结构动力学的刚度系数柔度系数汇总.
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▲ 结构刚、柔度概念强化和灵活应用
(2l )3 l3 48EI 6 EI
3）B点竖向刚度
6EI k0 3 l
1
6EI k k0 3 l
[例3]求图示结构C点的竖向刚度k。
C EI
l EI l EI EA=∞ EI l
Δ=1
k
6i/l
k
12i/l2
（刚度示意图）
解： 由图示可见，相当于四根两端固支梁并联。
i2
4
i1 1
i2 2
结 束
（第二版）作业: 8 —21（反弯点法）
解： 悬臂梁自由端：
1
k11 A k0 k11
EI
l3 A 3EI
3EI kA 3 l
l
3EI l3
刚度并联，两者叠加：
3EI k11 k0 3 l
k0
[例2]求图示结构B点的竖向刚度。
A
E1I1=∞
B
EA=∞
A
E1I1=∞
（等效图）
B k0
EI l /2 l /2
l
解： 1）作等效图 2）简支梁中点柔度
12i2 k2 2 h2
总刚度：
k
P 1 1 1
k1 k2
12i1 k1 2 h1
串联一般公式：
n 1 1 1 1 1 k k1 k2 kn j 1 k j
▲ 楼层刚度与位移法刚度系数的关系
EI∞
k21 k2
1
k22 k2
总侧移刚度：
3EI 3EI 6EI k k左柱 k右柱 3 3 3 h h h
总侧移刚度：
h2
h1i1Βιβλιοθήκη i2k k左柱 k右柱
结构力学柔度计算公式
结构力学柔度计算公式结构力学柔度计算公式是对结构体系中的柔度进行计算的公式。
柔度是指结构在外力作用下发生变形的能力，是结构体系的一项重要性能指标。
通过计算柔度可以了解结构的变形情况，评估结构的稳定性和抗风、抗震能力，为结构设计和分析提供依据。
柔度的计算公式与结构的类型、边界条件、受力形式等因素有关。
下面将分别介绍几种常见的结构类型的柔度计算公式。
杆系结构的柔度计算公式杆系结构是指由杆件组成的结构，例如悬臂梁、桁架等。
对于杆系结构，柔度可以通过弹性力学的方法进行计算。
根据弹性力学理论，杆件的柔度与杆件的材料力学性质、截面形状、长度等因素有关。
常见的杆系结构柔度计算公式如下：F = k * δ其中，F表示结构受力，k表示柔度系数，δ表示结构的变形量。
柔度系数k可以通过杆件的材料力学性质和几何参数计算得到。
板系结构的柔度计算公式板系结构是指由薄板组成的结构，例如平板、薄壳等。
对于板系结构，柔度可以通过板的弯曲理论进行计算。
根据板的弯曲理论，板的柔度与板的材料力学性质、尺寸、支撑条件等因素有关。
常见的板系结构柔度计算公式如下：F = k * δ其中，F表示结构受力，k表示柔度系数，δ表示结构的变形量。
柔度系数k可以通过板的材料力学性质和几何参数计算得到。
梁系结构的柔度计算公式梁系结构是指由梁组成的结构，例如悬臂梁、梁柱系统等。
对于梁系结构，柔度可以通过梁的弯曲理论进行计算。
根据梁的弯曲理论，梁的柔度与梁的材料力学性质、截面形状、长度、支撑条件等因素有关。
常见的梁系结构柔度计算公式如下：F = k * δ其中，F表示结构受力，k表示柔度系数，δ表示结构的变形量。
柔度系数k可以通过梁的材料力学性质和几何参数计算得到。
上述三种结构类型的柔度计算公式都遵循相同的基本原理，即柔度与受力和变形量之间的关系。
通过合理选择柔度计算公式，可以准确计算出结构的柔度，进而评估结构的性能和稳定性。
需要注意的是，结构力学柔度计算公式只是结构分析的一部分，结构的实际变形情况还需要考虑材料的非线性特性、接触约束、温度变化等因素的影响。
结构力学专题七(单自由度体系的动力计算)
设： 2
k11 m
1
m11
运动方程： y(t) 2 y(t) 0
1、运动方程的解
y(t) c1sin t c2 cos t
(a)
或 y(t) csin( t )(ຫໍສະໝຸດ )当 y0、y0 为已知时
y(t)
y 0
sin
t
y
0
cos
t
(c)
方程（a）、（b）、（c）称为位移方程。
2、位移方程的几何意义
A1 5cm2
W 0.1kN
3m
（1）求竖向振动时的频率和周期，
(2)设： y0 10cm(向下），y0 0;
求： t
4
90
时质体的绝对位移。
A2 10cm2
4m
补2（选作）：求图示体系的自振频率：
m
EI
m
k
l
l
l EI
FP (t)
EI
l/2 l/2
三、举例与讨论
例1： 建立图示体系运动微分方程 FP (t)
m EI
l/2 l/2
方程：
L3 48EI
(my(t)
cy(t))
y(t)
L3 48EI
FP (t)
my(t) cy(t)
48EI L3
y(t)
FP (t)
例2： 建立图示体系运动微分方程
FP (t)
EI0
m
h EI
EI
方程：
my(t) cy(t)
m
EI FP (t)
l/2 l/2
例3： 求图示体系的自振频率。
FP (t)
EI0
m
h EI
EI
结力(下)复习(结构动力学)解析
k11
k12
12m1
1 7.5661
8．欲使图示体系的自振频率增大，在下述办法中可采用：
A．增大质量m； C．减小梁的EI；
m EI
B．将质量m 移至梁的跨中位置 ； D．将铰支座改为固定支座 。
k 1
m m
(D )
9．图 示 体 系 的 自 振 频 率 3EI1 / (mh3) 。 ( )
m
EI=oo
EI1
EI1
h
k 6EI1 , k 6EI1
h3
m mh3
10．图示体系 EI 2105 kN m2, 20s-1, k 3105 N/m, P 5103 N, W 10kN。 求质点处最大动位移和最大动弯矩 。
Psin t
k W
2m
2m
解：
1 (1 21 2 1 2) 1 1
Psin t
A
W
l /2
l /2
3l 16 5l 32 M1
解：自振频率
B
1 ( 1 l l 3l 1 l l 2 l 2)
EI 2 4 32 2 4 2 3 4
l3 ( 1 3 ) EI 48 256
要点：
结构动力学
1. 单自由度体系的自由振动，自振频率 (刚度法和柔度法) 2. 单自由度体系的强迫振动，动力系数，动内力和动位
移幅值(振幅) 3. 多自由度体系的自由振动的频率及主振型的计算 (刚度
法和柔度法) 4. 多自由度体系受同步简谐动荷作用下的动内力和动位
移幅值的计算
掌握所涉及到的所有公式。
2 1 [( k11 k22 ) ( k11 k22 )2 4(k11k22 k12k21) ]
2 m1 m2
结构动力学的刚度系数柔度系数通用课件
扭曲刚度系数计算
扭曲刚度系数定义
01
扭曲刚度系数是衡量结构在扭曲载荷下抵抗变形的能力的系数。
扭曲刚度系数的计算公式
02
扭曲刚度系数可以通过结构材料的弹性模量和截面极惯性矩计
算得出。
扭曲刚度系数的物理意义
03
扭曲刚度系数越大，表示结构在扭曲载荷下的变形越小，结构
的抗扭能力越强。
复合受力下的刚度系数计算
分析方法
通过对处理后的数据进行统计分析、曲线拟合、模式识别等，可以进一步分析结构的动力学特性，包括固有频率、 阻尼比等参数。此外，还可以通过对比不同结构的响应数据，评估不同结构的动力学性能。
实验结果及讨论
实验结果
实验测得了不同结构在不同激振条件下的响 应数据，包括加速度和位移。通过对数据进 行处理和分析，得到了不同结构的刚度系数 和柔度系数以及相关的动力学参数。
刚度系数和柔度系数是结构动力学中两个重要的概念，可以反映结构的刚度和柔度性质。
本文通过理论和实例分析，对结构动力学中的刚度系数和柔度系数进行了详细阐述，并介绍了它们在工 程实际中的应用和意义。
对未来研究的展望
随着科学技术的发展，结构动力学的研究领域将不断扩大，对刚度系数和柔度系数 的认识也将更加深入。
复合受力下的柔度系数的计算
复合受力下的柔度系数可以通过结构在复合力作用下的变形量进行计算。
03
复合受力下的柔度系数的影响因素
复合受力下的柔度系数受到材料性质、截面形状、边界条件等因素的影
响。
04
刚度系数与柔度系数的应用
在结构设计中的应用
刚度系数
在结构设计中，刚度系数是用来衡量结构抵抗变形的能力。通过计算和分析刚度 系数，可以确定结构的稳定性、承载能力和振动特性。
《结构力学》-龙驭球-10-动力学(6)
频率与反对称主振型的自振频率相等时才发
Y1
D1 D0
,
Y2
D2 D0
生共振。
不会趋于无穷大，不发生共振， 共振区只有一个。
Y1 FI1 / m1 2 Y2 FI 2 / m2 2
4.当 1 或 2 时
(11 1/ m1 2 )FI1 12 FI 2 1P 0 Y1 Y2
21FI1 ( 22 1/ m2 2 )FI 2 2P 0
§10-6 两个自由度体系在简谐荷载下的受迫振动
1、刚度法
m1 y..1 k11 y1 k12 y2 m2 y..2 k21 y1 k22 y2
F0P1(t) F0P2 (t)
如FP1(t) FP1 sint FP2 (t) FP2 sint
y1(t) Y1 sint 在平稳阶段，各质点也作简谐振动： y2 (t) Y2 sint
当 m1 = m2 = m，k1 = k2 = k
Y1
FP
(k
D0
2m)
D0 (2k m 2 )(k m 2 ) k 2
Y2
FP k D0
D0
k2k11k2k22132 mk2m1kmk2222k1m2k22mm 24
2 mD214 FPk1 2k22 2m2 m2D(2mk22 FP32 mkk11 2 2m41)
已知：m1 m2 m, 3.415
EI ml 3
解： Y1 11 (Fp FI1 ) 12 FI 2
Y2 21 (Fp FI1 ) 22 FI 2
Y1 FI1 / m1 2 Y2 FI 2 / m2 2
Fp sin t
m1
m2
l / 3 y1 lE/I3y2 l / 3
▲ 结构动力计算期末复习
—— 振动微分方程
2.位移方程法（柔度法）
FP=1
静平衡位置为原点 方程与重力无关 单位力引起的位移
δ
δ＝1/k
m
（1）确定柔度系数 δ
I (t ) my
y
（2）规定位移的正向（定坐标）
（3）标出惯性力（沿正向）
（4）写出位移方程（考虑结构的位移协调）
y(t ) I (t ) my(t ) —— 惯性力引起的位移
1 192 EI 134.16s 1 m 5ml 3
1 1
2 2
1.552
3)求yDmax ， MDmax
yD max 5l 3 1.552 20 103 5 43 P P 5.75 103 m 192 EI 192 90 105
4.弄懂共振原理，以及阻尼对共振区的重大影响。
三.两个（多个）自由度体系的自由振动 1.会列振动方程，并用矩阵式表示，刚、柔度法均掌握；
m1 0 0 1 k11 y k m2 y2 21 k12 y1 0 y 0 k22 2
62.8 2
2
0.33
2）动力荷载幅值所引起的静位移 P P y st P k m 2 4.9 9.8 1000 0.1 mm 2 123 62.6
Psinθt
m 1m
3）最大动力位移 [ y( t )]Dmax yst 0.033mm 4）振幅
——
（3）方法选择
柔度法
取决于结构的 刚度系数 柔度系数
谁较容易求得。
静定结构，图乘法求δ
顺利求解刚（柔）度系数是自由振动分析的关键！
▲ 结构刚、柔度概念强化和灵活应用
6EI k0 = = 3 δ l
1
6EI k = k0 = 3 l
[例3]求图示结构 点的竖向刚度k。 3]求图示结构C点的竖向刚度 。 求图示结构 点的竖向刚度 C EI l EI l EI EA=∞ EI l
刚度示意图） （刚度示意图）
∆=1
k
6i/l
k
12i/l2
解： 由图示可见，相当于四根两端固支梁并联。 由图示可见，相当于四根两端固支梁并联。
k0
[例2]求图示结构 点的竖向刚度。 2]求图示结构B点的竖向刚度。 求图示结构 点的竖向刚度
A
E1I1=∞
B EA=∞ EI
A
E1I1=∞（等效图） 等效图）Fra bibliotekB k0
l /2
l /2
l
解： 1）作等效图 ） 2）简支梁中点柔度 ）
(2l )3 l3 δ= = 48 EI 6 EI
3）B点竖向刚度 ） 点竖向刚度
h1
i1
i2
h2
k = k左柱 + k右柱 =
∞ h
总侧移刚度： 总侧移刚度：
i1
i2
k = k左柱 + k右柱
n
12 i1 12 i2 = 2 + 2 h h
并联一般公式： 并联一般公式：
k = ∑kj
j =1
（2）串联 ）
∆ P h2 h1 k2 ∆1 ∆2
1 ∆1 = P iδ1 = Pi k1
结构刚、 ▲ 结构刚、柔度概念强化和灵活应用
1. 刚、柔度概念
δ 1
柔度δ 单位力引起的位移。 柔度 —— 单位力引起的位移。 力偶） 转角） （力偶） （转角）
1 k
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三、自由振动微分方程的解
y(t ) Asin( t )
四、结构的自振周期和频率
k 1 m m
T
2
五、例题
m
l /2 1 EI l /2
[例1] 计算图示结构的频率和周期。 （柔度法） 解：
1 m
l 48EI
ml 3 T 2 48EI
3
48 EI ml 3
1
k22 k2
k12 k2
k2
EI∞
k11 k1 k2
1
k1
k1 、k2 —— 楼层刚度（本楼层单位侧移所需的侧向力） k11 、k12 、k21 、k22 —— 位移法的刚度系数 kij
kij
—— 第j 个结点位移发生单位位移(其它结点位移均锁固)时， 在第i 个结点位移处产生的反力。
h EI EI
3EI 3EI 6EI k k左柱 k右柱 3 3 3 h h h
总侧移刚度：
h2
h1
i1
i2
k k左柱 k右柱
3 i1 3 i2 2 2 h1 h2
∞ h
总侧移刚度：
i1
i2
12 i1 12 i2 k k左柱 k右柱 2 2 h h
（刚度并联，两者叠加）
k
k11 k
EI
1
l
3EI l3
k11 m
3 EI
l3
k m
[例7]计算图示刚架的频率和周期。
1
m EI1= I I h
k
解： （刚度法）
由柱刚度并联 得：
12 EI 24 EI k 2 3 3 h h
k 24 EI m mh3
mh3 T 2 2 EI
2
[例8]建立图示结构的振动方程，并计算自振频率。
A l /2
2m
EI=∞
m k
l /4
解： （刚度法） 由∑MA=0 得：
l /2
4 y （位移几何关系） 5 4 k ( y) 5 2m
1
[例2] 计算图示结构的水平和竖向振动频率。
m
H
1
解：
V
E,I E,A
1 H m H
l3 其中 H 3EI
l 其中 v EA
A,E,I
l
1 V mV
[例3] 图示三根单跨梁，EI为常数，在梁中点有集中质量m ， 不考虑梁的质量，试比较三者的自振频率。 m m m
1 1 1 1 k k1 k2 k3
3）计算顶端侧移
1 1 1 P P k1 k2 k3 2 2 h3 P h12 h2 24 i1 i2 i3
▲单自由度体系的自由振动要点回顾
一、自由振动 二、振动微分方程的建立
由图示可知：
k11=k1+k2
k12=k21=－k2
k22=k2
3. 应用举例
P
求图示三层刚架的顶端侧移。
解： 1）计算各楼层（侧移）刚度
i3 i2
i3 i2
12i1 k1 2 2 h1
12i2 k2 2 2 h2
12i3 k3 2 2 h3
（柱并联）
i1
i1
2）计算楼顶点（侧移）柔度
（1）刚度法 （2）柔度法
——
ky 0 my
y 2 y 0
——
研究作用于被隔离的质量上的力，建立 平衡方程，需要用到刚度系数。 研究结构上质点的位移，建立位移协调方程， 需要用到柔度系数。
超静定结构，查表（形常数）
取决于结构的
刚度系数 柔度系数
谁较容易求得。
静定结构，图乘法求δ
l/2 l/2
3 l/ 16
l/2
l/2
P=1
l/2
l/2
1 ，先求δ 解： m
l 1 48EI
3
l/
2
3l /32 7l5 2 P=1 768EI
l3 3 192 EI
1
48 EI ml 3
3 192 EI 1 l 2 768 l EI 3l l 5l 7l 2 2 (2 3 )3 EI 6 2ml 16 2 32 768 EI 7 ml 3
5
1 87.35 S 1 m
[例5]求图示结构的自振圆频率。
A
h
m
I→∞ EI C
解：先求δ
B
l
1 lh 2h lh 2 EI 2 3 3EI
1
h h
1 3EI 2 m11 mlh
[例6]求图示结构的自振频率。 解：先求k11
k11 m
3EI k11 k 3 l
▲ 结构的刚、柔度系数 复习
1. 刚、柔度概念
δ 1
补充内容
柔度 —— 单位力引起的位移。 （力偶） （转角）
1 k
刚度 —— 单位位移所需施加的力。 （转角） （力偶）
两者的互逆关系：
K δ
k 1
1
单自由度时：
● 熟记几种简单情况的刚、柔度
δ 1
悬臂梁自由端： l3 3EI
k1
、k2 — 楼层刚度
12i2 k2 2 h2
总刚度：
k
P 1 1 1
k1 k2
12i1 k1 2 h1
串联一般公式：
n 1 1 1 1 1 k k1 k2 kn j 1 k j
▲ 楼层刚度与位移法刚度系数的关系
EI∞
k21 k2
并联一般公式：
k kj
j 1
n
（2）串联
Δ P h2 k2 Δ1 Δ2
1 1 P 1 P k1
楼面刚度 为无穷大 视同刚臂
1 2 P 2 P k2
h1
k1
1 1 1 1 1 2 P P P k1 k2 k1 k2
k
3EI l3
i
1 k
两端固支梁侧移刚度： 12 EI 12i k 3 2 l l
i
1
一固一铰支梁的侧移刚度:（同悬臂梁） 1 3EI 3i k 3 2 l l k 简支梁中点柔度、刚度：
l3 48EI 48E联、串联刚度 （1）并联 总侧移刚度：
据此可得：ω1 ׃ω2 ׃ω3= 1 ׃1.512 ׃2
结构约束越强,则刚度越大, 其自振动频率也越大。
[例4] 图示桁架，E=206GPa , A=0.002m2 , mg=40KN , 计算自振频率。( g取10m/s2 )
1
（柔度法） 解：
3
m 4 4
( Fn )i2 li 243 EA 18EA i 1