结构的刚度柔度系数 (1)
刚度是什么意思 刚度系数.doc
刚度是什么意思刚度系数刚度是指材料或结构在受力时抵抗弹性变形的能力。
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刚度是什么意思刚度系数拼音：[gāng dù]英文：Stiffness类别：物理名词释义：刚度是指材料或结构在受力时抵抗弹性变形的能力。
是材料或结构弹性变形难易程度的表征。
材料的刚度通常用弹性模量E来衡量。
在宏观弹性范围内，刚度是零件荷载与位移成正比的比例系数，即引起单位位移所需的力。
它的倒数称为柔度，即单位力引起的位移。
刚度可分为静刚度和动刚度。
基本介绍刚度是使物体产生单位变形所需的外力值。
刚度与物体的材料性质、几何形状、边界支持情况以及外力作用形式有关。
材料的弹性模量和剪切模量(见材料的力学性能)越大，则刚度越大。
细杆和薄板在受侧向外力作用时刚度很小，但细杆和薄板如果组合得当，边界支持合理，使杆只承受轴向力，板只承受平面内的力，则它们也能具有较大的刚度。
在自然界，动物和植物都需要有足够的刚度以维持其外形。
在工程上，有些机械、桥梁、建筑物、飞行器和舰船就因为结构刚度不够而出现失稳，或在流场中发生颤振等灾难性事故。
因此在设计中，必须按规范要求确保结构有足够的刚度。
但对刚度的要求不是绝对的，例如，弹簧秤中弹簧的刚度就取决于被称物体的重量范围，而缆绳则要求在保证足够强度的基础上适当减小刚度。
研究刚度的重要意义还在于，通过分析物体各部分的刚度，可以确定物体内部的应力和应变分布，这也是固体力学的基本研究方法之一。
静刚度与动刚度概述静载荷下抵抗变形的能力称为静刚度。
动载荷下抵抗变形的能力称为动刚度，即引起单位振幅所需的动态力。
如果干扰力变化很慢(即干扰力的频率远小于结构的固有频率)，动刚度与静刚度基本相同。
干扰力变化极快(即干扰力的频率远大于结构的固有频率时)，结构变形比较小，即动刚度比较大。
当干扰力的频率与结构的固有频率相近时,有共振现象,此时动刚度最小，即最易变形，其动变形可达静载变形的几倍乃至十几倍。
刚架的刚度系数计算过程
刚架的刚度系数计算过程计算公式：k=P/δ，P是作用于结构的恒力，δ是由于力而产生的形变。
刚度的国际单位是牛顿每米（N/m）。
在自然界，动物和植物都需要有足够的刚度以维持其外形。
在工程上，有些机械、桥梁、建筑物、飞行器和舰船就因为结构刚度不够而出现失稳，或在流场中发生颤振等灾难性事故。
因此在设计中，必须按规范要求确保结构有足够的刚度。
但对刚度的要求不是绝对的，例如，弹簧秤中弹簧的刚度就取决于被称物体的重量范围，而缆绳则要求在保证足够强度的基础上适当减小刚度。
扩展资料
构件变形常影响构件的工作，例如齿轮轴的过度变形会影响齿轮啮合状况，机床变形过大会降低加工精度等。
影响刚度的因素是材料的弹性模量和结构形式，改变结构形式对刚度有显著影响。
刚度计算是振动理论和结构稳定性分析的基础。
在质量不变的情况下，刚度大则固有频率高。
静不定结构的应力分布与各部分的刚度比例有关。
在断裂力学分析中，含裂纹构件的应力强度因子可根据柔度求得。
刚度测量有静态测量和动态测量两种测量法。
静态测量方法是通过确定施加于弹挠性零上的力矩和转角（或力和位移）的大小，直接用胡克定律算出刚度系数K值，可得出扭矩一转角力-位移的特性曲线。
称为柔度系数
称为柔度系数
柔度系数是一个描述物体柔软性和变形程度的物理量。
在不同的领域和应用背景下，柔度系数的定义和计算方式可能有所不同。
在材料力学中，柔度系数用于描述材料在受到外力作用后发生变形的程度。
这个系数有助于定量比较不同材料的柔软性，是材料选择和设计过程中的重要参数。
在管道设计中，柔度系数表示弯管相对于直管在受弯矩时柔度增加的程度。
这个系数是通过比较在相同变形条件下，按一般弯曲理论求得的弯矩与考虑了界面扁平效应时的弯矩的比值来计算的。
这对于理解和预测管道的变形行为以及优化管道设计具有重要意义。
在车辆工程中，柔度系数用于描述车辆在特定条件下的变形行为。
例如，当车辆静止停留在超高为h的线路上时，由于超高，车体在簧上倾斜并与垂直于轨面的中心线形成一个角度。
这个角度与车轮滚动平面（钢轨顶面）与水平面形成的角度的比值被称为车辆柔度系数。
这个系数对于理解车辆的稳定性和舒适性以及优化车辆设计具有重要作用。
在土力学和地基基础设计中，柔度系数用于描述地基与梁之间的相对刚度。
这个系数是地基的刚度与梁的刚度的比值，也就是梁的柔度与地基的柔度的比值。
柔度系数在这个领域的应用有
助于理解和预测地基和梁的相互作用以及优化基础设计。
总的来说，柔度系数是一个广泛应用于多个领域的物理量，用于描述物体在力的作用下的变形行为。
具体的定义和计算方式取决于应用领域和具体问题的背景。
在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的定义和计算方式，并结合其他相关因素进行综合分析和判断。
结构动力学的刚度系数柔度系数
[例2] 计算图示结构的水平和竖向振动频率。
m
H
1
解：
V
E,I E,A
1 H m H
l3 其中 H 3EI
l 其中 v EA
A,E,I
l
1 V mV
[例3] 图示三根单跨梁，EI为常数，在梁中点有集中质量m ， 不考虑梁的质量，试比较三者的自振频率。 m m m
my
（惯性力和弹力）
▲ 结构的刚、柔度系数 复习
1. 刚、柔度概念
δ 1
补充内容
柔度 —— 单位力引起的位移。 （力偶） （转角）
1 k
刚度 —— 单位位移所需施加的力。 （转角） （力偶）
两者的互逆关系：
K δ
k 1
1
单自由度时：
● 熟记几种简单情况的刚、柔度
δ 1
悬臂梁自由端： l3 3EI
并联一般公式：
k kj
j 1
n
（2）串联
Δ P h2 k2 Δ1 Δ2
1 1 P 1 P k1
楼面刚度 为无穷大 视同刚臂
1 2 P 2 P k2
h1
k1
1 1 1 1 1 2 P P P k1 k2 k1 k2
（1）刚度法 （2）柔度法
——
ky 0 my
y 2 y 0
——
研究作用于被隔离的质量上的力，建立 平衡方程，需要用到刚度系数。 研究结构上质点的位移，建立位移协调方程， 需要用到柔度系数。
超静定结构，查表（形常数）
取决于结构的
刚度系数 柔度系数
谁较容易求得。
静定结构，图乘法求δ
结构动力学的刚度系数柔度系数汇总.
三、自由振动微分方程的解
y(t ) Asin( t )
四、结构的自振周期和频率
k 1 m m
T
2
五、例题
m
l /2 1 EI l /2
[例1] 计算图示结构的频率和周期。 （柔度法） 解：
1 m
l 48EI
ml 3 T 2 48EI
3
48 EI ml 3
1
k22 k2
k12 k2
k2
EI∞
k11 k1 k2
1
k1
k1 、k2 —— 楼层刚度（本楼层单位侧移所需的侧向力） k11 、k12 、k21 、k22 —— 位移法的刚度系数 kij
kij
—— 第j 个结点位移发生单位位移(其它结点位移均锁固)时， 在第i 个结点位移处产生的反力。
h EI EI
3EI 3EI 6EI k k左柱 k右柱 3 3 3 h h h
总侧移刚度：
h2
h1
i1
i2
k k左柱 k右柱
3 i1 3 i2 2 2 h1 h2
∞ h
总侧移刚度：
i1
i2
12 i1 12 i2 k k左柱 k右柱 2 2 h h
（刚度并联，两者叠加）
k
k11 k
EI
1
l
3EI l3
k11 m
3 EI
l3
k m
[例7]计算图示刚架的频率和周期。
1
m EI1= I I h
k
解： （刚度法）
由柱刚度并联 得：
12 EI 24 EI k 2 3 3 h h
k 24 EI m mh3
柔度系数
l3 其中 H 3EI
A,E,I
l
l 其中 v EA
[例3] 图示三根单跨梁，EI为常数，在梁中点有集中质量m ， 不考虑梁的质量，试比较三者的自振频率。 m m m
l/2 l/2
3 l/ 16
l/2
l/2
P=1
l/2
l/2
1 ，先求δ 解： m
l3 1 48 EI
l/
1
6 EI h2
V
1 m V
由截面平衡
6 EI h2
12 EI h3
k
12 EI h3
k
24EI h3
k 24EI m m h3
6 EI h2
6 EI h2
m h3 T 2 2 EI 1
● 熟记几种简单情况的刚、柔度
δ 1
悬臂梁自由端： l3 3EI
k
3EI l3
(－0.05%） (－0.7%）
(－4.8%）
9
例5、求图示结构的自振圆频率。 解法1：求 k k 1 m
θ=1/h
EI 3EI 3 l lh
A
h
MBA=kh = MBC
I→∞
θ
EI
B
C
l
3EI k 2 lh
1
k 3EI m m h2l
解法2：求 δ h
1 lh 2h lh 2 EI 2 3 3EI
kij
—— 第j 个结点位移发生单位位移(其它结点位移均锁固)时， 在第i 个结点位移处产生的反力。
由图示可知：
k11=k1+k2
k12=k21=－k2
k22=k2
3. 应用举例
用柔度法求自振频率的特征方程
用柔度法求自振频率的特征方程用柔度法求自振频率的特征方程1. 引言自振现象是物体在受到外力作用后出现的特定频率的振动现象。
为了研究物体的自振频率，我们可以使用柔度法来求解它的特征方程。
柔度法是运用力学基本原理和概念，将结构物件视为一个弹簧和质点系统，并通过柔度系数来描述结构的刚度。
本文将从柔度法的基本原理、具体求解步骤和应用等方面进行全面评估和探讨。
2. 柔度法基本原理柔度法的基本原理是将结构物体近似地看作由一系列弹簧和质点组成的系统。
对于每一个质点，我们可以写出它受力平衡的方程。
假设系统中有n个自由度，我们可以得到n个未知的平衡方程，这些平衡方程可以进一步组成一个关于未知变量的线性方程组。
柔度系数是描述结构物体刚度的参数，它可以通过力和位移的关系来确定。
在柔度法中，我们通过对结构物体施加单位力后测量其对应的位移，从而得到柔度系数。
通过测量不同点的柔度系数，我们可以得到结构物体的柔度矩阵，并可以将其转化为刚度矩阵进行分析。
3. 求解步骤（1）建立结构的柔度矩阵根据结构物体的几何形状和材料参数，我们可以推导出其柔度矩阵。
柔度矩阵描述了结构物体在单位力作用下的位移响应，它是一个对称的矩阵。
（2）建立平衡方程根据柔度矩阵，我们可以建立结构物体的平衡方程。
平衡方程是根据质点和弹簧的受力平衡条件建立的，通过推导可以得到一个关于位移响应和力的线性方程组。
（3）求解特征方程通过对平衡方程进行变量分离和整理，我们可以得到一个特征方程。
特征方程是一个关于自振频率的方程，通过求解特征方程的根，可以得到结构物体的自振频率。
4. 应用实例柔度法可以应用于不同领域的结构物体动力学分析中。
在机械工程中，我们可以使用柔度法来研究弹簧系统、摆线机构等的自振现象。
在土木工程中，柔度法可以用于研究桥梁、楼房等结构物体的自振频率。
柔度法也可以应用于电工、航空航天等领域。
5. 总结与回顾通过使用柔度法求解自振频率的特征方程，我们可以研究结构物体的振动现象。
柔度系数符号
柔度系数符号1. 什么是柔度系数？柔度系数是一种用于描述材料柔软性的物理量。
它是指材料在受到外力作用后发生变形的程度。
柔度系数通常用符号表示，可以用于定量比较不同材料的柔软性。
2. 柔度系数的符号表示柔度系数一般用小写字母表示，常见的符号有：•ε：表示材料的应变（strain），是指材料在受到外力作用后相对于初始状态的变形程度。
应变可以是线性的，也可以是非线性的，取决于材料的性质。
•σ：表示材料的应力（stress），是指材料单位面积上受到的力的大小。
应力可以是拉伸应力、剪切应力等不同类型的应力。
•E：表示材料的弹性模量（Young’s modulus），是指材料在拉伸或压缩时的应力和应变之间的比例关系。
弹性模量可以用来描述材料的刚度。
•G：表示材料的剪切模量（shear modulus），是指材料在剪切应力下的变形程度。
剪切模量可以用来描述材料的刚度。
•ν：表示材料的泊松比（Poisson’s ratio），是指材料在拉伸或压缩时在垂直方向上的收缩或伸长程度与拉伸方向上的应变之间的比例关系。
3. 柔度系数的计算方法柔度系数可以通过应力和应变之间的关系来计算。
对于线性弹性材料，柔度系数可以用弹性模量和泊松比来表示：柔度系数 = 弹性模量 / (2 * (1 + 泊松比))对于非线性材料，柔度系数的计算相对复杂，需要考虑材料的应力-应变曲线。
4. 柔度系数的应用柔度系数在材料科学和工程中有广泛的应用。
它可以用来比较不同材料的柔软性，帮助工程师选择合适的材料。
柔度系数还可以用来设计和优化结构，以确保其在受力时具有良好的变形性能。
在纺织工业中，柔度系数可以用来评估织物的柔软性和弹性。
这对于设计舒适的服装和纺织品非常重要。
在建筑工程中，柔度系数可以用来评估建筑材料的变形能力和抗震性能。
它可以帮助工程师设计出更安全、更稳定的建筑结构。
在医学领域，柔度系数可以用来评估组织和器官的柔软性。
例如，在眼科学中，柔度系数可以用来评估角膜的弹性，帮助医生诊断角膜病变。
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解：
V
E,A
1 H m H
l3 其中 H 3EI
l 其中 v EA
l
1 V mV
[例3] 图示三根单跨梁，EI为常数，在梁中点有集中质量m ， 不考虑梁的质量，试比较三者的自振频率。 m m m
l/2
l/2
3 l/ 16
l/2
l/2
P=1
l/2
l/2
1 ，先求δ 解： m
1 1 1 1 k k1 k2 k3
3）计算顶端侧移
1 1 1 P P k1 k2 k3
2 2 h3 P h12 h2 24 i1 i2 i3
▲单自由度体系的自由振动要点回顾
一、自由振动 二、振动微分方程的建立 （1）刚度法 （2）柔度法
y
化简得：
A
m
33my 16ky 0
2 2m( y ) 5
（惯性力和弹力）
my
16k 33m
[例9]建立图示结构的振动方程，并计算自振频率。
A
m
E1I1=∞
m EA=∞ EI
A
m
E1I1=∞ k
m
（等效图）
l /2
l /2
l
1 y 2
（位移几何关系） A
y
（刚度法） 解：
(2l )3 l3 48EI 6 EI
h EI EI
3EI 3EI 6 EI k k左柱 k右柱 3 3 3 h h h
总侧移刚度：
h1
i1
i2
h2
k k左柱 k右柱
3 i1 3 i2 2 2 h1 h2
∞ h
总侧移刚度：
i1
i2
12 i1 12 i2 k k左柱 k右柱 2 2 h h
四、结构的自振周期和频率
k 1 m m
T
2
五、例题 m
l /2
1 EI
[例1] 计算图示结构的频率和周期。 （柔度法） 解：
l /2
1 m
l3 48EI
ml 3 T 2 48EI
48EI ml 3
1
[例2] 计算图示结构的水平和竖向振动频率。
m
H
1 A,E,I E,I
6 EI k 3 l
1
ky
1 m( y ) 2
由∑MA=0 得： y l m( ) my l ky l 0 2 2 化简得： 5my 4ky 0 4k 24 EI 5m 5ml 3
my
（惯性力和弹力）
[例10] 建立图示结构的振动方程，并计算自振频率、周期。 m k EI EA=∞ EI l
—— ——
my ky 0
y y 0
2
研究作用于被隔离的质量上的力，建立 平衡方程，需要用到刚度系数。 研究结构上质点的位移，建立位移协调方程， 需要用到柔度系数。
超静定结构，查表（形常数）
取决于结构的
刚度系数 柔度系数
谁较容易求得。
静定结构，图乘法求δ
三、自由振动微分方程的解
y(t ) Asin( t )
▲ 结构的刚、柔度系数 复习
1. 刚、柔度概念
δ
1
补充内容
柔度 —— 单位力引起的位移。 （力偶） （转角）
1
k
刚度 —— 单位位移所需施加的力。 （转角） （力偶）
两者的互逆关系： 单自由度时：
K δ
k 1
1
● 熟记几种简单情况的刚、柔度
δ
1
悬臂梁自由端： l3 3EI
k1
、k2 — 楼层刚度
12i2 k2 2 h2
总刚度：
k
P 1 1 1
k1 k2
12i1 k1 2 h1
串联一般公式：
1 1 1 k k1 k2
n 1 1 kn j 1 k j
▲ 楼层刚度与位移法刚度系数的关系
EI∞
k21 k2
1
k22 k2
k12 k2
k2
EI∞
k11 k1 k2
1
k1
k1 、k2 —— 楼层刚度（本楼层单位侧移所需的侧向力） k11 、k12 、k21 、k22 —— 位移法的刚度系数 k ij
kij
—— 第j 个结点位移发生单位位移(其它结点位移均锁固)时， 在第i 个结点位移处产生的反力。
2
[例8]建立图示结构的振动方程，并计算自振频率。
A
l /2
2m
EI=∞
m k
l /4
解： （刚度法）
l /2
由∑MA=0 得：
4 y （位移几何关系） 5 4 k ( y) 5 2m
k
2 y 5
2 l 5l 4 2m( y) my k ( y) l 0 5 2 4 5
由图示可知：
k11=k1+k2
k12=k21=－k2
k22=k2
3. 应用举例
P
求图示三层刚架的顶端侧移。 解： 1）计算各楼层（侧移）刚度
i3 i2
i3 i2
12i1 k1 2 2 h1
12i2 k2 2 2 h2
12i3 k3 2 2 h3
（柱并联）
i1
i1
2）计算楼顶点（侧移）柔度
l3 1 48EI
l/
2
3l /32 7l5 2 P=1 768EI
l3 3 192 EI
48EI 1 ml 3
3 192 EI 1 l 2 768 l EI 3l l 5l 7l 2 2 (2 3 )3 EI 6 2ml 16 2 32 768EI 7 ml 3
据此可得：ω1 ׃ω2 ׃ω3= 1 ׃1.512 ׃2 结构约束越强,则刚度越大, 其自振动频率也越大。
[例4] 图示桁架，E=206GPa , A=0.002m2 , mg=40KN , 计算自振频率。( g取10m/s2 )
1
（柔度法） 解：
3
m 4 4
( Fn )i2 li 243 EA 18EA i 1
2
k
EI
l EI
Δ=1
6i/l
l
12i/l2
48EI k 4 12i / l 3 刚度并联： 解： l 48EI y0 振动方程 my ky 0 即 my 3 l
k m
48EI 3 ml
ml 3 T 2 48EI
结 束
（第二版）作业: 10 — 4、5
并联一般公式：
k kj
j 1
nห้องสมุดไป่ตู้
（2）串联
Δ P h2 h1 k2 Δ1
Δ2
1 1 P 1 P k1
楼面刚度 为无穷大 视同刚臂
1 2 P 2 P k2
k1
1 1 1 1 1 2 P P P k1 k2 k1 k2
3EI k 3 l
i
1 k
两端固支梁侧移刚度： 12 EI 12i k 3 2 l l
i
1
一固一铰支梁的侧移刚度:（同悬臂梁） 1 3EI 3i k 3 2 l l k 简支梁中点柔度、刚度：
l3 48EI 48EI k 3 l
δ
2. 柱的并联、串联刚度 （1）并联
总侧移刚度：
（刚度并联，两者叠加）
1
l
3EI l3
k
k11 m
3 EI
l3
k m
[例7]计算图示刚架的频率和周期。
1
m EI1= I I
h
k
解： （刚度法） 由柱刚度并联 得：
12 EI 24 EI k 2 3 3 h h
k 24 EI m mh3
mh3 T 2 2 EI
5
1 87.35 S 1 m
[例5]求图示结构的自振圆频率。
A
m
I→∞
解：先求δ
EI
l
h
B
C
1 lh 2h lh2 EI 2 3 3EI
1
h
h
1 3EI 2 m11 mlh
[例6]求图示结构的自振频率。
解：先求k11
k11 m k k11
EI
3EI k11 k 3 l
第十三章 结构的动力计算
§13-1 动力计算的特点和动力自由度 §13-2 单自由度体系的自由振动 ▲ 结构的刚、柔度系数复习 §13-3 单自由度体系的强迫振动 §13-4 阻尼对振动的影响 §13-5 两个自由度体系的自由振动 §13-7 两个自由度体系在简谐荷载下的 强迫振动 §13-11 近似法求自振频率