s)ds+1468=10乙s+3622+10224乙乙ds+1468=10211<1022=L 2,条件(3)满足.因此根据定理1知本例中的方程至少有三个正解x 1,x 2,x 3∈Q 并且满足sup t ∈J||x 1(t)<1,sup t ∈J||x 1'(t)||<2;36≤min t ∈[a k ,b k ]||x 2(t)||≤sup t ∈J||x 2(t)||<446,sup t ∈J||x 2'(t)||<1022;sup t ∈J||x 3(t)||<216,min t ∈[a k ,b k ]||x 3(t)||≤36,sup t ∈J||x 3'(t)||<1022.———————————————————参考文献：〔1〕曹晓敏.二阶脉冲方程三点边值问题解的存在性[J].数学的实践与认识,2004,34(3)：148-153.〔2〕孙涛,杨静宇,段晓东.Banach 空间一类二阶非线性脉冲微分方程三点边值问题多个正解的存在性[J].东北大学学报（自然科学版）,2008,29(3)：433-436.〔3〕ZHANGBING BAI,WEIGAO GE .Existence of threepositive s for some second-order boundary value prob -lems[J].Camp Math Appl,2004,48:699-707.〔4〕Guo D J Existence of solutions of boundary valueproblems for nonlinear order impulsive differential equa -tions in Banach Spaces[J].J Math Anal Appl,1994,181(2):407-42.〔5〕Bingmei Liu,Lishan Liu,Yonghong Wu,.Positive solutionsfor singular second order three -point boundary valueproblems[J].Nonlinear Amalysis .〔6〕Yao Lin-hong,Zhao Ai-min.Existence of multiple posi -tive solutions for second order impulsive differential e -quations[J].山西大学学报（自然科学版）,2006,29(1)：6-9.〔7〕R.P.Agarwal,D.O ’Regan,A multiplicity result for secondorder impulsive differential equations via the Leggett Williams fixed point theorem,put.[J]161(2005)433-439.〔8〕Guo d J,Lin X,Multiple 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一类非线性Riemann-Liouville型分数阶微分方程边值问题的两个正解
一类非线性Riemann-Liouville型分数阶微分方程边值问题的两个正解薛益民【摘要】研究一类非线性Riemann-Liouville型分数阶微分方程边值问题两个正解的存在性.利用格林函数的性质和Guo-Krasnosel''''skii''''s不动点定理,得到了该边值问题两个正解存在的充分条件,并举例说明了定理的适用性.【期刊名称】《内蒙古师范大学学报（自然科学汉文版）》【年(卷),期】2019(048)003【总页数】5页(P196-199,204)【关键词】分数阶微分方程;边值问题;正解;Green函数;不动点定理【作者】薛益民【作者单位】徐州工程学院数学与物理科学学院 ,江苏徐州 221018【正文语种】中文【中图分类】O175.8分数阶微分方程具有深刻的物理背景和丰富的理论内涵,与整数阶微分方程相比,分数阶微分方程在描述自然、物理、化学等诸多现象时更具准确性,因此,分数阶微分方程边值问题的研究,对解决现实生活中的非线性问题具有重要意义.几十年以来,分数阶微分方程发展迅速,逐渐成为非线性分析的重要的分支之一,受到越来越多研究者关注[1-7].文献[8]研究了Riemann-Liouville型分数阶微分方程边值问题并利用锥拉伸与压缩不动点定理,给出了上述方程正解的存在性定理,其中2<α≤3,λ>0.受文献 [8]启发,本文研究如下Riemann-Liouville型分数阶微分方程边值问题(1)正解的存在性,其中2<α≤3,1<β≤2,1+β≤α,f∈C([0,1]×[0,∞),[0,∞)),Dγ表示γ阶Riemann-Liouville分数阶导数,γ∈{α,β}.借助格林函数的性质和Guo-Krasnosel’skii’s不动点定理,得到边值问题(1)两个正解存在的充分条件,并举例说明了所得结论的适用性.1 预备知识为研究需要,首先给出Riemann-Liouville型分数积分等定义以及相关结果,参见文献 [9-14].定义1[9] 函数f:+→的α>0阶Riemann-Liouville积分为其中右边在+上逐点定义.定义2[9-10] 函数f:+→的α>0阶Riemann-Liouville导数为其中n=[α]+1,[α]表示实数α的整数部分,右边在+上逐点定义.引理1[9] 若α>0,则齐次分数阶微分方程Dαu(t)=0有唯一解引理2[9] 若α,β>0,f(t)∈L(0,1),则有(ⅰ) DβIαf(t)=Iα-βf(t),α>β;(ⅱ) DαIαf(t)=f(t);(ⅲ),i=1,2,…,n,n-1<α≤n,Dαf(t)∈L(0,1);(ⅳ)引理3[11-12](Guo-Krasnosel’skii’s不动点定理) 设P在Banach空间E中是一个锥,Ω 1,Ω 2是E的有界开子集,且⊂Ω 2.若是全连续算子,且满足下列条件之一: (ⅰ) ‖Ax‖≤‖x‖,∀x∈P∩∂Ω 1且‖Ax‖≥‖x‖,∀x∈P∩∂Ω 2;(ⅱ) ‖Ax‖≥‖x‖,∀x∈P∩∂Ω 1且‖Ax‖≤‖x‖,∀x∈P∩∂Ω 2.那么A在上有一个不动点.引理4[13] ∀y(t)∈C[0,1],2<α≤3,1<β≤2,1+β≤α分数阶微分方程边值问题有唯一解u(t)=G(t,s)y(s)ds,其中(2)引理5[13] 由(2)式定义的Green函数G(t,s)具有如下性质:(ⅰ) ∀t,s∈[0,1],有G(t,s)∈C([0,1]×[0,1]);(ⅱ) ∀t,s∈[0,1],有G(t,s)≥0,且∀t,s∈(0,1),有G(t,s)>0;(ⅲ) ∀s∈[0,1],有(ⅳ) ∀s∈[0,1],有其中λ=(1/2)α-1.2 主要结论本节将借助格林函数的性质和Guo-Krasnosel’skii’s不动点定理,研究边值问题(1)两个正解的存在性.令X={u(t):u(t)∈C([0,1],[0,∞))},∀u∈X,定义范数则(X,‖·‖)是一Banach空间.定义锥U⊂X为U={u(t)∈X:u(t)≥0, t∈[0,1]}.定义锥V⊂X为其中λ=(1/2)α-1.∀u∈X,t∈[0,1],定义算子T:X→X为(Tu)(t)=G(t,s)f(s,u(s))ds.(3)由引理4知,T的不动点即为边值问题(1)的解.引理6[13] 设f∈C([0,1]×[0,∞),[0,∞)),则算子T:U→U和T:V→V是全连续的. 为证明简洁,记M=(λ2Gα(1,s)ds)-1, N=(Gα(1,s)ds)-1,定理1 设f∈C([0,1]×[0,∞),[0,∞)),若下面条件成立:(H1) 存在常数a,b≥1满足a M<f0+≤∞,b M<f∞≤∞;(H2) 存在常数c>0,0<d<1满足则边值问题(1)至少存在两个正解u1和u2使得0<‖u1‖<c<‖u2‖.证明首先,由a M<f0+≤∞,可选择充分小的正常数ε1满足0<ε1<f0+-a M.(4)因此,存在常数0<r<c满足f(t,u)≥(f0+-ε1)u,(t,u)∈[0,1]×[0,r].(5)令Ω r={u∈X:‖u‖<r}.由V的定义,设u∈V∩∂Ω r,∀s∈[1/2,1],有(6)设t∈[1/2,1],注意到a≥1,由(4)式、(5)式、(6)式和引理5的(ⅳ),∀u∈V∩∂Ω r,有‖(Tu)(t)‖≥Tu(t)=G(t,s)f(s,u(s))ds≥λ G(1,s)(f0+-ε1)uds≥(f0+-ε1)(λ2G(1,s)ds)‖u‖≥a‖u‖≥‖u‖.即‖Tu‖≥‖u‖,∀u∈V∩∂Ω r.(7)其次,由b M<f∞≤∞,可选择充分小的正常数ε2满足0<ε2<f∞-b M.(8)因此,存在常数μ>0满足f(t,u)≥(f∞-ε2)u,(t,u)∈[0,1]×(μ,∞).(9)令Ω R={u∈X,‖u‖<R},其中 R>max{c,μ/λ}.(10)由V的定义,设u∈V∩∂Ω R,∀s∈[1/2,1],有(11)设t∈[1/2,1],注意到b≥1,由(8)式、(9)式、(10)式、(11)式和引理5的(ⅳ),∀u∈V∩∂Ω R,有‖(Tu)(t)‖≥(Tu)(t)=G(t,s)f(s,u(s))ds≥λ G(1,s)(f∞-ε2)uds≥(f∞-ε2) λ2Gα(1,s)ds‖u‖≥b‖u‖≥‖u‖.即‖Tu‖≥‖u‖,∀u∈V∩∂Ω R.(12)最后,令Ω c={u∈X,‖u‖<c}.注意到0<d<1,由引理5的(ⅳ)和(H2),∀u∈V∩∂Ω c,t∈[0,1],有(Tu)(t)=G(t,s)f(s,u(s))ds≤c dNG(1,s)ds≤c d<c.由此可得‖Tu‖<c=‖u‖,∀u∈V∩∂Ω c.(13)由引理6知,和均为全连续的.根据(7)式、(13)式和引理3,边值问题(1)至少有一个正解根据(12)式、(13)式和引理3,边值问题(1)至少有一个正解由证明过程,易知0<‖u1‖<c<‖u2‖.3 应用举例例1 考虑形式如下非线性Riemann-Liouville型分数阶微分方程边值问题:(14)其中满足1+β≤α.令易知f∈C([0,1]×[0,∞),[0,∞)), f0+=f∞=∞.∀(t,u)∈[0,1]×[0,1],有f(t,u)≤N/3.取c=1,d=1/3,则定理1的条件均被满足,故边值问题(14)至少存在两个正解u1和u2且满足0<‖u1‖<1<‖u2‖.参考文献:【相关文献】[1] Sun Y,Zhao M. Positive solutions for a class of fractional differential equations with integral boundary conditions [J]. Applied Mathematics Letters,2014,34:17-21.[2] Zhang X,Wang L,Sun Q. Existence of positive solutions for a class of nonlinear fractional differential equations with integral boundary conditions and a parameter [J]. Applied Mathematics and Computation,2014,226:708-718.[3] Shah K,Khan R A. Existence and uniqueness of positive solutions to a coupled system of nonlinear fractional order differential equations with anti-periodic boundary conditions [J]. Differential Equations & Applications,2015,7(2):245-262.[4] Shah K,Khalil H,Khan R A. Upper and lower solutions to a coupled system of nonlinear fractional differential equations [J]. Progress in Fractional Differentiation and Applications,2016,2(1):1-10.[5] Jiang W. Solvability for a coupled system of fractional differential equations with integral boundary conditions at resonance [J]. 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Ｄｅ ｃ ． ２ Ｏ１ ３ Ｖｂ１ ． ７ Ｎｏ． ４
非线性反周期分数阶脉冲微分方程边值 问题 的解
张爱华 ，胡卫敏
（ 伊 犁 师 范 学 院 数 学与 统 计 学院 ，新 疆 伊 宁 ８ ３ ５ ０ ０ ０ ）
摘
要 ：通过 Ｓ ｃ ｈ ａ ｕ ｄ ｅ ｒ 不动 点定理 和 Ｂ ａ ｎ ａ ｃ ｈ压 缩 映射 原理 ，得到 了一类非 线性反 周期 分数
２ 预 备 பைடு நூலகம் 识
首 先 ，给 出一 些分数 阶微 积分 理论 的定 义和基 本定 理 ，参 见文献 ［ ９ 一 ｌ ｌ 】 ． 定义 ２ ． １ 函数 厂： 【 ０ ， ｏ ｏ ） Ｒ的 ＞０ 阶 Ｒｉ ｅ ｍａ ｎ ｎ — Ｌ ｉ ｏ ｕ ｖ ｉ ｌ ｌ ｅ 积 分是 指
１ ｎｔ
ｌ Ｉ ． Ｉ ＝ ｓ ｕ ｐ ［ “ （ ｒ ） Ｉ 为范 数的Ｂ ａ ｎ ａ ｃ ｈ 空间 ．
定义 Ｐ ｃ ’ （ ， Ｒ ） ＝ ∈Ｐ ｃ （ Ｊ ， Ｒ ） ｌ ∈ Ｃ （ ） ， ｋ ＝ｏ ， １ ， ２ ， …， ； ‘ （ ） 存在，ｑ ＝Ｏ ， １ ， ２ ， ３ ， ｋ ＝１ ， ２ ， ・ 一 ， ） ， 则
１ ２
伊 犁师范学院学报 （ 自 然科学版 ）
２ ０ １ ３ 年
其 中右边 是 在 【 ０ ， ∞） 上逐 点定义 的． 定义 ２ ． ２ 阴 函数 厂： 【 ０ ， 。 。 ） Ｒ的 Ｏ ｔ ＞０阶 Ｒ ｉ ｅ ｍａ ｎ ｎ ． Ｌ ｉ ｏ ｕ ｖ ｉ ｌ ｌ ｅ微分 是指
岳 ） ： ＝ ： 高 。 （ ｔ － Ｓ ） 厂 （ ） ，
收稿 日期 ：２ ０ １ ３ ． ０ ９ ． ０ ５ 基金项 目：新疆维吾 尔 自治 区 自然科 学基金 项 目 （ ２ ０ １ ３ １ ８ １ ０ １ ． １ ４ ）．
作者 简介：张爱华 （ １ ９ ８ ４ 一） ，女 ，在 读 硕 士研 究生 ，研 究 方 向 ：微 分 方程 理 论 与 应 用
１ 引言
脉冲 现象 是 一种 瞬 间突变 的现 象 ，因其 能更 深刻 、更 精确 地反 映事物 的变化 规律 ， 日益 引起人 们 的重 视 ，它 在物 理 、化 学 、经 济 、生物 动力 系统 、工程 技术 和人 口动力 学等领 域有 广泛应 用 【 ｌ 】 ． 非 线性 脉冲 微 分方 程 是微 分方 程 的一个 重要 分支 ，随着脉 冲微分 方程 理论 的发 展 ，人们开 始关注 脉冲 微分方 程初 值 和边
Ｐ Ｃ （ ， ） 关 于 范 数 ＝ ｍ ａ ｘ ｛ ｌ ｌ ｕ ｌ ｌ ， Ｉ ｌ ｕ ， ｌ ，
满足 （ １ ． １ ） ，则称 为 （ １ ． １ ）的解．
ｌ Ｉ ） 构 成 一 个Ｂ ａ ｎ ａ ｃ ｈ 空 间 ． 若“ Ｅ Ｐ Ｃ （ ， Ｒ ） Ｎ Ａ Ｃ （ ， Ｒ ）
２ ０ １ ３年 １ ２月 第 ７卷 第 ４期
伊犁 师范 学院 学报 （ 自然科 学版 ） Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｙ ｉ ｌ ｉ Ｎｏ ｒ ｍａ ｌ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ（ Ｎａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｅ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ）
阶 脉 冲微 分方程 边值 问题 解 的存在 性和唯 一性 ． 关键 词 ：分数 阶微 分 方程 ；边值 问题 ；脉 冲 条件 ；不动 点定理 中图分 类号 ：Ｏ１ ７ ５ ． ８ 文献 标志 码 ：Ａ 文章 编号 ： １ ６ ７ ３ ９ ９ ９ Ｘ （ ２ ０ １ ３ ）０ ４ —Ｏ Ｏ １ １ —Ｏ ６
值 问题 的研 究． 关 于 整数 阶脉 冲微 分方 程两 点 、三 点和 多 点边 值 问题解 的存 在性 研 究 ， 已经取 得 了一 定 的 成 果【 ¨】 ． 但 是 很少 有文 章研 究非 线性 分数 阶脉冲 微分方 程 的边值 问题解 的存在 性【 ５ 刚 ．
本 文主 要研 究 了非 线性 反周期 分数 阶脉 冲边值 问题
Ｄ Ｌｕ （ ｔ ） ＝ｆ （ ｔ ， （ ｆ ） ） ， ｆ ∈ Ｊ ＝ ＼ ｛ ， ｔ ２ ， …， ） ， ３ ＜ ≤４ ，
Ａｕ ㈤（ ） ＝ （ （ ） ） ，ｋ＝ｌ ， ２ ， …， ， ‘ （ ０ ） ＝一 “ ‘ ’ （ ） ，ｑ ＝０ ７ １ ， ２ ， ３ ， （ １ ． １ ）
．
Ｄ ｏ ＋ ｆ （ 志 （ 争
定义 ２ ． ３
ｃ Ｄ
ｏ ＋
幽 ， Ｑ 】 ＋ １ ’
其中右边是在［ ０ ， 。 。 ） 上逐点 定义的． 特别地，当ａ ＝ ｎ 时，％ 厂 （ ， ） ＝ｆ ’ （ ｆ ） ．
函数 厂： 【 Ｏ ， ０ ＜ ３ ） － － ＋ Ｒ的 Ｏ ｌ ＞０ 阶Ｃ ａ ｐ ｕ ｔ ｏ微分 是指
分 别 表示 ‘ （ ｆ ） 在 点 处 的右极 限与 左极 限 ，且 “ ’ （ ） ＝ ‘ ’ （ ） ， ｑ：０ ， １ ， ２ ， ３ ．
定义 ｅ ｃ （ Ｊ ， Ｒ ） ＝ ： Ｊ ＿ Ｉ 甜 ∈ｃ （ ） ， ｋ ＝ｏ ， ｌ ， ２ ， …， ； （ ） 存在， ｋ ＝１ ， ２ ， …， ］ － ，则 ｅ ｃ （ Ｊ ， Ｒ ） 是以
解 的存在性和唯一性．其中 璐 是 Ｃ ａ ｐ ｕ ｔ ｏ分数阶导数 ，厂∈ ｃ （ ［ ０ ， Ｔ ］ × Ｒ ， Ｒ ） ，厶∈ ｃ （ Ｒ ， Ｒ ） ，Ｊ＝［ ０ ， Ｔ 】 ，
Ｊ ｏ ＝［ ｏ ， ｔ １ ］ ， 以 ＝（ ｔ ｋ ， ｔ ｋ ＋ １ 】 ，０ ＝ｔ ｏ ＜ ｆ ｌ ＜ …＜ ＜ ｔ ｍ ＋ １ ＝Ｔ， △ “ ‘ （ ） ＝ ‘ （ ｔ Ｄ－ ‘ （ ） ， ‘ （ ｔ Ｄ与 ‘ （ ｔ Ｄ