浙江大学 概率论与数理统计 第七章数理统计习题__偶数答案

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4解：矩估计：

()1012122μθλθλθλ=?+?+?--=--，

()()()()2

2

2

2222121νθλθθλλθλθλ=--++-++--,

11A =,

234

B =

,

故()

()

()(

)

2

2

2

??221,3??

????????222121.

4

θλ

θλθθλ

λ

θλθλ?

--=??

--++-++--=??

解得1?,

43?.

8

λθ?=??

?

?=??

为所求矩估计。

极大似然估计：

(){}()3

3

2

14526837,0,2,11L P X X X X X X X X θλθλ

θλ==========--，

()()(),ln ,3ln 2ln 3ln 1l L θλθλθλθλ==++--，

()(),33

0,1,230.1l l θλθθθλθλλλθλ??=-=?

??--???=-=??--?解得3?,8

1?.4

θλ?=????=??即为所求。 6解：(1)()10

112

E X x x dx θ

θθθ+=

+=

+?

，

由

?1

?2

X θθ+=+得21

?1X X θ-=-为θ的矩估计量。 ()()()1

1

1,

01,,,0,n

n n

i i i i x x L f x θ

θθλθ==?+∏<

其他。

()()()1

ln 1ln ,

01,,ln ,0,n

i i n x x l L θθθλθλ=?

++<

∑其他。

令

()

1

ln 01

n

i

i l n

x

θθ

θ=?=

+

=?+∑得

1

?1

ln n

i

i n

x

θ==-

-∑，

所以θ的极大似然估计为1

1ln n

i

i n

x

=-

-∑。

(2)()120

,EX xf

x dx e θ

θ=

=?

，令?

2

e X θ=得?2ln X θ=为θ的矩估计量。

()()()()

2

1

ln 21

21

1

,,2n

i i x n

i n

n

i i

i L f x e

x θ

θλθπθ=-

==∑=∏=

∏，

()()()()2

1

1

ln ,ln ,ln 2ln 2

2n

i n

i i i x n l L x θλθλπθθ

====-

--

∑∑

令

()

()

2

1

2

ln 022n

i

i x l n θθ

θ

θ=?=-

+

=?∑得()2

1

1

?ln n

i i x n

θ==

∑为θ的极大似然估计。

(3)()20

2,1

E X xf

x dx

θ

θθ=

=

+?

，

令?2?1

X θθ=+得?2X

X θ=-为θ的矩估计量。 ()()1

1

1

2

,02,,0,n n n n

i i i i x x L f x θθθθθ--==?∏<

其他。

()()()1

ln ln 21ln ,

02,ln 0,n

i i n n x x l L θθθθθ=?

-+-<

∑其他。

令

()

1

ln 2ln 0n

i

i l n

n x

θθ

θ

=?=

-+

=?∑得，1

?ln 2ln n

i

i n

n x θ==

-∑为θ的极大似然估计。

(4)()100

100,2

E X xf

x dx

θ

θθ+=

=

?，令

?

1002

X

θ+=得?2100X θ=-为θ的矩估计量。

()()()

1

1

,100n

i n

i L f x θθθ==∏=

-，因0100θ<<，要使()L θ最大，则θ应取最大。

又θ不能大于{}1min ,,n x x ，故θ的极大似然估计为{}1?

min ,,n X X θ=

(5)(),0EX xf x dx θ∞-∞

=

=?

，故0X =。

2

2

var 2X EX θ

==，

由()

2

221

1

1

1

?2n

n

i

i

i i X X

X n

n

θ===

-=

∑∑和0θ>得

2

1

?2n

i

i X n

θ==

∑

为θ的矩估计量。

()()11

1

,

,,2

0,n

i i X n i n n i e x L f x θθθθ=-=?∑??-∞<<∞=∏=????

其他。

则

()()1

1ln 2ln ,

,ln 0,n

i i n n x x l L θθθθ

=?

---

-∞<<∞?==???

∑

其他。

令

()

1

2

0n

i

i x l n

θθ

θθ

=?=-

+

=?∑

得11

?n

i

i x n θ==

∑

为θ的极大似然估计。

8(1)X μ=，()()()2

2

22

2

1

1

1

1

1

1

2n

n

n

i

i

i

i i i i E

X E X EX EX n

n

n

μμμμ

σ

===-=

-=

-+=∑∑∑

(2)()()()()122

222

1111111221n n n

i i i i i i i i i i i E k X X k E X X k EX EX EX EX n k σ

-++++===??-=-=-+=-????

∑∑∑

则

()1

21k n =

-即为所求。

10(1)依题，i X ，j Y 与l Z 相互独立，()2222123ET aES bES cES a b c σ=++=++

故T 是2σ的无偏估计的充要条件为1a b c ++= (2)记n 个样本的方差为2

S ，则

()()2

2

2

11n S n χσ

-- ，()4

2

21D S

n σ

=-

故()2412D S σ=，()242D S σ=，()24

323

D S σ=

故222

22

22

2241

2

3

223b c DT a DS b DS c DS a σ??

=++=++ ??

?

要使T 为最有效估计，只须使2

2

2

2

3

b

c

a +

+

在1a b c ++=的条件下取最小值即可。

令

()

2

2

2

12

3

b

c

L a a b c λ=+

+

-++-

由20,0,20,3 1.

L

a a L

b b L c

c a b c λλλ??=-=?????=-=?

????=-=?

???++=?得1,61,31.2a b c ?=???=???=??

即为所求。

12()2

2,0,,0,x

x f x θθθ?≤

=???

其他。，0θ>，

()2,3E X xf

x dx

θ

θ∞-∞

=

=

?

故3

?2

X θ=为θ的矩估计量，且为无偏估计。 ()()211

2,0,,0,n n n

i

n i i i x x L f x θθθθ==?∏≤

=∏=???

其他。

显然()L θ关于θ单调递减。故θ取最小值时()L θ最大。

又θ不小于{}1max ,,n X X ，故(){}21?max ,,n n X X X θ== 为θ的极大似然估计。

又()

()21

22,0,,0,n

n n X n x

x f x θθθ

-?≤

其他。

，

故()220

2221

n

n n

n

n

E X x dx n θθθ

=

=+?

即()22?21

n n E E X n θθ==

+故2?θ为θ的有偏估计。

14(1)()()()

1

1

,n

i i X n

i i L f x e

μμμ=-

-=∑=∏=，

()1

()ln n

i i l L X n μμμ

===-+∑，

()l μ为μ的单调递增函数，故μ取最大值时()l μ取最大值。

又μ不大于{}1min ,,n X X ，故(){}111?min ,,n X X X μ== 为μ的极大似然估计。

因()()

()

,1x

t x F x e

dt e

μμμ

μ----==-? 易知()

()()

1

,,

,0,n x X i ne

x f x μμμ--?≥?=?

??

其他。

所以()()

()1

111?,X

i E E X xf x dx n

μ

μμ∞-∞

===+

?

，即1?μ

是μ的有偏估计。 *

111??n

μμ

=-是μ的无偏估计。

(2)()

1x EX xe

dx μμ

μ∞

--=

=+?，则2?1X μ

=-是μ的矩估计量且为无偏估计。 (3)()

()()

()()

12

*

21

1112

11???D D D EX EX n n

μ

μ

μ?

?=-==-=

??

? ()()()()*

211??1D D X D X D n

μμ=-==

>，故*1?μ比2?μ

更有效。

(4)由切比雪夫不等式知，0ε?>，{}()*

1*

12

2

2

?1?111D P n μ

μ

μεε

ε

-<≥-=-

→

{}()222

2

?1?111D P n μ

μ

μεε

ε

-<≥-=-

→

故*

1?μ与2?μ

为μ的相合估计。 16(1)2

223

x

E X x

dx θθθ

=

=

?

，故13?2

X

θ=

为θ的矩估计量，且为无偏估计。

()

2

2

2

2

2

2

22318x

D X EX

EX x

dx θ

θθθ

??

=-=

-= ?

??

?

2

199?4

48D DX DX n

n

θ

θ=

=

=

故{}

()

2

1

12

??1118D P n

θθ

θμεε-<≥-

=-

→，故1?θ为θ的相合估计。

(2)()()21

1

2

,n

n

n

i i n

i i L f x x θθθ

===∏=

∏

易知()L θ为θ的单调递减函数，故θ取最小值时，()L θ取最大值。

又θ不小于{}1max ,,n X X ，故(){}21?max ,,n n X X X θ== 为θ的极大似然估计。

()

()21

22,0,,0,n n n X

n x

x f x θθθ

-?≤

其他。

故()22?21

n n E E X n θθ==+，故2?θ为θ的有偏估计。

()()()

()

()()

2

2

2

22

?121n n n n D D X EX EX n n θ

θ==-=

++

所以{}

()

()()2

2

22

2

2

??111121D n P n n θθ

θθεε

ε

-<≥-=-

→++

故2?θ为θ的相合估计。 18(1)因(){}{}(1)

(1)(1)1nx

X

F x P X x P X x e

μ

μμ--=-<=<+=-与参数μ无关，故可

取(1)X μ-为关于μ的区间估计问题的枢轴量。

(2)设常数a b <，满足{}(1)1P a X b μα<-<=-，即{}(1)(1)1P X b X a μα-<<-=-

此时，区间的平均长度为L b a =-，易知，取1

ln 12a n α?

?=-

- ???

，1ln

2b n α=-时，

区间的长度最短，从而μ的置信水平为1α-的置信区间为

(1)

(1)11ln ,ln 122X X n n αα??

??++- ? ????

?。 20易知μ的置信水平为95%的置信区间为0.0250.025,X z X z n

n σ

σ

??

-

+

??

?

将0.025 1.96z =，10σ=，25n =，140X =代入得

μ的置信水平为95%的置信区间为()136.08,143.92。

22

2

σ的置信水平为99%的置信区间为()()()()22220.0050.09511,11n S n S n n χχ??

-- ? ?--??

将16n =， 2.2S =，()20.00515χ及()2

0.09515χ的值代人得

2

σ的置信水平为99%的置信区间为()2.213,15.779。

24 已知112n =，13.8X =，1 1.2S =，215n =，12.9Y =，2 1.5S =，1

222σσ=

(1)12μμ-的置信水平为95%的置信区间为()0.02512121

11w

X Y t n n S n n ?

?

-±+-+ ?

??

? 其中()()22

11222

12112

w n S n S S n n -+-=

+-，查EXCEL 表得()0.02526t 的值，将各值代人得

12μμ-的置信水平为95%的置信区间为()0.198,1.998-

(2)依题()13.812.90.90.198,1.998X Y -=-=∈-，故可认为无显著差异。 26116n =，155.7S =，220n =，231.4S =，10.95α-= (1)

21

2

2

σσ的置信水平为

95%的置信区间为(

)()2222

1212

0.0250.975,15,1915,19S S S S F F ?? ? ??? 查EXCEL 表得()0.02515,19F 和()0.97515,19F 的值，将各值代人得

21

2

2

σσ的置信水平为95%的置信区间为()0.678,4.919

(2)这些资料不足于说明2

1σ不同于22σ。 28易知P 置信水平为10.95α-=的置信区间为

(

)

()

2

2

1

1

4,

422b b ac b b ac a

a

??----+- ?

??

由已知资料计算得

2

2

0.02560 1.9663.8416a n z =+=+=，

()220.025202260 1.9643.8416

60b nx z ??

=-+=-??+=- ???

，

2

2

2060 6.6760c nx ??

==?≈ ???

，故所求的置信区间为()0.227,0.459。