2020年河南省开封市高考数学四模试卷(理科)含答案解析

2020年河南省开封市高考数学四模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z满足iz=i+z，则z=（）A．﹣+i B．﹣﹣i C．﹣i D． +i2．集合，则A∩B的子集个数为（）A．1个B．2个C．4个D．8个3．下列结论正确的是（）A．命题P：∀x＞0，都有x2＞0，则¬p：∃x0≤0，使得≤0B．若命题p和p∨q都是真命题，则命题q也是真命题C．在△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边，则a＜b的充要条件是cosA＞cosB D．命题“若x2+x﹣2=0，则x=﹣2或x=1”的逆否命题是“x≠﹣2或x≠1，则x2+x﹣2≠0”4．已知数列{b n}是等比数列，b9是1和3的等差中项，则b2b16=（）A．16 B．8 C．2 D．45．已知12sinα﹣5cosα=13，则tanα=（）A．﹣B．﹣C．±D．±6．按如程序框图，若输出结果为170，则判断框内应补充的条件为（）A．i＞5 B．i≥7 C．i＞9 D．i≥97．已知函数f（x）=sinωx（x∈R，ω＞0）的最小正周期为π，为了得到函数的图象，只要将y=f（x）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度8．甲乙两名篮球运动员近几场比赛得分统计成茎叶图如图，甲乙两人的平均数与中位数分别相等，则x：y为（）A．3：2 B．2：3 C．3：1或5：3 D．3：2或7：59．若椭圆+y2=1（m＞1）与双曲线﹣y2=1（n＞0）有共同的焦点F1，F2，P是两曲线的一个交点，则△F1PF2的面积是（）A．3 B．1 C．D．10．如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的四个侧面中面积最小的一个侧面的面积为（）A．4 B．4C．8 D．811．若非零向量与向量的夹角为钝角，||=2，且当t=﹣时，|﹣t|取最小值．向量满足（）⊥（），则当取最大值时，||等于（）A．B．2C．2D．12．设函数f（x）在R上存在导数f′（x），∀x∈R，有f（﹣x）+f（x）=x2，在（0，+∞）上f′（x）＜x，若f（4﹣m）﹣f（m）≥8﹣4m．则实数m的取值范围为（）A．[﹣2，2] B．[2，+∞）C．[0，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．二项式（1+x）n（n∈N*）的展开式中x4的系数为15，则n=_______．14．已知函数f（x）=（其中e为自然对数的底数），则函数y=f（f（x））的零点等于_______．15．在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，体积为，则三棱锥的外接球的体积等于_______．16．在△ABC中，角A、B、C所对边的长为a、b、c，设AD为BC边上的高，且AD=a，则+的最大值是_______．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤17．已知等比数列{a n}的公比q＞1，前n项和为S n，S3=7，且a1+3，3a2，a3+4成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=（3n﹣2）a n，求数列{c n}的前n项和T n．18．为了解某校高三毕业班报考体育专业学生的体重（单位：千克）情况，将他们的体重数据整理后得到如下频率分布直方图．已知图中从左至右前3个小组的频率之比为1：2：3，其中第2小组的频数为12．（Ⅰ）求该校报考体育专业学生的总人数n；（Ⅱ）已知A，B，C，a是该校报考体育专业的4名学生，A，B，C的体重小于55千克，a的体重不小于70千克．且A，B各有5分体育加分，C，a各有10分体育加分．其他学生无体育加分，从体重小于55 千克的学生中抽取2人，从体重不小于70千克的学生中抽取1人，组成3人训练组，训练组中3人的体育总加分记为ξ，求ξ的分布列和数学期望．19．如图，已知长方形ABCD中，AB=2AD，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．（Ⅰ）求证：AD⊥BM；（Ⅱ）若E是线段DB上的中点，求AE与平面BDM所成角的正弦值．20．已知动圆Q过定点F（0，﹣1），且与直线l：y=1相切，椭圆N的对称轴为坐标轴，O 点为坐标原点，F是其一个焦点，又点A（0，2）在椭圆N上．（Ⅰ）求动圆圆心Q的轨迹M的标准方程和椭圆N的标准方程；（Ⅱ）若过F的动直线m交椭圆N于B，C点，交轨迹M于D，E两点，设S1为△ABC 的面积，S2为△ODE的面积，令Z=S1S2，试求Z的最小值．21．已知函数f（x）=e x﹣ax﹣1﹣，x∈R．（Ⅰ）若a=，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对任意x≥0都有f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）设函数F（x）=f（x）+f（﹣x）+2+x2，求证：F（1）•F（2）…F（n）＞（e n+1+2）（n∈N*）．[选修4-1：平面几何选讲]22．如图，过圆E外一点A作一条直线与圆E交B，C两点，且AB=AC，作直线AF与圆E相切于点F，连接EF交BC于点D，己知圆E的半径为2，∠EBC=．（1）求AF的长；（2）求证：AD=3ED．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=acosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C相交于A，B两点．（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）若|PA|•|PB|=|AB|2，求a的值．[选修4-5；不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+2|﹣2|x﹣1|（1）解不等式f（x）≥﹣2；（2）对任意x∈[a，+∞），都有f（x）≤x﹣a成立，求实数a的取值范围．2020年河南省开封市高考数学四模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z满足iz=i+z，则z=（）A．﹣+i B．﹣﹣i C．﹣i D． +i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由iz=i+z，得（1﹣i）z=﹣i，即z=．故选：C．2．集合，则A∩B的子集个数为（）A．1个B．2个C．4个D．8个【考点】交集及其运算；子集与真子集．【分析】由题意和交集的运算求出A∩B，利用结论求出集合A∩B的子集的个数．【解答】解：集合A={x∈N|x﹣1|≤1}={0，1，2]，B={x|y=}=[﹣1，1]，∴A∩B={0，1}，∴集合A∩B的子集个数为22=4，故选：C．3．下列结论正确的是（）A．命题P：∀x＞0，都有x2＞0，则¬p：∃x0≤0，使得≤0B．若命题p和p∨q都是真命题，则命题q也是真命题C．在△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边，则a＜b的充要条件是cosA＞cosB D．命题“若x2+x﹣2=0，则x=﹣2或x=1”的逆否命题是“x≠﹣2或x≠1，则x2+x﹣2≠0”【考点】命题的真假判断与应用．【分析】写出全程命题的否定判断A；由复合命题的真假判断说明B错误；在三角形中，由大边对大角结合余弦函数的单调性判断C；直接写出原命题的逆否命题判断D．【解答】解：对于A、命题P：∀x＞0，都有x2＞0，则¬p：∃x0＞0，使得≤0．故A错误；对于B、若命题p和p∨q都是真命题，则命题q可能是真命题，也可能是假命题．故B错误；对于C、在△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边，a＜b⇔A＜B，由余弦函数在（0，π）上为减函数，则cosA＞cosB．故C正确；对于D、命题“若x2+x﹣2=0，则x=﹣2或x=1”的逆否命题是“x≠﹣2且x≠1，则x2+x﹣2≠0”．故D错误．故选：C．4．已知数列{b n}是等比数列，b9是1和3的等差中项，则b2b16=（）A．16 B．8 C．2 D．4【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等差数列与等比数列的通项公式及其性质即可得出．【解答】解：∵b9是1和3的等差中项，∴2b9=1+3，∴b9=2．由等比数列{b n}的性质可得：b2b16==4，故选：D．5．已知12sinα﹣5cosα=13，则tanα=（）A．﹣B．﹣C．±D．±【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用辅助角公式将函数进行化简，得到α=θ++2kπ，利用三角函数的诱导公式进行化简求值即可【解答】解：由12sinα﹣5cosα=13，得sinα﹣cosα=1，设cosθ=，则sinθ=，则tanθ==，则方程等价为sin（α﹣θ）=1，则α﹣θ=+2kπ，k∈Z；即α=θ++2kπ，k∈Z，则tanα=tan（θ++2kπ）=tan（θ+）==；k∈Z；故选：B6．按如程序框图，若输出结果为170，则判断框内应补充的条件为（）A．i＞5 B．i≥7 C．i＞9 D．i≥9【考点】循环结构．【分析】根据输出结果为170，然后判定S、i，不满足条件，执行循环体，当S、i满足条件时，退出循环体，从而得到判断框内应补充的条件．【解答】解：S=0+2=2，i=1+2=3，不满足条件，执行循环体；S=2+8=10，i=2+3=5，不满足条件，执行循环体；S=10+32=42，i=5+2=7，不满足条件，执行循环体；S=42+128=170，i=7+2=9，满足条件，退出循环体，故判断框内应补充的条件为i≥9故选：D．7．已知函数f（x）=sinωx（x∈R，ω＞0）的最小正周期为π，为了得到函数的图象，只要将y=f（x）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由已知中已知函数f（x）=sinωx（x∈R，ω＞0）的最小正周期为π，我们易得到函数f（x）、g（x）的解析式，根据函数图象平移变换的法则，我们可以求出平移量，进而得到答案．【解答】解：由函数f（x）=sinωx（x∈R，ω＞0）的最小正周期为π，可得ω=2则设将y=f（x）的图象向左平行a个单位得到函数的图象则即2a=解得a=故选C8．甲乙两名篮球运动员近几场比赛得分统计成茎叶图如图，甲乙两人的平均数与中位数分别相等，则x：y为（）A．3：2 B．2：3 C．3：1或5：3 D．3：2或7：5【考点】茎叶图．【分析】根据甲乙两人的平均数与中位数分别相等，构造方程求出满足条件的x值，可得答案．【解答】解：∵甲乙两人的平均数相等，∴=，又∵甲乙两人的中位数相等，∴，（1≤x≤5，y≤3）或=y，（x＞5，y≤3）或，（1≤x≤5，y＞3）或=3，（x＞5，y＞3）解得：x=3，y=2，或x=7，y=5，故x：y=3：2，或x：y=7：5，故选：D．9．若椭圆+y2=1（m＞1）与双曲线﹣y2=1（n＞0）有共同的焦点F1，F2，P是两曲线的一个交点，则△F1PF2的面积是（）A．3 B．1 C．D．【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．【分析】由题设中的条件，设两个圆锥曲线的焦距为2c，椭圆的长轴长2，双曲线的实轴长为2，由它们有相同的焦点，得到m﹣n=2．根据双曲线和椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2，|PF1|﹣|PF2|=2，△PF1F2中，由三边的关系得出其为直角三角形，由△PF1F2的面积公式即可运算得到结果．【解答】解：由题意设两个圆锥曲线的焦距为2c，椭圆的长轴长2，双曲线的实轴长为2，由它们有相同的焦点，得到m﹣1=n+1，即m﹣n=2．不妨令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义|PF1|﹣|PF2|=2，①由椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2，②①2+②2得|PF1|2+|PF2|2=2（m+n），即有|PF1|•|PF2|=m﹣n=2，又|F1F2|=2，可得|PF1|2+|PF2|2=4（m﹣1），|F1F2|2=4（m﹣1），即|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，则△F1PF2的形状是直角三角形即有△PF1F2的面积为|PF1|•|PF2|=×2=1．故选：B．10．如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的四个侧面中面积最小的一个侧面的面积为（）A．4 B．4C．8 D．8【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图得原到几何体，判断原几何体的形状，从而求得该四棱锥的四个侧面中面积最小的一个侧面的面积．【解答】解：根据三视图可得此棱锥的高为SO=4，底面为直角梯形，且CD=AB=2，AB∥CD，且ABCO为正方形，如图所示：故该四棱锥的四个侧面中面积最小的一个侧面为SCD，它的面积为CD•SO=•2•4=4，故选：A．11．若非零向量与向量的夹角为钝角，||=2，且当t=﹣时，|﹣t|取最小值．向量满足（）⊥（），则当取最大值时，||等于（）A．B．2C．2D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】=+﹣，根据当t=﹣时，|﹣t|取最小值．可得=﹣，=3，解得=2，=﹣2，可得=．不妨设=（﹣1，），=（2，0），=（x，y）．根据向量满足（）⊥（），可得（）•（）=0，可得+=3．令=x+y=t．当上述直线与圆相切时，可得t=，取t=2+2时，取最大值．直线方程与圆的方程联立解得（x，y），即可得出．【解答】解：=﹣+=+﹣，∵当t=﹣时，|﹣t|取最小值．∴=﹣，=3，解得=2，=﹣2，∴=﹣2，∴=﹣，∴=．不妨设=（﹣1，），=（2，0），=（x，y）．向量满足（）⊥（），∴（）•（）=（x﹣2，y）•（x+1，）=（x﹣2）（x+1）+y（y﹣）=+﹣3=0，∴+=3．（*）=（x，y）•（1，）=x+y．令t=x+y．当上述直线与（*）相切时，=，解得t=，取t=2+2时，取最大值．此时联立，解得，∴=．||==．故选：A．12．设函数f（x）在R上存在导数f′（x），∀x∈R，有f（﹣x）+f（x）=x2，在（0，+∞）上f′（x）＜x，若f（4﹣m）﹣f（m）≥8﹣4m．则实数m的取值范围为（）A．[﹣2，2] B．[2，+∞）C．[0，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】令g（x）=f（x）﹣x2，由g（﹣x）+g（x）=0，可得函数g（x）为奇函数．利用导数可得函数g（x）在R上是减函数，f（4﹣m）﹣f（m）≥8﹣4m，即g（4﹣m）≥g （m），可得4﹣m≤m，由此解得a的范围．【解答】解：令g（x）=f（x）﹣x2，∵g（﹣x）+g（x）=f（﹣x）﹣x2+f（x）﹣x2=0，∴函数g（x）为奇函数．∵x∈（0，+∞）时，g′（x）=f′（x）﹣x＜0，故函数g（x）在（0，+∞）上是减函数，故函数g（x）在（﹣∞，0）上也是减函数，由f（0）=0，可得g（x）在R上是减函数，∴f（4﹣m）﹣f（m）=g（4﹣m）+（4﹣m）2﹣g（m）﹣m2=g（4﹣m）﹣g（m）+8﹣4m≥8﹣4m，∴g（4﹣m）≥g（m），∴4﹣m≤m，解得：m≥2，故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．二项式（1+x）n（n∈N*）的展开式中x4的系数为15，则n=6．【考点】二项式定理的应用．【分析】求得二项式展开式的通项公式T r+1=x r，令r=4，可得=15，结合组合数公式，解方程可得n=6．【解答】解：二项式（1+x）n（n∈N*）的通项公式为T r+1=x r，由二项式（1+x）n（n∈N*）的展开式中x4的系数为15，可得=15，即=15，可得[n（n﹣3）]•[（n﹣1）（n﹣2）]=360，即为（n2﹣3n）2+2（n2﹣3n）﹣360=0，即有n2﹣3n=﹣20，或n2﹣3n=18，由n为正整数，可得n=6．故答案为：6．14．已知函数f（x）=（其中e为自然对数的底数），则函数y=f（f（x））的零点等于e．【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】令f（x）=t，y=f（t），利用零点，解方程，即可求出函数y=f（f（x））的零点．【解答】解：令f（x）=t，y=f（t），由f（t）=0，可得t=1，由f（x）=1，可得x=e，∴函数y=f（f（x））的零点等于e，故答案为：e．15．在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，体积为，则三棱锥的外接球的体积等于π．【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．【分析】利用三棱锥的体积公式，求出PA，由余弦定理求出BC，可得△ABC外接圆的半径，从而可求该三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥P﹣ABC的外接球的体积．【解答】解：∵三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，体积为，∴=，∴PA=2．∵AB=1，AC=2，∠BAC=60°，∴由余弦定理可得BC==，设△ABC外接圆的半径为r，则2r==2，∴r=1，设球心到平面ABC的距离为d，则由勾股定理可得R2=d2+12=12+（2﹣d）2，∴d=1，R2=2，∴三棱锥P﹣ABC的外接球的体积为πR3=π．故答案为：π．16．在△ABC中，角A、B、C所对边的长为a、b、c，设AD为BC边上的高，且AD=a，则+的最大值是．【考点】三角形中的几何计算．【分析】利用三角形的两个面积公式和等面积法列出方程表示出sinA，由余弦定理表示出cosA，化简后求出的表达式，利用辅助角公式化简，利用正弦函数的最大值求出的最大值．【解答】解：∵AD为BC边上的高，且AD=a，∴△ABC的面积S=，则sinA=，由余弦定理得，cosA==（）﹣，∴=2（+cosA）=sinA+2cosA=sin（A+α），其中sinα=，cosα=，当sin（A+α）=1时，取到最大值是，故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤17．已知等比数列{a n}的公比q＞1，前n项和为S n，S3=7，且a1+3，3a2，a3+4成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=（3n﹣2）a n，求数列{c n}的前n项和T n．【考点】数列的求和．【分析】（Ⅰ）利用已知条件，求出首项与公比，利用等比数列的通项公式求出通项．（Ⅱ）由于b n是有一等差数列与等比数列的积构成的数列，利用错位相减的方法求出前n 项和．【解答】解：（Ⅰ）∵S3=7，∴a1+a2+a3=7，∵a1+3，3a2，a3+4成等差数列，∴a1+3+a3+4=6a2，∴a2=a1q=2，①，又由a1+a2+a3=7可得a1+a1q2=5②，由①②可得2q2﹣5q+2=0，解得q=2或q=（舍去），∴a1=1，∴a n=2n﹣1（Ⅱ）∵c n=（3n﹣2）a n=（3n﹣2）2n﹣1，∴T n=1×20+4×21+7×22+…+（3n﹣2）2n﹣1，2T n=1×21+4×22+7×23+…+（3n﹣5）2n﹣1+（3n﹣2）2n，两式相减得﹣T n=1×20+3×21+3×22+…+3×2n﹣1﹣（3n﹣2）2n，∴T n=（3n﹣5）×2n+5，n∈N+．18．为了解某校高三毕业班报考体育专业学生的体重（单位：千克）情况，将他们的体重数据整理后得到如下频率分布直方图．已知图中从左至右前3个小组的频率之比为1：2：3，其中第2小组的频数为12．（Ⅰ）求该校报考体育专业学生的总人数n；（Ⅱ）已知A，B，C，a是该校报考体育专业的4名学生，A，B，C的体重小于55千克，a的体重不小于70千克．且A，B各有5分体育加分，C，a各有10分体育加分．其他学生无体育加分，从体重小于55 千克的学生中抽取2人，从体重不小于70千克的学生中抽取1人，组成3人训练组，训练组中3人的体育总加分记为ξ，求ξ的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图，利用频率=，即可求出n的值；（Ⅱ）计算体重小于55千克的人数与体重不小于70千克的人数，得出ξ的可能取值，计算对应的概率值，列出ξ的分布列，求出数学期望值．【解答】解：（Ⅰ）设该校报考体育专业学生的总人数为n，前3个小组的频率分别为p1、p2、p3，则由题意知，p2=2p1，p3=3p1，p1+p2+p3+（0.0375+0.0125）×5=1，解得p1=0.125，p2=0.25，p3=0.375；又因为p2=0.25=，解得n=48；（Ⅱ）由题意，报考体育专业的学生中，体重小于55千克的人数为48×0.125=6，记它们分别为A、B、C、D、E、F，体重不小于70千克的人数为48×0.0125×5=3，分别记为a、b、ξ；则ξ=0，5，10，15，20，25；P（ξ=0）=×=，P（ξ=5）=×=，P（ξ=10）=×+×=，P（ξ=15）=×+×=，P（ξ=20）=×+×=，P（ξ=25）=×=，则ξ的分布列为ξ0 5 10 15 20 25Pξ的数学期望为E（ξ）=0×+5×+10×+15×+20×+25×=10．19．如图，已知长方形ABCD中，AB=2AD，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．（Ⅰ）求证：AD⊥BM；（Ⅱ）若E是线段DB上的中点，求AE与平面BDM所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的性质．【分析】（I）根据平面几何知识得出AM⊥BM，根据面面垂直的性质得出BM⊥平面ADM，于是AD⊥BM；（II）以M为原点，以MA，MB及平面ABCM的垂线为坐标轴建立空间直角坐标系，设AD=1，求出和平面BDM的法向量，则|cos＜＞|即为所求．【解答】证明：（I）∵四边形ABCD是矩形，AB=2AD，M为CD的中点，∴AM=BM=AD，∴AM2+BM2=AB2，∴AM⊥BM．∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM⊂平面ABCM，∴BM⊥平面ADM，∵AD⊂平面ADM，∴AD⊥BM．（II）过M作平面ABCM的垂线Mz，以M为原点，以MA，MB，Mz为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：设AD=1，则AM=BM=，则M（0，0，0），A（，0，0），B（0，，0），D（，0，），E（，，）．∴=（﹣，，），=（0，，0），=（，0，）．设平面BMD的法向量为=（x，y，z），则，即，令z=1得=（﹣1，0，1）．∴=，∴cos＜＞==．∴AE与平面BDM所成角的正弦值为．20．已知动圆Q过定点F（0，﹣1），且与直线l：y=1相切，椭圆N的对称轴为坐标轴，O 点为坐标原点，F是其一个焦点，又点A（0，2）在椭圆N上．（Ⅰ）求动圆圆心Q的轨迹M的标准方程和椭圆N的标准方程；（Ⅱ）若过F的动直线m交椭圆N于B，C点，交轨迹M于D，E两点，设S1为△ABC 的面积，S2为△ODE的面积，令Z=S1S2，试求Z的最小值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）由抛物线的定义可得动点Q的轨迹M的标准方程，由题意可得c=1，a=2，求得b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）显然直线m的斜率存在，不妨设直线m的直线方程为：y=kx﹣1，分别代入抛物线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及点到直线的距离公式，求得三角形的面积，再由不等式的性质，即可得到所求最小值．【解答】解：（Ⅰ）依题意，由抛物线的定义易得动点Q的轨迹M的标准方程为：x2=﹣4y，依题意可设椭圆N的标准方程为，显然有，∴椭圆N的标准方程为；（Ⅱ）显然直线m的斜率存在，不妨设直线m的直线方程为：y=kx﹣1①联立椭圆N的标准方程有（3k2+4）x2﹣6kx﹣9=0，设B（x1，y1），C（x2，y2）则有，又A（0，2）到直线m的距离，∴，再将①式联立抛物线方程x2=﹣4y有x2+4kx﹣4=0，同理易得，∴，∴，∴当k=0时，Z min=9．21．已知函数f（x）=e x﹣ax﹣1﹣，x∈R．（Ⅰ）若a=，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对任意x≥0都有f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）设函数F（x）=f（x）+f（﹣x）+2+x2，求证：F（1）•F（2）…F（n）＞（e n+1+2）（n∈N*）．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）求出导函数，对导函数二次求导，得出导函数的最小值为＞0，判断原函数递增；（Ⅱ）二次求导，得出导函数递增，对1﹣a进行分类讨论，得出a的范围；（Ⅲ）求出F（x）=e x+e﹣x，利用放缩法判断得出F（1）F（n）＞e n+1+2，…F（n）F（1）＞e n+1+2．最后得出结论．【解答】（Ⅰ）解：，令g（x）=f'（x），则g'（x）=e x﹣1，则当x∈（﹣∞，0）时，g'（x）＜0，f'（x）单调递减，当x∈（0，+∞）时，g'（x）＞0，f'（x）单调递增．所以有，所以f（x）在（﹣∞，+∞）上递增…（Ⅱ）解：当x≥0时，f'（x）=e x﹣x﹣a，令g（x）=f'（x），则g'（x）=e x﹣1≥0，则f'（x）单调递增，f'（x）≥f'（0）=1﹣a当a≤1即f'（x）≥f'（0）=1﹣a≥0时，f（x）在（0，+∞）上递增，f（x）≥f（0）=0成立；当a＞1时，存在x0∈（0，+∞），使f'（x0）=0，则f（x）在（0，x0）上递减，则当x∈（0，x0）时，f（x）＜f（0）＜0，不合题意．综上a≤1．（Ⅲ）证明：∵F（x）=e x+e﹣x，∴∴F（1）F（n）＞e n+1+2，F（2）F（n﹣1）＞e n+1+2…F（n）F（1）＞e n+1+2．由此得，[F（1）F（2）…F（n）]2=[F（1）F（n）]•[F（2）F（n﹣1）]•…•[F（n）F（1）]＞（e n+1+2）n故（n∈N*）．[选修4-1：平面几何选讲]22．如图，过圆E外一点A作一条直线与圆E交B，C两点，且AB=AC，作直线AF与圆E相切于点F，连接EF交BC于点D，己知圆E的半径为2，∠EBC=．（1）求AF的长；（2）求证：AD=3ED．【考点】相似三角形的判定；与圆有关的比例线段．【分析】（1）延长BE交圆E于点M，连结CM，则可求BC=2，AB=，利用切割线定理即可求得AF的值．（2）过E作EH⊥BC于H，可知△EDH与△ADF相似，由，可求AD=3ED．【解答】解：（1）延长BE交圆E于点M，连结CM，则∠BCM=90°，又BM=2BE=4，∠EBC=30°，所以BC=2，又AB=，可知AB=．所以根据切割线定理AF2=AB•AC=，即AF=3．（2）过E作EH⊥BC于H，则△EDH与△ADF相似，从而有，因此AD=3ED．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=acosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C相交于A，B两点．（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）若|PA|•|PB|=|AB|2，求a的值．【考点】参数方程化成普通方程；点的极坐标和直角坐标的互化．【分析】（Ⅰ）把曲线C的极坐标方程、直线l的参数方程化为普通方程即可；（Ⅱ）把直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程中，得关于t的一元二次方程，由根与系数的关系，求出t1、t2的关系式，结合参数的几何意义，求出a的值．【解答】解：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程ρsin2θ=acosθ（a＞0），可化为ρ2sin2θ=aρcosθ（a＞0），即y2=ax（a＞0）；直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t，化为普通方程是y=x﹣2；（Ⅱ）将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程y2=ax（a＞0）中，得；设A、B两点对应的参数分别为t1，t2，则；∵|PA|•|PB|=|AB|2，∴t1•t2=，∴=+4t1•t2=5t1•t2，即；解得：a=2或a=﹣8（不合题意，应舍去）；∴a的值为2．[选修4-5；不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+2|﹣2|x﹣1|（1）解不等式f（x）≥﹣2；（2）对任意x∈[a，+∞），都有f（x）≤x﹣a成立，求实数a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过对x≤﹣2，﹣2＜x＜1与x≥1三类讨论，去掉绝对值符号，解相应的一次不等式，最后取其并集即可；（2）在坐标系中，作出的图象，对任意x∈[a，+∞），都有f（x）≤x﹣a成立，分﹣a≥2与﹣a＜2讨论，即可求得实数a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=|x+2|﹣2|x﹣1|≥﹣2，当x≤﹣2时，x﹣4≥﹣2，即x≥2，∴x∈∅；当﹣2＜x＜1时，3x≥﹣2，即x≥﹣，∴﹣≤x≤1；当x≥1时，﹣x+4≥﹣2，即x≤6，∴1≤x≤6；综上，不等式f（x）≥﹣2的解集为：{x|﹣≤x≤6}…（2），函数f（x）的图象如图所示：令y=x﹣a，﹣a表示直线的纵截距，当直线过（1，3）点时，﹣a=2；∴当﹣a≥2，即a≤﹣2时成立；…当﹣a＜2，即a＞﹣2时，令﹣x+4=x﹣a，得x=2+，∴a≥2+，即a≥4时成立，综上a≤﹣2或a≥4．…2020年9月12日第21页（共21页）。