刚度矩阵和柔度矩阵
弹性力学 本构方程 刚度矩阵 柔度矩阵
弹性力学本构方程刚度矩阵柔度矩阵弹性力学本构方程刚度矩阵柔度矩阵中文名称:弹性力学英文名称:theory of elasticity其他名称:弹性理论定义:研究弹性体在荷载等外来因素作用下所产生的应力、应变、位移和稳定性的学科。
所属学科:水利科技(一级学科) ;工程力学、工程结构、建筑材料(二级学科) ;工程力学(水利)(三级学科)弹性力学也称弹性理论，主要研究弹性体在外力作用或温度变化等外界因素下所产生的应力、应变和位移，从而解决结构或机械设计中所提出的强度和刚度问题。
在研究对象上，弹性力学同材料力学和结构力学之间有一定的分工。
材料力学基本上只研究杆状构件;结构力学主要是在材料力学的基础上研究杆状构件所组成的结构，即所谓杆件系统;而弹性力学研究包括杆状构件在内的各种形状的弹性体。
弹性力学是固体力学的重要分支，它研究弹性物体在外力和其它外界因素作用下产生的变形和内力，也称为弹性理论。
它是材料力学、结构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航天等工程领域。
弹性体是变形体的一种，它的特征为:在外力作用下物体变形，当外力不超过某一限度时，除去外力后物体即恢复原状。
绝对弹性体是不存在的。
物体在外力除去后的残余变形很小时，一般就把它当作弹性体处理。
弹性力学的发展大体分为四个时期。
人类从很早时就已经知道利用物体的弹性性质了，比如古代弓箭就是利用物体弹性的例子。
当时人们还是不自觉的运用弹性原理，而人们有系统、定量地研究弹性力学，是从17世纪开始的。
发展初期的工作是通过实践，探索弹性力学的基本规律。
这个时期的主要成就是R.胡克于1678年发表的弹性体的变形与外力成正比的定律，后来被称为胡克定律。
第二个时期是理论基础的建立时期。
这个时期的主要成就是，从1822,1828年间，在A.-L?柯西发表的一系列论文中明确地提出了应变、应变分量、应力和应力分量概念，建立了弹性力学的几何方程、平衡(运动)微分方程，各向同性和各向异性材料的广义胡克定律，从而为弹性力学奠定了理论基础。
力学柔度矩阵
力学柔度矩阵力学柔度矩阵是描述材料在受力作用下变形程度的重要工具。
它可以用来计算材料的弹性特性以及应力-应变关系。
在本文中，我们将探讨力学柔度矩阵的概念、计算方法以及其在工程领域中的应用。
力学柔度矩阵是一个3x3的矩阵，分别代表材料在x、y、z三个方向上的柔度。
该矩阵描述了材料受力后的变形情况，可以用于计算应力-应变关系。
柔度矩阵的推导基于胡克定律和线弹性理论。
根据胡克定律，应力与应变之间的关系可以表示为：σ = C * ε其中，σ是应力矢量，C是刚度矩阵，ε是应变矢量。
刚度矩阵C 是柔度矩阵的逆矩阵，两者之间存在以下关系：C = S^-1其中，S是柔度矩阵。
柔度矩阵的计算方法有多种。
一种常用的方法是通过实验测量得到材料的应力和应变数据，然后根据应力-应变关系求解柔度矩阵。
另一种方法是根据材料的几何形状和材料参数，利用解析解或数值方法计算柔度矩阵。
柔度矩阵在工程领域中有广泛的应用。
首先，它可以用于计算材料的弹性模量和剪切模量，从而评估材料的力学性能。
其次，柔度矩阵可以用于分析结构的应力分布和变形情况，帮助工程师设计更加稳定和可靠的结构。
此外，柔度矩阵还可以用于计算材料的热膨胀系数和热应力分布，对热力学问题的分析具有重要意义。
在实际工程中，柔度矩阵的计算通常是基于有限元分析方法进行的。
有限元分析是一种数值计算方法，将复杂的结构分割成许多小的单元，通过求解单元上的方程组得到整个结构的应力和变形情况。
在有限元分析中，柔度矩阵被用作材料的弹性特性输入，从而得到准确的结构响应。
力学柔度矩阵是描述材料力学特性的重要工具。
它可以用于计算材料的弹性模量、剪切模量和应力-应变关系。
柔度矩阵的计算方法有多种，常用的是基于实验数据或有限元分析。
在工程领域中，柔度矩阵被广泛应用于结构分析和设计中。
通过深入理解和应用柔度矩阵，工程师可以更好地评估材料的性能和结构的稳定性，从而提高工程项目的质量和安全性。
结构的刚度计算范文
结构的刚度计算范文一、结构的刚度概述结构的刚度是指结构在受到外力作用时产生的抗力，并且具有阻碍形变的能力。
在结构分析和设计中，刚度通常通过刚度矩阵或柔度矩阵来描述。
刚度矩阵可以通过结构的几何参数和材料参数来求解，从而得到结构的刚度信息。
二、结构的刚度计算方法1.刚度法刚度法是通过建立结构的刚度方程系统进行刚度计算的一种方法。
首先，将结构划分为单元，建立每个单元的刚度矩阵。
然后，根据单元的拓扑关系和约束条件，将单元刚度矩阵组装成整个结构的刚度矩阵。
最后，通过求解刚度方程组，得到结构的位移和应力分布。
刚度法适用于各种结构类型的刚度计算，但对于复杂结构，单元的建立和刚度矩阵的组装较为复杂。
2.弹性力学方法弹性力学方法是通过应力—应变关系，计算结构的刚度和应力分布的一种方法。
根据结构的材料特性和受力情况，可以得到材料的弹性模量和泊松比等参数。
然后，通过应力—应变关系，将结构的受力情况转化为应变和位移，进而计算结构的刚度和变形。
弹性力学方法适用于线性弹性材料的刚度计算，但对于非线性和超弹性材料，需要考虑材料的非线性特性和应变硬化等因素。
3.有限元方法有限元方法是一种将结构离散为有限个单元，通过单元间的刚度关系计算整个结构的刚度的方法。
首先，将结构按照一定的离散规则划分为单元，建立每个单元的刚度矩阵。
然后，根据单元的连接关系和约束条件，将单元刚度矩阵组装成整个结构的刚度矩阵。
最后，通过求解刚度方程组，得到结构的位移和应力分布。
有限元方法适用于各种结构类型的刚度计算，具有较高的计算精度和灵活性。
4.渐进弹性力学方法渐进弹性力学方法是通过渐进弹性力学原理，计算结构的刚度和应力分布的一种方法。
渐进弹性力学方法利用结构的渐进响应行为和应力局部化现象，通过运用变体原理和渐进流行度原理，建立线弹性刚度与载荷关系的微分方程组，并通过求解微分方程组得到结构的刚度和变形。
三、刚度计算的工程应用结构的刚度计算在工程设计中具有广泛的应用。
多自由度振动体系的刚度矩阵和柔度矩阵的关系
多自由度振动体系的刚度矩阵和柔度矩阵的关系多自由度振动体系的刚度矩阵和柔度矩阵是描述系统动力学性质的重要工具。
本文将详细探讨这两个矩阵之间的关系，以及它们在动力学分析中的应用。
先来看一下多自由度振动体系的定义。
一个多自由度振动体系由多个具有自由度的质点组成，这些质点可以在空间中以不同的方式运动。
对于一个包含n个自由度的系统，其运动状态可以由n个广义坐标表示。
这些广义坐标的变化随时间的导数称为广义速度，而广义速度的变化随时间的导数称为广义加速度。
在动力学分析中，我们需要知道系统中各个自由度的变化方式，即广义坐标如何随时间变化。
为了推导出系统的振动方程，我们需要引入两个重要的概念：刚度和柔度。
刚度是描述系统对应力或应变的响应程度的物理量。
对于一个弹簧系统，刚度越大，弹簧对作用力的响应越强，相应的系统振动频率也越高。
在多自由度振动体系中，可以用刚度矩阵来描述系统的刚度性质。
柔度是描述系统对形变的响应程度的物理量。
对于一个弹性材料，柔度越大，材料对形变的响应越强，相应的系统振动频率也越低。
在多自由度振动体系中，可以用柔度矩阵来描述系统的柔度性质。
那么刚度矩阵和柔度矩阵之间的关系是什么呢？首先，我们需要理解刚度和柔度与位移之间的关系。
根据胡克定律，刚度和位移之间呈线性关系。
对于一个自由度振动体系，有如下表达式：F = kx式中，F是作用在系统上的外力，k是系统的刚度，x是位移。
这表明，位移与系统的刚度成正比。
同样地，柔度和位移之间也呈线性关系，但是比例系数的倒数。
对于一个自由度振动体系，有如下表达式：x = F/c式中，c是系统的柔度。
这表明，位移与系统的柔度成反比。
接下来，我们将讨论多自由度振动体系中刚度矩阵和柔度矩阵的关系。
考虑一个具有n个自由度的振动体系，其刚度矩阵为K，柔度矩阵为C。
如果我们取系统的位移为一个n维列向量x，广义力为一个n维列向量f，那么系统的运动方程可以表示为：M*dx^2/dt^2 + C*dx/dt + K*x = f式中，M是系统的质量矩阵。
几个基本常数弹性模量-泊松比-应力应变曲线
全应力-应变曲线测量岩石的应力应变曲线一般可以有两中试验机：一种是，柔性试验机，使用这种试验机测量时，容易发发生“岩爆”现象，导致试验中不能得到峰值以后的应力应变信息。
另种是，刚性试验机，这种试验机刚度比较高，有“让压”的特点，就不会有“岩爆”现象发生，可以得到全应力-应变曲线用以研究岩石破裂的性质。
刚度矩阵的物理意义：单元刚度矩阵的物理意义，一句话概括说来就是各个节点在广义力的作用下节点的位移变化量。
强度是零件的抗应力程度，反映的是什么时候断裂，破损等刚度反映的是变形大小，就是零件受力后的变形。
刚度矩阵和柔度矩阵的物理意义:一般将刚度矩阵记为[D]，柔度矩阵为[C]，二者互为逆矩阵。
[C]矩阵中任一元素Cij的物理意义为：当微小单元体上仅作用有j方向的单位应力增加，而其他方向无应力增量时，i方向的应变增量分量就等于Cij。
[D]矩阵中任一元素Dij的物理意义为：要使微小单元体只在j方向发生单位应变，而其他方向不允许发生应变，则必须造成某种应力组合，在这种应力组合中，i方向应力分量为Dij。
对于各向异性材料，[D]和[C]都是非对称矩阵，从机理上来说是合理的，然而它给数学模型带来复杂性，也增加了有限元计算的困难。
从工程实用的角度来考虑，往往忽略这种非对称性，而处理为对称矩阵。
物理概念：氏模量和泊松比在弹性围大多数材料服从虎克定律，即变形与受力成正比。
纵向应力与纵向应变的比例常数就是材料的弹性模量E，也叫氏模量。
而横向应变与纵向应变之比值称为泊松比μ，也叫横向变性系数，它是反映材料横向变形的弹性常数。
氏模量(Young's modulus)是表征在弹性限度物质材料抗拉或抗压的物理量，它是沿纵向的弹性模量。
1807年因英国医生兼物理学家托马斯·(ThomasYoung, 1773-1829) 所得到的结果而命名。
根据胡克定律，在物体的弹性限度，应力与应变成正比，比值被称为材料的氏模量，它是表征材料性质的一个物理量，仅取决于材料本身的物理性质。
第2组-实验9 柔度矩阵和刚度矩阵测定实验方案
位移
Байду номын сангаас
刚度法（1 点） 实验次数 位移 X/mm 1 2 3 平均值
1.04 0.76 0.75 0.850
力
力
F11/mm F21/mm
79 72 69 73.333 -68 -108 -117 -97.667
刚度法（2 点） 实验次数 位移 X/mm 1 2 3 平均值
0.91 1.02 1.06 0.997
力
力
F12/mm F22/mm
-96 -105 -117 -106.000 192 221 243 218.667
(二) 计算方法 1. 柔度法
11=X11/F1=1.627/60=0.02712 21=X21/F1=0.790/60=0.01317 12=X12/F2=0.993/82=0.01211 22=X22/F2=0.823/82=0.01004
实验 9 刚度矩阵与柔度矩阵的测定
一、实验目的 （1）了解刚度矩阵和柔度矩阵； （2）验正[k]=[ ]-1。 二、实验原理 柔度系数是单位力在产生力方向的位移； 刚度系数是单位位移在产生位移方向的力。 三、实验模型
1
F1
F2
2
四、实验仪器 千分表、双层钢架、力传感器、螺旋蜗杆 五、实验步骤 （一）测定柔度矩阵 1、在 1 处单独施加一个水平力 F，用力传感器测出，用千分表 测得 1 和 2 处的水平位移 X11、X21； 2、在 2 处单独施加一个水平力 F，用力传感器测出，用千分表 测得 1 和 2 处的水平位移 X12、X22； 3、改变力的大小，反复（1） （2）步骤测量三次； 4、 根据力和位移的数据， 计算得出 4 个柔度系数 11、 12、 21 和 22，从而得到柔度矩阵。
刚度矩阵和柔度矩阵
~ 为任意非零向量时， 和 称为正定矩阵， 当{v}或{P}为任意非零向量时，[k]和 [f ] 称为正定矩阵，正定 或 为任意非零向量时
矩阵是非奇异矩阵，可以求逆。 矩阵是非奇异矩阵，可以求逆。 因此，柔度矩阵和刚度矩阵是非奇异矩阵，可以求逆。 因此，柔度矩阵和刚度矩阵是非奇异矩阵，可以求逆。 并左乘{f 等式两边， 对[k]求[k ] -1，并左乘 S}=[k]{v}等式两边，得: 求 等式两边
~ =[ f ]
{v} = [ fɶ ][ fs ]
1 T ~ U = {P} [ f }{P} 2 转置(11-6)式，并注意到 { f S } = [ k ]{v} 又：{P} ={ f S } 转置 式
同时，任何变形过程， 同时，任何变形过程，在稳定结构中所贮存的应变能永远是 正的。所以有： 正的。所以有： T T ~
1 T 得出应变能的第二个表达式： U = {v} [k ]{v} 得出应变能的第二个表达式： 2
3. 结构的基本概念： 结构的基本概念：
(1) 应变能
以柔度或刚度矩阵可以方便地表达任一结构中所贮存 的应变能。 应变能U等于使体系变形所做的功 等于使体系变形所做的功， 的应变能。 应变能 等于使体系变形所做的功，即：
1 N 1 T U = ∑ Pi vi = {P} {v} (11(11-6) 2 i =1 2 ~ T为{P}的转置矩阵，将 {v} = [ f ]{P} {P} 的转置矩阵， 的转置矩阵 代入得： 代入得：
{v} [k ]{v} > 0和 {P} [ f ]{P} > 0
[ k ] { fs } = {v}
−1
−1
对比： 对比：
——柔度矩阵是刚度矩阵的逆矩阵。 柔度矩阵是刚度矩阵的逆矩阵。 所以 [k ] 柔度矩阵是刚度矩阵的逆矩阵 实际中， 实际中对柔度矩阵求逆。 繁，最方便的方法：直接计算柔度系数和对柔度矩阵求逆。
刚度矩阵计算公式
刚度矩阵计算公式
刚度矩阵相关计算公式
1. 什么是刚度矩阵？
刚度矩阵是用来描述结构物或系统在受到力的作用下产生变形的性质的矩阵。
它表示了结构物或系统的刚度性质，包括刚性与柔度。
2. 刚度矩阵的计算公式
单元刚度矩阵计算公式
对于一个结构物或系统中的一个单元，刚度矩阵可以通过以下公式计算得到： [ K_e = []^T [] [] ] 其中，K e为单元刚度矩阵，[B]为单元形函数矩阵，[D]为材料刚度矩阵。
结构刚度矩阵计算公式
对于整个结构物或系统，结构刚度矩阵可以通过将各个单元的单元刚度矩阵进行组合得到： [ K = _{i=1}^{n} {A_i}^T K_e A_i ] 其中，K为结构刚度矩阵，n为单元的数量，A i为单元连接矩阵。
3. 刚度矩阵的例子解释
例如，我们考虑一个简单的悬臂梁系统，由两个单元组成。
每个单元的单元刚度矩阵如下： [ K_1 =
] [ K_2 =
] 将两个单元的单元刚度矩阵组合得到整个结构的结构刚度矩阵：
[ K =
]
4. 小结
刚度矩阵是用来描述结构物或系统刚度性质的矩阵。
通过单元刚度矩阵和单元连接矩阵的组合，可以得到整个结构的刚度矩阵。
刚度
矩阵的计算公式为K =∑A i T n i=1K e A i 。
刚度矩阵的计算在结构分析和工
程设计中具有重要的作用。
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~ 为任意非零向量时， 和 称为正定矩阵， 当{v}或{P}为任意非零向量时，[k]和 [f ] 称为正定矩阵，正定 或 为任意非零向量时
矩阵是非奇异矩阵，可以求逆。 矩阵是非奇异矩阵，可以求逆。 因此，柔度矩阵和刚度矩阵是非奇异矩阵，可以求逆。 因此，柔度矩阵和刚度矩阵是非奇异矩阵，可以求逆。 并左乘{f 等式两边， 对[k]求[k ] -1，并左乘 S}=[k]{v}等式两边，得: 求 等式两边
{v} [k ]{v} > 0和 {P} [ f ]{P} > 0
[ k ] { —柔度矩阵是刚度矩阵的逆矩阵。 柔度矩阵是刚度矩阵的逆矩阵。 所以 [k ] 柔度矩阵是刚度矩阵的逆矩阵 实际中， 实际中，求刚度矩阵直接由求位移的方法计算刚度系数较 最方便的方法：直接计算柔度系数和对柔度矩阵求逆。 繁，最方便的方法：直接计算柔度系数和对柔度矩阵求逆。
1 T ~ U = {P} [ f }{P} 2 转置(11-6)式，并注意到 { f S } = [ k ]{v} 又：{P} ={ f S } 转置 式
同时，任何变形过程， 同时，任何变形过程，在稳定结构中所贮存的应变能永远是 正的。所以有： 正的。所以有： T T ~
1 T 得出应变能的第二个表达式： U = {v} [k ]{v} 得出应变能的第二个表达式： 2
~ =[ f ]
{v} = [ fɶ ][ fs ]
3. 结构的基本概念： 结构的基本概念：
(1) 应变能
以柔度或刚度矩阵可以方便地表达任一结构中所贮存 的应变能。 应变能U等于使体系变形所做的功 等于使体系变形所做的功， 的应变能。 应变能 等于使体系变形所做的功，即：
1 N 1 T U = ∑ Pi vi = {P} {v} (11(11-6) 2 i =1 2 ~ T为{P}的转置矩阵，将 {v} = [ f ]{P} {P} 的转置矩阵， 的转置矩阵 代入得： 代入得：