沪科版八年级一次函数知识点及经典例题培优

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经典一次函数培优题含答案及讲解

一次函数培优讲解已知一次函数y=ax+b的图像经过一，二，三象限，且与x轴交易点（-2，0），则不等式ax大于b的解集为（）A.x>2. B.x<2. Cx>-2. D.x<-2此题正确选项为A解析：∵一次函数的图像过一、二、三象限∴有a＞0将（-2，0）代入一次函数解析式则b=2a∴ax＞b可化为ax＞2a又a＞0∴原不等式的解集为x＞2在直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点，称为整点．设k为整数，当直线y=x+2与直线y=kx-4的交点为整点时，k的值可以取（）个．因为直线y=x+2与直线y=kx-4的交点为整点，让这两条直线的解析式组成方程组，求得整数解即可．由题意得：{y=x+2y=kx-4，解得：{x=6k-1y=6k-1+2，∴k可取的整数解有0，2，-2，-1，3，7，4，-5共8个．若不等式2|x-1|+3|x-3|≤a有解，则实数a最小值是（）绝对值的一元一次不等式．算题；分类讨论．类讨论：当x＜1或1≤x≤3或x＞3，分别去绝对值解x的不等式，然后根据x对应的取值范围得到a的不等式或不等式组，确定a的范围，最后确定a的最小值．≥＜1，解得a＞6当1≤x≤3，原不等式变为：2x-2+9-3x≤a，解得x≥7-a，∴1≤7-a≤3，解得4≤a≤6；当x＞3，原不等式变为：2x-2+3x-9≤a，解得x＜＞3，解得a＞4；综上所述，实数a最小值是4．已知实数a，b，c满足a+b+c不等于0，并且a/b+c=b/c+a=c/a+b=k，则直线y=kx-3一定通过哪三个象限？这个题目不需要证明，只需要判断即可。

首先，令x=0，则y=-3显然只要k>0 则，过1，3，4象限。

只要k<0 则，过2，3，4象限。

由a/b+c=b/c+a=c/a+b=k，显然a=b=c=1的时候，满足所有条件，而此时k》0所以过1，3，4象限。

再如a=b=c=-1的时候，也满足，此时k=0 , 那么y = -3 ，只过3、4象限。

沪科版数学八年级上册一次函数与一元一次方程、一元一次不等式

7
A(0，6)
6 5
4
的解和 2x + 6＞3 的解集
3 2
吗？
B(0，-3)
1
y = 2x + 6 y=3
x = -1.5， x＞-1.5
-4 -3 --21.-51-1 O 1 2 3 4 x
归纳总结一次函数与一元一次不等式的关系
求
kx (k
+ ≠
b＞0 (或＜0) 0)的解集
从“函数值”看
(2)不等式 2x + 6＞0 的解集；由图象可得：当 x＞-3 时，函数 y = 2x + 6 的图象在 x 轴上方. ∴不等式 2x + 6＞0 的解集为 x＞-3；
(3)若 -1≤y≤3，求 x 的取值范围. 由图象可得：函数图象过 F (-1.5，3)，G (-3.5，-1) 两点，当 -3.5≤x≤-1.5 时，函数y = 2x+6 的函数值满足-1≤y≤3， ∴x 的取值范围是 -3.5≤x≤-1.5.
试一试 1.已知一次函数 y = 0.8x - 2 与 x 轴的交点为 (2.5，0)，你能说出 0.8x - 2 = 0 的解吗？ x = 2.5 2.已知一次函数 y = kx - 5 与 x 轴的交点为 (3，0)，那么你能说出 kx - 5 = 0 的解吗？x = 3 3.已知关于 x 的一元一次方程 mx + n = 0 的解是 -3，则直线 y = mx + n 与 x 轴的交点坐标是_(-_3_，__0_)_.
(2，0)，则关于 x 的方程 2x＋b＝0 的解是 x＝_2__．
解析：∵直线 y＝2x＋b 与 x 轴的交点坐标是 (2，0)，则 x＝2 时，y＝0， ∴关于 x 的方程 2x＋b＝0 的解是 x＝2.

一次函数的应用大题专练30题八年级数学上册尖子生培优题典32

2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【沪科版】专题一次函数的应用大题专练30题〔重难点培优〕姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________考前须知：本试卷试题共30题，解答30道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、解答题〔本大题共30小题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤〕1．〔2021•招远市一模〕烟台苹果享誉全国．某水果超市方案从烟台购进“红富士〞与“新红星〞两种品种的苹果．3箱红富士苹果的进价与4箱新红星苹果的进价的和为396元，且每箱红富士苹果的进价比每箱新红星苹果的进价贵6元〔1〕求每箱“红富士〞苹果的进价与每箱新红星苹果的进价分别是多少元？〔2〕该水果超市方案再次购进100箱苹果，：“红富士〞苹果的售价每箱65元，“新红星〞苹果的售价每箱60元，根据市场的实际需求，“红富士〞苹果的数量不低于“新红星〞苹果数量的4倍．为使该水果超市售完这100箱苹果的总利润最大，该超市应如何进货？并求出最大利润．2．〔2021•河南模拟〕为了净化空气，美化校园环境，某学校方案种植A，B两种树木．购置20棵A种树木和15棵B种树木共花费2680元；购置10棵A种树木和20棵B种树木共花费2240元．〔1〕求A，B两种树木的单价分别为多少元．〔2〕如果购置A种树木有优惠，优惠方案是：购置A种树木超过20棵时，超出局部可以享受八折优惠．假设该学校购置m〔m＞0，且m为整数〕棵A种树木花费w元，求w与m之间的函数关系式．〔3〕在〔2〕的条件下，该学校决定在A，B两种树木中购置其中一种，且数量超过20棵，请你帮助该学校判断选择购置哪种树木更省钱．3．〔2021春•长沙期中〕火炬村街道积极响应垃圾分类号召，决定在街道内的所有小区安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，购置3个垃圾箱和2个温馨提示牌花费280元，购置2个垃圾箱和3个温馨提示牌花费270元．〔1〕求垃圾箱和温馨提示牌的单价各多少元？〔2〕购置垃圾箱和温馨提示牌共100个，如果垃圾箱个数不少于温馨提示牌个数的3倍，请你写出总费用w元与垃圾箱个数m个之间的关系式，并说明采用怎样的方案可以使总费用最低，最低为多少？4．〔2021春•正定县期中〕某电脑工程师张先生准备开一家小型电脑公司，欲租一处临街房屋．现有甲、乙两家出租屋，甲家已经装修好，每月租金为2600元；乙家未装修，每月租金为1800元，但假设装修成与甲家房屋同样的规格，那么需要自己支付装修费万元．设租用时间为x个月，所需租金为y元．〔1〕请分别写出租用甲、乙两家房屋的租金y甲、y乙与租用时间x之间的函数关系；〔2〕试判断租用哪家房屋更合算，请写出详细分析过程．5．〔2021春•长沙期中〕由于新能源汽车越来越受到消费者的青睐，某经销商决定分两次购进甲、乙两种型号的新能源汽车〔两次购进同一种型号汽车的每辆的进价相同〕．第一次用270万元购进甲型号汽车30辆和乙型号汽车20辆；第一次用128万元购进甲型号汽车14辆和乙型号汽车10辆．〔1〕求甲、乙两种型号汽车每辆的进价；〔2〕经销商分别以每辆甲型号汽车万元，每辆乙型号汽车万元的价格销售后，根据销售情况，决定再次购进甲、乙两种型号的汽车共100辆，且乙型号汽车的数量不少于甲型号汽车数量的3倍，设再次购进甲型汽车a辆，这100辆汽车的总销售利润为W万元．①求W关于a的函数关系式；②假设每辆汽车的售价和进价均不变，该如何购进这两种汽车，才能使销售利润最大？最大利润是多少？6．〔2021春•岳麓区校级月考〕为增强公民的节水意识，某市制订了如下用水标准：每户每月的用水量不超过10吨时，水价为每吨2元；超过10吨时，超过的局部按每吨3元收费．设该市居民李大妈家某月用水量为x吨，交水费y元，请答复以下问题：〔1〕假设李大妈家5月份用水吨，应交水费多少元？〔2〕假设李大妈家6月份交水费35元，这个月李大妈家用水多少吨？〔3〕请写出y〔元〕与x〔吨〕之间的函数关系式，并填表．用水量x/吨31015水费y/元102638 7．〔2021•秦淮区一模〕“精准扶贫，暖心助力〞．驻村书记通过某平台直播带货，帮助当地百姓脱贫致富．苹果本钱价为每千克5元，销售价为每千克8元；蜜桔本钱价为每千克6元，销售价为每千克10元．通过直播，两种水果共销售5000kg，苹果的销售量不少于2000kg．〔1〕假设销售的苹果和蜜桔的总本钱为27400元，那么销售苹果kg，销售蜜桔kg．〔2〕当苹果的销量为多少时，两种水果的总利润最大？最大利润是多少？8．〔2021•长安区二模〕某商店销售A、B两种型号的打印机，销售5台A型和10台B型打印机的利润和为2000元，销售10台A型和5台B型打印机的利润和为1600元．〔1〕求每台A型和B型打印机的销售利润；〔2〕商店方案购进A、B两种型号的打印机共100台，其中A型打印机数量不少于B型打印机数量的一半，设购进A型打印机a台，这100台打印机的销售总利润为w元，求该商店购进A、B两种型号的打印机各多少台，才能使销售总利润最大？〔3〕在〔2〕的条件下，厂家为了给商家优惠让利，将A型打印机的出厂价下调m元〔0＜m＜100〕，但限定商店最多购进A型打印机50台，且A、B两种型号的打印机的销售价均不变，请直接写出商店销售这100台打印机总利润最大的进货方案．9．〔2021•坪山区二模〕为响应对口扶贫，深圳某单位和西部某乡结对帮扶，采购该乡农副产品助力乡村振兴．1件A产品价格比1件B产品价格少20元，300元购置A产品件数与400元购置B产品件数相同．〔1〕A产品和B产品每件分别是多少元？〔2〕深圳该对口单位发动职采购该乡A、B两种农副产品，根据统计：职工响应积极，两种预计共购置150件，A的数量不少于B的2倍，求购置总费用的最大值．10．〔2021•天桥区二模〕越野自行车是中学生喜爱的交通工具，市场巨大竞争也剧烈某品牌经销商经营的A 型车去年销售总额为50000元，今年每辆售价比去年降低400元，假设卖出的数量相同，销售总额将比去年减少10000元．A、B两种型号车今年的进货和销售价格表：A型车B型车进货价1100元/辆1400元/辆销售价？元/辆2000元/辆〔1〕今年A型车每辆售价为多少元？〔2〕该品牌经销商方案新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的2倍，请问应如何安排两种型号车的进货数量，才能使这批越野自行车售出后获利最多？11．〔2021•吉安县模拟〕为落实“精准扶贫〞，某村在政府的扶持下建起了蔬菜大棚基地，准备种植A，B 两种蔬菜，假设种植20亩A种蔬菜和30亩B种蔬菜，共需投入18万元；假设种植30亩A种蔬菜和20亩B种蔬菜，共需投入17万元．〔1〕种植A，B两种蔬菜，每亩各需投入多少万元？〔2〕经测算，种植A种蔬菜每亩可获利万元，种植B种蔬菜每亩可获利万元，村里把50万元扶贫款全部用来种植这两种蔬菜，总获利w万元，设种植A种蔬菜m亩，求w关于m的函数关系式；〔3〕在〔2〕的条件下，假设要求A种蔬菜的种植面积不能少于B种蔬菜种植面积的2倍，请你设计出总获利最大的种植方案，并求出最大总获利．12．〔2021•怀化模拟〕某商场销售的甲电子产品去年2月份的销售总额为万元，今年经过产品升级后甲电子产品每件销售价比去年增加400元，假设今年2月份与去年2月份卖出的甲电子产品的数量相同，那么今年2月份甲电子产品的销售总额比去年2月份的销售总额增加25%．〔1〕求今年2月份甲电子产品每件销售价多少元？〔2〕该商场方案今年6月份购进一批甲电子产品和乙电子产品共50件，甲电子产品的进货数量不少于乙电子产品进货数量的23，乙电子产品的进货数量不少于10件．〔由于销售前景广阔，这批产品可以销售一空〕甲、乙两种型号电子产品的进货和销售价格表如下：甲电子产品乙电子产品进货价格〔元/件〕1100 1400 销售价格〔元/件〕今年的销售价格 2400①设甲电子产品进货m 件，销售这批产品所获得的总利润为y 元，求y 关于m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；②该商场决定举办促销活动：每一件乙电子产品降价a 元〔50≤a ≤200〕，如果要所获得的最大利润为46200元，求a 的值．13．〔2021春•深圳期中〕某羽毛球馆有两种消费方式：一种是交100元办一张会员卡，以后每次打球费用为25元/小时；另一种是不办会员卡，每次打球费用为40元/小时．〔1〕直接写出办会员卡打球的费用y 1〔元〕与打球时间x 〔小时〕之间的关系式；〔2〕直接写出不办会员卡打球的费用y 2〔元〕与打球时间x 〔小时〕之间的关系式；〔3〕小王每月打球时间为10小时，他选用哪种方式更合算？14．〔2021春•灞桥区校级月考〕如图表示甲骑电动自行车和乙驾驶汽车沿相同路线行驶45千米，由A 地到B 地时，行驶的路程y 〔千米〕与经过的时间x 〔小时〕之间的函数关系．根据这个行驶过程中的图象完成以下问题：〔1〕电动自行车的速度和汽车的速度分别是多少千米/小时？〔2〕汽车出发多少小时与电动自行车相遇？何时甲在乙的前面？何时甲在乙的后面？〔3〕汽车到达B 地时，电动自行车离B 地还有多少千米．15．〔2021•南开区二模〕工厂某车间需加工一批零件，甲组工人加工中因故停产检修机器一次，然后以原来的工作效率继续加工，由于时间紧任务重，乙组工人也参加共同加工零件．设甲组加工时间为t 〔时〕，甲组加工零件的数量为y 甲〔个〕，乙组加工零件的数量为y 乙〔个〕，其函数图象如下图．〔Ⅰ〕根据图象信息填表：加工时间t〔时〕348甲组加工零件的数量〔个〕a＝〔Ⅱ〕填空：①甲组工人每小时加工零件个；②乙组工人每小时加工零件个：③甲组加工小时的时候，甲、乙两组加工零件的总数为480个；〔Ⅲ〕分别求出y甲、y乙与t之间的函数关系式．16．〔2021春•正定县期中〕“五一〞节假日期间，小亮一家到某度假村度假，小亮和他妈妈坐公交车先出发，他爸爸自驾车沿着相同的道路后出发，他爸爸到达度假村后，发现落了东西在家里，于是立即返回家里去取，取到东西后又马上驾车前往度假村，如图是他们离家的距离s〔km〕与小明离家的时间t〔h〕的关系图，请根据图象答复以下问题：〔1〕小亮和妈妈坐公交车的速度为km/h；爸爸自驾的速度为km/h．〔2〕小亮从家到度假村期间，他离家的距离s〔km〕与离家的时间t〔h〕的关系式为；当1≤t≤2时，小亮爸爸离家的距离s〔km〕与离家的时间t〔h〕的关系式为；当2≤t≤3时，小亮爸爸离家的距离s〔km〕与离家的时间t〔h〕的关系式为；〔3〕小亮从家到度假村的路途中，当他与他爸爸相遇时，t＝〔h〕；〔4〕整个运动过程中〔双方全部到达会和时，视为运动结束〕，t为多少时小亮和妈妈与爸爸相距8km？17．〔2021•洪泽区二模〕李师傅开着货车从甲地出发匀速驶往距离甲地360千米的乙地，一段时间后，王东开着一辆轿车从乙地出发沿同一条道路匀速驶往甲地．两人在距离乙地160千米处相遇，此后2小时各自到达自己的目的地．图中线段AB表示李师傅离乙地距离y1〔千米〕与他出发时间x〔小时〕的函数关系，根据以上条件答复以下问题：〔1〕李师傅的货车速度为千米/小时；王东在李师傅出发小时后才出发；〔2〕求y1与x之间的函数表达式；〔3〕请在图中画出王东离开乙地的距离y2与x之间的函数图象；该函数图象交AB于点C，请写出点C 坐标，并解释其实际意义．18．〔2021•天门模拟〕随着信息技术的快速开展，“互联网+〞渗透到我们日常生活的各个领域，网上在线学习交流已不再是梦．现有某教学网站筹划了A，B两种上网学习的月收费方式：设每月上网学习时间为x小时，方案A，B的收费金额分别为y A，y B．收费方式月使用费/元包时上网时间/h超时费/〔元/min〕A725B m n〔1〕如图是y B与x之间函数关系的图象，请根据图象填空：m＝，n＝；〔2〕写出y A与x之间的函数关系式；〔3〕选择哪种方式上网学习合算，为什么？19．〔2021•建华区二模〕甲、乙两地相距480km，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地〔两车速度均保持不变〕．如图，折线ABCD表示轿车离甲地的距离y〔千米〕与时间x〔小时〕之间的函数关系，线段OE表示货车离甲地的距离y〔千米〕与时间x〔小时〕之间的函数关系，请你根据图象信息，解答以下问题：〔1〕线段BC表示轿车在途中停留了小时，a＝；〔2〕求线段CD对应的函数解析式；〔3〕轿车从甲地出发后经过多长时间追上货车？〔4〕请你直接写出两车何时相距30千米〔两车均在行驶〕？答：．20．〔2021•前郭县三模〕甲、乙两车分别以各自的速度匀速从A地驶向B地，甲车比乙车早出发2h，并且甲车途中休息了h，如图是甲、乙两车行驶的路程y〔km〕与时间x〔h〕的函数图象．〔1〕m＝，A、B两地的路程为km；〔2〕求乙车行驶的路程y〔km〕与时间x〔h〕的函数关系式，并写出相应的x的取值范围；〔3〕当乙车行驶多长时间时，两车恰好相距50km？21．〔2021•长春模拟〕甲、乙两人沿笔直公路匀速由A地到B地，甲先出发30分钟，到达B地后原路原速返回与乙在C地相遇．甲的速度比乙的速度快25km/h，甲、乙两人与A地的距离y〔km〕和乙行驶的时间x〔h〕之间的函数图象如下图．〔1〕甲车速度为km/h，a的值为．〔2〕求甲车到达B地后y与x之间的函数关系式．〔3〕求BC两地相距的路程是多少千米．22．〔2021•龙湾区二模〕某游泳馆有以下两种购票方式：一是普通门票每张30元；二是置办年卡〔从购置日起，可持年卡使用一年〕．年卡每张m元〔480≤m≤550，m为整数〕，且年卡持有者每次进入时，还需购置一张固定金额的入场券．设市民在一年中去游泳馆x次，购置普通门票和年卡所需的总费用分别为y1〔元〕和y2〔元〕．〔1〕如图1，假设m＝480，当x＝20时，两种购票方式的总费用y1与y2相等．①分别求y1，y2关于x的函数表达式．②要使市民办年卡比购置普通门票的总费用至少节省144元，那么该市民当年至少要去游泳馆多少次？〔2〕为增加人气，该游泳馆推出了每位顾客n〔n＜30〕次免费体验活动，如图2．某市民发现在这一年进游泳馆的次数到达30次〔含免费体验次数〕时，两种购票方式的总费用y1与y2相等，求所有满足条件的m的值．23．〔2021•前郭县二模〕一辆货车从A地去B地，一辆轿车从B地去A地，两车沿笔直的公路同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，轿车的速度大于货车的速度．两车之间的距离y〔km〕与货车行驶的时间x〔h〕之间的函数关系如下图．〔1〕观察图象可知，两车行驶小时后相遇；〔2〕轿车的速度为km/h，货车的速度为km/h；〔3〕求两车相遇后，y与x之间的函数关系式；〔4〕直接写出两车相距160km时货车行驶的时间．24．〔2021春•济南期中〕在济南市市中区春季田径比赛中，甲、乙两名运发动的路程S〔米〕与时间t〔分钟〕的关系如下图，根据图象解答以下问题：〔1〕这次比赛的全程是米；先到达终点的人比另一人领先分钟；〔2〕在比赛过程中，甲运发动的速度始终保持为米/分；乙运发动经验丰富，注意运用技巧，比赛过程分起跑、途中跑、冲刺跑三阶段进行，经历了两次加速过程，在第分钟后第一次加速，速度变为米/分，在第分钟后第二次加速；〔3〕假设乙在第一次加速后，始终保持这个速度继续前进，那么甲、乙两人谁先到达终点？谓说明理由．25．〔2021春•龙岗区校级期中〕一直线上有Q、P、M不同三地，甲、乙两人分别从P、Q两地同时同向出发前往距离Q地150米的M地，甲、乙两人距离Q地的距离y〔米〕与行走时间x〔分〕之间的关系图象如下图，假设甲的速度一直保持不变，乙出发2分钟后加速行走，且乙在加速后的速度是甲速度的4倍．〔1〕乙加速之后的速度为米/分；〔2〕求当乙追上甲时两人与Q地的距离；〔3〕当甲出发多少分钟时，两人相距10米？26．〔2021春•中山区期中〕五一假期小明和小强分别从家出发去公园，小明比小强先出发2min，俩人同时到达公园，小明的速度为80m/min，设小明、小强两人相距ym与小明行进行的时间xmin之间的函数关系如下图：〔1〕填空：小明和小强家相距m，a＝；〔2〕求线段AB对应的函数表达式，并直接写出自变量x的取值范围．〔3〕设小强离家的距离为y1m，小明行进的时间xmin，求y1与x的函数关系式，并画出函数的图象．27．〔2021春•沙坪坝区校级期中〕货车和轿车分别沿同一路线从甲地出发去乙地，货车先出发10分钟后，轿车才出发，当轿车追上货车5分钟后，轿车发生了故障，花了20分钟修好车后，轿车按原来速度的9 10继续前进，在整个行驶过程中，货车和轿车均保持各自的速度匀速前进，两车相距的路程y〔米〕与货车出发的时间x〔分钟〕之间的关系的局部图象如下图．〔1〕货车的速度是米/分，轿车故障前的速度是米/分；〔2〕求a的值；〔3〕求货车出发多长时间，两车相距14000米．28．〔2021春•吉安月考〕A、B两地相距90km，甲、乙两人从两地出发相向而行，甲先出发．图中l1，l2表示两人离A地的距离S〔km〕与时间t〔h〕的关系，结合图象答复以下问题．〔1〕表示甲离A地的距离与时间关系的图象是〔填l1或l2〕乙的速度是km/h；〔2〕求出l2的函数关系式，并注明自变量t的取值范围；〔3〕甲出发后多少时间两人恰好相距15km？29．〔2021•中牟县二模〕2021年春，河南某高校为做好新型冠状病毒感染的防治工作，方案为教职工购置一批洗手液〔每人2瓶〕．学校派王老师去商场购置，他在商场了解到，某个牌子的洗手液有两种优惠活动：活动一：一律打9折；活动二：当购置量不超过100瓶时，按原价销售；当购置量超过100瓶时，超过的局部打8折．所需费用y〔元〕与购置洗手液的数量x〔瓶〕之间的函数图象如下图．〔1〕根据图象可知，洗手液的单价为元/瓶，请直接写出y与x之间的函数关系式；〔2〕请求出a的值；〔3〕如果该高校共有m名教职工，请你帮王老师设计最省钱的购置方案．30．〔2021•红桥区二模〕4月23日是“世界读书日〞，甲、乙两个书店在这一天举行了购书优惠活动．在甲书店，所有书籍按标价总额的8折出售．在乙书店，一次购书的标价总额不超过100元的按标价总额计费，超过100元后的局部打6折．设在同一家书店一次购书的标价总额为x〔单位：元，x＞0〕．〔Ⅰ〕根据题意，填写表格：一次购书的标价总额/元50150300…在甲书店应支付金额/元120…在乙书店应支付金额/元130…〔Ⅱ〕设在甲书店应支付金额y1元，在乙书店应支付金额y2元，分别写出y1，y2关于x的函数关系式；〔Ⅲ〕根据题意填空：在甲书店和在乙书店一次购书的标价总额相同，且应支付的金额相同，那么在同一个书店一次购书的标价总额元；②假设在同一个书店一次购书应支付金额为280元，那么在甲、乙两个书店中的书店购书的标价总额多；③假设在同一个书店一次购书的标价总额120元，那么在甲、乙两个书店中的书店购书应支付的金额少．。

上海沪科版初中数学八年级上册12.2 第6课时一次函数与一元一次方程、一元一次不等式2

上海沪科版初中数学重点知识精选掌握知识点，多做练习题，基础知识很重要！上海沪科版初中数学和你一起共同进步学业有成！12.2 一次函数第6课时一次函数与一元一次方程、一元一次不等式教材分析：本节课教学内容是数形结合思想的又一体现，引导学生从函数的角度来思考方程与不等式的问题，体会数学思维的多元性。

主要教学一元一次方程的解、一元一次不等式的解集与一次函数图象的对应关系，从而根据图象求解一元一次方程和一元一次不等式。

初步感知方程、不等式、函数三个数学模型间的关系，以及他们各自能够解决的问题类型，为后续学习打下基础。

教学目标：知识与技能：1、理解一元一次方程的解，一元一次不等式的解集与一次函数图象间的对应关系。

2、会用图象法解一元一次方程和一元一次不等式。

3、初步感知方程、不等式、函数三个数学模型间的关系。

过程与方法：1、通过观察、联想、思考等数学活动，得出一元一次方程的解、一元一次不等式的解集与一次函数的图象之间的对应关系，发展学生的合情推理能力。

2、体验数学结合思想的意义，逐步提高学生借助这一思想分析问题和解决问题的能力。

情感、态度与价值观：增强学生合作交流的意识，培养学生独立思考的习惯，同时让学生感受到数学与实际生活的联系。

教学重、难点：重点：1、理解一元一次方程，不等式与一次函数的转化关系及本质联系。

2、学会利用图象法解一元一次方程和一元一次不等式。

难点：用图象法求一元一次不等式的解集教学过程：一、复习导入1、复习直线x=a和=b以及借助他们如何把坐标系划分成三部分。

2、通过转化解决问题：（1）、已知函数y=2x+6,当x=1时，求y的值。

（2）、已知函数y=2x+6,当y=4时，求x的值。

（3）、已知函数y=2x+6,当y>4时，求x的取值范围。

3、明晰课题并板书：一次函数与一元一次方程、一元一次不等式二、探究新知1、一元一次方程与一次函数问题①：（1）解方程：2x+6=0（2）已知一次函数y=2x+6，问x取何值时，y=0?（1）、学生活动1：用自己的方法解决，并做简单的比较。

2022-2023学年初二数学第二学期培优专题13 一次函数与正方形

2022-2023学年初二数学第二学期培优专题13 一次函数与正方形【例题讲解】如图，已知一次函数y=﹣34x+6的图象与坐标轴交于A、B两点，点E是线段OB上的一个动点（点E不与点O、B重合）”，过点B作BF⊥AE，垂足为F，以EF为边作正方形EFMN，当点M落在坐标轴上时，求E点坐标．【解答】解：①如图3中，当点M在y轴上时，作FP⊥OB于P，FQ⊥OM于Q．∵四边形EFMN是正方形，∴FE=FM，∠EFM=∠PFQ，∴∠EFP=∠MFQ，∵∠FPE=∠FQM=90°，∴△FPE≌△FQM，∴FP=FQ，四边形OPFQ是正方形，设边长为x．∵∠AEO=∠BEF，∠AOE=∠PFE=90°，∴∠FAQ=∠FBP，∵∠AQF=∠BPF=90°，∴△AQF≌△BPF，∴AQ=BP，∴6+x=8﹣x∴x=1，∴F（1，﹣1），∴直线AF的解析式为y=﹣7x+6，∴E（67，0）；②如图4中，当点M在x轴上时，易知OA=OE=6，可得E（6，0）．综上所述，满足条件的点E坐标为（67，0）或（6，0）．【综合演练】1．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边长为3，点A的坐标为(1，1)．若直线y=x+b与正方形有两个公共点，则b的取值范围是______．2．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的对称中心与原点重合，顶点A的坐标为(﹣1，1)，顶点B 在第一象限，若点B在直线y=kx+3上，则k的值为___．3．如图所示，在平面直角坐标系中，已知一次函数112y x=+的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，以AB为边在第二象限内作正方形ABCD．(1)求正方形ABCD的面积；(2)求点C和点D的坐标；(3)在x轴上是否存在点M，使△MDB的周长最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数12125y x=-+的图象交x轴、y轴于A、B两点，以AB为边在直线右侧作正方形ABCD，连接BD，过点C作CF⊥x轴于点F，交BD于点E，连接AE．（1）求线段AB的长；（2）求证：AD平分∠EAF；（3）求△AEF的周长．5．如图，已知一次函数y=﹣12x+b的图象过点A（0，3），点p是该直线上的一个动点，过点P分别作PM垂直x轴于点M，PN垂直y轴于点N，在四边形PMON上分别截取：PC=13MP，MB=13OM，OE=13ON，ND=13 NP．（1）b=；（2）求证：四边形BCDE是平行四边形；（3）在直线y=﹣12x+b上是否存在这样的点P，使四边形BCDE为正方形？若存在，请求出所有符合的点P的坐标；若不存在，请说明理由．6．在平面直角坐标系中，直线y＝2x+4与两坐标轴分别交于A，B两点．（1）若一次函数y＝﹣12x+m与直线AB的交点在第二象限，求m的取值范围；（2）若M是y轴上一点，N是x轴上一点，直线AB上是否存在两点P，Q，使得以M，N，P，Q四点为顶点的四边形是正方形．若存在，求出M，N两点的坐标，若不存在，请说明理由．7．y＝kx+b的图象经过点（﹣2，2）、（3，7）且与坐标轴相交于点、B两点．（1）求一次函数的解析式．（2）如图，点P是直线AB上一动点，以OP为边作正方形OPNM，连接ON、PM交于点Q，连BQ，当点P在直线AB上运动时，BQOP的值是否会发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．（3）在（2）的条件下，在平面内有一点H，当以H、N、B、P为顶点的四边形为菱形时，直接写出点H 的坐标．8．如图，在平而直角坐标系中．直线l ：()2100y x k =-+≠经过点()3,4C ，与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，点D 的坐标为(8，4)，连接OD ，交直线l 于点M ，连按OC ，CD ，AD ．(1)填空：点A 的坐标为_________；点M 的坐标为______；(2)求证：四边形OADC 是菱形；(3)直线AP ：5y x =-+与y 轴交于点P ．①连接MP ，则MP 的长为_______；②已知点E 在直线AP 上，在平面直角坐标系中是否存在一点F ，使以O ，A ，E ，F 为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．9．直线2y kx =+(0)k <与x 轴、y 轴分别交于,A B 两点，以AB 为边向外作正方形ABCD ，对角线,AC BD 交于点E ，则过,O E 两点的直线的解析式是__________．10．如图，四边形OABC 和四边形ODEF 都是正方形，点F ，O ，A 在一条直线上，点D 在OC 边上，以FA 为x 轴，OC 为y 轴建立平面直角坐标系xOy ，直线132y x =+经过点B ，E ．（1）求正方形OABC 和正方形ODEF 的边长；（2）若点P 是BE 的中点，试证明：点C ，P ，A 三点在同一条直线上．11．在平面直角坐标系xOy 中，点A （0，4），B （3，0），以AB 为边在第一象限内作正方形ABCD ，直线l ：y =k （x +3）．（1）点D 的坐标是；（2）当直线l 经过D 点时，求k 的值；（3）该直线l 一定经过一个定点，其坐标是；（4）当直线l 与正方形的四边有两个交点时，求k 的取值范围．12．在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 与图形W 给出如下定义：如果存在以点P 为端点的一条射线与图形W 有且只有2个公共点，那么称点P 是图形W 的“相关点”．已知点(),2A m ，()2,0B m -，()2,0C m +．(1)当0m =时，①在点()11,0P -，()21,1P，()34,0P ，()43,1P -中，是折线BA AC -的“相关点”的是______； ②点M 是直线24y x =+上一点，如果点M 是折线BA AC -的“相关点”，求点M 的横坐标M x 的取值范围；(2)正方形DEFG 的各边都平行于坐标轴，对角线的交点N 的坐标是()24,0m -．如果正方形的边长是2，正方形DEFG 上的任意一点都是折线BA AC -的“相关点”，请直接写出m 的取值范围．13．如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝﹣2x +8与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，过点B 的另一条直线交x 轴负半轴于点C ，且OC ＝6．(1)求直线BC 的解析式；(2)如图1，若M 为线段BC 上一点，且满足S △AMB ＝S △AOB ，请求出点M 的坐标；(3)如图2，设点F 为线段AB 中点，点G 为y 轴上一动点，连接FG ，以FG 为边向FG 左侧作正方形FGQP ，在G 点的运动过程中，当顶点Q 落在直线BC 上时，求点G 的坐标．答案与解析【例题讲解】如图，已知一次函数y=﹣34x+6的图象与坐标轴交于A、B两点，点E是线段OB上的一个动点（点E不与点O、B重合）”，过点B作BF⊥AE，垂足为F，以EF为边作正方形EFMN，当点M落在坐标轴上时，求E点坐标．【解答】解：①如图3中，当点M在y轴上时，作FP⊥OB于P，FQ⊥OM 于Q．∵四边形EFMN是正方形，∴FE=FM，∠EFM=∠PFQ，∴∠EFP=∠MFQ，∵∠FPE=∠FQM=90°，∴△FPE≌△FQM，∴FP=FQ，四边形OPFQ是正方形，设边长为x．∵∠AEO=∠BEF，∠AOE=∠PFE=90°，∴∠FAQ=∠FBP，∵∠AQF=∠BPF=90°，∴△AQF≌△BPF，∴AQ=BP，∴6+x=8﹣x∴x=1，∴F（1，﹣1），∴直线AF的解析式为y=﹣7x+6，∴E（67，0）；②如图4中，当点M在x轴上时，易知OA=OE=6，可得E（6，0）．综上所述，满足条件的点E坐标为（67，0）或（6，0）．【综合演练】1．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边长为3，点A的坐标为(1，1)．若直线y=x+b与正方形有两个公共点，则b的取值范围是_________．【答案】-3＜b＜3【分析】当直线y=x+b过D，B时，求得b，即可得到结论．【解答】解：∵正方形ABCD的边长为3，点A的坐标为（1，1），∴D（1，4），B（4，1）当直线y=x+b经过点D时，4=1+b，此时b=3，当直线y=x+b经过点B时，1=4+b，此时b=-3．∴直线y=x+b与正方形有两个公共点，则b的取值范围是-3＜b＜3．故答案是：-3＜b＜3．【点评】此题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，关键是掌握待定系数法正确求出函数的解析式．2．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的对称中心与原点重合，顶点A的坐标为(﹣1，1)，顶点B 在第一象限，若点B在直线y=kx+3上，则k的值为___．【答案】﹣2【分析】根据正方形的对称性得到点B坐标，代入直线解析式即可求出k．【解答】解：∵正方形ABCD的对称中心与原点重合，顶点A的坐标为（﹣1，1），∴点B坐标为（1，1），∵点B在直线y=kx+3上，∴1=k+3，解得k=﹣2．故答案为：﹣2【点评】本题考查了正方形的对称性，一次函数的性质，熟知相关知识点，求出点B的坐标是解题关键．3．如图所示，在平面直角坐标系中，已知一次函数112y x =+的图象与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，以AB 为边在第二象限内作正方形ABCD ．(1)求正方形ABCD 的面积；(2)求点C 和点D 的坐标；(3)在x 轴上是否存在点M ，使△MDB 的周长最小？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)5(2)C (-1，3)，D (-3，2)(3)()1,0M -，理由见解答【分析】（1）由一次函数112y x =+，可求出A 和B 点坐标，即得出OA 和OB 的长，再根据勾股定理求出AB 的长，最后由正方形面积公式计算即可；（2）作CE y ⊥轴，DF x ⊥轴．根据正方形的性质结合所作辅助线易证(AAS)BCE DAF ABO ≌≌，即得出2BE DF OA ===，1CE AF OB ===，从而可求出3OE =，3OF =，即得出C 、D 两点坐标；（3）找出点B 关于x 轴的对称点B '，连接B D '，与x 轴交于点M ，根据轴对称的性质可知此时BMD 周长最小．由B (0，1)，得出B '(0，-1)，利用待定系数法可求出直线B D '的解析式为=1y x --，从而可求出M 点坐标．（1）对于直线112y x =+，令0x =，得到1y =；令0y =，得到2x =-， ∴A (-2，0)，B (0，1)，∴在Rt AOB △中，2OA =，1OB =，∴根据勾股定理得：22215AB =+=，∴正方形ABCD 面积为5；（2）如图，作CE y ⊥轴，DF x ⊥轴，∴90CEB AFD AOB ∠=∠=∠=︒．∵四边形ABCD 是正方形，∴BC AB AD ==，90DAB ABC ∠=∠=︒， ∴90DAF BAO ∠+∠=︒，90ABO CBE ∠+∠=︒， ∵90DAF ADF ∠∠=+︒，90BAO ABO ∠+∠=︒， ∴BAO ADF CBE ∠=∠=∠，∴(AAS)BCE DAF ABO ≌≌，∴2BE DF OA ===，1CE AF OB ===，∴213OE OB BE =+=+=，213OF OA AF =+=+=， ∴C (-1，3)，D (-3，2)；（3）如图，找出点B 关于x 轴的对称点B '，连接B D '，与x 轴交于点M ，则此时BMD 周长最小． ∵B (0，1)，∴B '(0，-1)设直线B D '的解析式为(0)y kx b k =+≠，把B '与D 坐标代入得：132b k b =-⎧⎨-+=⎩，解得：11k b =-⎧⎨=-⎩， ∴直线B D '的解析式为=1y x --．对于=1y x --，令0y =，得到=1x -，∴M (-1，0)．【点评】本题考查正方形的性质，勾股定理，坐标与图形，三角形全等的判定和性质，一次函数的应用以及轴对称变换等知识．正确的作出辅助线并利用数形结合的思想是解题关键．4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数12125y x=-+的图象交x轴、y轴于A、B两点，以AB为边在直线右侧作正方形ABCD，连接BD，过点C作CF⊥x轴于点F，交BD于点E，连接AE．（1）求线段AB的长；（2）求证：AD平分∠EAF；（3）求△AEF的周长．【答案】（1）AB＝13；（2）见解析；（3）△AEF周长为24．【分析】（1）根据一次函数解析式，令x、y分别为0，即可求出A、B两点坐标，再利用勾股定理即可算出AB的长；（2）证明△CDE和△ADE中，可得∠DCE＝∠DAE，根据三角形内角和和对顶角的性质可得∠DCM＝∠MAF，等量代换得∠MAF＝∠EAM；（3）过点C作y轴垂线交y轴于点N，构造三角形全等即可推出点C的坐标；将AE+EF转换为CF即可求出△AEF的周长．【解答】解：（1）∵一次函数y＝﹣125x+12的图象交x轴、y轴与A、B两点，∴当x=0，则y=12，故B(0，12)，当y =0，则x =5，故A (5，0)，即OA ＝5，OB ＝12，∴AB ＝22OA OB +＝22512+＝13，故AB ＝13；（2）∵四边形ABCD 是正方形，∴CD ＝AD ，∵BD 是正方形的对角线，∴∠CDE ＝∠ADE ，在△CDE 和△ADE 中，CD AD CDE ADE DE DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CDE ≌△ADE （SAS ），∴∠DCE ＝∠DAE ，设FC 与AD 交点为M ，∵∠EMD ＝∠AMF （对顶角相等），∠DCM +∠EMD ＝∠MAF +∠AMF ，∴∠DCM ＝∠MAF ，∴∠MAF ＝∠EAM ，∴AD 平分∠EAF ；（3）过点C 作y 轴垂线交y 轴于点N ，如图所示：∵∠CBN +∠NCB =∠CBN +ABO =90°，∴∠NCB =∠ABO ，在△CNB 和△BOA 中，90NCB OBA CNB BOA CB BA ︒∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△CNB ≌△BOA （AAS ），∴BN =AO =5，CN =BO =12，又∵CF ⊥x 轴，∴CF =BO +BN =12+5=17，∴C 的坐标为(12，17)；∵△CDE ≌△ADE ，∴AE =CE ，∴AE +EF =CF =17，AF =OF -AO =12-5=7，∴C △AEF =AE +EF +AF =CF +AF =17+7=24．【点评】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点，勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，对顶角的性质，以及三角形内角和的应用，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题关键．5．如图，已知一次函数y=﹣12x+b 的图象过点A （0，3），点p 是该直线上的一个动点，过点P 分别作PM 垂直x 轴于点M ，PN 垂直y 轴于点N ，在四边形PMON 上分别截取：PC=13MP ，MB=13OM ，OE=13ON ，ND=13NP ．（1）b= ；（2）求证：四边形BCDE 是平行四边形；（3）在直线y=﹣12x+b 上是否存在这样的点P ，使四边形BCDE 为正方形？若存在，请求出所有符合的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）3；（2）证明见解析；（3）在直线y=﹣12x+b 上存在这样的点P ，使四边形BCDE 为（3）设P 点坐标（x ，y ），当△OBE ≌△MCB 时，四边形BCDE 为正方形，OE=BM ，当点P 在第一象限时，即13y=13x ，x=y ． P 点在直线上，132y x y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩，当点P 在第二象限时，﹣x=y132y x y x⎧=+⎪⎨⎪=-⎩，解得66x y =-⎧⎨=⎩在直线y=﹣12x+b 上存在这样的点P ，使四边形BCDE 为正方形，P 点坐标是（2，2）或（﹣6，6）．点评：本题考查了一次函数的综合题，利用了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，正方形的性质，注意数形结合.6．在平面直角坐标系中，直线y ＝2x+4与两坐标轴分别交于A ，B 两点．（1）若一次函数y ＝﹣12x+m 与直线AB 的交点在第二象限，求m 的取值范围；（2）若M 是y 轴上一点，N 是x 轴上一点，直线AB 上是否存在两点P ，Q ，使得以M ，N ，P ，Q 四点为顶点的四边形是正方形．若存在，求出M ，N 两点的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）m ＜4；（2）M （0，87），N （﹣47，0）或M （0，﹣83），N （43，0）或M （0，﹣4），N （﹣163，0）；【分析】（1）根据题意联立一次函数解析式与直线AB 的解析式，据此进一步用m 表示出x ，最后根据第二象限的点的坐标特征加以分析即可；（2）首先求出A 、B 两点坐标，然后根据题意分图1、图2、图3共三种情况结合相似三角形性质进一步分析求解即可.【解答】（1）联立24y x =+与12y x m =-+，得：1242x x m +=-+， ∴()245x m =-， ∵交点位于第二象限，∴()2405m -<， ∴4m <；（2）当0x =时，244y x =+=，∴A （0，4），当0y =时，024x =+，即：2x =-，∴B （2-，0），∴OA ＝4，OB ＝2．如图1，过点Q 作QH ⊥x 轴于H ，∵MN ∥AB ，∴△NMO~△BAO ，∴12ON OB OM OA ==，设ON ＝a ，则OM ＝2a ，∵∠MNQ ＝90°，∴∠QNH+∠MNO ＝∠MNO+∠NMO ＝90°，∴∠QNH ＝∠NMO ，在△QNH 和△NMO 中，∵∠QNH ＝∠NMO ，∠QHN=∠NOM ，QN=MN ，∴△QNH ≅△NMO （AAS ），∴QH＝ON＝a，HN＝OM＝2a，易得：△BQH~△BAO，∴12 BH OBQH OA==，∴BH＝12a，∵OB＝BH+HN+ON，∴2＝122a a a++，解得47a=，∴M（0，87），N（47-，0）；如图2，过点P作PH⊥x轴于H，易证△PNH~△BAO，∴12 PH OBOH OA==，设PH＝b，则NH＝2b，同理证得△PNH≅△NMO，∴PH＝ON＝b，HN＝OM＝2b，∴OH＝HN−OH＝b，易得：△BPH~△BAO，∴12 BH OBPH OA==，∴BH＝12 b，∵OB＝BH+OH，∴2＝12b+b，解得b＝43，∴M（0，83-），N（43，0）；如图3，过点P作PH⊥x轴于H，PE⊥y轴于E，QF⊥y轴于F，易得：△PAE~△BAO，∴12 PE OBAE OA==，设PE＝c，则AE＝2c，同理证得△PNH≅△PME，∴PH＝PE＝OE＝c，则AE＝2c，∵OA＝AE+OE，∴4＝2c+c，解得c＝43，∵△MQF≅△PME，∴MF＝PE＝OE，EM＝FQ，∴EM＝OF＝FQ，设EM＝OF＝FQ＝m，则Q（﹣m，﹣m），代入y＝2x+4中，得﹣m＝﹣2m+4，解得m＝4，∴NO＝NH+OH＝163，∴N（163-，0），∵OF＝m＝4，∴M（0，﹣4）．综上所述M（0，87），N（47-，0）或M（0，83-），N（43，0）或M（0，﹣4），N（163-，0）．【点评】本题主要考查了一次函数与相似三角形的判定及性质的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键. 7．y＝kx+b的图象经过点（﹣2，2）、（3，7）且与坐标轴相交于点、B两点．（1）求一次函数的解析式．（2）如图，点P是直线AB上一动点，以OP为边作正方形OPNM，连接ON、PM交于点Q，连BQ，当点P在直线AB上运动时，BQOP的值是否会发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．（3）在（2）的条件下，在平面内有一点H，当以H、N、B、P为顶点的四边形为菱形时，直接写出点H的坐标．【答案】（1）y＝x+4；（2）BQOP的值不变，理由见解析；（3）点H的坐标为(42243,22)----或(0,0)或(628,22)-．【分析】（1）利用待定系数法转化为解方程组解决问题．（2）如图1中，结论：BQOP的值不变．连接BM，设PB交OM于G．想办法证明∠PBM＝90°，利用直角三角形斜边中线的性质以及等腰直角三角形的性质即可解决问题．（3）分三种情形：如图2﹣1中，当四边形PBNH是菱形时，如图2﹣2中，当点P与A重合时．得到四边形PNMO是正方形（是菱形），此时H与原点O重合．如图2﹣3中，当四边形PBNH是菱形时，分别求解即可解决问题．【解答】解：（1）∵y＝kx+b的图象经过点（﹣2，2）、（3，7），∴22 37k bk b-+=⎧⎨+=⎩，解得14kb=⎧⎨=⎩，∴一次函数的解析式为y＝x+4．（2）如图1中，结论：BQOP的值不变．理由：连接BM，设PB交OM于G．∵直线y＝x+4与坐标轴相交于点、B两点，∴A（﹣4，0），B（0，4），∴OA＝OB＝4，∵四边形POMN是正方形，∴∠POM＝∠AOB＝90°，OM＝OP，∴∠AOP＝∠BOM，∵OA＝OB，∴△AOP≌△BOM（SAS），∴∠OPG＝∠GMB，∵∠OGP＝∠BGM，∴∠GBM＝∠GOP＝90°，∴QM＝QP，∴QB＝QP＝QM，∵△POQ是等腰直角三角形，∴OP＝2QP，∴22 BQ PQOP OP==．（3）如图2﹣1中，当四边形PBNH是菱形时，∵BH 垂直平分线段PN ，BH 垂直平分线段OM ，∴BM ＝OB ＝4，∴M （﹣22，4+22），∴P （﹣4﹣22，﹣22），∴BN ＝BP ＝()()2242242243++-=，∴PH ＝BN ＝43，∵QB ＝QN ＝OQ ，∴∠NBO ＝90°，∴BN ∥OA ∥PH ，∴H （﹣4﹣2243-，﹣22）．如图2﹣2中，当点P 与A 重合时，得到四边形PNMO 是正方形（是菱形），此时H 与原点O 重合，H （0，0）．如图2﹣3中，当四边形PBNH 是菱形时，设PH 交OB 于J ，在JO 上取一点F ，使得PJ ＝JF ．∵BP ＝BN ，∴∠BPN ＝∠BNP ＝22.5°，∵∠OPN ＝90°，∠P AO ＝45°，∴∠APO ＝67.5°，∴∠AOP ＝67.5°，∴∠POJ ＝22.5°，∵∠PFJ ＝∠FPO +∠POF ＝45°，∴∠FPO ＝∠POF ＝22.5°，∴PF ＝OF ，设PJ ＝BJ ＝JF ＝x ，则PB ＝BN ＝PF ＝OF ＝2x ，∴2x +2x ＝4，∴x ＝4﹣22，∴BN ＝PH ＝42﹣4，P （22﹣4，22），∴H （62﹣8，22），综上所述，满足条件的点H 的坐标为（﹣4﹣22﹣43，﹣22）或（0，0）或（62﹣8，22）．【点评】本题考查的是一次函数与几何的综合，难度系数较大，第三问比较容易忽略的点在于当点P 与A 重合时．得到四边形PNMO 是正方形，此时是特殊的菱形.8．如图，在平而直角坐标系中．直线l ：()2100y x k =-+≠经过点()3,4C ，与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，点D 的坐标为(8，4)，连接OD ，交直线l 于点M ，连按OC ，CD ，AD ．(1)填空：点A 的坐标为_________；点M 的坐标为______；(2)求证：四边形OADC 是菱形；(3)直线AP ：5y x =-+与y 轴交于点P ．①连接MP ，则MP 的长为_______；②已知点E 在直线AP 上，在平面直角坐标系中是否存在一点F ，使以O ，A ，E ，F 为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(5，0)，(4，2)(2)见解析(3)①5；②存在，点F 的坐标为（5，5）或（52，-52）．【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出点A 的坐标，又点D 的坐标，利用待定系数法可求出直线OD 的解析式，再联立两函数解析式，可求出交点M 的坐标；（2）过点C 作CQ ⊥x 轴于点Q ，利用勾股定理可得出OC =5，又点C ，D 的坐标可得出CD =5，CD ∥x 轴，结合点A 的坐标，可得出CD =OA ，进而可得出四边形OADC 为平行四边形，再结合OC =OA ，即可证出四边形OADC 是菱形；（3）①过点M 作MN ⊥y 轴于点N ，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点P 的坐标，结合点M 的坐标可得出MN ，PN 的长，再利用勾股定理，即可求出MP 的长；②存在，分OA 为边及OA 为对角线两种情况考虑，（i ）当OA 为边时，点E 与点P 重合，利用正方形的性质可求出点F 的坐标；（ii ）当OA 为对角线时，点E 在线段AP 的中点，结合点A ，P 的坐标可得出点E 的坐标，再利用正方形的性质，即可求出点F 的坐标．（1）解：当y=0时，-2x+10=0，解得：x=5，∴点A的坐标为（5，0）；设直线OD的解析式为y=kx（k≠0），将D（8，4）代入y=kx，得：4=8k，解得：k=12，∴直线OD的解析式为y=12x．联立两函数解析式得：21012y xy x=-+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得：42xy=⎧⎨=⎩，∴点M的坐标为（4，2），故答案为：（5，0）；（4，2）；（2）证明：过点C作CQ⊥x轴于点Q，如图1所示．∵点C的坐标为（3，4），∴OQ=3，CQ=4，∴OC= 222234OQ CQ+=+=5．∵点C的坐标为（3，4），点D的坐标为（8，4），∴CD=5，CD∥x轴，即CD∥OA．∵点A的坐标为（5，0），∴OA=5=CD，∴四边形OADC为平行四边形，又∵OA=OC=5，∴四边形OADC是菱形；（3）解：①过点M作MN⊥y轴于点N，如图2所示．当x=0时，y=-1×0+5=5，∴点P的坐标为（0，5）．∵点M的坐标为（4，2），∴MN=4，ON=2，∴PN=5-2=3，∴MP=2222+=+=5.34PN MN故答案为：5；②存在，分两种情况考虑，如图3所示．（i ）当OA 为边时，∵OA =OP =5，∠AOP =90°，∴点E 与点P 重合，∴点F 的坐标为（5，5）；（ii ）当OA 为对角线时，∵OA =OP =5，∠AOP =90°，∴△AOP 为等腰直角三角形，又∵四边形AEOF 为正方形，∴点E 为线段AP 的中点，∴点E 的坐标为（52，52）， ∴点F 的坐标为（0+5-52，0+0-52），即（52，-52）． ∴在平面直角坐标系中存在一点F ，使以O ，A ，E ，F 为顶点的四边形是正方形，点F 的坐标为（5，5）或（52，-52）．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、勾股定理、平行四边形的判定、菱形的判定以及正方形的性质，解题的关键是：（1）利用待定系数法，求出直线OD 的解析式；（2）利用邻边相等的平行四边形为菱形，证出四边形OADC 是菱形；（3）①利用勾股定理，求出MP 的长；②分OA 为边及OA 为对角线两种情况，求出点F 的坐标．9．直线2y kx =+(0)k <与x 轴、y 轴分别交于,A B 两点，以AB 为边向外作正方形ABCD ，对角线,AC BD 交于点E ，则过,O E 两点的直线的解析式是__________．【答案】y x=【分析】分别过点E作EF⊥x轴于F，过点E作EG⊥y轴于点G,再证明△BEG≌△AEF，得出EG=EF，从而可得出结论.【解答】解：过点E作EF⊥x轴于F，过点E作EG⊥y轴于点G,∵四边形ABCD为正方形，∴BE=AE,且∠AEB=90°，∴∠BEG+∠AEG=∠AEG+∠AEF,∴∠BEG=∠AEF,又∠BGE=∠AFE=90°，∴△BEG≌△AEF（ASA）,∴EF=EG.所以设过OE两点的直线的函数解析式为y=kx(k≠0),点E的坐标为(a,a),代入可得a=ak,解得k=1,∴过,O E两点的直线的解析式是为y=x.故答案为：y=x.【点评】本题主要考查解析式的求法，正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，正确构造全等三角形是解题的关键.10．如图，四边形OABC和四边形ODEF都是正方形，点F，O，A在一条直线上，点D在OC边上，以FA为x轴，OC为y轴建立平面直角坐标系xOy，直线132y x=+经过点B，E．（1）求正方形OABC和正方形ODEF的边长；（2）若点P是BE的中点，试证明：点C，P，A三点在同一条直线上．【答案】（1）6和2；（2）见解答【分析】（1）设B（a，a），A（-b，b），代入132y x=+，即可求解；（2）先写出P（2，4），A（6，0），C（0，6），从而求出直线AC的解析式，把P的坐标代入AC的解析式，即可得到答案．【解答】解：（1）设正方形OABC和正方形ODEF的边长分别为：a，b，∴B（a，a），A（-b，b），∵直线132y x=+经过点B，E，∴132132a ab b⎧+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，解得：62ab=⎧⎨=⎩，∴正方形OABC和正方形ODEF的边长分别为：6和2；（2）∵B（6，6），A（-2，2），点P是BE的中点，∴P（2，4），∵A（6，0），C（0，6），设AC的解析式为：y=kx+b，∴606k bb+=⎧⎨=⎩，解得：16kb=-⎧⎨=⎩，∴AC的解析式为：y=-x+6，∵x=2时，y=-2+6=4，∴P点在直线AC上，即点C，P，A三点在同一条直线上．【点评】本题主要考查一次函数的性质和图像以及正方形的性质，掌握待定系数法，是解题的关键．11．在平面直角坐标系xOy中，点A（0，4），B（3，0），以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，直线l：y=k（x+3）．（1）点D的坐标是；（2）当直线l经过D点时，求k的值；（3）该直线l一定经过一个定点，其坐标是；（4）当直线l与正方形的四边有两个交点时，求k的取值范围．【答案】(1)(4，7)；(2) k=1；(3)(-3,0)；(4)4 0k3 <<【分析】（1）过D点作DE⊥y轴，证△AED≌△BOA，根据全等求出DE=AO=4，AE=OB=3，即可得出D 的坐标；（2）把D的坐标代入解析式即可求出k的值；（3）y=k（x+3）是经过（-3，0）的直线系，故经过定点（-3，0）；（4）把A的坐标代入求出k的值，即可得出答案．【解答】解：(1)如图，过D点作DE⊥y轴，则∠AED=∠1+∠2=90°.在正方形ABCD中，∠DAB=90°，AD=AB.∴∠1+∠3=90°，12．在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 与图形W 给出如下定义：如果存在以点P 为端点的一条射线与图形W 有且只有2个公共点，那么称点P 是图形W 的“相关点”．已知点(),2A m ，()2,0B m -，()2,0C m +．(1)当0m =时，①在点()11,0P -，()21,1P，()34,0P ，()43,1P -中，是折线BA AC -的“相关点”的是______； ②点M 是直线24y x =+上一点，如果点M 是折线BA AC -的“相关点”，求点M 的横坐标M x 的取值范围；(2)正方形DEFG 的各边都平行于坐标轴，对角线的交点N 的坐标是()24,0m -．如果正方形的边长是2，正方形DEFG 上的任意一点都是折线BA AC -的“相关点”，请直接写出m 的取值范围．最大值，进而即可求解；（2）根据题意求得直线AB 的解析式为2y x m =-+，直线AC 的解析式为2y x m =-++，正方形DEFG 上的任意一点都不在BA AC -所围成的锐角之内以及边上（除线段AB ,AC 外），当正方形有一点在AB 或AC 上时，根据点N 的坐标以及正方形的性质求得点F 的坐标，分别代入直线,AB AC 的解析式即可求得点F 的坐标，结合函数图像即可求解．(1)当0m =时，()()()0,2,2,0,2,0A B C -，①如图，在平面直角坐标系中描出点()()()0,2,2,0,2,0A B C -，()11,0P -，()21,1P，()34,0P ，()43,1P -连接,AB AC ，由图像可知，23,P P 为折线BA AC -的“相关点”；②如图，点M 是直线24y x =+上一点，根据定义可知：点M 为折线BA AC -的“相关点”当M 与点()2,0B -重合时，此时M x 取得最小值，为2-，当M 在直线AC 上时，M x 取得最大值，设直线AC 解析式为y kx b =+()()0,2,2,0A C则202k b b +=⎧⎨=⎩解得12k b =-⎧⎨=⎩∴直线AC 解析式为2y x =-+联立224y x y x =-+⎧⎨=+⎩ 解得2383x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即M x 的最大值为23- 223M x ∴-≤<- (2)点(),2A m ，()2,0B m -，()2,0C m +．设直线AB 的解析式为y cx d =+，AC 解析式为y ex f =+,则()220mc d m c d +=⎧⎨-+=⎩，()220me f m e f +=⎧⎨++=⎩，解得12c d m =⎧⎨=-+⎩，12e f m =-⎧⎨=+⎩∴直线AB 的解析式为2y x m =-+，直线AC 的解析式为2y x m =-++，当正方形DEFG 上的任意一点都是折线BA AC -的“相关点”；∴正方形DEFG 上的任意一点都不在BA AC -所围成的锐角之内以及边上（除线段AB ,AC 外），当正方形有一点在AB 或AC 上时，如图，当点F 在AB 上时，()24,0N m -，正方形的边长为2，则()23,1F m --，代入直线AB 解析式，可得()1232m m -=--+，解得0m =；当点F 在AC 上时，()24,0N m -，正方形的边长为2，则()25,1F m --，代入直线AC 解析式，可得()1252m m -=--++，解得8m =，结合图像可知，当正方形DEFG 上的任意一点都是折线BA AC -的“相关点”，0m <或8m >．【点评】本题考查了新定义问题，待定系数法求一次函数解析式，正方形的性质，坐标与图形，两直线交点问题，理解新定义是解题的关键．13．如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝﹣2x +8与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，过点B 的另一条直线交x 轴负半轴于点C ，且OC ＝6．(1)求直线BC 的解析式；(2)如图1，若M 为线段BC 上一点，且满足S △AMB ＝S △AOB ，请求出点M 的坐标；(3)如图2，设点F 为线段AB 中点，点G 为y 轴上一动点，连接FG ，以FG 为边向FG 左侧作正方形FGQP ，在G 点的运动过程中，当顶点Q 落在直线BC 上时，求点G 的坐标．【答案】(1)483y x =+ (2)122455M ⎛⎫- ⎪⎝⎭， (3)4607G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，或()02G -，【点评】本题考查了用待定系数法求解析式、正方形的性质、一次函数的图像与解析式等知识，涉及到了分类讨论的思想方法，解题关键是能正确进行面积转化以及通过作辅助线构造全等三角形对图中的线段进行数量关系上的转化．。

八年级数学培优学案(11)--函数、一次函数

八年级数学培优学案（11）-----函数、一次函数一、函数1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。

常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。

2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x 和y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x 称为自变量，把y 称为因变量，y 是x 的函数。

*判断Y 是否为X 的函数，只要看X 取值确定的时候，Y 是否有唯一确定的值与之对应3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。

4、确定函数定义域的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。

5、函数的解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式练习：1.如下图所示，不可能表示函数的是2.求下列函数的定义域3.(1)f (x )＝x ＋2x －1；(2)f (x )＝4－x 2x －1；(3)f (x )＝x －1＋1－x .3.小张准备将平时的零用钱节约一些储存起来．他已存有50元，从现在起每个月节存12元．试写出小张的存款数y （元）与从现在开始的月份数x 之间的函数关系式是。

自变量x 的取值范围是________4.甲、乙两地相距100千米，汽车以每小时40千米的速度由甲地开往乙地，汽车离乙地的路程s （千米）与时间t （小时）之间的函数关系是______________，自变量的取值范围是__________ 。

二、一次函数1．一次函数的定义一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的函数，叫做一次函数，其中x 是自变量。

当0b =时，一次函数y kx =，又叫做正比例函数。

沪科版八年级上 13.2 一次函数(2)(含答案)

13、2、2 一次函数（2）课标解读经历探究一次函数及其图象的性质，初步掌握一次函数及其图象的性质，•能根据一次函数的关系式说出相应的图象的大致情况，利用性质来判断一次函数的增减性，并能根据一次函数的图象能确定一次函数的关系式或其相应系数的符号．一、选择题（每小题5分，共25分）1、下列函数中，y 随x 的增大而减小的有（） ①12+-=x y ② x y -=6③ 31xy +-= ④ x y )21(-=A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 2、一次函数1y x =--的图象不经过（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3、直线x y 2=,12-=x y ,13+=x y 共同具有的特征是（） A 、经过原点 B 、与y 轴交于负半轴 C 、y 随x 增大而增大 D 、y 随x 增大而减小4、对于一次函数()211y k x b =-+-，y 随x 的增大而减小，且图像经过一、二、四象限，则,k b 的取值范围为（）A 、 1,12k b >>B 、 1,12k b <>C 、 1,12k b ><D 、 1,12k b <> 5、已知正比例函数y=kx （k≠0）的函数值y 随x 的增大而减小，则一次函数y=x+k 的图象大致是（）二、填空题（每小题5分，共25分）6、若一次函数图象过点（1，2），且y 随x 的增大而增大，写出满足上述条件的一个函数O xyO x yO xyO xy解析式____________。

7、一次函数y=（m+4）x-5+2m ，当m_______时，y 随x 的增大而增大；当m_____时，y 随x 的增大而减小；当m______时，函数图象经过原点。

8、如果直线b ax y +=经过一、二、四象限，那么ab ____0 (“”、“＞”或“＝”)、9、直线52y x =-+经过A ()()1122,,,x y x y ，若12x x >，则1y ____2y 、(“＜”、“＞”或“＝”)、 10、下列3个函数y=-2x ，y= -14x ，y=23x 共同点是：（1）________；（2）_________；（3）_________；（4）_________．三、解答题（50分）11、（12分）已知一次函数y ＝（m —3）x+2m －1的图象经过第一、二、四象限，求m 的取值范围、12、（12分）已知一次函数y=（3-k ）x-2k 2+18．（1）k 为何值时，函数图象经过原点；（2）k 为何值时，函数图象经过（0，-2）；（3）k 为何值时，函数图象平行于直线y=-x ；（4）k 为何值时，y 随x 的增大而减小．13、（12分）一次函数y=(m+4)x-m,若y 随x 增大而增大,且它的图象与y 轴的交点在x 轴下方,求m 的取值范围14、（14分）在平面直角坐标系中作出一次函数32=+的图象，并回答下列y x=-与34y x问题：（1）一次函数32=-的y值随x的增大怎样变化？y x（2）在同一坐标系内上述两个函数的图象有何位置关系？四、探究题（不计入总分）15、设b>a，将一次函数y=bx+a与y=ax+b的图象画在平面直角坐标系内，•则有一组a、b的取值，使得下列图中四个图中的一个为正确的是（）．参考答案1、 D2、 A3、 C4、 B5、 B6、答案不惟一，如：1y x =+，112y x =+等等、7、4m >-，4m <-，52m =- 8、＜9、＞10、正比例函数；y 随x 的增大而减小；经过原点，图像是自左到右下降的直线 11、132m << 12、（1）由题意，得230,3,3.2180.k k k k -≠≠⎧⎧⎨⎨=±-+=⎩⎩解得即k=-3时，图象过原点；（2）由题意，得-2k 2+18=-2，∴k=±10故当k=±100，-2）；（3）由题意得3-k=-1，∴k=4，即当k=4时，函数图象平行于直线y=-x ；（4）由题意，得3-k<0，∴k>3，即当k>3时，y 随x 的增大而减小． 13、解:y 随x 增大而增大,∴m+4>0,m>-4、图象与y 轴的交点在x 轴下方,∴-m<0,m>0、 ∴m>0时满足题目中的条件、 14、解：图象略．（1）32y x =-的y 值随x 的增大而增大；（2）平行．。

沪科版八年级上册一次函数复习及其训练(可编辑修改word版)

4x < 0（x）第 12 章一次函数复习及其试题训练（沪科版）一、知识回顾61. 函数 y= x +1的自变量的取值范围是。

2. 一次函数 y=（m+2）x+1，若 y 随 x 增大而增大，则 m 的取值范围是；3. 直线 y=2x-1 与 x 轴的交点坐标是，与 y 轴的交点坐标是；4. 一个长为 120 米，宽为 100 米的矩形场地要扩建成一个正方形场地，设长增加 x 米，宽增加 y 米，则 y 与 x 的函数关系式是。

5. 如图 1，已知函数 y=2x+b 和 y=ax-3 的图象交于点 P （-2，-5），根据图象可得方程 2x+b=ax-3 的解是 .二、专题导练专题一函数及其图象1 + x例题 1 函数 y= x + 3 中，自变量 x 的取值范围是。

例题 2 如图，小红居住的小区内有一条笔直的小路，小路的正中间有一路灯，晚上小红由 A 处径直走到B 处，她在路灯照射下的影长 y 与行走的路程x 之间的变化关系用图象刻画出来，大致图象是（）跟踪训练 1 1.已知函数 y={2x + 1（x ≥ 0），当 x=2 时，函数值 y 为（）A.5B.6C.7D.812. 函数 y= x - 1的自变量 x 的取值范围是；3. 图 3 中所反映的过程是：小强从家步行去体育场，在那里锻炼了一阵后，又去早餐店吃早餐，然后散步走回家，其中x 表示时间，y 表示小强离家的距离。

图象提供的信息，有以下四个说法：①体育场离小强家2.5 千米；②在体育场锻炼了15 分钟；③体育场离早餐店4 千米；④小强从早餐店回家的平均速度是3 千米/时.其中正确的说法为（只要填正确的序号）专题二一次函数的图象和性质例题1 直线l1：y=kx+b 与直线l2：y=bx+k 在同一坐标系中的大致位置是（）例题2 已知0≤x≤1，若x-2y=6，则y 的最小值是。

跟踪练习21.下图中，能表示一次函数y=mx+n 与正比例函数y=mnx（m、n 为常数，且mn≠0）的大致图象是（）2.对于一次函数y=-x+4，下列结论错误的是（）A.函数值随自变量的增大而减小B.点（4-a，a）在该函数的图象上C.函数的图象与直线y=x+2 垂直D.函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积是4.专题三一次函数的图象与几何变换例题 1 将一次函数 y=-2x+4 的图象平移到图象的函数关系式为 y=-2x ，则移动的方法为（） A.向左平移 4 个单位 B.向右平移 4 个单位 C.向上平移 4 个单位 D.向下平移 4 个单位例题 2 直线 y=2x+2 沿 y 轴向下平移 6 个单位后与 x 轴的交点坐标是（） A(-4,0) B.（-1,0） C .（0,2） D.（2,0）跟踪训练 3 1. 把直线 y=-x-1 向上平移 2 个单位后得到的直线解析式是（）A.y=-x+3B.y=-x+2C.y=-x+1D.y=-x-3 2. 在平面直角坐标系中，将直线 l 1：y=-2x-2 平移后，得到直线 l 2：y=-2x+4，则下列平移作法正确的是（）A.将 l 1 向右平移 3 个单位长度B.将 l 1 向右平移 6 个单位长度C.将 l 1 向上平移 2 个单位长度D.将 l 1 向上平移 4 个单位长度专题四一次函数解析式的确定例题 1 已知 y 是 x 的一次函数，当 x=3 时，y=1；当 x=-2 时 y=-4 ，求这个一次函数解析式。

2022-2023学年初二数学第二学期培优专题12 一次函数与菱形

2022-2023学年初二数学第二学期培优专题12 一次函数与菱形【例题讲解】如图，矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上，点B 的坐标为（6，8），一次函数2y -3x b =+的图象与边OC 、AB 分别交于点D 、E ，并且满足OD =BE ，点M 是线段DE 上的一个动点．（1）求b 的值；（2）设点N 是x 轴上方平面内的一点，以O 、M 、D 、N 为顶点的四边形为菱形时，请求出点N 的坐标．解：（1）∵四边形OABC 是矩形，∴AB x ⊥ 轴，BC y ⊥ 轴，∵一次函数2y -3x b =+的图象与边OC 、AB 分别交于点D 、E ，并且满足OD =BE ，∴OD =BE =b ，∵点B 的坐标为（6，8），∴AB =8，点E 的横坐标为6， ∴AE =AB -BE =8-b ，∴点E （6，8-b ），将点E 代入2y -3x b=+，得：2863b b -=-⨯+ ，解得：6b = ；（2）如图（1），若以OD 为对角线，得到菱形OMDN ，则MN 垂直平分OD ，M 和N 关于y 轴对称，∵OD =6， ∴点M 的纵坐标均是632= ，将3y = 代入2y -63=+x ，得：32-63x =+ ，解得：92x = ，∴点M 9,32⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴点N 9,32⎛-⎫⎪⎝⎭；如图（2），若以DM 为对角线，得到菱形ODNM ，则OM =OD =6，线段DM 与线段ON 的中点重合，设点M 的横坐标为a ，则纵坐标为2-63+a ，∴2222-63a OMa ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭+ ，即2222-636a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭++ ，解得：7213a = 或0a =（舍去），∴点M 7230,1313⎛⎫⎪⎝⎭，设点N (),n n x y ，由（1）知：()D 0,6 ，∴7213223061322nnxy⎧⎪=⎪⎪⎨⎪+⎪=⎪⎩，解得：721310813nnxy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴点N72108,1313⎛⎫⎪⎝⎭，综上所述，以O、M、D、N为顶点的四边形为菱形时，点N的坐标为9,32⎛-⎫⎪⎝⎭或72108,1313⎛⎫⎪⎝⎭．【综合演练】1．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A、B、D的坐标分别为（0，5）、（0，2）、（4，5），直线l的解析式为y＝kx+2﹣4k（k＞0）．（1）当直线l经过原点O时，求一次函数的解析式；（2）通过计算说明：不论k为何值，直线l总经过点C；（3）在（1）的条件下，点M为直线l上的点，平面内是否存在x轴上方的点N，使以点O、A、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标：若不存在，请说明理由．2．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为（3，4），一次函数23y x b =-+的图象与边OC、AB分别交于点D、E，且OD=BE．点M是线段DE上的一个动点．（1）求b的值；（2）连结OM，若三角形ODM的面积与四边形OAEM的面积之比为1：3，求点M的坐标；（3）设点N是平面内的一点，以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形，求点N的坐标．3．问题情境：在综合实践课上，老师让同学们探究“平面直角坐标系中的旋转问题”，如图，在平面直角坐标系中，四边形AOBC 是矩形，()0,0O ，点()5,0A ，点()0,3B ．操作发现：以点A 为中心，顺时针旋转矩形AOBC ，得到矩形ADEF ，点O ，B ，C 的对应点分别为D ，E ，F ．(1)如图，当点D 落在BC 边上时，求点D 的坐标；(2)继续探究：如图，当点D 落在线段BE 上时，AD 与BC 交于点H ，求证：ADB AOB ≌；(3)拓展探究：如图，点M 是x 轴上任意一点，点N 是平面内任意一点，是否存在点N 使以A 、D 、M 、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图1，在平面直角坐标系中，过点()3,0A的两条直线分别交y 轴于B 、C 两点，且B 、C 两点的纵坐标分别是一元二次方程2230x x --=的两个根．（1）判断直线AC 与直线AB 的位置关系？并说明理由；（2）如图2，若点D 在直线AC 上，且△BCD 为等边三角形，动点E 在直线AC 上（不与点D 、C 重合），做EF ⊥直线BD ，垂足为点F ，设点EF 的长为d ，点E 的横坐标是x ，请求出d 与x 的函数关系式：（3）在（2）的条件下，直线BD 上是否存在点P ，平面内是否存在点Q ，使以A 、B 、P 、Q 四点为顶点的四边形是菱形，若存在请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，四边形OABC 为矩形，其中O 为原点，A 、C 两点分别在x 轴和y 轴上，B 点的坐标是（4，7）．点D ，E 分别在OC ，CB 边上，且CE ：EB ＝5：3．将矩形OABC 沿直线DE 折叠，使点C 落在AB 边上点F 处．（1）求F 点的坐标；（2）点P 在第二象限，若四边形PEFD 是矩形，求P 点的坐标；（3）若M 是坐标系内的点，点N 在y 轴上，若以点M ，N ，D ，F 为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有满足条件的点M 和点N 的坐标．6．如图，已知四边形OABC 是矩形，点A ，C 在坐标轴上，点B 坐标为（43-，4），将△OCB 绕点O 顺时针旋转90°后得到△ODE ，点D 在x 轴上，直线BD 交y 轴于点F ，交OE 于点H ．（1）求点D 的坐标为_______，点E 的坐标为______；（2）求S △BOH ：S △BOD 的值；（3）若点M 在坐标轴上，试探究在坐标平面内是否存在点N ，使以点D ，F ，M ，N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，且()4,2B ，E 为直线AC 上一动点，连OE ，过E 作GF OE ⊥，交直线BC 、直线OA 于点F 、G ，连OF ．(1)求直线AC 的解析式．(2)当E 为AC 中点时，求CF 的长．(3)在点E 的运动过程中，坐标平面内是否存在点P ，使得以P 、O 、G 、F 为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点P 的横坐标，若不存在，请说明理由．8．已知：在平面直角坐标系中，直线1:2l y x =-+与x 轴，y 轴分别交于A 、B 两点，直线2l 经过点A ，与y 轴交于点(0,4)C -．(1)求直线2l 的解析式；(2)如图1，点P 为直线1l 一个动点，若PAC △的面积等于10时，请求出点P 的坐标；(3)如图2，将ABC 沿着x 轴平移，平移过程中的ABC 记为111A B C △，请问在平面内是否存在点D ，使得以11A C C D 、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点D 的坐标．9．如图1，在平面直角坐标系中，直线34y x b =-+分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，且点A 的坐标为(8，0)，四边形ABCD 是正方形．(1)求b 的值和点D 的坐标；(2)点M是线段AB上的一个动点（点A、B除外）．①如图2，将△BMC沿CM折叠，点B的对应点是点E，连接ME并延长交AD边于点F，问△AMF的周长是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由；②点P是x轴上一个动点，Q是坐标平面内一点，探索是否存在一个点P，使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点Q的坐标．10．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B的坐标为（6，8），一次函数2y-3x b =+的图象与边OC、AB分别交于点D、E，并且满足OD=BE，点M是线段DE上的一个动点．（1）求b的值；（2）连结OM，若△ODM的面积与四边形OAEM的面积之比为1：2，求点M的坐标；（3）设点N是x轴上方平面内的一点，以O、M、D、N为顶点的四边形为菱形时，请求出点N的坐标．答案与解析【例题讲解】如图，矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上，点B 的坐标为（6，8），一次函数2y -3x b=+的图象与边OC 、AB 分别交于点D 、E ，并且满足OD =BE ，点M 是线段DE 上的一个动点．（1）求b 的值；（2）设点N 是x 轴上方平面内的一点，以O 、M 、D 、N 为顶点的四边形为菱形时，请求出点N 的坐标．解：（1）∵四边形OABC 是矩形，∴AB x ⊥ 轴，BC y ⊥ 轴，∵一次函数2y -3x b =+的图象与边OC 、AB 分别交于点D 、E ，并且满足OD =BE ，∴OD =BE =b ，∵点B 的坐标为（6，8），∴AB =8，点E 的横坐标为6， ∴AE =AB -BE =8-b ，∴点E （6，8-b ），将点E 代入2y -3x b=+，得：2863b b -=-⨯+ ，解得：6b = ；（2）如图（1），若以OD 为对角线，得到菱形OMDN ，则MN 垂直平分OD ，M 和N 关于y 轴对称，∵OD =6，∴点M 的纵坐标均是632= ，将3y = 代入2y -63=+x ，得：32-63x =+ ，解得：92x = ，∴点M 9,32⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴点N 9,32⎛-⎫⎪⎝⎭；如图（2），若以DM 为对角线，得到菱形ODNM ，则OM =OD =6，线段DM 与线段ON 的中点重合，设点M 的横坐标为a ，则纵坐标为2-63+a ，∴2222-63a OMa ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭+ ，即2222-636a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭++ ，解得：7213a = 或0a =（舍去），∴点M 7230,1313⎛⎫⎪⎝⎭，设点N (),n n x y ，由（1）知：()D 0,6 ，∴7213223061322nnxy⎧⎪=⎪⎪⎨⎪+⎪=⎪⎩，解得：721310813nnxy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴点N72108,1313⎛⎫⎪⎝⎭，综上所述，以O、M、D、N为顶点的四边形为菱形时，点N的坐标为9,32⎛-⎫⎪⎝⎭或72108,1313⎛⎫⎪⎝⎭．【综合演练】1．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A、B、D的坐标分别为（0，5）、（0，2）、（4，5），直线l的解析式为y＝kx+2﹣4k（k＞0）．（1）当直线l经过原点O时，求一次函数的解析式；（2）通过计算说明：不论k为何值，直线l总经过点C；（3）在（1）的条件下，点M为直线l上的点，平面内是否存在x轴上方的点N，使以点O、A、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标：若不存在，请说明理由．【答案】（1）12y x=；（2）详见解析；（3）存在，满足条件的点M为(25,5)或(25,5)--或552,⎛⎫⎪⎝⎭．【分析】（1）将原点坐标代入解析式可求出k的值，即可求解；（2）由题意可得点C（4，2），当x＝4时，y＝4k+2﹣4k＝2，则可得不论k为何值，直线l总经过点C；（3）分OA为边，OA为对角线两种情况讨论，由菱形的性质可求解．【解答】解：（1）∵直线l经过原点，∴把点（0，0）代入y＝kx+2﹣4k，得：2﹣4k＝0，解得：12k=，∴一次函数的解析式为：12y x =；（2）由题意可知，点C的坐标为（4，2），当x＝4时，y＝4k+2﹣4k＝2，∴不论k 为何值，直线l 总经过点C ；（3）设点M （x ，12x ）①以OA 为菱形的边，此时，OM ＝OA ＝5， ∴222152x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭∴x ＝±25，点M 的坐标为(25,5)或(25,5)--； ②以OA 为菱形的一条对角线，此时MN 垂直平分OA ，则12x ＝52∴x ＝5则M 的坐标为552,⎛⎫⎪⎝⎭；综上所述：满足条件的点M 为(25,5)或(25,5)--或552,⎛⎫⎪⎝⎭．【点评】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，菱形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．2．如图，矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，点B 的坐标为（3，4），一次函数23y x b=-+的图象与边OC 、AB 分别交于点D 、E ，且OD=BE ．点M 是线段DE 上的一个动点．（1）求b 的值；（2）连结OM ，若三角形ODM 的面积与四边形OAEM 的面积之比为1：3，求点M 的坐标；（3）设点N 是平面内的一点，以O 、D 、M 、N 为顶点的四边形是菱形，求点N 的坐标．【答案】（1）3b =；（2）M(1,73)；（3）当四边形OMDN 是菱形时，N(－94, 32)或(3613,5413)【分析】（1）首先在一次函数的解析式中令x=0，即可求得D 的坐标，则OD 的长度即可求得，OD=b ，则E的坐标即可利用b表示出来，然后代入一次函数解析式即可得到关于b的方程，求得b的值；（2）首先求得四边形OAED的面积，则△ODM的面积即可求得，设出M的横坐标，根据三角形的面积公式即可求得M的横坐标，进而求得M的坐标；（3）分成四边形OMDN是菱形和四边形OMND是菱形两种情况进行讨论，四边形OMDN是菱形时，M 是OD的中垂线与DE的交点，M关于OD的对称点就是N；四边形OMND是菱形，OM=OD，M在直角DE上，设出M的坐标，根据OM=OD即可求得M的坐标，则根据ON和DM的中点重合，即可求得N 的坐标．【解答】(1)y=23-x+b中,令x=0,解得y=b,则D的坐标是(0,b)，OD=b，∵OD=BE，∴BE=b,则E的坐标是(3,4−b)，把E的坐标代入y=23-x+b得4−b=−2+b，解得：b=3；(2)11()(31)3622OAEDS OD AE OA=+⋅=⨯+⨯=四边形，∵三角形ODM的面积与四边形OAEM的面积之比为1:3，∴ 1.5ODMS=，设M的横坐标是a，则12×3a=1.5，解得：a=1，把x=a=1代入y=23-x+3得y=23-+3=73，则M的坐标是(1，73 )；(3)当四边形OMDN是菱形时,如图(1),M的纵坐标是32,把y=32代入y=23-x+3,得23-x+3=32,解得：x=94，则M的坐标是(94,32)，则N的坐标是(−94,32)；当四边形OMND是菱形时,如图(2)OM=OD=3，设M 的横坐标是m,则纵坐标是23-m+3，则222(3)93m m +-+=，解得：m=3613或0(舍去). 则M 的坐标是(3613,1513 ). 则DM 的中点是(1813 ,2713). 则N 的坐标是(3613,5413). 故N 的坐标是(−94,32)或(3613,5413). 【点评】本题是一次函数与菱形的判定与性质的综合题考查了菱形的判定方法，正确运用菱形的性质求出M 的坐标是关键.3．问题情境：在综合实践课上，老师让同学们探究“平面直角坐标系中的旋转问题”，如图，在平面直角坐标系中，四边形AOBC 是矩形，()0,0O ，点()5,0A ，点()0,3B ．操作发现：以点A 为中心，顺时针旋转矩形AOBC ，得到矩形ADEF ，点O ，B ，C 的对应点分别为D ，E ，F ．(1)如图，当点D 落在BC 边上时，求点D 的坐标；(2)继续探究：如图，当点D 落在线段BE 上时，AD 与BC 交于点H ，求证：ADB AOB ≌；(3)拓展探究：如图，点M 是x 轴上任意一点，点N 是平面内任意一点，是否存在点N 使以A 、D 、M 、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)()1,3D(2)证明见解析(3)存在，点N 的坐标为()4,3-或()6,3或()1,3-或33(,3)8【分析】（1）先根据矩形的性质得到3AC OB ==，5OA BC ==，90OBC C ∠=∠=︒，再根据旋转的性质得到5AD AO ==，根据勾股定理求出CD 的长，从而可得BD 的长，由此即可得；（2）先根据旋转的性质得到AD AO =，90AOB ADE ∠=∠=︒，从而可得90ADB ∠=︒，再利用HL 定理即可得证；（3）分三种情况讨论：①当四边形ADNM 为菱形时；②当四边形ADMN 为菱形时；③当四边形ANDM 为菱形时，利用菱形的性质求解即可得．（1）解：∵()5,0A ，()0,3B ，∴5OA =，3OB =，∵四边形AOBC 是矩形，∴3AC OB ==，5OA BC ==，90OBC C ∠=∠=︒，∵矩形ADEF 是由矩形AOBC 旋转得到，∴5AD AO ==，在Rt ADC 中，224CD AD AC =-=，∴1BD BC CD =-=，∴()1,3D ．（2）证明：四边形ADEF 是矩形，90ADE ∴∠=︒，点D 在线段BE 上，90ADB ∴∠=︒，由旋转的性质得：AD AO =，在Rt ADB 和Rt AOB △中，AB AB AD AO =⎧⎨=⎩，∴()Rt Rt HL ADB AOB ≅．（3）解：存在，求解过程如下：设点M 的坐标为(,0)M m ，点N 的坐标为(,)N a b ，由题意，分以下三种情况：①如图，当四边形ADNM 为菱形时，则5AM AD ==，55m ∴-=，解得0m =或10m =，当0m =时，点M 的坐标为(0,0)M ，菱形ADNM 的对角线互相平分，5012200322a b ++⎧=⎪⎪∴⎨++⎪=⎪⎩，解得43a b =-⎧⎨=⎩，即此时点N 的坐标为(4,3)N -；当10m =时，点M 的坐标为(10,0)M ，菱形ADNM 的对角线互相平分，51012200322a b ++⎧=⎪⎪∴⎨++⎪=⎪⎩，解得63a b =⎧⎨=⎩，即此时点N 的坐标为(6,3)N ；②如图，当四边形ADMN 为菱形时，菱形ADMN 的对角线互相垂直且平分，∴点N 与点D 关于x 轴对称，(1,3)D ，(1,3)N ∴-；③如图，当四边形ANDM 为菱形时，菱形ANDM 的对角线互相平分，00322b ++∴=，解得3b =，(,3)N a ∴，又四边形ANDM 为菱形，AN DN ∴=，22AN DN ∴=，即2222(5)(30)(1)(33)a a -+-=-+-，解得338a =，则此时点N 的坐标为33(,3)8N ，综上，存在点N 使以,,,A D M N 为顶点的四边形是菱形，点N 的坐标为()4,3-或()6,3或()1,3-或33(,3)8．【点评】本题考查了矩形的性质、三角形全等的判定、旋转的性质、菱形的性质、两点之间的距离公式等知识点，较难的是题（3），正确分三种情况讨论是解题关键．4．如图1，在平面直角坐标系中，过点)3,0A 的两条直线分别交y 轴于B 、C 两点，且B 、C 两点的纵坐标分别是一元二次方程2230x x --=的两个根．（1）判断直线AC 与直线AB 的位置关系？并说明理由；（2）如图2，若点D 在直线AC 上，且△BCD 为等边三角形，动点E 在直线AC 上（不与点D 、C 重合），做EF ⊥直线BD ，垂足为点F ，设点EF 的长为d ，点E 的横坐标是x ，请求出d 与x 的函数关系式：（3）在（2）的条件下，直线BD 上是否存在点P ，平面内是否存在点Q ，使以A 、B 、P 、Q 四点为顶点的四边形是菱形，若存在请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）AB ⊥AC ，，理由见解析；（2）23(23)23(23)x x d x x ⎧-⎪=⎨-<⎪⎩；（3）(0,1)或(33+，3)-或(33-，3)或(23，3)【分析】（1）结论：AB CA ⊥．先求出B 、C 两点坐标，得到AB 2，AC 2，BC 2，利用勾股定理的逆定理证明．（2）分两种情形解答①23x ，②23x <，分别Z 在Rt DEF ∆中，解直角三角形即可．（3）分两种情形讨论即可①当AB 为菱形对角线时，线段AB 的垂直平分线的解析式为313y x =+，直线313y x =+与y 轴的交点即为点Q ，此时1(0,1)Q ． ②当AB 为菱形的边时，23AB BP ==，可得2(3,33)P -，3(3,33)P -+，4(33P ，0)，根据菱形的性质求出点Q 坐标即可．【解答】解：（1）AB AC ⊥，理由如下：一元二次方程2230x x --=的两个根为1-，3，(0,1)C ∴-，(0,3)B ，(3A ，0)，∴()2223312AB =+=，()222314AC =+=，()223116BC =+=， ∴222AB AC BC +=，AB AC ∴⊥；（2）如图1中，作DM BC ⊥于M ．∵△BCD 是等边三角形，∴4DB DC BC ===，DM BC ⊥，2BM CM ∴==，1OM ∴=，224223DM =-=，∴(23D ，1)，∵1OC =，3OA =，∴2222AC OC OA OC =+==，∴2AC AD ==，∵(3A ，0)，(0,3)B ，(0,1)C -，∴直线AB 的解析式为33y x =-+，直线AC 的解析式为313y x =-， ①当点E 在点D 上方时，即23x ≥时，点E 的横坐标为x ，2323(3)233AE x x ∴=-=-，2343DE AE AD x =-=-， 60EDF BDC ∠=∠=︒，2333423232DE d EF x x ⎛⎫∴==⨯=-⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭． ②当点E 在点D 下方时，即23x <时，同理可得23d x =-．综上所述23(23)23(23)x x d x x ⎧-⎪=⎨-<⎪⎩．（3）如图2中，存在，理由如下：当AB 为菱形对角线时,设线段AB 的垂直平分线的解析式为3,3y x b =+ 把AB 的中点33,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭代入：1,b = 所以线段AB 的垂直平分线的解析式为313y x =+，直线313y x =+与y 轴的交点即为点Q ，此时1(0,1)Q ．当AB 为菱形的边时，同理可得：BD 的解析式为：33,3y x =-+ 而23AB BP ==，设23,3,3P x x ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭()222333233x x ⎛⎫∴+-+-= ⎪ ⎪⎝⎭， 3,x ∴=± 则33333x -+=+或33,- 所以2(3,33)P -，3(3,33)P -+，同理可得4(33P ，0)四边形22ABP Q 、四边形33ABPQ 、四边形44ABQ P是菱形，所以由平移的性质可得：2(33Q ∴+，3)-，3(33Q -，3)，4(23Q ，3)综上所述，满足条件的点Q 坐标(0,1)或(33+，3)-或(33-，3)或(23，3)．【点评】本题考查四边形综合题、一次函数、两直线位置关系、菱形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．5．如图，四边形OABC为矩形，其中O为原点，A、C两点分别在x轴和y轴上，B点的坐标是（4，7）．点D，E分别在OC，CB边上，且CE：EB＝5：3．将矩形OABC沿直线DE折叠，使点C落在AB边上点F 处．（1）求F点的坐标；（2）点P在第二象限，若四边形PEFD是矩形，求P点的坐标；（3）若M是坐标系内的点，点N在y轴上，若以点M，N，D，F为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有满足条件的点M和点N的坐标．【答案】（1）（4，5）；（2）（−32，4）；（3）（4，56），（0，376）或（4，10），（0，7）或（4，0），（0，-3）．【分析】（1）先求出点E坐标是（52，7），由折叠的性质可得EF＝CE＝52，由勾股定理可求BF的长，即可求解；（2）连接PF交DE于J，过点D作DM⊥AB，先求出D（0，2），再根据矩形的对角线互相平分，即可求解；（3）分3种情况：①当DF为菱形的对角线时，②当DF为菱形的边时，M在AB的延长上，点N与点C 重合，③当DF为菱形的边时，N在CO的延长上，点M与点A重合，分别求解，即可．【解答】解：（1）∵B点的坐标是（4，7）．点D，E分别在OC，CB边上，且CE：EB＝5：3，∴点E坐标是（52，7），∵四边形OABC为矩形，∴BC＝AO＝4，OC＝AB＝7，CE＝52，BE＝BC−CE＝32，∵将矩形沿直线DE折叠，点C落在AB边上点F处，∴EF＝CE＝52，∴BF＝222592 44EF EB-=-=，∴AF＝7−2＝5，∴点F （4，5）；（2）如图2中，连接PF 交DE 于J ，过点D 作DM ⊥AB ，当四边形PEFD 是矩形时，△PDE ≌△FDE ≌△CED ，设OD =x ，则CD =DF =7-x ，FM=7-2-x =5-x ，在Rt DFM △中，()()222457x x +-=-，解得：x =2，∴D （0，2），∵E （52，7），DJ ＝JE ， ∴J （54，92）， ∵PJ ＝JF ，∴P （−32，4）；（3）①当DF 为菱形的对角线时，M 、N 分别在AB 与OC 上， ND =NF ，设N （0，y ），∴(y -2)2=()()22405y -+-，解得：376y =， ∴N （0，376），FM =DN =376-2=256, ∴AM =5-256=56，∴M（4，56）；②当DF为菱形的边时，M在AB的延长上，点N与点C重合，ND=DF=5，∴MF=5，AM=5+5=10，∴M（4，10），N（0，7）；③当DF为菱形的边时，N在CO的延长上，点M与点A重合，ND=DF=5，∴ON=5-2=3，∴N（0，-3），M（4，0）．综上所述：M，N的坐标为：（4，56），（0，376）或（4，10），（0，7）或（4，0），（0，-3）．【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，菱形的性质，翻折变换，图形与坐标，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形，掌握分类讨论思想方法，属于中考压轴题．6．如图，已知四边形OABC是矩形，点A，C在坐标轴上，点B坐标为（43，4），将△OCB绕点O顺时针旋转90°后得到△ODE，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F，交OE于点H．（1）求点D的坐标为_______，点E的坐标为______；（2）求S△BOH：S△BOD的值；（3）若点M在坐标轴上，试探究在坐标平面内是否存在点N，使以点D，F，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．∴OF =3，OD =4，∴DF =22345+=，M 在x 轴上时当DM 1为菱形的对角线时，M 1（-4，0），N 1（0，-3）．当DM =DF 时，M 2（-1，0）或M 3（9，0），可得N 2（-5，3），N 3（5，3），当DF 为对角线时，设OM 4=x ，则FM 4= DM 4=4-x∵22244OF OM FM +=∴()22234x x +=-解得78x = ∴M 4（78，0），可得N 4（258，3）当M 在y 轴上时当DM 为菱形的对角线时，此时有FD =F M =5∴M 5（0，-2），N 5（4，-5）或M 6（0，8），N 6（4，5）当FM 为菱形的对角线时，此时有OF =OM∴M 7（0，-3），N 5（-4，0）当DF 为菱形的对角线时，如图所示，此时DF 与MN 交于P ，设FM =a ，MP =b∵1122FDM S DO FM DF MP ==△ ∴45a b =∴54a b =∵222FM FP MP =+∴22252a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∴222525164b b =+ 解得103b =∴256=a ∴M 8（0，-256），N 8（4，256）满足条件的点N 的坐标为（0，-3）或（-5，3）或（5，3）或（258，3）或（4，5）或（4，-5）或（4，256）或（-4，0）．【点评】本题主要考查了一次函数的应用，矩形的折叠，两直线的交点坐标，勾股定理，菱形的性质等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.7．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，且()4,2B ，E 为直线AC 上一动点，连OE ，过E 作GF OE ⊥，交直线BC 、直线OA 于点F 、G ，连OF ．(1)求直线AC 的解析式．(2)当E 为AC 中点时，求CF 的长．(3)在点E 的运动过程中，坐标平面内是否存在点P ，使得以P 、O 、G 、F 为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点P 的横坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)直线AC 解析式：122y x =-+≌，根据勾股定理求解即可；）证明CEF AEG根据菱形是性质和判定定理，=FG为边，OF FG1）∵矩形OABC的顶点)0,2C，4,0，点()(AAS∴≌CEF AEG∴=，CF AGEF EG=⊥，OE FG∴为线段FG的垂直平分线，OEOF OG ∴=，设CF x =，则AG x =，()4,0A ，4∴=OA ，4OG x ∴=-，4OF x ∴=-，在Rt OCF 中，根据勾股定理，得()2222x 4x +=-，解得32x =， 32CF ∴=；（3）存在以P 、O 、G 、F 为顶点的四边形为菱形，分情况讨论：①以OG ，OF 为边，则OF OG =，GF OE ⊥，E ∴为FG 的中点，由()2可知点3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭F ，点5,02G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据平移的性质，可得点P 的坐标为()4,2，∴点P 的横坐标为4；②如图1，以OG ，FG 为边，OG FG =，延长OF 至M ，使MF OF =，在OC 的延长线上截取2CN OC ==，连接MN ，12CF MN ∴=，CF MN ∥， 90MNO FCO ∴∠=∠=︒，OG FG =，∥BC OA∴∠=CFO∴∠=CFO∠=BCO∴=OE OC同理可得：∴⊥OF CE∴∠+COFACO∠+∠∴∠COF∠=MNO(ASA ∴≌AOC OMN∴==，MN OC2∴=，CF1==，设OG FG a△中，OE 在Rt EOG5-=-12P∴点横坐标为：③如图2，以作FH OG ⊥于H ，连接CH ，作HQ AC ⊥于Q ，可得OFG ACO OCH OFG ∠=∠∠=∠，，CH ∴平分ACO ∠，,2OH HQ CE OC ∴===，设OH a =，在Rt AHQ △中，HQ x =，AH 4x =-，252AQ AC CQ =-=-，222(4)(252)x x ∴--=-，51x ∴=-，()51,2F∴-， ()51,2P ∴--，综上所述：P 点横坐标为：4或32-或51-．【点评】本题考查了矩形的性质，三角形全等的判定和性质，菱形的判定和性质，线段和最小，勾股定理，熟练掌握菱形的判定和性质，勾股定理，线段最短原理是解题的关键．8．已知：在平面直角坐标系中，直线1:2l y x =-+与x 轴，y 轴分别交于A 、B 两点，直线2l 经过点A ，与y 轴交于点(0,4)C -．(1)求直线2l 的解析式；(2)如图1，点P 为直线1l 一个动点，若PAC △的面积等于10时，请求出点P 的坐标；(3)如图2，将ABC 沿着x 轴平移，平移过程中的ABC 记为111A B C △，请问在平面内是否存在点D ，使得以11A C C D 、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点D 的坐标．直线直线1(2,0)A t-2 (4)∴-+解得5t=此时1CC9．如图1，在平面直角坐标系中，直线34y x b =-+分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，且点A 的坐标为(8，0)，四边形ABCD 是正方形．(1)求b 的值和点D 的坐标；(2)点M 是线段AB 上的一个动点（点A 、B 除外）．①如图2，将△BMC 沿CM 折叠，点B 的对应点是点E ，连接ME 并延长交AD 边于点F ，问△AMF 的周长是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由；②点P 是x 轴上一个动点，Q 是坐标平面内一点，探索是否存在一个点P ，使得以A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点Q 的坐标．【答案】(1)b 的值为6，点D 的坐标为(14，8)(2)①△AMF 的周长不变，△AMF 的周长为20；②存在，点Q 的坐标为(06)-，或(106)-，或(106)，或25(6)4，【分析】（1）将点A (8，0)代入34y x b =-+，即可求出b 的值，从而即得出直线AB 的解析式为364y x =-+，进而即得出A (0，6)．过点D 作DH x ⊥轴于点H ，由正方形的性质结合题意利用“AAS”易证AOB DHA ≅，得出8DH OA ==，14OH OA AH =+=，即得出D (14，8)；（2）①由折叠和正方形的性质可知BM =EM ，CD =CE =4，90CDF CEF ∠=∠=︒，即易证CDF CEF ≅(HL)，得出DF EF =．再由△AMF 的周长AM ME EF AF AM BM DF AF AB AD =+++=+++=+，结合勾股定理即可求出答案；②分类讨论ⅰ当AP 为菱形的对角线时，ⅱ当AQ 为菱形的对角线时和ⅲ当AB 为菱形的对角线时，根据菱形的性质结合图形即可求出答案．（1）解：将点A (8，0)代入34y x b =-+，得3084b =-⨯+，解得：6b =，∴直线AB 的解析式为364y x =-+，当x =0，时6y =，∴A (0，6)，∴OB =6，OA =8．如图，过点D 作DH x ⊥轴于点H ，∵四边形ABCD 为正方形，∴AB =AD ，90BAD ∠=︒，∴90BAO DAH ∠+∠=︒．∵90BAO ABO ∠+∠=︒，∴ABO DAH ∠=∠．又∵90AOB DHA ∠=∠=︒，∴AOB DHA ≅(AAS)，∴8DH OA ==，6AH OB ==，∴14OH OA AH =+=，∴D (14，8)；（2）解：①由折叠的性质可知BM =EM ，BC =CE =4，90CBM CEM ∠=∠=︒， ∴CD =CE =4，90CDF CEF ∠=∠=︒，又∵CF =CF ，∴CDF CEF ≅(HL)∴DF EF =．∵△AMF 的周长AM MF AF =++，MF ME EF =+，∴△AMF 的周长AM ME EF AF AM BM DF AF AB AD =+++=+++=+． ∵OB =6，OA =8，∴2210AB OA OB =+=，∴△AMF 的周长101020=+=，故△AMF 的周长不变，且为20；综上可知点Q 的坐标为(06)-，或(106)-，或(106)，或25(6)4，时，以A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形．【点评】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定和性质，折叠的性质，勾股定理以及菱形的判定和性质等知识．正确的作出辅助线并利用数形结合的思想是解题关键．。

沪科版八上数学1一次函数与二元一次方程习题课件

9 (1)图略．
(2)43，13.
(3)当 x＞43时，y1＞y2.
素养核心练
10 (1)(1，0)． (2)y＝32x－6.
9 (3)2.
(4)P(6，3)．
1．直线y＝kx＋b(k≠0)对应的函数表达式就是一个关于x，y的__二__元__一__次__方程；以关于x，y的二元一次方程y－kx＝b(k≠0)的解为坐标的点组成的图象就是一次函数__y_＝__k_x_＋__b_(_k_≠__0_) _的图象．
一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于 x，y 的方程
____ 组yy＝＝kk12xx＋b，的解为
x＝－1， y＝3 ．
7．[2017·六安联考]已知二元一次方程 3x－y＝1 的一个解是
xy＝＝ba，，那么点 P(a，b)一定不在( C )
A．第一、三象限
B．第二、四象限
C．第二象限
D．坐标轴上
aa12≠bb21 aa12＝bb21＝cc12 aa12＝bb21≠cc12
3.二元一次方程组yy＝＝kk12xx＋＋bb12，的解即为函数__y_＝__k_1_x_＋__b_1_ 和___y_＝__k_2x_＋___b_2 ___的图象的交点坐标．
1．把方程 x＋1＝4y＋x3化为 y＝kx＋b 的形式，正确的是( B )
【点拨】由题意可知点P在函数y＝3x－1的图象上，而该函
数的图象过第一、三、四象限，故点P一定不在第二象限．
8．如图，直线l1：y＝x＋1与直线l2：y＝mx＋n相交于点 P(1，b)．
(1)求b的值；
解：把 P(1， b) 的坐标代入y＝x＋1得b＝1＋1＝2.
8．如图，直线l1：y＝x＋1与直线l2：y＝mx＋n相交于点 P(1，b)．

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一次函数知识点及经典例题培优
题型一、点的坐标
方法： x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0；
若两个点关于x轴对称，则他们的横坐标相同，纵坐标互为相反数；若两个点关于y轴对称，则它们的纵坐标相同，横坐标互为相反数；若两个点关于原点对称，则它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数； 1、若点A（m,n）在第二象限，则点（|m|,-n）在第____象限； 2、若点P（2a-1,2-3b）是第二象限的点，则a,b的范围为______________________； 3、已知A（4，b），B（a,-2），若A，B关于x轴对称，则a=_______,b=_________;若A,B关于y轴对称，则a=_______,b=__________;若若A，B关于原点对称，则a=_______,b=_________； 4、若点M（1-x,1-y）在第二象限，那么点N（1-x,y-1）关于原点的对称点在第____象限。题型二、关于点的距离的问题方法：点到x轴的距离用纵坐标的绝对值表示，点到y轴的距离用横坐标的绝对值表示；任意两点(,),(,)AABBAxyBxy的距离为22()()ABABxxyy；若AB∥x轴，则(,0),(,0)ABAxBx的距离为ABxx；若AB∥y轴，则(0,),(0,)ABAyBy的距离为AByy；点(,)AAAxy到原点之间的距离为22AAxy 1、点B（2，-2）到x轴的距离是_________；到y轴的距离是____________； 2、点C（0，-5）到x轴的距离是____；到y轴的距离是_____；到原点的距离是____； 3、点D（a,b）到x轴的距离是____；到y轴的距离是_______；到原点的距离是____； 4、已知点P（3,0），Q(-2,0),则PQ=__________,已知点110,,0,22MN,则MQ=________; 2,1,2,8EF,则EF两点之间的距离是__________;已知点G（2，-3）、H（3,4），则G、H两点之间的距离是_________； 5、两点（3，-4）、（5，a）间的距离是2，则a的值为__________； 6、已知点A（0,2）、B（-3，-2）、C（a,b），若C点在x轴上，且∠ACB=90°，则C点坐标为___________. 题型三、一次函数与正比例函数的识别方法：若y=kx+b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数，特别的，当b=0时，一次函数就成为y=kx(k是常数，k≠0)，这时，y叫做x的正比例函数，当k=0时，一次函数就成为若y=b，这时，y叫做常函数。 ☆A与B成正比例A=kB(k≠0) 1、当k_____________时，2323ykxx是一次函数； 2、当m_____________时，21345mymxx是一次函数； 3、当m_____________时，21445mymxx是一次函数； 4、2y-3与3x+1成正比例，且x=2,y=12,则函数解析式为________________；
题型四、函数图像及其性质
方法：

函数图象
性质
经过象限变化规律

y=kx+b
（k、b为常
数，
且k≠0）

k＞0 b＞0 b=0
b＜0

k＜0 b＞0 b=0
b＜0
☆一次函数y=kx+b（k≠0）中k、b的意义：
k(称为斜率)表示直线y=kx+b（k≠0）的倾斜程度；
b（称为截距）表示直线y=kx+b（k≠0）与y轴交点的，也表示直线在y轴上的。
☆同一平面内，不重合的两直线 y=k1x+b1（k1≠0）与 y=k2x+b2（k2≠0）的位置关系：
当时，两直线平行。当时，两直线垂直。
当时，两直线相交。当时，两直线交于y轴上同一点。
☆特殊直线方程：
X轴 : 直线 Y轴 : 直线
与X轴平行的直线与Y轴平行的直线
一、三象限角平分线二、四象限角平分线
1、对于函数y＝5x+6，y的值随x值的减小而___________。
2、对于函数1223yx, y的值随x值的________而增大。
3、一次函数 y=(6-3m)x＋(2n－4)不经过第三象限，则m、n的范围是__________。
4、直线y=(6-3m)x＋(2n－4)不经过第三象限，则m、n的范围是_________。
5、已知直线y=kx+b经过第一、二、四象限，那么直线y=-bx+k经过第_______象限。
6、无论m为何值，直线y=x+2m与直线y=-x+4的交点不可能在第______象限。
7、已知一次函数
（1）当m取何值时，y随x的增大而减小？
（2）当m取何值时，函数的图象过原点？

题型五、待定系数法求解析式
方法：依据两个独立的条件确定k,b的值，即可求解出一次函数y=kx+b（k≠0）的解析
式。
☆ 已知是直线或一次函数可以设y=kx+b（k≠0）；
☆ 若点在直线上，则可以将点的坐标代入解析式构建方程。
1、若函数y=3x+b经过点（2，-6），求函数的解析式。

2、直线y=kx+b的图像经过A（3，4）和点B（2，7），
3、如图1表示一辆汽车油箱里剩余油量y（升）与行驶时间x（小时）之间的关系．求
油箱里所剩油y（升）与行驶时间x（小时）之间的函数关系式，并且确定自变量x的取
值范围。

4、一次函数的图像与y=2x-5平行且与x轴交于点（-2,0）求解析式。

5、若一次函数y=kx+b的自变量x的取值范围是-2≤x≤6，相应的函数值的范围是-11≤
y≤9，求此函数的解析式。

6、已知直线y=kx+b与直线y= -3x+7关于y轴对称，求k、b的值。
7、已知直线y=kx+b与直线y= -3x+7关于x轴对称，求k、b的值。
8、已知直线y=kx+b与直线y= -3x+7关于原点对称，求k、b的值。
题型六、平移
方法：直线y=kx+b与y轴交点为（0，b），直线平移则直线上的点（0，b）也会同样的
平移，平移不改变斜率k，则将平移后的点代入解析式求出b即可。
直线y=kx+b向左平移2向上平移3 <=> y=k(x+2)+b+3;（“左加右减，上加下减”）。
1. 直线y=5x-3向左平移2个单位得到直线。
2. 直线y=-x-2向右平移2个单位得到直线

3. 直线y=21x向右平移2个单位得到直线

4. 直线y=223x向左平移2个单位得到直线
5. 直线y=2x+1向上平移4个单位得到直线
6. 直线y=-3x+5向下平移6个单位得到直线

7. 直线xy31向上平移1个单位，再向右平移1个单位得到直线。

8. 直线143xy向下平移2个单位，再向左平移1个单位得到直线________。
9. 过点（2，-3）且平行于直线y=2x的直线是____ _____。
10. 过点（2，-3）且平行于直线y=-3x+1的直线是___________.
11．把函数y=3x+1的图像向右平移2个单位再向上平移3个单位，可得到的图像表示的
函数是____________；
12．直线m:y=2x+2是直线n向右平移2个单位再向下平移5个单位得到的，而（2a,7）
在直线n上，则a=____________；
题型七、交点问题及直线围成的面积问题
方法：两直线交点坐标必满足两直线解析式，求交点就是联立两直线解析式求方程组的
解；
复杂图形“外补内割”即：往外补成规则图形，或分割成规则图形（三角形）；
往往选择坐标轴上的线段作为底，底所对的顶点的坐标确定高；
1、直线经过（1,2）、（-3,4）两点，求直线与坐标轴围成的图形的面积。

2、已知一个正比例函数与一个一次函数的图象交于点A（3,4），且OA=OB
（1）求两个函数的解析式；（2）求△AOB的面积；

3、已知直线m经过两点（1,6）、（-3，-2），它和x轴、y轴的交点式B、A，直线n过点
（2，-2），且与y轴交点的纵坐标是-3，它和x轴、y轴的交点是D、C；
（1）分别写出两条直线解析式，并画草图；
（2）计算四边形ABCD的面积；
（3）若直线AB与DC交于点E，求△BCE的面积。

4、如图，A、B分别是x轴上位于原点左右两侧的点，点P（2，p）在第一象限，直线PA
交y轴于点C（0,2），直线PB交y轴于点D，△AOP的面积为6；
（1）求△COP的面积；
（2）求点A的坐标及p的值；
（3）若△BOP与△DOP的面积相等，
求直线BD的函数解析式。

5、已知：经过点（-3，-2），它与x轴，y轴分别交于点B、A，直线经过点（2，-2），
且与y轴交于点C（0，-3），它与x轴交于点D

（1）求直线的解析式；
（2）若直线与交于点P，求的值。

6. 如图，已知点A（2，4），B（-2，2），C（4，0），求△ABC的面积。