广东省龙川县第一中学2014_2015学年高二数学下学期第2周测试试题文

2014-2015年高二下期文科数学第二周测试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分． 1．若集合{0,1,2,3},{1,2,4},A B ==则集合AB =（ ）A ．{0,1,2,3,4}B ．{1,2,3,4}C ．{1,2}D ．{0}2、一位母亲记录了儿子3～9岁的身高，由此建立的身高与年龄的回归模型为y=7.19x+73.93用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是（ ） A.身高一定是145.83cm; B.身高在145.83cm 以上; C.身高在145.83cm 以下; D.身高在145.83cm 左右.3．函数1()ln(1)2f x x x =++-的定义域为（ ）A ．(2,)+∞B ．(1,2)(2,)-+∞C ．(1,2)-D ．(]1,2-4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且316,4S a ==，则公差d 等于（ ）A ．1B ．53 C ．2- D ．35．已知a R ∈，则“22a a <”是“2a <”成立的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．圆4)2(22=++y x 与圆9)1()2(22=-+-y x 的位置关系为（ ）A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离 7．下列命题正确的是（ ）A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C ．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D ．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行8、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知A ＝60º，C ＝45º，c ＝10，则a ＝（ ）A 、6B 、8C 、56D 、10639． 两个变量y 与x 的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数2R 如下 ，其中拟合效果最好的模型是( )A.模型1的相关指数2R 为0.98 B.模型2的相关指数2R 为0.80 C.模型3的相关指数2R 为0.50 D.模型4的相关指数2R 为0.2510、设变量,x y 满足约束条件20701x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩,则yx 的最大值为（ ）A ．3B ．6C ．95 D ．1二、填空题：(每小题5分，共20分)11．为了判断高中三年级学生选修文科是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：理科 文科 合计男 13 10 23 女 7 20 27 合计203050已知P(K2≥3.841)≈0.05，P(K2≥5.024)≈0.025.根据表中数据，得到K2的观测值k ＝50×13×20－10×7223×27×20×30≈4.844，则认为选修文科与性别有关系出错的可能性约为________12.已知双曲线22221(00)x y a b a b =>>－，的一个焦点与抛物线 y2 ＝20x 的焦点重合，且双曲线的离心率等于53，则该双曲线的方程为__________________.13. 在数列中 ， ， 如 果 数 列是等差数列， 那么＝____________.14．已知向量(1,2),(2,1)a x b =-=，且a b ⊥，则实数x =____________．三、解答题：15.(本小题满分12 分）已知函数的最小正周期为，且是它的一个零点.（1）求函数 f (x)的解析式；（2）若的值16．(2014·高考辽宁卷)（12分）某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：喜欢甜品 不喜欢甜品 合计南方学生 60 20 80 北方学生 10 10 20 合计7030100(1)根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；(2)已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率.P(K2≥k)0.100 0.050 0.010 k2.7063.8416.63517. （本小题满分14分）如图1，在直角梯形ABCD 中，已知AD ∥BC ，AD=AB=1，∠BAD=90o ，∠BCD=45o ， E 为对角线BD 中点.现将△ABD 沿BD 折起到△PBD 的位置，使平面PBD ⊥平面BCD,如图2. (Ⅰ)若点F 为BC 中点，证明：EF ∥平面PCD ； (Ⅱ)证明：平面PBC ⊥平面PCD ；ED CE C D A B B PF 图1 图218．(本小题满分14分)已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点)3,2(A ，且点)0,2(1F 为其右焦点。

（1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由。

19．(本小题满分14分)已知函数)0(2)1ln()(2≥+-+=k x k x x x f 。

（1）当2=k 时，求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程； （2）求)(x f 的单调区间。

20．（本小题满分14分）已知函数2().1xf x x =+(1)当1x ≥时, 证明: 不等式()ln f x x x ≤+恒成立;(2)若数列{}n a 满足*1121,(),1,3n n n na a f ab n N a +===-∈,证明数列{}n b 是等比数列,并求出数列{}n b 、{}n a 的通项公式；(3)在(2)的条件下，若*11()n n n n c a a b n N ++=⋅⋅∈，证明：12313n c c c c ++++<.高二文科第2周周测答案 选择题 ADCCA BCCAB二、11、5% 12. 116922=-y x 13. 21 14、0三、15.（本小题满分12）解：(1)因为函数)20,0)(sin(2)(πϕωϕω<<>-=x x f 的最小正周期为π故2,2=∴=ωπωπ)2sin(2)(ϕ-=∴x x f又6π是它的一个零点，即)3sin(=-ϕπZk k ∈=-∴,3πϕπZk k ∈-=∴,3ππϕ，因为20πϕ<<3,0πϕ==∴k 所以()f x 的解析式为)32sin(2)(π-=x x f由(1))32sin(2)(π-=x x f又因为3)62(,2)1252(=+=+πβπαf f故23sin ,21sin ==βα ，又]2,0[,πβα∈ 3,6πβπα==∴2cos)36cos()cos(==+=+∴πππβα16解：(1)将2×2列联表中的数据代入公式计算，得 K2＝100×60×10－20×10270×30×80×20＝10021≈4.762.因为4.762>3.841，所以有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．(2)从5名数学系学生中任取3人的一切可能结果所组成的基本事件空间Ω＝{(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a2，b3)，(a1，b1，b2)，(a1，b2，b3)，(a1，b1，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b2，b3)，(a2，b1，b3)，(b1，b2，b3)}．其中ai 表示喜欢甜品的学生，i ＝1,2；bj 表示不喜欢甜品的学生，j ＝1,2,3.Ω由10个基本事件组成，且这些基本事件的出现是等可能的．用A 表示“3人中至多有1人喜欢甜品”这一事件，则A ＝{(a1，b1，b2)，(a1，b2，b3)，(a1，b1，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b2，b3)，(a2，b1，b3)，(b1，b2，b3)}． 事件A 是由7个基本事件组成，因而P(A)＝710. 17．解析：(Ⅰ)在△BCD 中，点E 、F 分别为BD 、BC 的中点 ∴EF ∥CD ................2分 又PCD EF ⊄ P C D CD ⊂∴EF ∥平面PCD .................6分(Ⅱ) 在直角梯形ABCD 中，已知AD ∥BC ，AD=AB=1，∠BAD=90o ，∠BCD=45o ， ∴CD ⊥BD ....................7分因为平面PBD ⊥平面BCD ，且平面PBD ∩平面BCD=BD ，BCD CD 平面⊂， ∴CD ⊥平面PBD ....................9分 ∴CD ⊥PB ....................10分∵PB ⊥PD PD ∩CD=D ， ∴PB ⊥平面PCD .............12分 又PBC PB 平面⊂， ∴平面PBC ⊥平面PCD .........14分18．（本小题满分14分）解：（1）依题意，可设椭圆C 的方程为)0(12222>>=+b a b y a x ，且可知左焦点为)0,2(2-F ，从而有⎩⎨⎧=+=+==8532221AF AF a c ，解得⎩⎨⎧==24c a ………4分 又222c b a +=，所以122=b ，故椭圆C 的方程为1121622=+y x ………6分（2）假设存在符合题意的直线l ，其方程为t x y +=23………7分由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==+tx y y x 231121622得0123322=-++t tx x ，………9分因为直线l 与椭圆C 有公共点，所以有0)12(34)3(22≥-⨯-=∆t t ， EDCEC DAB B PF 图1 图2解得3434≤≤-t ………10分另一方面，由直线OA 与l 的距离为4可得4149=+t，从而132±=t ………12分由于]34,34[132-∉±，所以符合题意的直线l 不存在。

………14分 19．（本小题满分14分）解：（1）当2=k 时，2)1ln()(x x x x f +-+=，x x x f 2111)(/+-+=由于23)1(,2ln )1(/==f f ，所以曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程为)1(232ln -=-x y即 032ln 223=-+-y x 。

………4分（2）),1(,1)1()(/+∞-∈+-+=x x k kx x x f .………5分 ①当0=k 时，x xx f +-=1)(/.所以，在区间)0,1(-上，0)(/>x f ；在区间),0(+∞上，0)(/<x f .故)(x f 的单调递增区间是)0,1(-，单调递减区间是),0(+∞.………6分②当10<<k 时，由01)1()(/=+-+=x k kx x x f ，得01=x ，012>-=k kx所以，在区间)0,1(-和),1(+∞-k k 上，0)(/>x f ；在区间)1,0(k k-上，0)(/<x f故)(x f 的单调递增区间是)0,1(-和),1(+∞-k k ，单调递减区间是)1,0(k k-.………9分③当1=k 时，x x x f +=1)(2/，故)(x f 的单调递增区间是),1(+∞-.………10分 ④当1>k 时，01)1()(/=+-+=x k kx x x f ，得0),0,1(121=-∈-=x k kx .所以没在区间)1,1(k k --和),0(+∞上，0)(/>x f ；在区间)0,1(k k-上，0)(/<x f故()f x 的单调递增区间是)1,1(k k --和),0(+∞，单调递减区间是)0,1(k k-………13分由上可知当0=k 时，)(x f 的单调递增区间是)0,1(-，单调递减区间是),0(+∞；当10<<k 时，)(x f 的单调递增区间是)0,1(-和),1(+∞-k k ，单调递减区间是)1,0(k k-；当1=k 时，)(x f 的单调递增区间是),1(+∞-；当1>k 时，()f x 的单调递增区间是)1,1(k k--和),0(+∞，单调递减区间是)0,1(k k-………14分20.(1)方法一:∵1x ≥,∴222()11x x x x f x x x x x ---=-=++(1)01x x x --=≤+而1x ≥时,ln 0x ≥∴1x ≥时，()ln ,f x x x -≤ ∴当1x ≥时，()ln f x x x ≤+恒成立. ………4分 方法二:令()()ln (1)x f x x x x ϕ=--≥,2()ln 1x x x x x ϕ=--+22ln ,1x x x =---+221()1,(1)x x x ϕ'=--+ 2211,,(1)2x x ≥∴≤+221()10,(1)x x x ϕ'∴=--<+故()x ϕ是定义域[1,+∞)上的减函数,∴当1x ≥时,()(1)0x ϕϕ≤=恒成立.即当1x ≥时,2ln 1xx xx ≤++恒成立.∴当1x ≥时，()ln f x x x ≤+恒成立. ………4分(2)1(),n n a f a += ∴112111,122n n n n n a a a a a ++=⇒=++………5分∵*11,,n nb n N a =-∈∴1111111221111n n n nn n b a a b a a ++-+-==-- *11221()121n n a n N a -==∈-,……8分又11111,2b a =-=∴{}n b 是首项为12,公比为12的等比数列,其通项公式为12n nb =.………9分 又*11,,n nb n N a =-∈∴111112n n n a b ==++*2().21nn n N =∈+………10分(3)11111112212111,2121221212121n n n n n n n n n n n n n n c a a b +++++++=⋅⋅=⨯⨯=⨯=-++++++……12分 ∴12312231111()()21212121n c c c c ++++=-+-++++111()2121n n +++-++1111.3213n +=-<+………14分。