高中数学人教B版选修2-1练习：1-3-2命题的四种形式b

04课后课时精练
一、选择题
1．命题“若α＝β，则sinα＝sinβ”的否命题是()
A．若sinα＝sinβ，则α＝β
B．若α≠β，则sinα≠sinβ
C．若sinα≠sinβ，则α≠β
D．以上都不对
解析：命题“若p，则q”的否命题是“若綈p，则綈q”．
答案：B
2．用反证法证明命题“5＋7是无理数”时，应假设()
A.5是有理数
B.7是有理数
C.5或7是有理数
D.5＋7是有理数
解析：在实数范围内无理数的反面是有理数．故选D.
答案：D
3．有下列命题：①“若x2＋y2＝0，则x，y全是0”的否命题；
②“全等三角形是相似三角形”的否命题；③“若m≥1，则mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集是R”的逆命题；④“若a＋7是无理数，则a是无理数”的逆否命题．其中正确的是()
A. ①②③
B. ②③④
C. ①③④
D. ①④
解析：①否命题为“若x2＋y2≠0，则x，y不全是0”，为真．
②否命题为“不全等的三角形不相似”，为假．
③逆命题为“若mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集为R，则
m ≥1”．
∵当m ＝0时，解集不是R ，
∴应有⎩⎪⎨⎪⎧
m >0，Δ<0，即m >1. ∴其逆命题是假命题．
④原命题为真，逆否命题也为真．
答案：D
4．[2013·山东高考]给定两个命题p ，q .若綈p 是q 的必要而不充分条件，则p 是綈q 的( )
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
解析：∵綈p 是q 的必要而不充分条件，∴q ⇒綈p ，但綈pD ⇒/q ，其逆否命题为p ⇒綈q ，但綈qD ⇒/p ，因为原命题与其逆否命题是等价命题，故选A.
答案：A
5．[2014·陕西高考]原命题为“若a n ＋a n ＋12<a n ，n ∈N ＋，则{a n }为
递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )
A ．真，真，真
B ．假，假，真
C ．真，真，假
D ．假，假，假
解析：本题以数列的单调性为背景考查命题真假的判断和四种命
题之间的关系．从原命题的真假入手，由于a n＋a n＋1
2<a n⇔a n＋1<a n⇔{a n}
为递减数列，即原命题和否命题均为真命题，又原命题与逆否命题同真同假，则逆命题、否命题和逆否命题均为真命题，选A.
答案：A
6．[2014·广州高二测试]下列命题中，真命题是()
A．命题“若a>b，则ac2>bc2”
B．命题“若a＝b，则|a|＝|b|”的逆命题
C．命题“当x＝2时，x2－5x＋6＝0”的否命题
D．命题“终边相同的角的同名三角函数值相等”的逆否命题解析：命题“若a>b，则ac2>bc2”是假命题；
命题“若a＝b，则|a|＝|b|”的逆命题为“若|a|＝|b|，则a＝b”是假命题；
命题“当x＝2时，x2－5x＋6＝0”的否命题为“若x≠2，则x2－5x＋6≠0”是假命题；
命题“终边相同的角的同名三角函数值相等”是真命题，其逆否命题与原命题等价，为真命题．
答案：D
二、填空题
7．命题“x∈A∩B”的否命题是________________________．解析：x∈A∩B事实上是x∈A且x∈B.
答案：x∉A或x∉B
8．命题“ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．
解析：命题“ax2－2ax－3>0不成立”亦即“ax2－2ax－3≤0恒成立”．当a＝0时，－3≤0成立；
当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧
a <0，Δ＝4a 2＋12a ≤0，解得－3≤a <0.故－3≤a ≤0. 答案：[－3,0]
9．[2014·信阳高二检测]给定下列命题：
①若k >0，则方程x 2＋2x －k ＝0有实数根；
②若x ＋y ≠8，则x ≠2或y ≠6；
③“矩形的对角线相等”的逆命题；
④“若xy ＝0，则x 、y 中至少有一个为0”的否命题．
其中真命题的序号是________．
解析：①当k >0时，方程中Δ＝4＋4k >0恒成立，∴方程有实根． ②原命题的逆否命题为若x ＝2且y ＝b 则x ＋y ＝8为真命题，∴原命题为真．
③“矩形的对角线相等”的逆命题为“若一个四边形对角成相等，则四边形为矩形”为假命题．
④原命题的否命题为“若xy ≠0，则x ，y 都不为0”为真命题． 答案：①②④
三、解答题
10．若a ，b ，c ∈R ，写出命题“若ac <0，则ax 2＋bx ＋c ＝0有两个相异实根”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．
解：逆命题：若ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c ∈R )有两个相异实根，则ac <0，为假命题；
否命题：若ac ≥0，则ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c ∈R )没有两个相异实根，为假命题．
逆否命题：若ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c ∈R )
没有两个相异实根，则ac ≥0，为真命题．
11．设p ：m －2m －3
≤23，q ：关于x 的不等式x 2－4x ＋m 2≤0的解集是空集，试确定实数m 的取值范围，使得p 与q 有且只有一个成立．
解：由m －2m －3≤23得：m －2m －3－23≤0，即m 3(m －3)
≤0.解得0≤m <3，即当且仅当0≤m <3时，p 成立．因为关于x 的不等式x 2－4x ＋m 2≤0的解集是空集，所以Δ＝16－4m 2<0，解得m >2或m <－2.即当且仅当m >2或m <－2时，q 成立．当p 成立而q 不成立时，0≤m ≤2.当p 不成立而q 成立时，m <－2或m ≥3.综上所述，当且仅当m ∈(－∞，－2)∪[0,2]∪[3，＋∞)时，p 与q 有且只有一个成立．
12．a 、b 、c 为三个人，命题A ：“如果b 的年龄不是最大的，那么a 的年龄最小”和命题B ：“如果c 的年龄不是最小的，那么a 的年龄最大”都是真命题，则a 、b 、c 的年龄的大小顺序是否能确定？请说明理由．
解：能确定．理由如下：
显然命题A 和B 的原命题的结论是矛盾的，因此应该从它的逆否命题来考虑．
①由命题A 为真可知，当b 不是最大时，则a 是最小的，即若c 最大，则a 最小．所以c >b >a ；而它的逆否命题也为真，即“a 不是最小，则b 是最大”为真，所以b >a >c .总之由命题A 为真可知：c >b >a 或b >a >c .
②同理由命题B 为真可知a >c >b 或b >a >c .
从而可知，b >a >c .
所以三个人年龄的大小顺序为b 最大，a 次之，c 最小．。