2017年春季学期新版湘教版八年级数学下册第2章《四边形》重难点突破(含答案)
八年级数学下册第2章四边形2.7正方形教学课件新版湘教版
D
O C
【例题】
例2：AC为正方形ABCD的对角线，E为AC上一点，且AB=AE，EF⊥AC交BC 于F，求证形
3.(宜宾·中考）如图，点P是正方形ABCD的对角线
BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF,给出
下列五个结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等
腰三角形；④∠PFE=∠BAP；⑤PD= EC.其中正确结
2
论的序号是_____.
【解析】延长FP交AB于点G，延长AP交EF于点H，交EC于 点M，由题意易证，△BPE、△DPF为等腰直角三角形，四边 形PECF为矩形，四边形BEPG为正方形. 易证△APG≌△FEP, 所以AP=EF，∠BAP=∠PFE，又PE∥FC, 所以∠PFE=∠FEC=∠BAP, 又∠BAP+∠BMA=90°，所以∠FEM+∠BMA=90°， 所以∠EHM=90°即AP⊥EF. 在等腰直角三角形PDF中, PD= 2 PF= 2EC. 答案：①②④⑤
平行四边形
矩形
正 菱形 方
形
1.（义乌·中考）下列说法不正确的是( ) （A）一组邻边相等的矩形是正方形 （B）对角线相等的菱形是正方形 （C）对角线互相垂直的矩形是正方形 （D）有一个角是直角的平行四边形是正方形 【解析】选D.有一个角是直角的平行四边形可能是矩形， 也可能是正方形.
2.（苏州·中考）如图，四边形 ABCD是正方形，延长AB到E，使AE=AC， 则∠BCE的度数是_______°. 【解析】因为四边形ABCD是正方形， 所以∠CAE=45°，∠ABC=90°, 又因为AE=AC,所以∠E=∠ACE=67.5°, 所以∠BCE=90°-∠E=90°-67.5°=22.5°. 答案：22.5
湘教版数学八年级下册—第2章《四边形》.docx
初中数学试卷桑水出品2016—2017学年湘教版八年级数学下册第2章《四边形》2.1—2.2同步练习与解析一．选择题（共10小题）1．从n边形一个顶点出发，可以作（）条对角线．A．n B．n﹣1 C．n﹣2 D．n﹣32．从多边形的一个顶点出发向其余的顶点引对角线，将多边形分成10个三角形，则此多边形的边数为（）A．9 B．11 C．12 D．103．若一个多边形的内角和与它的外角和相等，则这个多边形是（）A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形4．若一个正n边形的每个内角为144°，则这个正n边形的所有对角线的条数是（）A．7 B．10 C．35 D．705．设四边形的内角和等于a，五边形的外角和等于b，则a与b的关系是（）A．a＞b B．a=b C．a＜b D．b=a+180°6．商店出售下列形状的地砖：①长方形；②正方形；③正五边形；④正六边形．若只选购其中某一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖共有（）A．1种 B．2种 C．3种 D．4种7．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BED=150°，则∠A的大小为（）A．150°B．130°C．120° D．100°8．如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1，另两张直角三角形纸片的面积都为S2，中间一张正方形纸片的面积为S3，则这个平行四边形的面积一定可以表示为（）A．4S1B．4S2C．4S2+S3D．3S1+4S39．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC+BD=16，CD=6，则△ABO的周长是（）A．10 B．14 C．20 D．2210．如图，在▱ABCD中，AB=6，BC=8，∠C的平分线交AD于E，交BA的延长线于F，则AE+AF 的值等于（）A．2 B．3 C．4 D．6二．填空题（共8小题）11．如图，在▱ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E，若∠1=20°，则∠2的度数为．12．如图，▱ABCD中，AC=8，BD=6，AD=a，则a的取值范围是．13．如图，在▱ABCD中，AB=3，BC=5，以点B的圆心，以任意长为半径作弧，分别交BA、BC于点P、Q，再分别以P、Q为圆心，以大于12PQ的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点M，连接BM并延长交AD于点E，则DE的长为．14．如图，在▱ABCD中，P是CD边上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，若AD=5，AP=8，则△APB的周长是．15．如图，在▱ABCD中，AB=213cm，AD=4cm，AC⊥BC，则△DBC比△ABC的周长长cm．16．一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数是．17．试写出用n边形的边数n表示对角线总条数S的式子：．18．如图，若▱ABCD的周长为36cm，过点D分别作AB，BC边上的高DE，DF，且DE=4cm，DF=5cm，▱ABCD的面积为cm2．三．解答题（共5小题）19．如图，已知正五边形ABCDE，AF∥CD交DB的延长线于点F，交DE的延长线于点G，求∠G的度数．20．一个多边形的内角和是它外角和的2倍，求这个多边形的边数．21．已知线段AC=8，BD=6．（1）已知线段AC垂直于线段BD．设图（1）、图（2）和图（3）中的四边形ABCD的面积分别为S1，S2和S3，则S1=，S2=，S3=；（2）如图（4），对于线段AC与线段BD垂直相交（垂足O不与点A，C，B，D重合）的任意情形，请你就四边形ABCD面积的大小提出猜想，并证明你的猜想．22．如图，在▱ABCD中，E、F分别为边AD、BC的中点，对角线AC分别交BE，DF于点G、H．求证：AG=CH．23．在▱ABCD中，BC=2AB，M为AD的中点，设∠ABC=α，过点C作直线AB的垂线，垂足为点E，连ME．（1）如图①，当α=90°，ME与MC的数量关系是；∠AEM与∠DME的关系是；（2）如图②，当60°＜α＜90°时，请问：（1）中的两个结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）如图③，当0°＜α＜60°时，请在图中画出图形，ME与MC的数量关系是；∠AEM 与∠DME的关系是．（直接写出结论即可，不必证明）2016—2017学年湘教版八年级数学下册第2章《四边形》2.1—2.2同步练习解析一．选择题（共10小题）1．从n边形一个顶点出发，可以作（）条对角线．A．n B．n﹣1 C．n﹣2 D．n﹣3【分析】根据多边形的对角线的方法，不相邻的两个定点之间的连线就是对角线，在n边形中与一个定点不相邻的顶点有n﹣3个．【解答】解：n边形（n＞3）从一个顶点出发可以引n﹣3条对角线．故选D．【点评】本题主要考查了多边形的对角线的定义，是需要熟记的内容．2．从多边形的一个顶点出发向其余的顶点引对角线，将多边形分成10个三角形，则此多边形的边数为（）A．9 B．11 C．12 D．10【分析】根据从一个n边形一个顶点出发的对角线可将这个多边形分成（n﹣2）个三角形进行计算即可．【解答】解：设这个多边形的边数是n，由题意得，n﹣2=10，解得，n=12．故选：C．【点评】本题考查的是n边形的对角线的知识，从n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线，可将这个多边形分成（n﹣2）个三角形．3．（2016•南通）若一个多边形的内角和与它的外角和相等，则这个多边形是（）A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°与多边形的外角和定理列式进行计算即可得解．【解答】解：设多边形的边数为n，根据题意得（n﹣2）•180°=360°，解得n=4．故这个多边形是四边形．故选B．【点评】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，熟记公式与定理是解题的关键．4．（2016•广安）若一个正n边形的每个内角为144°，则这个正n边形的所有对角线的条数是（）A．7 B．10 C．35 D．70【分析】由正n边形的每个内角为144°结合多边形内角和公式，即可得出关于n的一元一次方程，解方程即可求出n的值，将其代入(3)2n n-中即可得出结论．【解答】解：∵一个正n边形的每个内角为144°，∴144n=180×（n﹣2），解得：n=10．这个正n边形的所有对角线的条数是：(3)2n n-=1072⨯=35．故选C．【点评】本题考查了多边形的内角以及多边形的对角线，解题的关键是求出正n边形的边数．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据多边形的内角和公式求出多边形边的条数是关键．5．（2016•宜昌）设四边形的内角和等于a，五边形的外角和等于b，则a与b的关系是（）A．a＞b B．a=b C．a＜b D．b=a+180°【分析】根据多边形的内角和定理与多边形外角的关系即可得出结论．【解答】解：∵四边形的内角和等于a，∴a=（4﹣2）•180°=360°．∵五边形的外角和等于b，∴b=360°，∴a=b．故选B．【点评】本题考查的是多边形的内角与外角，熟知多边形的内角和定理是解答此题的关键．6．商店出售下列形状的地砖：①长方形；②正方形；③正五边形；④正六边形．若只选购其中某一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖共有（）A．1种 B．2种 C．3种 D．4种【分析】几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．【解答】解：①长方形的每个内角是90°，4个能组成镶嵌；②正方形的每个内角是90°，4个能组成镶嵌；③正五边形每个内角是180°﹣360°÷5=108°，不能整除360°，不能镶嵌；④正六边形的每个内角是120°，能整除360°，3个能组成镶嵌；故若只选购其中某一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖有①②④．故选C．【点评】此题主要考查了平面镶嵌，用一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°．任意多边形能进行镶嵌，说明它的内角和应能整除360°．7．（2016•河池）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BED=150°，则∠A的大小为（）A．150°B．130°C．120° D．100°【分析】由在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，易证得∠AEB=∠ABE，又由∠BED=150°，即可求得∠A的大小．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEB=∠CBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴∠AEB=∠ABE，∵∠BED=150°，∴∠ABE=∠AEB=30°，∴∠A=180°﹣∠ABE﹣∠AEB=120°．故选C．【点评】此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．8．（2016•宁波）如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1，另两张直角三角形纸片的面积都为S2，中间一张正方形纸片的面积为S3，则这个平行四边形的面积一定可以表示为（）A．4S1B．4S2C．4S2+S3D．3S1+4S3【分析】设等腰直角三角形的直角边为a，正方形边长为c，求出S2（用a、c表示），得出S1，S2，S3之间的关系，由此即可解决问题．【解答】解：设等腰直角三角形的直角边为a，正方形边长为c，则S2=12（a+c）（a﹣c）=12a2﹣12c2，∴S2=S1﹣12S3，∴S3=2S1﹣2S2，∴平行四边形面积=2S1+2S2+S3=2S1+2S2+2S1﹣2S2=4S1．故选A．【点评】本题考查平行四边形的性质、直角三角形的面积等知识，解题的关键是求出S1，S2，S3之间的关系，属于中考常考题型．9．（2016•泸州）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC+BD=16，CD=6，则△ABO 的周长是（）A．10 B．14 C．20 D．22【分析】直接利用平行四边形的性质得出AO=CO，BO=DO，DC=AB=6，再利用已知求出AO+BO 的长，进而得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，BO=DO，DC=AB=6，∵AC+BD=16，∴AO+BO=8，∴△ABO的周长是：14．故选：B．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，正确得出AO+BO的值是解题关键．10．（2016•泰安）如图，在▱ABCD中，AB=6，BC=8，∠C的平分线交AD于E，交BA的延长线于F，则AE+AF的值等于（）A．2 B．3 C．4 D．6【分析】由平行四边形的性质和角平分线得出∠F=∠FCB，证出BF=BC=8，同理：DE=CD=6，求出AF=BF﹣AB=2，AE=AD﹣DE=2，即可得出结果．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD=BC=8，CD=AB=6，∴∠F=∠DCF，∵CF平分∠BCD，∴∠FCB=∠DCF，∴∠F=∠FCB，∴BF=BC=8，同理：DE=CD=6，∴AF=BF﹣AB=2，AE=AD﹣DE=2，∴AE+AF=4；故选：C．【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形是等腰三角形是解决问题的关键．二．填空题（共8小题）11．（2016•河南）如图，在▱ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E，若∠1=20°，则∠2的度数为110°．【分析】首先由在▱ABCD中，∠1=20°，求得∠BAE的度数，然后由BE⊥AB，利用三角形外角的性质，求得∠2的度数．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠BAE=∠1=20°，∵BE⊥AB，∴∠ABE=90°，∴∠2=∠BAE+∠ABE=110°．故答案为：110°．【点评】此题考查了平行四边形的性质以及三角形外角的性质．注意平行四边形的对边互相平行．12．（2016•巴中）如图，▱ABCD中，AC=8，BD=6，AD=a，则a的取值范围是1＜a＜7．【分析】由平行四边形的性质得出OA=4，OD=3，再由三角形的三边关系即可得出结果．【解答】解：如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=12AC=4，OD=12BD=3，在△AOD中，由三角形的三边关系得：4﹣3＜AD＜4+3．即1＜a＜7；故答案为：1＜a＜7．【点评】本题考查了平行四边形的性质和三角形的三边关系；熟练掌握平行四边形的性质，由三角形的三边关系得出结果是解决问题的关键．13．（2016•深圳）如图，在▱ABCD中，AB=3，BC=5，以点B的圆心，以任意长为半径作弧，分别交BA、BC于点P、Q，再分别以P、Q为圆心，以大于12PQ的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点M，连接BM并延长交AD于点E，则DE的长为2．【分析】根据作图过程可得得AE平分∠ABC；再根据角平分线的性质和平行四边形的性质可证明∠AEB=∠CBE，证出AE=AB=3，即可得出DE的长．，【解答】解：根据作图的方法得：AE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC=5，∴∠AEB=∠CBE，∴∠ABE=∠AEB，∴AE=AB=3，∴DE=AD﹣AE=5﹣3=2；故答案为：2．【点评】此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定．熟练掌握平行四边形的性质，证出AE=AB是解决问题的关键．14．（2016•新疆）如图，在▱ABCD中，P是CD边上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，若AD=5，AP=8，则△APB的周长是24．【分析】根据平行四边形性质得出AD∥CB，AB∥CD，推出∠DAB+∠CBA=180°，求出∠PAB+∠PBA=90°，在△APB中求出∠APB=90°，由勾股定理求出BP，证出AD=DP=5，BC=PC=5，得出DC=10=AB，即可求出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，AB∥CD，∴∠DAB+∠CBA=180°，又∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，∴∠PAB+∠PBA=12（∠DAB+∠CBA）=90°，在△APB中，∠APB=180°﹣（∠PAB+∠PBA）=90°；∵AP平分∠DAB，∴∠DAP=∠PAB，∵AB∥CD，∴∠PAB=∠DPA∴∠DAP=∠DPA∴△ADP是等腰三角形，∴AD=DP=5，同理：PC=CB=5，即AB=DC=DP+PC=10，在Rt△APB中，AB=10，AP=8，∴BP==6，∴△APB的周长=6+8+10=24；故答案为：24．【点评】本题考查了平行四边形性质，平行线性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，勾股定理等知识点的综合运用．15．（2016•十堰）如图，在▱ABCD中，AB=213，AD=4cm，AC⊥BC，则△DBC比△ABC的周长长4cm．【分析】根据平行四边形的性质得到AB=CD=213cm，AD=BC=4cm，AO=CO，BO=DO，根据勾股定理得到OC=3cm，BD=10cm，于是得到结论．【解答】解：在▱ABCD中，∵AB=CD=213cm，AD=BC=4cm，AO=CO，BO=DO，∵AC⊥BC，∴AC==6cm，∴OC=3cm，∴BO==5cm，∴BD=10cm，∴△DBC的周长﹣△ABC的周长=BC+CD+BD﹣（AB+BC+AC）=BD﹣AC=10﹣6=4cm，故答案为：4．【点评】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．16．（2016•黔西南州）一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数是8．【分析】n边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．【解答】解：根据n边形的内角和公式，得（n﹣2）•180=1080，解得n=8．∴这个多边形的边数是8．故答案为：8．【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键．根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．17．试写出用n边形的边数n表示对角线总条数S的式子：S=12n（n﹣3）．【分析】根据多边形对角线的条数的公式即可求解；【解答】解：用n边形的边数n表示对角线总条数S的式子：S=12n（n﹣3）；故答案为：S=12n（n﹣3）．【点评】本题主要考查了多边形对角线的条数的公式，熟记公式对今后的解题大有帮助．18．如图，若▱ABCD的周长为36cm，过点D分别作AB，BC边上的高DE，DF，且DE=4cm，DF=5cm，▱ABCD的面积为40cm2．【分析】由▱ABCD的周长为36cm，可得AB+BC=18cm①，又由过点D分别作AB，BC边上的高DE，DF，且DE=4cm，DF=5cm，由等积法，可得4AB=5BC②，继而求得答案．【解答】解：∵▱ABCD的周长为36cm，∴AB+BC=18cm①，∵过点D分别作AB，BC边上的高DE，DF，且DE=4cm，DF=5cm，∴4AB=5BC②，由①②得：AB=10cm，BC=8cm，∴▱ABCD的面积为：AB•DE=40（cm2）．故答案为：40．【点评】此题考查了平行四边形的性质．注意利用方程思想求解是解此题的关键．三．解答题（共5小题）19．如图，已知正五边形ABCDE，AF∥CD交DB的延长线于点F，交DE的延长线于点G，求∠G的度数．【分析】（1）先分别用零指数幂，立方根，负指数化简，再计算即可；（2）根据正五边形的内角及等腰三角形的性质计算即可．【解答】解：（1）原式=1﹣2﹣9=﹣10，（2）∵ABCDE是正五边形，∴∠C=∠CDE=108°CD=CB，∴∠1=36°，∴∠2=108°﹣36°=72°∵AF∥CD，∴∠F=∠1=36°，∴∠G=180°﹣∠2﹣∠F=72°【点评】此题是多边形的内角和，主要考查了正五边形的内角的计算，等腰三角形的性质，解本题的关键是求出正五边形的内角．20．一个多边形的内角和是它外角和的2倍，求这个多边形的边数．【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°以及外角和定理列出方程，然后求解即可．【解答】解：设这个多边形的边数是n，根据题意得，（n﹣2）•180°=2×360°，解得n=6．答：这个多边形的边数是6．【点评】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，需要注意，多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是360°．21．已知线段AC=8，BD=6．（1）已知线段AC垂直于线段BD．设图（1）、图（2）和图（3）中的四边形ABCD的面积分别为S1，S2和S3，则S1=24，S2=24，S3=24；（2）如图（4），对于线段AC与线段BD垂直相交（垂足O不与点A，C，B，D重合）的任意情形，请你就四边形ABCD 面积的大小提出猜想，并证明你的猜想．【分析】（1）把四边形ABCD 的面积分成△ABD 和△BCD 的和，然后列式求解即可；（2）猜想，四边形的面积等于互相垂直的对角线乘积的一半，然后根据四边形ABCD 的面积分成△ABD 和△BCD 的和进行证明．【解答】解：（1）S 1=12×6×3+12×6×5=9+15=24， S 2=12×6×4+12×6×4=12+12=24， S 3=12×6×6+12×6×2=18+6=24；（2）猜想四边形ABCD 面积为24，理由如下：S 四边形ABCD =S △ABD +S △BCD ， =12BD•AO +12BD•CO ， =12BD （AO +CO ）， =12BD•AC ， =12×8×6， =24．【点评】本题考查了多边形，三角形的面积，把四边形的面积分成两个三角形的面积的和是解题的关键，利用规则图形的面积求不规则图形的面积是常用的方法之一．22．（2016•黄冈）如图，在▱ABCD 中，E 、F 分别为边AD 、BC 的中点，对角线AC 分别交BE ，DF 于点G 、H ．求证：AG=CH ．【分析】根据平行四边形的性质得到AD∥BC，得出∠ADF=∠CFH，∠EAG=∠FCH，证出四边形BFDE是平行四边形，得出BE∥DF，证出∠AEG=∠CFH，由ASA证明△AEG≌△CFH，得出对应边相等即可．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ADF=∠CFH，∠EAG=∠FCH，∵E、F分别为AD、BC边的中点，∴AE=DE=12AD，CF=BF=12BC，∴DE∥BF，DE=BF，∴四边形BFDE是平行四边形，∴BE∥DF，∴∠AEG=∠ADF，∴∠AEG=∠CFH，在△AEG和△CFH中，，∴△AEG≌△CFH（ASA），∴AG=CH．【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．23．在▱ABCD中，BC=2AB，M为AD的中点，设∠ABC=α，过点C作直线AB的垂线，垂足为点E，连ME．（1）如图①，当α=90°，ME与MC的数量关系是ME=MC；∠AEM与∠DME的关系是∠DME﹣∠AEM=180°﹣α；（2）如图②，当60°＜α＜90°时，请问：（1）中的两个结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）如图③，当0°＜α＜60°时，请在图中画出图形，ME与MC的数量关系是ME=MC；∠AEM与∠DME的关系是∠DME﹣∠AEM=α．（直接写出结论即可，不必证明）【分析】（1）根据α=90°，▱ABCD是矩形，又M为AD的中点，所以可以证明△ABM与△DCM 是全等三角形，根据全等三角形对应边相等即可得到ME=MC；根据三角形外角性质，∠DME ﹣∠AEB=∠A，再根据两直线平行，同旁内角互补，∠A=180°﹣α；（2）点E在线段AB上，过M作MN⊥EC于N，根据M为AD的中点，可得出MN是梯形AECD的中位线，故点N是EC的中点，从而MN是线段EC的垂直平分线，所以ME=MC；先根据两直线平行，同旁内角互补求出∠A的度数，再根据三角形的外角性质即可得到两角的关系．（3）点E在线段BA的延长线上，根据（2）的证明求解方法，同理可解．【解答】（1）ME=MC；∠DME﹣∠AEM=180°﹣α．（2）成立．连CM，过M作MN⊥EC于N，∵AB⊥CE，MN⊥CE，∴AB∥MN，∵AB∥CD，∴AB∥MN∥CD，∵M为AD的中点，∴MN是梯形AECD的中位线，∴N是CE的中点，∵CE⊥AB，∴MN是△MEC的中线，∴EM=CM（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）；在△AEM中，∠AEM+∠A=∠DME，∵AD∥BC，∠ABC=α，∴∠A=180°﹣α，∴∠DME﹣∠AEM=∠A=180°﹣α．（3）EM=MC，∠DME﹣∠AEM=∠EAM=∠B=α．【点评】本题主要考查平行四边形的性质和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和的性质以及两直线平行，同旁内角互补的性质，熟练掌握性质并灵活运用是解题的关键．。
湘教版八年级数学下册第2章《四边形》教案
第2章四边形2.1 多边形第1课时多边形的内角和【知识与技能】1.理解多边形及正多边形的定义.2.掌握多边形的内角和公式.【过程与方法】1.经历探索多边形内角和公式的过程，进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系.2.探索并了解多边形的内角和公式，进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力.【情感态度】经历探索多边形内角和的过程，进一步发展学生合情推理意识、主动探究习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系.【教学重点】多边形的内角和.【教学难点】探索多边形的内角和公式过程.一、创设情境，导入新课引导学生回顾已经学过哪些图形？书桌面是什么形状？作业本的每一张是什么形状？若把长方形的一张纸剪去一角，会出现什么形状的图形，并指导.【教学说明】回顾已学知识，为后续问题的解决作铺垫，利用学生的好奇心设疑，激发学生的求知欲望，使他们自觉地参与到下面多边形内角和探索的活动中去.教师讲课前，先让学生完成预习.二、思考探究，获取新知问题1 多边形及其有关概念教材第34页“观察”思考（1）什么是多边形？多边形的边、角、顶点、对角线的概念分别是什么？（2）什么叫做正多边形？【教学说明】让学生认识生活中的多边形形状，感受数学与生活的联系，与以前学过的三角形相比较，培养学生类比的学习方法.问题2 多边形的内角和教材第34页“动脑筋”思考三角形的内角和等于180°，四边形的内角和是多少度呢？【教学说明】“解放学生的手，解放学生的大脑”，鼓励学生积极参与合作交流，寻找多种图形形式，深入全面转化的本质——将四边形转化为三角形问题来解决.教材第35页“探究”【教学说明】通过五边形、六边形、七边形、八边形等特殊多边形内角和的探索，让学生从特殊到一般归纳总结出多边形内角和公式，体会数形间的联系，感受从特殊到一般的数学推理过程和数学思考方法.思考教材第35页“动脑筋”【教学说明】通过学生的自主探究，体验多边形内角和的得出过程，从中感受转化思路，即将多边形问题转化为三角形问题来解决.例：教材第36页例1【教学说明】让学生利用多边形的内角和公式求一个多边形的内角和或它的边数，加深知识的理解与运用.三、运用新知，深化理解1.下列说法正确的是（）A.各边相等的多边形叫正多边形B.各角相等的多边形叫正多边形C.各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形D.各边或各角相等的多边形叫正多边形2.若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引10条对角线，则它是（）A.十三边形B.十二边形C.十一边形D.十边形3.十二边形的内角和为，已知一个多边形的内角和是1260°，则这个多边形的边数是.4.如果一个多边形除了一个内角外，其余各内角之和为1190°，则这个内角为度，是一个边形.【教学说明】由学生自主完成，教师及时了解学生的学习效果，让学生经历运用知识解决问题的过程.对需要帮助的学生及时点拨并加以强化.在完成上述题目后，让学生完成练习册中本课时的对应训练部分.答案：1.C 2.A 3.1800°9 4.70°，九四、师生互动，课堂小结通过本节课的学习，你掌握了哪些知识？还有哪些疑难问题需要与大家共同交流？【教学说明】引导学生回顾反思，让学生看到自己的进步，激励学生，使学生在今后的学习中不断进步，提高学生的学习热情.1.布置作业：习题2.1中的第1、2题.2.完成练习册中本课时练习的作业部分.第2课时多边形的外角和【知识与技能】1.了解多边形的外角定义，并能准确找出多边形的外角.2.掌握多边形的外角和公式，利用内角和与外角和公式解决实际问题.【过程与方法】1.经历探索多边形的外角和公式的过程，进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系.2.探索并了解多边形的外角和公式，进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力.【情感态度】经历多边形外角和的探索过程，培养学生主动探索的习惯，通过对内角、外角之间的关系，体会知识之间的内在联系.【教学重点】多边形外角和公式及其应用【教学难点】多边形外角和公式的推导一、创设情境，导入新课大家看图，∠1，∠2，∠3，∠4，∠5不是五边形的角，那是什么角呢？它们的和叫什么呢？我们这节课就来探讨多边形的外角、外角和.【教学说明】通过观察、启发学生思考，从学生已有的生活经验出发，激发学生探求知识的兴趣.二、思考探究，获取新知问题1 多边形的外角、外角和思考什么叫多边形的外角和外角和？【教学说明】让学生明确多边形的外角、外角和的概念，为后面的学习打好基础.探究：教材第37页“探究”【教学说明】通过学生的自主探究，体验多边形的外角和需要内角和的转化来解决，在这个过程中既让学生体验了转化的思想，又得出了新的结论.例：教材第37页“例2”【教学说明】利用多边形的内角和公式和外角和为360°来解决问题，既复习了旧知识，又加强了它们之间的综合应用.问题2 三角形的稳定性与四边形的不稳定性思考（1）为什么自行车的三角架要做成三角形，做成四边形行吗？（2）教材第38页“观察”【教学说明】通过自主探究学习，观察日常生活中的实例，让学生认识三角形的稳定性和四边形的不稳定性，感受生活中的数学现象.三、运用新知，深化理解1.一个多边形的外角和是内角和的1/5，则边数n为（）A.6B.8C.12D.242.如果一个多边形的每个外角均相等，并且它的内角和为2880°，那么它的每一个内角都等于度.3.如图，要使六边形衣架不变形，至少要钉上根木条.4.一个多边形的内角和与它的一个外角的度数之和为1350°，求此多边形的边数.【教学说明】由学生独立完成，加深对所学知识的理解与运用以及检查学生的掌握情况，对于学生出现的问题及时纠正，并有针对性加强训练.在完成上述题目后，让学生完成练习册中本课时的对应训练部分.答案：1.C 2.160 3.三四、师生互动，课堂小结经过这节课的学习，你有哪些收获？还存在哪些方面的不足？请与大家共同探讨.【教学说明】引导学生回顾所学知识，加深理解，同学之间相互取长补短，共同提高.1.布置作业：习题2.1中的第3、4、7题.2.完成练习册中本课时练习的作业部分.2.2 平行四边形2.2.1 平行四边形的性质第1课时平行四边形的边、角性质【知识与技能】1.使学生理解并掌握平行四边形的定义.2.能根据定义探究平行四边形的性质.3.了解平行四边形在生活中的应用实例，能根据平行四边形的性质解决简单的实际问题.【过程与方法】经历运用平行四边形描述现实世界的过程，发展学生的抽象思维和形象思维，根据平行四边形的性质进行简单的计算与证明，通过观察、实验、归纳、证明，通过运用数学语言合乎逻辑地进行讨论与质疑，培养学生的推理能力与演绎能力.【情感态度】在应用平行四边形的性质的过程中培养独立思考的习惯，在数学学习活动中获得成功的体验.通过平行四边形的性质的应用，进一步认识数学与生活的密切联系.【教学重点】平行四边形的定义，对角、对边相等的性质，以及性质的应用.【教学难点】运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算.一、创设情境，导入新课我们一起来观察下图中的竹篱笆格子和汽车的防护链，想一想它们是什么几何图形的形象？平行四边形是我们常见的图形，你还能举出平行四边形在生活中应用的例子吗？你能总结出平行四边形的定义吗？【教学说明】用学生比较熟悉的生活中的平行四边形物体入手，感受数学与生活的密切联系，引起学生的注意，唤起学生的学习欲望，使他们很快融入到学习中去.教师讲课前，先让学生完成预习.二、思考探究，获取新知问题1 平行四边形的定义和表示方法做一做：教材第40页“做一做”【教学说明】让学生明确平行四边形的定义及表示方法，发展学生的抽象思维能力和几何语言的表达能力，避免了强制记忆.问题2 平行四边形对边、对角的性质探究：教材第40~41页“探究”【教学说明】经历猜想——实践——验证的过程，从中体会亲自动手实践学到的知识的乐趣，获得成功的体验，同时培养了学生的推理能力及严谨的学习态度.例：教材第41页例1、例2【教学说明】训练学生利用平行四边形边、角的性质能清晰有条理的表达自己的思维过程，做到“言之有理，落笔有据”.三、运用新知，深化理解1.如图，在ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，EF、GH相交于O，则图中有平行四边形（）A.4个B.5个C.8个D.9个5BC，则较长边的长为（）2. □ABCD的周长为36 cm，AB=7A.7.5cmB.10.5cmC.15cmD.21cm3.在□ABCD中，已知∠B+∠D=140°，求∠C.4.已知：如图，D是等腰△ABC的底边BC上一点，DE∥AC，DF∥AB，求证：DE+DF=AB.【教学说明】由学生独立完成，加强所学知识的理解和运用以及检测学生掌握情况，对有困难的学生及时点拨纠正错误，有针对性加强训练.在完成上述题目后，让学生完成练习册中本课时的对应训练部分.答案：1.D 2.B3.解：∵□ABCD，∴∠B=∠D，∵∠B+∠D=140°，∴∠B=∠D=70°，∵AB∥CD，∴∠C+∠B=180°，∴∠C=110°.4.证明：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF为平行四边形，∴DF=AE.∵AB=AC，∴∠B=∠C.∵DE∥AC，∴∠C=∠EDB，∴∠B=∠EDB，∴BE=DE，∴DE+DF=BE+AE=AB.四、师生互动，课堂小结本节课我们学习了哪些知识？你有什么收获或存在哪些问题？与大家交流.【教学说明】这是一次知识与情感的交流，培养学生自我反馈，自主发展的意识，使学生在知识、方法、技能和态度等诸多方面得到发展.1.布置作业：习题2.2中的第3、4题.2.完成练习册中本课时练习的作业部分.第2课时平行四边形的对角线的性质【知识与技能】1.使学生掌握平行四边形对角线互相平分的性质.2.能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题和简单的证明题.3.培养学生的推理论证能力和逻辑思维能力.【过程与方法】经历探索平行四边形的有关概念和性质的过程，发展学生的探究意识和合情推理的能力.【情感态度】培养学生严谨的推理能力，和合作交流的习惯，体会平行四边形的实际应用价值.【教学重点】平行四边形的对角线互相平分.【教学难点】能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题和证明.一、创设情境，导入新课画一个平行四边形ABCD，它的边、角各有什么性质？平行四边形除了边、角的性质外，还有没有其他的性质？【教学说明】“提问”是为了复习，唤起学生的注意和对知识的记忆，后面的问题是为了引入，以引起学生的思维和探求的欲望.教师讲课前，先让学生完成预习.二、思考探究，获取新知问题平行四边形对角线的性质探究教材第42页“探究”【教学说明】经历猜想、尝试、证明这种探索的过程，学生独立思考是合作交流的前提，既可以积累探索的经验，又能体验到成功的喜悦.例：教材第43页例3、例4【教学说明】一方面是为了增加学生运用平行四边形对角线互相平分这一性质解决问题的机会，另一方面让学生学会用几何语言进行逻辑推理.三、运用新知，深化理解1.如图，□ABCD的对角线相交于O，AF⊥BD于F，CE⊥BD于E，则图中全等三角形共有（）A.5对B.6对C.7对D.8对2.□ABCD中的对角线AC、BD相交于点O，AC=10，BD=8，则AD 长度的取值范围是（）A.AD>1B.AD<9C.1<AD<9D.AD>03.如图所示，□ABCD的周长为60cm，对角线相交于点O，△AOB 的周长比△BOC的周长少8cm，则AB= ，CD= .答案：1.C 2.C 3.16cm,24cm四、师生互动，课堂小结通过前面的学习，你掌握了平行四边形的哪些性质？你有什么感悟或想法？还存在哪方面的不足？与大家共同探讨.【教学说明】学生自主交流，既巩固了所学知识，又相互学习，取长补短，共同进步.1.布置作业：习题2.2中的第7、9题.2.完成练习册中本课时练习的作业部分.2.2.2 平行四边形的判定第1课时平行四边形的判定定理1，2【知识与技能】1.经历探究平行四边形判定方法的过程，掌握平行四边形的判定方法.2.会判定一个四边形是不是平行四边形.【过程与方法】经历“观察——猜想——验证——说明——建模”探索过程和思维过程，丰富学生从事数学活动的经历，感受数学思考过程的条理性及解决问题策略的多样性.【情感态度】在观察分析探究问题过程中发现主动探索、独立思考的习惯.【教学重点】探索平行四边形的两种判别方法.【教学难点】平行四边形的判别方法的理解和应用.一、创设情境，导入新课提问 1.平行四边形的定义是什么？它有什么作用？2.平行四边形具有哪些性质？3.平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分，那么反过来，对边相等或对角相等或对角线互相平分的四边形是不是平行四边形呢？【教学说明】以问题的形式来唤起学生的回忆，引起学生的思考，同时为后面的学习作好了充分的准备.教师讲课前，先让学生完成预习.二、思考探究，获取新知问题1 平行四边形的判定定理1思考教材第44页“动脑筋”【教学说明】让学生明白通过已学的平移的性质得到平行四边形的判定定理1，这样既复习了旧知识，又得出了新的结论.例：教材第45页“例5”【教学说明】给学生一个好的范本，如何利用平行四边形的判定定理1进行逻辑推理和规范的证明.问题2 平行四边形的判定定理2思考教材第45页“动脑筋”【教学说明】让学生自己动手、实验，亲历将两两相等的铅笔和钢笔作为对边得到平行四边形这个知识发生的过程，并通过观察猜想经历知识发展形成的过程，体验了“发现”知识的情系，变被动接受为主动探究.例：教材第46页“例”6【教学说明】加深平行四边形的判定定理2的理解，同时加强对它的运用.三、运用新知，深化理解1.下列条件中不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A.AB=CD，AD=BCB.AB∥CD，AB=CDC.AB=CD，AD∥BCD.AB∥CD，AD∥BC2.如图，在□ABCD中，E、F分别是AB、CD边上的点，且BE=DF，要证明四边形AECF是平行四边形，可证明。
八年级数学下册 第2章 四边形2.2 平行四边形习题课件(新版)湘教版
【教材P50】
如图所示，在 □ ABCD中，AC与BD相交于点 O, EF过点O且与AB和
CD都垂直，则OE，OF分别是点O到AB与CD的距离. 证明：∵∠OAE=∠OCF， OA=OC,∠AOE=∠COF. ∴△OAE≌△OCF. ∴OE=OF.
【教材P50】
证明：∵AE⊥BD 于点E，CF⊥BD于点F， ∴AE∥FC. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB=CD. 在Rt△AEB和Rt△CFD中，∵AB = CD，∠ABE=∠CDF， ∴ Rt△AEB≌Rt△CFD（AAS） ∴AE=CF. ∵AE∥FC，AE=CF , ∴四边形 AECF 为平行四边形.
【教材P49】
（1）四边形 ABDC 是平行四边形 理由：∵ AC = AB = BD = DC， ∴ 四边形 ABDC 是平行 于点 O .
O
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD
∵AE = CF ，∴ OE = OF.
【教材P49】
证明：在□ ABCD中，
∵ AD∥BC， ∴∠D=∠DCE，∠DAF=∠CEF. 又 AD = BC = CE， ∴△ADF≌△ECF. ∴AF = EF.
【教材P49】
四边形ABED，ADFC，BEFC 都为平行四边形.
证明：在四边形 ABED 中， ∵ AB = ED，AD=BE， ∴ 四边形 ABED 为平行四边形. 同理可证四边形 ADFC，BEFC 为平行四边形.
复习课件
八年级数学下册 第2章 四边形2.2 平行四边形习题课件（新版）湘教版
【教材P49】
有 9 个平行四边形. 与 ∠A 相等的角有 ∠C，∠EMG， ∠BHG，∠EFD，∠BEM， ∠MGD，∠HMF.
八年级数学下册第2章四边形2.1多边形第1课时习题课件新版湘教版
【思考】(1)从n(n≥3)边形的一个顶点出发,将n边形分成多少 个三角形? 提示:(n-2)个. (2)n(n≥3)边形的内角和与其边数n的关系是什么? 提示:内角和为(n-2)×180°.
【总结】(1)n边形的内角和等于_(_n__-2__)·__1__8_0_°_,其中n≥3,且 为自然数. (2)多边形的内角和)三角形不是多边形. ( × ) (2)一个正多边形的每个内角是120°,它是正六边形. ( √ ) (3)多边形的边数每增加1,其内角和增加180°. ( √ ) (4)所有内角相等的多边形是正多边形. ( × )
知识点 多边形内角和公式的应用 【例】已知两个多边形的所有内角的和为1800°,且两多边形 的边数之比为2∶5,求这两个多边形的边数. 【解题探究】 (1)因为两个多边形的边数之比为2∶5,所以设这两个多边形的 边数分别是2x和_5_x_. (2)由多边形内角和定理可得两个多边形的内角和分别是多少? 提示:(2x-2)·180°和(5x-2)·180°.
答案:8
5.如图,人民币旧版壹角硬币内部的正多边形
每个内角度数是
.
【解析】因为九边形的内角和为(9-2)·180°=1260°,又因为
九边形的每个内角都相等,所以每个内角的度数为1260°÷9
=140°.
答案:140°
6.如图,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数.
【解析】如图所示,
因为∠1=∠2,∠3=∠4,∠5=∠6, 所以∠A+∠B=∠4+∠6, ∠C+∠D=∠2+∠6, ∠E+∠F=∠2+∠4,
第2章 四 边 形 2.1 多 边 形 第1课时
湘教版八下数学第2章四边形多边形第2课时习题课件
【例】如图,五边形ABCDE中,AB∥CD,∠1,∠2,∠3分别是
∠BAE,∠AED,∠EDC的外角,则∠1+∠2+∠3等于 ( )
A.90°
B.180°
C.210°
D.270°
【思路点拨】欲求∠1+∠2+∠3,只需求出∠B与∠C处两个外角 的和,然后由多边形的外角和是360°求之即可. 【自主解答】选B.∵AB∥CD,∴∠B+∠C=180°, ∴∠B,∠C两角的外角和是180°, ∵五边形外角和是360°,∴∠1+∠2+∠3=360°-180°=180°.
答案:300°
6.若一个正多边形的每一个外角都是30°,则这个正多边形的
内角和等于
度.
【解析】多边形的边数:360°÷30°=12,
正多边形的内角和:(12-2)·180°=1800°.
答案:1800
7.如图,小明在操场上从A点出发,沿直线前进10米后向左转
40°,再沿直线前进10米后,又向左转40°,照这样走下去,他第
3
故n的最小值是5.
9.如图,六边形ABCDEF的六个内角都相等, 若AB=1,BC=CD=3,DE=2,求这个六边形的 周长. 【解析】分别作直线AB,CD,EF的延长线和反向延长线,使它们 交于点G,H,P.
∵六边形ABCDEF的六个角都是120°, ∴六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是60°. ∴△AHF,△BGC,△DPE,△GHP都是等边三角形. ∴GC=BC=3,DP=DE=2. ∴GH=GP=GC+CD+DP=3+3+2=8,FA=HA=GH-ABBG=8-1-3=4,EF=PH-HF-EP=8-4-2=2. ∴六边形的周长为1+3+3+2+2+4=15.
八年级数学下册第2章四边形2.7正方形教学课件新版湘教版
正方形的判定
一组邻边 相等
有一个内角 是直角
一组邻边相等且 有一个角是直角
有一个内 角是直角
一组邻边 相等
【例题】
例3 已知:正方形ABCD中,点E，F，G，H分别在AB，BC，CD，DA上,且 AE=BF=CG=DH,试判断四边形EFGH是正方形吗?并证明你的结论.
3
2
1
证明：四边形EFGH是正方形， 因为四边形ABCD是正方形， 所以∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，AB=AD=DC=BC． 又因为AE=BF=CG=DH， 所以AB-AE=AD-DH=DC-CG=BC-BF， 即BE=AH=DG=CF， 所以△AEH≌△BFE≌ △CGF ≌ △DHG．所以EH=HG=FG=EF， 因为∠1=∠3．又∠3+∠2=90°所以∠1+∠2=90°． 所以四边形EFGH是正方形．
【跟踪训练】
1.ABCD是一块正方形场地，小华和小芳在AB边上取定了一点E， 经测EC=50m，EB=30m，这块场地的面积和对角线长分别是多少？
【解析】 连接AC.
A
D
因为四边形ABCD是正方形
所以∠B=90°，AB=BC
因为EC=50m，EB=30m
E
所以 BC= CE2-BE2 =40m
所以 S正方形ABCD=(40 m)2=1600(m2)B
对角线相等
平行四 边形
√
√
矩形
√
√ √
√
菱形
正方形
√√ √√
√
√√ √√
√
正方形不但具备一般的平行四边形的性质，而且同时具备矩形和菱 形的性质。
【例题】
A
例1 已知：如图，四边形ABCD是正方形，对
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初中数学试卷鼎尚图文**整理制作2016—2017学年湘教版八年级数学下册第2章《四边形》2.1—2.2同步练习与解析一．选择题（共10小题）1．从n边形一个顶点出发，可以作（）条对角线．A．n B．n﹣1 C．n﹣2 D．n﹣32．从多边形的一个顶点出发向其余的顶点引对角线，将多边形分成10个三角形，则此多边形的边数为（）A．9 B．11 C．12 D．103．若一个多边形的内角和与它的外角和相等，则这个多边形是（）A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形4．若一个正n边形的每个内角为144°，则这个正n边形的所有对角线的条数是（）A．7 B．10 C．35 D．705．设四边形的内角和等于a，五边形的外角和等于b，则a与b的关系是（）A．a＞b B．a=b C．a＜b D．b=a+180°6．商店出售下列形状的地砖：①长方形；②正方形；③正五边形；④正六边形．若只选购其中某一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖共有（）A．1种 B．2种 C．3种 D．4种7．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BED=150°，则∠A的大小为（）A．150°B．130°C．120° D．100°8．如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1，另两张直角三角形纸片的面积都为S2，中间一张正方形纸片的面积为S3，则这个平行四边形的面积一定可以表示为（）A．4S1B．4S2C．4S2+S3D．3S1+4S39．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC+BD=16，CD=6，则△ABO的周长是（）A．10 B．14 C．20 D．2210．如图，在▱ABCD中，AB=6，BC=8，∠C的平分线交AD于E，交BA的延长线于F，则AE+AF的值等于（）A．2 B．3 C．4 D．6二．填空题（共8小题）11．如图，在▱ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E，若∠1=20°，则∠2的度数为．12．如图，▱ABCD中，AC=8，BD=6，AD=a，则a的取值范围是．13．如图，在▱ABCD中，AB=3，BC=5，以点B的圆心，以任意长为半径作弧，分别交BA、BC于点P、Q，再分别以P、Q为圆心，以大于12PQ的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点M，连接BM并延长交AD于点E，则DE的长为．14．如图，在▱ABCD中，P是CD边上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，若AD=5，AP=8，则△APB的周长是．15．如图，在▱ABCD中，AB=213cm，AD=4cm，AC⊥BC，则△DBC比△ABC的周长长cm．16．一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数是．17．试写出用n边形的边数n表示对角线总条数S的式子：．18．如图，若▱ABCD的周长为36cm，过点D分别作AB，BC边上的高DE，DF，且DE=4cm，DF=5cm，▱ABCD的面积为cm2．三．解答题（共5小题）19．如图，已知正五边形ABCDE，AF∥CD交DB的延长线于点F，交DE的延长线于点G，求∠G的度数．20．一个多边形的内角和是它外角和的2倍，求这个多边形的边数．21．已知线段AC=8，BD=6．（1）已知线段AC垂直于线段BD．设图（1）、图（2）和图（3）中的四边形ABCD的面积分别为S1，S2和S3，则S1=，S2=，S3=；（2）如图（4），对于线段AC与线段BD垂直相交（垂足O不与点A，C，B，D重合）的任意情形，请你就四边形ABCD面积的大小提出猜想，并证明你的猜想．22．如图，在▱ABCD中，E、F分别为边AD、BC的中点，对角线AC分别交BE，DF于点G、H．求证：AG=CH．23．在▱ABCD中，BC=2AB，M为AD的中点，设∠ABC=α，过点C作直线AB的垂线，垂足为点E，连ME．（1）如图①，当α=90°，ME与MC的数量关系是；∠AEM与∠DME的关系是；（2）如图②，当60°＜α＜90°时，请问：（1）中的两个结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）如图③，当0°＜α＜60°时，请在图中画出图形，ME与MC的数量关系是；∠AEM与∠DME的关系是．（直接写出结论即可，不必证明）2016—2017学年湘教版八年级数学下册第2章《四边形》2.1—2.2同步练习解析一．选择题（共10小题）1．从n边形一个顶点出发，可以作（）条对角线．A．n B．n﹣1 C．n﹣2 D．n﹣3【分析】根据多边形的对角线的方法，不相邻的两个定点之间的连线就是对角线，在n 边形中与一个定点不相邻的顶点有n﹣3个．【解答】解：n边形（n＞3）从一个顶点出发可以引n﹣3条对角线．故选D．【点评】本题主要考查了多边形的对角线的定义，是需要熟记的内容．2．从多边形的一个顶点出发向其余的顶点引对角线，将多边形分成10个三角形，则此多边形的边数为（）A．9 B．11 C．12 D．10【分析】根据从一个n边形一个顶点出发的对角线可将这个多边形分成（n﹣2）个三角形进行计算即可．【解答】解：设这个多边形的边数是n，由题意得，n﹣2=10，解得，n=12．故选：C．【点评】本题考查的是n边形的对角线的知识，从n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线，可将这个多边形分成（n﹣2）个三角形．3．（2016•南通）若一个多边形的内角和与它的外角和相等，则这个多边形是（）A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°与多边形的外角和定理列式进行计算即可得解．【解答】解：设多边形的边数为n，根据题意得（n﹣2）•180°=360°，解得n=4．故这个多边形是四边形．故选B．【点评】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，熟记公式与定理是解题的关键．4．（2016•广安）若一个正n边形的每个内角为144°，则这个正n边形的所有对角线的条数是（）A．7 B．10 C．35 D．70【分析】由正n边形的每个内角为144°结合多边形内角和公式，即可得出关于n的一元一次方程，解方程即可求出n的值，将其代入(3)2n n-中即可得出结论．【解答】解：∵一个正n边形的每个内角为144°，∴144n=180×（n﹣2），解得：n=10．这个正n边形的所有对角线的条数是：(3)2n n-=1072⨯=35．故选C．【点评】本题考查了多边形的内角以及多边形的对角线，解题的关键是求出正n边形的边数．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据多边形的内角和公式求出多边形边的条数是关键．5．（2016•宜昌）设四边形的内角和等于a，五边形的外角和等于b，则a与b的关系是（）A．a＞b B．a=b C．a＜b D．b=a+180°【分析】根据多边形的内角和定理与多边形外角的关系即可得出结论．【解答】解：∵四边形的内角和等于a，∴a=（4﹣2）•180°=360°．∵五边形的外角和等于b，∴b=360°，∴a=b．故选B．【点评】本题考查的是多边形的内角与外角，熟知多边形的内角和定理是解答此题的关键．6．商店出售下列形状的地砖：①长方形；②正方形；③正五边形；④正六边形．若只选购其中某一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖共有（）A．1种 B．2种 C．3种 D．4种【分析】几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．【解答】解：①长方形的每个内角是90°，4个能组成镶嵌；②正方形的每个内角是90°，4个能组成镶嵌；③正五边形每个内角是180°﹣360°÷5=108°，不能整除360°，不能镶嵌；④正六边形的每个内角是120°，能整除360°，3个能组成镶嵌；故若只选购其中某一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖有①②④．故选C．【点评】此题主要考查了平面镶嵌，用一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°．任意多边形能进行镶嵌，说明它的内角和应能整除360°．7．（2016•河池）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BED=150°，则∠A的大小为（）A．150°B．130°C．120° D．100°【分析】由在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，易证得∠AEB=∠ABE，又由∠BED=150°，即可求得∠A的大小．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEB=∠CBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴∠AEB=∠ABE，∵∠BED=150°，∴∠ABE=∠AEB=30°，∴∠A=180°﹣∠ABE﹣∠AEB=120°．故选C．【点评】此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．8．（2016•宁波）如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1，另两张直角三角形纸片的面积都为S2，中间一张正方形纸片的面积为S3，则这个平行四边形的面积一定可以表示为（）A．4S1B．4S2C．4S2+S3D．3S1+4S3【分析】设等腰直角三角形的直角边为a，正方形边长为c，求出S2（用a、c表示），得出S1，S2，S3之间的关系，由此即可解决问题．【解答】解：设等腰直角三角形的直角边为a，正方形边长为c，则S2=12（a+c）（a﹣c）=12a2﹣12c2，∴S2=S1﹣12S3，∴S3=2S1﹣2S2，∴平行四边形面积=2S1+2S2+S3=2S1+2S2+2S1﹣2S2=4S1．故选A．【点评】本题考查平行四边形的性质、直角三角形的面积等知识，解题的关键是求出S1，S2，S3之间的关系，属于中考常考题型．9．（2016•泸州）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC+BD=16，CD=6，则△ABO的周长是（）A．10 B．14 C．20 D．22【分析】直接利用平行四边形的性质得出AO=CO，BO=DO，DC=AB=6，再利用已知求出AO+BO的长，进而得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，BO=DO，DC=AB=6，∵AC+BD=16，∴AO+BO=8，∴△ABO的周长是：14．故选：B．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，正确得出AO+BO的值是解题关键．10．（2016•泰安）如图，在▱ABCD中，AB=6，BC=8，∠C的平分线交AD于E，交BA的延长线于F，则AE+AF的值等于（）A．2 B．3 C．4 D．6【分析】由平行四边形的性质和角平分线得出∠F=∠FCB，证出BF=BC=8，同理：DE=CD=6，求出AF=BF﹣AB=2，AE=AD﹣DE=2，即可得出结果．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD=BC=8，CD=AB=6，∴∠F=∠DCF，∵CF平分∠BCD，∴∠FCB=∠DCF，∴∠F=∠FCB，∴BF=BC=8，同理：DE=CD=6，∴AF=BF﹣AB=2，AE=AD﹣DE=2，∴AE+AF=4；故选：C．【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形是等腰三角形是解决问题的关键．二．填空题（共8小题）11．（2016•河南）如图，在▱ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E，若∠1=20°，则∠2的度数为110°．【分析】首先由在▱ABCD中，∠1=20°，求得∠BAE的度数，然后由BE⊥AB，利用三角形外角的性质，求得∠2的度数．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠BAE=∠1=20°，∵BE⊥AB，∴∠ABE=90°，∴∠2=∠BAE+∠ABE=110°．故答案为：110°．【点评】此题考查了平行四边形的性质以及三角形外角的性质．注意平行四边形的对边互相平行．12．（2016•巴中）如图，▱ABCD中，AC=8，BD=6，AD=a，则a的取值范围是1＜a＜7．【分析】由平行四边形的性质得出OA=4，OD=3，再由三角形的三边关系即可得出结果．【解答】解：如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=12AC=4，OD=12BD=3，在△AOD中，由三角形的三边关系得：4﹣3＜AD＜4+3．即1＜a＜7；故答案为：1＜a＜7．【点评】本题考查了平行四边形的性质和三角形的三边关系；熟练掌握平行四边形的性质，由三角形的三边关系得出结果是解决问题的关键．13．（2016•深圳）如图，在▱ABCD中，AB=3，BC=5，以点B的圆心，以任意长为半径作弧，分别交BA、BC于点P、Q，再分别以P、Q为圆心，以大于12PQ的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点M，连接BM并延长交AD于点E，则DE的长为2．【分析】根据作图过程可得得AE平分∠ABC；再根据角平分线的性质和平行四边形的性质可证明∠AEB=∠CBE，证出AE=AB=3，即可得出DE的长．，【解答】解：根据作图的方法得：AE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC=5，∴∠AEB=∠CBE，∴∠ABE=∠AEB，∴AE=AB=3，∴DE=AD﹣AE=5﹣3=2；故答案为：2．【点评】此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定．熟练掌握平行四边形的性质，证出AE=AB是解决问题的关键．14．（2016•新疆）如图，在▱ABCD中，P是CD边上一点，且AP和BP分别平分∠DAB 和∠CBA，若AD=5，AP=8，则△APB的周长是24．【分析】根据平行四边形性质得出AD∥CB，AB∥CD，推出∠DAB+∠CBA=180°，求出∠PAB+∠PBA=90°，在△APB中求出∠APB=90°，由勾股定理求出BP，证出AD=DP=5，BC=PC=5，得出DC=10=AB，即可求出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，AB∥CD，∴∠DAB+∠CBA=180°，又∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，∴∠PAB+∠PBA=12（∠DAB+∠CBA）=90°，在△APB中，∠APB=180°﹣（∠PAB+∠PBA）=90°；∵AP平分∠DAB，∴∠DAP=∠PAB，∵AB∥CD，∴∠PAB=∠DPA∴∠DAP=∠DPA∴△ADP是等腰三角形，∴AD=DP=5，同理：PC=CB=5，即AB=DC=DP+PC=10，在Rt△APB中，AB=10，AP=8，∴BP==6，∴△APB的周长=6+8+10=24；故答案为：24．【点评】本题考查了平行四边形性质，平行线性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，勾股定理等知识点的综合运用．15．（2016•十堰）如图，在▱ABCD中，AB=213cm，AD=4cm，AC⊥BC，则△DBC比△ABC的周长长4cm．【分析】根据平行四边形的性质得到AB=CD=213cm，AD=BC=4cm，AO=CO，BO=DO，根据勾股定理得到OC=3cm，BD=10cm，于是得到结论．【解答】解：在▱ABCD中，∵AB=CD=213cm，AD=BC=4cm，AO=CO，BO=DO，∵AC⊥BC，∴AC==6cm，∴OC=3cm，∴BO==5cm，∴BD=10cm，∴△DBC的周长﹣△ABC的周长=BC+CD+BD﹣（AB+BC+AC）=BD﹣AC=10﹣6=4cm，故答案为：4．【点评】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．16．（2016•黔西南州）一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数是8．【分析】n边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．【解答】解：根据n边形的内角和公式，得（n﹣2）•180=1080，解得n=8．∴这个多边形的边数是8．故答案为：8．【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键．根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．17．试写出用n边形的边数n表示对角线总条数S的式子：S=12n（n﹣3）．【分析】根据多边形对角线的条数的公式即可求解；【解答】解：用n边形的边数n表示对角线总条数S的式子：S=12n（n﹣3）；故答案为：S=12n（n﹣3）．【点评】本题主要考查了多边形对角线的条数的公式，熟记公式对今后的解题大有帮助．18．如图，若▱ABCD的周长为36cm，过点D分别作AB，BC边上的高DE，DF，且DE=4cm，DF=5cm，▱ABCD的面积为40cm2．【分析】由▱ABCD的周长为36cm，可得AB+BC=18cm①，又由过点D分别作AB，BC边上的高DE，DF，且DE=4cm，DF=5cm，由等积法，可得4AB=5BC②，继而求得答案．【解答】解：∵▱ABCD的周长为36cm，∴AB+BC=18cm①，∵过点D分别作AB，BC边上的高DE，DF，且DE=4cm，DF=5cm，∴4AB=5BC②，由①②得：AB=10cm，BC=8cm，∴▱ABCD的面积为：AB•DE=40（cm2）．故答案为：40．【点评】此题考查了平行四边形的性质．注意利用方程思想求解是解此题的关键．三．解答题（共5小题）19．如图，已知正五边形ABCDE，AF∥CD交DB的延长线于点F，交DE的延长线于点G，求∠G的度数．【分析】（1）先分别用零指数幂，立方根，负指数化简，再计算即可；（2）根据正五边形的内角及等腰三角形的性质计算即可．【解答】解：（1）原式=1﹣2﹣9=﹣10，（2）∵ABCDE是正五边形，∴∠C=∠CDE=108°CD=CB，∴∠1=36°，∴∠2=108°﹣36°=72°∵AF∥CD，∴∠F=∠1=36°，∴∠G=180°﹣∠2﹣∠F=72°【点评】此题是多边形的内角和，主要考查了正五边形的内角的计算，等腰三角形的性质，解本题的关键是求出正五边形的内角．20．一个多边形的内角和是它外角和的2倍，求这个多边形的边数．【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°以及外角和定理列出方程，然后求解即可．【解答】解：设这个多边形的边数是n，根据题意得，（n﹣2）•180°=2×360°，解得n=6．答：这个多边形的边数是6．【点评】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，需要注意，多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是360°．21．已知线段AC=8，BD=6．（1）已知线段AC垂直于线段BD．设图（1）、图（2）和图（3）中的四边形ABCD的面积分别为S1，S2和S3，则S1=24，S2=24，S3=24；（2）如图（4），对于线段AC与线段BD垂直相交（垂足O不与点A，C，B，D重合）的任意情形，请你就四边形ABCD面积的大小提出猜想，并证明你的猜想．【分析】（1）把四边形ABCD的面积分成△ABD和△BCD的和，然后列式求解即可；（2）猜想，四边形的面积等于互相垂直的对角线乘积的一半，然后根据四边形ABCD 的面积分成△ABD和△BCD的和进行证明．【解答】解：（1）S1=12×6×3+12×6×5=9+15=24，S2=12×6×4+12×6×4=12+12=24，S3=12×6×6+12×6×2=18+6=24；（2）猜想四边形ABCD面积为24，理由如下：S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD，=12BD•AO+12BD•CO，=12BD（AO+CO），=12 BD•AC，=12×8×6，=24．【点评】本题考查了多边形，三角形的面积，把四边形的面积分成两个三角形的面积的和是解题的关键，利用规则图形的面积求不规则图形的面积是常用的方法之一．22．（2016•黄冈）如图，在▱ABCD中，E、F分别为边AD、BC的中点，对角线AC分别交BE，DF于点G、H．求证：AG=CH．【分析】根据平行四边形的性质得到AD∥BC，得出∠ADF=∠CFH，∠EAG=∠FCH，证出四边形BFDE是平行四边形，得出BE∥DF，证出∠AEG=∠CFH，由ASA证明△AEG≌△CFH，得出对应边相等即可．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ADF=∠CFH，∠EAG=∠FCH，∵E、F分别为AD、BC边的中点，∴AE=DE=12AD，CF=BF=12BC，∴DE∥BF，DE=BF，∴四边形BFDE是平行四边形，∴BE∥DF，∴∠AEG=∠ADF，∴∠AEG=∠CFH，在△AEG和△CFH中，，∴△AEG≌△CFH（ASA），∴AG=CH．【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．23．在▱ABCD中，BC=2AB，M为AD的中点，设∠ABC=α，过点C作直线AB的垂线，垂足为点E，连ME．（1）如图①，当α=90°，ME与MC的数量关系是ME=MC；∠AEM与∠DME的关系是∠DME﹣∠AEM=180°﹣α；（2）如图②，当60°＜α＜90°时，请问：（1）中的两个结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）如图③，当0°＜α＜60°时，请在图中画出图形，ME与MC的数量关系是ME=MC；∠AEM与∠DME的关系是∠DME﹣∠AEM=α．（直接写出结论即可，不必证明）【分析】（1）根据α=90°，▱ABCD是矩形，又M为AD的中点，所以可以证明△ABM与△DCM是全等三角形，根据全等三角形对应边相等即可得到ME=MC；根据三角形外角性质，∠DME﹣∠AEB=∠A，再根据两直线平行，同旁内角互补，∠A=180°﹣α；（2）点E在线段AB上，过M作MN⊥EC于N，根据M为AD的中点，可得出MN是梯形AECD的中位线，故点N是EC的中点，从而MN是线段EC的垂直平分线，所以ME=MC；先根据两直线平行，同旁内角互补求出∠A的度数，再根据三角形的外角性质即可得到两角的关系．（3）点E在线段BA的延长线上，根据（2）的证明求解方法，同理可解．【解答】（1）ME=MC；∠DME﹣∠AEM=180°﹣α．（2）成立．连CM，过M作MN⊥EC于N，∵AB⊥CE，MN⊥CE，∴AB∥MN，∵AB∥CD，∴AB∥MN∥CD，∵M为AD的中点，∴MN是梯形AECD的中位线，∴N是CE的中点，∵CE⊥AB，∴MN是△MEC的中线，∴EM=CM（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）；在△AEM中，∠AEM+∠A=∠DME，∵AD∥BC，∠ABC=α，∴∠A=180°﹣α，∴∠DME﹣∠AEM=∠A=180°﹣α．（3）EM=MC，∠DME﹣∠AEM=∠EAM=∠B=α．【点评】本题主要考查平行四边形的性质和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和的性质以及两直线平行，同旁内角互补的性质，熟练掌握性质并灵活运用是解题的关键．。
湘教版八年级下册数学第2章 四边形 正方形(1)
2．【教材改编题】如图，在正方形ABCD的外侧作等 边三角形ADE，那么∠BED为( )
A．60° B．45° C．30° D．15°
【点拨】由正方形的性质可得 AB＝AD，∠BAD＝ 90°，由等边三角形的性质可得AE＝AD，∠DAE＝ ∠AED＝60°，再根据等腰三角形的性质和三角形内 角和定理即可求得∠BED.
BC＝CD＋CF
(2)数学思考 如图②，当点D在线段CB的延长线上时，结论①②是
否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请 你写出正确结论再给予证明．
解：①成立，②不成立． ②的正确结论为BC＝CD－CF. 证明：∵四边形ADEF是正方形，∴AD＝AF，∠DAF＝90°. ∵∠BAC＝90°，∴∠DAB＝∠FAC.
4．正方形的判定：①有一组邻边相等的________是正方 形；②有一个角是直角的________是正矩方形形；③对角 线____________________的平行四边形是正方形． 菱形
互相垂直且相等
1．正方形具有而菱形不具有的性质是( A ) A．四个角都是直角 B．两组对边分别相等 C．对角线平分对角 D．内角和为360°
AF＝BE， ∠DAF＝∠ABE＝90°， AD＝BA，
∴△AFD≌△BEA(SAS)，∴∠FDA＝∠EAB. 又∵∠FDA＋∠AFD＝90°，∴∠EAB＋∠AFD＝90°，
即∠EAF＋∠AFD＝90°， 故C正确，A，B，D无法证明其成立，故选C.
【答案】C
4．【中考·宜昌】如图，正方形 ABCD 的边长为 1，点 E，F 是对 角线 AC 上的两点，EG⊥AB，EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD， 垂足分别为 G，I，H，J. 则图中阴影部分的面积等于 ( ) A．1 B．12 C．13 D．14