结构动力学多自由度
结构动力学_运动控制方程_分段解析法
结构动力学运动控制方程分段解析法1. 引言1.1 概述在工程领域中，结构动力学是研究结构物体受外界力或激励下的响应和振动特性的一门学科。
结构动力学广泛应用于建筑、桥梁、飞机等领域，对于确保结构物的安全性和稳定性具有重要意义。
随着现代科技的发展，运动控制方程在结构动力学中扮演着至关重要的角色。
通过运动控制方程，我们可以深入理解和预测结构物运动的规律，并为其设计合适的控制策略。
因此，研究和解析这些方程是结构动力学研究中必不可少的一部分。
1.2 文章结构本文将按照以下顺序进行组织和阐述：首先，在第二部分中，我们将简要介绍结构动力学的定义和原理，以及涉及到的动力学方程。
接着，在第三部分中，我们将详细介绍分段解析法作为一种常见的求解方法，包括其基本原理、算法步骤以及相关应用案例。
在第四部分中，我们将描述所设计实验的参数设置，并对实验结果进行分析和讨论。
最后，在第五部分中，我们将总结本文的主要结论，并展望未来研究方向。
1.3 目的本文的主要目的是通过对结构动力学和运动控制方程的介绍，以及分段解析法的应用案例分析，进一步加深对相关理论和方法的理解。
同时，希望为研究者提供一个清晰、系统的框架，以便于更好地理解和应用这些内容。
鉴于分段解析法在结构动力学领域具有广泛应用和良好效果，本文还旨在为读者提供相关方法在实际工程问题中的指导参考。
2. 结构动力学2.1 定义和原理结构动力学是一门研究物体在受到外部力作用下的运动规律的领域。
它主要涉及质点的运动学和动力学，以及刚体与弹性体的运动特性。
在结构工程中，结构动力学用于分析和预测建筑物、桥梁、飞机等工程结构在自然环境或人为作用下的响应情况，并提供相应的设计依据。
2.2 动力学方程结构动力学理论通过牛顿定律和哈密顿原理等基本原理推导出结构系统的运动方程。
这些方程描述了结构物各个部分之间的相互关系，并包括质量、刚度、阻尼等参数。
根据实际工程问题，可以选择合适的数值解法求解这些方程，从而得到结构系统随时间变化的运动状态。
结构动力计算的特点和任务1动力荷载与静力荷载的区别
F (t) F F
F (t)
o
3. 突加常量荷载
tr
t
o
tr
t
突然作用于结构上、荷载值在较长时间内保持不变。例：起重机起吊重 物时所产生的荷载。
F (t ) F
上述荷载是时间的确定函数，称之为 确定性动力荷载。
t
o
§1-1 概述
4. 随机荷载
a θ
m3
EI=∞ θ
EI=∞
m1
θ
m2
θ
a a θ
a
a
a
确定绝对刚性杆件上三个质点 的位置只需杆件转角 (t) 便可， 故为单自由度结构。
§1-2 结构振动的自由度
x y
虽然只有一个集中质点，但其位置需 由水平位移x和竖向位移y两个独立参数 才能确定，因此振动自由度等于2，为 多自由度体系。
y 1( t ) y 2( t ) y3 ( t )
三层平面刚架横梁的刚度可看作无穷 大，结构振动时横梁不能竖向移动和 转动而只能作水平移动，故振动自由 度等于3，多自由度体系。
(a) (a)
(b) (b)
(c)
§1-2 结构振动的自由度
分析刚架的振动自由度时，仍可引用受弯直杆任意两点之间的距离保持不变 的假定，即略去杆件的轴向变形。因此，可采用施加刚性链杆法来确定结构的 振动自由度。 刚性链杆法：在结构上施加最少数量的刚性链杆以限制刚架上所 有质点的位置， 则该刚架的自由度数即等于所加链杆数目。
l/ l 2
m m dm x
l/ 2
(b)
dx y ( t )
ml /2
ml /4
(c) (d)
结构力学-第十四章 结构动力学1
动的合成，为了便于研究合成运动,
令 (e)式改写成
y Asin,
v Acos
y(t) Asin( t )......... .......... ...( f )
它表示合成运动仍是一个简谐运动。其中A和可由下式确定
振幅
A
y2
v
2
.............................(g
由初始条件确定C1和C2；
设
y(0)
y(0)
y v
得 C1 y
C2
v
y r
y(t)
e t
( y
cos r t
v
r
y
sin rt)
21
y(t)
e t
(
y
cos r t
v
r
y
sin
rt
)
y(t) et Asin( rt )
2
其中
A
y2
v
y r
tg1 r y
v y
y
讨论（：a）衰减周期运动
m获得初位移y
m获得初速度 y
研究单自由度体系的自由振动重要性在于： 1、它代表了许多实际工程问题，如水塔、单层厂房等。 2、它是分析多自由度体系的基础，包含了许多基本概念。 自由振动反映了体系的固有动力特性。
要解决的问题包括：
建立运动方程、计算自振频率、周期和阻尼………. 9
一、运动微分方程的建立
（1）低阻尼情形 ( <1 )
1,2 i 1 2 , 令 r 1 2
y(t)
B e( ir )t 1
B e( ir )t 2
eix cos x i sin x
et (B1eirt B2eirt ) eix cos x i sin x
振动力学与结构动力学-(第一章).
摩擦力： Fd cdx2sgxn
c d ：阻力系数
在运动方向不变的半个周期内计算耗散能量，再乘2：
Ecdx2sgxndx2
T/4
c T/4 d
x3dt
8 3
cd02
A2
等效粘性阻尼系数：
ce
8
3
cd0
A
24
四、结构阻尼
由于材料为非完全弹性，在变形过程中材料的内摩擦所引起 的阻尼称为结构阻尼
特征：应力－应变曲线存在滞回曲线
6
第一章 概 论
§1-1 动荷载及其分类 - 从广义上讲，如果表征一种运动的物理量作时而增大时而减
小的反复变化，就可以称这种运动为振动。 - 如果变化的物理量是一些机械量或力学量，例如物体的位移
、速度、加速度、应力及应变等，这种振动便称为机械振动 。 - 各种物理现象，诸如声、光、热等都包含振动
7
– 知识要点：结构被动控制、主动控制的基本概念。常用主动 控制方法的原理。结构主动控制在机械、土木结构工程中应 用简介。
– 重点难点：理解各种控制方法的原理及其具体实现。 – 教学方法：课堂讲授与引导讨论相结合。
主要参考书： • 刘延柱.振动力学.北京：高等教育出版社,1998 • 倪振华. 振动力学. 西安：西安交通大学出版社，1989 • 张准、汪凤泉. 振动分析.南京：东南大学出版社，1991 • 陈予恕.非线性振动. 天津：天津科技出版社，1983 • 龙驭球等编著.《结构力学》下册. 北京：高等教育出版 社，1994
– 教学方法：课堂讲授与引导讨论相结合
• 第六章 结构反应谱与地震荷载计算（8学 时）
– 知识要点：结构反应谱、单自由度和多自由度地震 荷载计算公式、规范中地震荷载计算公式。
结构动力学第二章
∂T ∂V d ∂T ( )− + = Pncj (t ), & dt ∂u j ∂u j ∂u j
其中： T —— 体系的动能；
j = 1,2,L , N
V —— 体系的位能，包括应变能及任何保守力的势能； Pncj ——与 uj 相应的非保守力（包括阻尼力及任意外荷载）。
– 红色部分为引入动力自由度概念的目的，蓝色部分为实 现此目的的手段。 – 概念中的“全部”、“独立”两个条件非常关键。
• 严格来说，所以结构体系质量都是连续分布的，为无限自 由度体系，研究比较困难。但许多情况下，可以作一定的 简化，变为有限自由度体系。 • 简化并确定结构动力自由度最典型的方法：集中质量法
动能
1 & mu 2 转动质量 2
T =
1 &2 Jθ 2
1 2 V = ku 转动弹簧 2
1 &2 V = kθ θ 2
位能
1 1 & & &j T = ∑ ∑ mij u i u j = ∑ m j u 2 2 i j 2 j
V =
1 ∑ ∑ kij ui u j 2 i j
∫
1 体系的动能：T = mu 2 & 2
粘滞(性)阻尼力可表示为：
& f D = -cu
D — 表示阻尼（damping） c — 阻尼系数（Damping coefficient）
k c
u m
f S(t) m f D(t) f I (t)
& u — 质点的运动速度
阻尼系数 c 的确定：
• 不能像结构刚度 k 那样可通过结构几何尺寸、构件尺寸等 来获得，因为 c 是反映了多种耗能因素综合影响的系数， 阻尼系数一般是通过结构原型振动试验的方法得到。 • 粘性（滞）阻尼理论仅是多种阻尼中最为简单的一种。 • 其它常用的阻尼：
[美]R.克里夫《结构动力学》补充详解及习题解
![[美]R.克里夫《结构动力学》补充详解及习题解](https://img.taocdn.com/s3/m/198055225627a5e9856a561252d380eb629423b8.png)
前言结构动力学是比较难学的一门课程，但是你一旦学会并且融会贯通，你就会为成为结构院士、大师和总工垫定坚实的基础。
结构动力学学习的难点主要有以下两个方面。
1 概念难理解，主要表现在两个方面，一是表达清楚难，如果你对概念理解的很透彻，那么你写的书对概念的表述也会言简意赅，切中要害（克里夫的书就是这个特点），有的书会对一个概念用了很多文字进行解释，但是还是没有说清楚，也有的书受水平限制，本身表述就不清楚。
二是理解难，有点只可意会不可言传的味道，老师讲的头头是道，自己听得云山雾绕。
2 公式推导过程难，一是力学知识点密集，推导过程需要力学概念清析，并且需要每一步的力学公式熟悉；二是需要一定的数学基础，而且有的是在本科阶段并没有学习的数学知识。
克里夫《结构动力学》被称为经典的结构动力学教材，但是也很难看懂。
之所以被称为经典，主要就是对力学的概念表达的语言准确，概念清楚。
为什么难懂呢？是因为公式的推导过程比较简单，省略过多。
本来公式的推导过程既需要力学概念清楚也需要数学公式熟悉，但是一般人不是力学概念不清楚，就是数学公式不熟悉，更有两者都不熟悉者。
所以在学习过程中感觉很难，本学习详解是在该书概念清楚的基础上，对力学公式推导过程进行详细推导，并且有的加以解释，帮助你在学习过程中加深理解和记忆。
达到融会贯通，为你成为结构院士、大师和总工垫定坚实的基础。
以下黑体字是注释，其它为原书文字。
[美] R∙克里夫《结构动力学》辅导学习详解第1章结构动力学概述… …第Ⅰ篇单自由度体系第2章基本动力体系的组成… …§2-5 无阻尼自由振动分析如上一节所述，有阻尼的弹簧-质量体系的运动方程可表示为mv̈(t)+cv̇(t)+kν(t)=p(t)（2-19）其中ν(t)是相对于静力平衡位置的动力反应；p(t)是作用于体系的等效荷载，它可以是直接作用的或是支撑运动的结构。
为了获得方程（2-19）的解，首先考虑方程右边等于零的齐次方程，即mv̈(t)+cv̇(t)+kν(t)=0（2-20）mv(t)+kν(t)=0（2-20a）此处公式应该为mv(t)+kν(t)=0，因为该节是无阻尼自由振，而且（2-20）的解，式（2-21）也是公式mv(t)+kν(t)=0的解在作用力等于零时产生的运动称为自由振动，现在要研究的即为体系的自由振动反应。
刘晶波结构动力学课件2-1w
f I mu
I — 表示惯性(Inertial)； m— 质量(mass)； ü — 质点的加速度。
9/45
坐标方向：向右为正
10/45
2.1 基本概念
2.1.6 弹簧的恢复力（Resisting Force of Spring）
对弹性体系，弹簧的恢复力也被称为弹性恢复力 弹性恢复力：大小等于弹簧刚度与位移(弹簧变形)的乘积 方向指向体系的平衡位置。
物理元件： 质量 集中质量m 阻尼器 阻尼系数c 弹簧 弹簧刚度k
基本动力体系： 应包括结构动力分析中涉及的所有物理量。 质量；弹簧；阻尼器。
(a) 单层框架结构
两个力学模型完全等效 因为两个体系的运动方程相同
(b) 弹簧-质点体系
19/45 20/45
2.2 基本力学原理与运动方程的建立
2.2.0 牛顿(Newton)第二定律
结构动力学
教师：刘晶波 助教：王东洋
结构动力学 第2章 分析动力学基础 及 运动方程的建立
1/45 2/45
清华大学土木工程系 2015年秋
第2章 分析动力学基础及运动方程的建立
2.1 基本概念
2.1.1 广义坐标与动力自由度
广义坐标 ：能决定质点系(体系)几何位置的彼此独立的 量称为该质点系的广义坐标。 广义坐标可以取长度量纲的量，也可以用角度甚 至面积和体积来表示。 静力自由度 的概念：确定结构体系在空间中位置所需的 独立参数的数目称为结构的自由度。 动力自由度 的定义：结构体系在任意瞬时的一切可能的 变形中，决定全部质量位置所需的独立参数的数目称 为结构的动力自由度(数)。
p(t )u f I u f Du f su 0
p (t ) f I f D f s 0
结构动力学newmark法程序
用matlab编程实现Newmark-β法计算多自由度体系的动力响应姓名：***学号：**************专业：结构工程用matlab 编程实现Newmark -β法 计算多自由度体系的动力响应一、Newmark -β法的基本原理Newmark-β法是一种逐步积分的方法，避免了任何叠加的应用，能很好的适应非线性的反应分析。
Newmark-β法假定：t u u u ut t t t t t ∆ββ∆∆]}{}){1[(}{}{+++-+= (1-1)2]}{}){21[(}{}{}{t u u t uu u t t t t t t ∆γγ∆∆∆+++-++= (1-2) 式中，β和γ是按积分的精度和稳定性要求进行调整的参数。
当β=0.5，γ=0.25时，为常平均加速度法，即假定从t 到t +∆t 时刻的速度不变，取为常数)}{}({21t t t u u ∆++ 。
研究表明，当β≥0.5， γ≥0.25(0.5+β)2时，Newmark-β法是一种无条件稳定的格式。
由式(2-141)和式(2-142)可得到用t t u ∆+}{及t u }{，t u}{ ，t u }{ 表示的t t u ∆+}{ ，t t u ∆+}{ 表达式，即有t tt t t t t u u t u u t u}){121(}{1)}{}({1}{2----=++γ∆γ∆γ∆∆ (1-3) t t t t t t t u t uu u t u}{)21(}){1()}{}({}{ ∆γβγβ∆γβ∆∆-+-+-=++ (1-4) 考虑t +∆t 时刻的振动微分方程为：t t t t t t t t R u K u C uM ∆∆∆∆++++=++}{}]{[}]{[}]{[ (1-5) 将式(2-143)、式(2-144) 代入(2-145)，得到关于u t +∆t 的方程t t t t R u K ∆∆++=}{}]{[ (1-6)式中][][1][][2C t M tK K ∆γβ∆γ++= )}{)12(}){1(}{]([)}){121(}{1}{1]([}{}{2t t t t t t t t u t uu t C u u t u tM R R ∆γβγβ∆γβγ∆γ∆γ∆-+-++-+++=+求解式(2-146)可得t t u ∆+}{，然后由式(2-143)和式(2-144)可解出t t u∆+}{ 和t t u ∆+}{ 。
地震振型的有效质量系数
地震振型的有效质量系数1.引言1.1 概述地震振型是指地震波在通过结构物时，引起结构物振动的方式和特点，它对结构的动力响应有着重要的影响。
地震振型的研究是结构动力学领域的重要内容之一，对于评估结构的地震响应以及设计地震防护措施具有重要意义。
地震振型可以分为单自由度振型和多自由度振型两种。
单自由度振型是指当结构物在地震波作用下只有一个自由度时的振动方式，它通常由一条响应谱曲线所描述。
多自由度振型是指当结构物在地震波作用下具有多个自由度时的振动方式，它需要考虑结构的各个自由度之间的相互作用。
有效质量系数是描述地震振型对结构动力响应影响的重要参数。
其定义为地震振型相对于给定结构物的总质量在各个自由度上的分配比例。
有效质量系数越大，说明该振型在地震作用下对结构物的动力响应影响越显著；反之，有效质量系数越小，该振型对结构物的动力响应影响越弱。
在实际工程中，通过调整结构物的有效质量系数，可以控制结构的地震响应，提高结构的地震安全性。
因此，研究地震振型的有效质量系数对于结构地震分析和设计具有重要的理论和实际意义。
本文将从定义和概念入手，详细讨论地震振型的有效质量系数，介绍其在结构动力学中的作用和应用，并探讨有效质量系数对结构响应的影响以及其重要性。
通过本文的研究，旨在为结构地震安全性的评估提供理论支持和技术指导。
文章结构文章的结构是指文章整体的组织框架，它可以帮助读者系统地理解文章的内容和逻辑流程。
合理的文章结构能够使读者更好地理解作者的观点和论证，并且能够使文章的信息更加清晰和条理化。
本文将按照以下结构来组织论述：1. 引言1.1 概述1.2 文章结构1.3 目的2. 正文2.1 地震振型的定义2.2 有效质量系数的概念3. 结论3.1 地震振型对结构响应的影响3.2 有效质量系数的重要性在引言部分，我们将首先对地震振型的有效质量系数进行引入和概述。
然后，我们将介绍本文的结构和组织方式，以及本文的研究目的和意义。
06思考题
结构动力学思考题之六
第2页/共2页
6 振型叠加法用到了叠加原理，什么情况下能用这个方法？ 什么情况下不能用？ 7 在多自由度体系振型阻尼比的现场动力测量时，可以采用 自由振动试验法，此时需要使结构按不同振型作自由衰减 振动，如何使多自由度体系只按某个特定的振型振动？ 8 N个自由度的体系有多少发生共振的可能性？为什么？ 9 多自由度体系的频率方程存在重根时 ， 体系自振频率个 数、振型个数与自由度数关系如何？各振型之间的关系如 何？ 10 如何判断频率方程是否存在重根及其为几重根？ 11 什么是矩阵的正定条件？体系刚度矩阵和质量矩阵的正定 条件是否能保证频率方程不出现重根？
结构动力学思考题之六
ห้องสมุดไป่ตู้
第1页/共2页
1 什么是多自由度体系的振型，用振型对结构的位移进行展 开 ， 即采用振型叠加法进行结构动力反应分析有什么优 点？ 2 什么是振型的正交性？振型关于刚度阵正交的物理意义是 什么？振型关于质量阵正交的物理意义是什么？ 3 如何证明振型的完备性？如何证明结构振型之间是线性无 关的？ 4 什么是振型质量Mn和振型刚度Kn？它们与自振频率n有什 么关系？对应于结构某阶振型，振型质量Mn和振型刚度Kn 是否为固定常数？ 5 对于单自由度体系通过自由振动分析可以获得结构的无阻 尼自振频率n和有阻尼自振频率D，对于多自由度有阻尼 体系，如何获得结构的自振频率和振型？
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pbT
~ fpa
paT ~fpb paT ~fpb T pbT ~f T pa pbT ~fpa
故 ~f 、 k 均为对称矩阵。
单元刚度矩阵
单元刚度系数表示由单位节点位移所引起的节点力。
单元刚度系数由虚位移法求得。
例如，课本P106图11-5所示简支梁中，令a端发生单位转角， 并给该处一竖向虚位移，零外力所做的功，等于内力所做的 功。
表示一个自由度发生相应单位位移而其他节点不动时在结构中所 产生的的力。
弹性特性
柔度的定义：
~ fij —在j坐标施加单位荷载而引起的i坐标的挠度。
则任意荷载组合下： vi ~fi1 p1 ~fi2 p2 ~fiN pN
用矩阵表示：
v1
vi
v N
略去阻尼矩阵和施加的荷载向量的影响： mv kv 0
假定以上多自由度体系的振动是简谐振动：
v(t) vˆ sin(t )
vˆ 表示体系的形状，不随时间变化。
v 2vˆ sin(t ) 2v 2mvˆ sin(t ) kvˆ sin(t ) 0
k 2m vˆ 0
无阻尼自由振动—振动频率分析
k 2m vˆ 0
即： k 2m 0
上式的N个根，表述体系可能存在的N个振型的频率。
1
2
3
WE va pa v1 k13
Lபைடு நூலகம்
WI v1 0 EI ( x) 1''( x) 3''( x)dx
L
kij 0 EI ( x) 1''( x) 3''( x)dx
单元刚度矩阵
等截面梁的刚度矩阵：
fS1
6
f
S
2
f f
S S
Waa
Wba
1 2
pbT vb
1 2
paT va
pbT va
Betti定律
由能量相等原理： W1 W2 paT vb pbT va
Betti定律说明：第一组荷载在第二组荷载所引起的位移上所做 的功，等于第二组荷载在第一组荷载所引起的位移上所做的功。
由Betti原理
paT
~ fpb
U
1 2
N i 1
pi v i
1 2
pT
~fp
U
1 2
N i 1
pi vi
1 2
pT v
1 2
fSTv
1 (kv)T v 1 vT kT v
2
由于应变能恒大于零，故
~f
2
、
k
为正定矩阵。
p kv k~fp k~f I
故 ~f 、 k 互为逆矩阵。
Betti定律
情况1：
Waa
1 2
N i 1
pia via
1 2
paT va
Wbb
Wab
1 2
pbT vb
paT vb
W1
Waa
Wbb
Wab
1 2
paT va
1 2
pbT vb
paT vb
情况2：
Wbb
1 2
pbT vb
Waa
Wba
1 2
paT va
pbT vb
W2
Wbb
3 4
2EI L3
6 3L 3L
6 6 3L 3L
3L 3L 2L2
L2
3L v1
3L
v2
L2 2L2
vv43
当结构的全部有限自由度的刚度系数均以求得后，只要适当 地叠加单元的刚度系数，就能得到整个结构的刚度，这就叫 做直接刚度法。
若荷载的分布形式不随时间变化
pi (t) ( x) (t)
L
pi (t) (t) 0 ( x)i ( x)dx
几何刚度
几何刚度表示结构在轴向荷载分量作用下引起的屈曲趋势， 它不仅依赖于结构的外形，而且依赖于荷载条件。
对某一微段：
fGi
fGj
N l
1 1
结构动力学多自由度
运动方程
多自由度体系的动力平衡方程：
f I f D fS p(t )
即：
mv cv kv p(t)
考虑几何刚度：
mv cv kv kGv p(t)
或
mv cv kv p(t ) k k kG
弹性特性
刚度的定义：
1v1
1
v2
对于梁系的线性近似形式，结构的几何刚度矩阵具有三对角
形式两个相邻单元提供了对角线项，单个单元提供了各个非 对角线项，或称耦合项。
一致几何刚度：
L
kGij 0 N ( x)i '( x) j '( x)dx
静力凝聚
从刚度矩阵中消去不要的自由度的过程叫做静力凝聚。
结构的任何一个刚度系数，都能通过与这些节点相连的单元， 所对应的刚度系数叠加求得。
质量特性
集中质量矩阵：
任何结构的质量特性，最简单的方法是假定全部质量凝聚在
某些需要计算平移位移的点上，为了确定配置在每一个节点
上的点质量，常用的方法是假定结构分割成段，以节点做为 连接点。
一致质量矩阵：
L
pava m13v1 0 fI ( x)v( x)dx
L
0
m( x) 3( x)v3 1( x)v1dx
L
mij 0 EI ( x)i ( x) j ( x)dx
阻尼特性
L
cij 0 c( x) i ( x) j ( x)dx
其中，c(x)表示分布的粘滞阻尼特性。
一致节点荷载
L
pi (t) 0 p( x, t) i ( x)dx
ktt kt
kt k
vt v
f st f s
f st 0
(ktt kt k1kt )vt kt vt f st
kt (ktt kt k1kt )vt
无阻尼自由振动—振动频率分析
~f11 ~ f11 ~f11
~f11
~ f11
~f11 v ~fp
~f11 ~ f11 ~f11
p1
pi
pN
结构的基本概念
应变能：