柔度系数
结构动力学的刚度系数柔度系数
[例2] 计算图示结构的水平和竖向振动频率。
m
H
1
解：
V
E,I E,A
1 H m H
l3 其中 H 3EI
l 其中 v EA
A,E,I
l
1 V mV
[例3] 图示三根单跨梁，EI为常数，在梁中点有集中质量m ， 不考虑梁的质量，试比较三者的自振频率。 m m m
my
（惯性力和弹力）
▲ 结构的刚、柔度系数 复习
1. 刚、柔度概念
δ 1
补充内容
柔度 —— 单位力引起的位移。 （力偶） （转角）
1 k
刚度 —— 单位位移所需施加的力。 （转角） （力偶）
两者的互逆关系：
K δ
k 1
1
单自由度时：
● 熟记几种简单情况的刚、柔度
δ 1
悬臂梁自由端： l3 3EI
并联一般公式：
k kj
j 1
n
（2）串联
Δ P h2 k2 Δ1 Δ2
1 1 P 1 P k1
楼面刚度 为无穷大 视同刚臂
1 2 P 2 P k2
h1
k1
1 1 1 1 1 2 P P P k1 k2 k1 k2
（1）刚度法 （2）柔度法
——
ky 0 my
y 2 y 0
——
研究作用于被隔离的质量上的力，建立 平衡方程，需要用到刚度系数。 研究结构上质点的位移，建立位移协调方程， 需要用到柔度系数。
超静定结构，查表（形常数）
取决于结构的
刚度系数 柔度系数
谁较容易求得。
静定结构，图乘法求δ
结构动力学的刚度系数柔度系数汇总.
三、自由振动微分方程的解
y(t ) Asin( t )
四、结构的自振周期和频率
k 1 m m
T
2
五、例题
m
l /2 1 EI l /2
[例1] 计算图示结构的频率和周期。 （柔度法） 解：
1 m
l 48EI
ml 3 T 2 48EI
3
48 EI ml 3
1
k22 k2
k12 k2
k2
EI∞
k11 k1 k2
1
k1
k1 、k2 —— 楼层刚度（本楼层单位侧移所需的侧向力） k11 、k12 、k21 、k22 —— 位移法的刚度系数 kij
kij
—— 第j 个结点位移发生单位位移(其它结点位移均锁固)时， 在第i 个结点位移处产生的反力。
h EI EI
3EI 3EI 6EI k k左柱 k右柱 3 3 3 h h h
总侧移刚度：
h2
h1
i1
i2
k k左柱 k右柱
3 i1 3 i2 2 2 h1 h2
∞ h
总侧移刚度：
i1
i2
12 i1 12 i2 k k左柱 k右柱 2 2 h h
（刚度并联，两者叠加）
k
k11 k
EI
1
l
3EI l3
k11 m
3 EI
l3
k m
[例7]计算图示刚架的频率和周期。
1
m EI1= I I h
k
解： （刚度法）
由柱刚度并联 得：
12 EI 24 EI k 2 3 3 h h
k 24 EI m mh3
结构动力学的刚度系数柔度系数ppt课件
k k1 k2 k3
3）计算顶端侧移
P
P
1 k1
1 k2
1 k3
P
24
h12 i1
h22 i2
h32 i3
▲单自由度体系的自由振动要点回顾
一、自由振动
二、振动微分方程的建立 my ky 0
y 2y 0
（1）刚度法 —— 研究作用于被隔离的质量上的力，建立 平衡方程，需要用到刚度系数。
k m
48 EI ml 3
T 2 ml 3
48 EI
结束
（第二版）作业: 10 — 4、
5
SUCCESS
THANK YOU
•
I→∞ EI
B
l
1
h h
解：先求δ
C
1 lh 2h lh2
EI 2 3 3EI
1
m11
3EI mlh2
[例6]求图示结构的自振频率。
解：先求k11
k11
k
3EI l3
（刚度并联，两者叠加）
1
k11 m
k
EI
l
k11 3EI
k l3
k11 3EI l3 k
m
m
（2）柔度法 —— 研究结构上质点的位移，建立位移协调方程， 需要用到柔度系数。
超静定结构，查表（形常数）
刚度系数 取决于结构的
柔度系数
谁较容易求得。
三、自由振动微分方程的解
y(t) Asin( t )
四、结构的自振周期和频率
柔度系数ppt课件
m
m
m
l/2
l/2
解：
1
3l/16
，先求δ
m
1
l3 48EI
l/2
l/2
l/2
P=1
2
7l53l/32 768PE=I1
l/2
l/2
3
l3 192EI
1
48EI ml 3
2
E1I2
l2 (2
6
7726lm8El1336Il
l 2
352l)37678l1E39mI2lE3 I
据此可得：ω1 ׃ω2 ׃ω3= 1 ׃1.512 ׃2
m EI
l /2
l /2
1
例2.计算图示结构的水平和竖向振动频率。
H
1
m
1
V
l
A,E,I
E,I
E,A
l3
48 EI
48 EI ml 3
T 2
ml 3 48EI
例3.计算图示刚架的频率和周期。
m
6EI
EI1=
h2
I
Ih
12EI h3
6EI h2
H
1
m H
V
1
mV
由截面平衡
1
6EI
k
k
24 EI h3
k Am
h
I→∞
EI
Bθ
l
1
h
解法1：求 k
θ=1/h
MBA=kh = MBC
3 EI 3EI
l lh
C
k
3EI lh2
k m
3EI mh 2l
解法2：求 δ
1 lh 2h lh2
结构力学柔度计算公式
结构力学柔度计算公式结构力学柔度计算公式是结构力学领域的重要公式之一。
它可以用来计算结构的柔度，也就是结构的变形能力。
在结构设计和分析中，柔度是一个非常重要的参数，它可以帮助工程师评估结构的稳定性和安全性。
本文将详细介绍结构力学柔度计算公式的含义、应用和计算方法。
一、什么是柔度？柔度是指结构在受到外部载荷作用时所产生的变形量与外部载荷之间的比值。
柔度是结构力学中的一个重要概念，它可以帮助工程师评估结构的变形能力和稳定性。
柔度越大，结构的变形能力就越强，但是结构的稳定性也越差。
相反，柔度越小，结构的变形能力就越小，但是结构的稳定性也越好。
二、柔度计算公式的含义在结构力学中，柔度计算公式可以用来计算结构的柔度。
结构的柔度可以表示为：F = kx其中，F表示结构所受到的外部载荷，k表示结构的柔度系数，x表示结构的变形量。
柔度系数k是一个常数，它与结构的材料、几何形状和截面尺寸等因素有关。
柔度计算公式的含义可以理解为：当结构所受到的外部载荷为F时，结构的变形量x与载荷F之间的关系可以用柔度系数k来表示。
柔度系数k越小，结构的变形量x就越小，结构的稳定性就越好，但是结构的变形能力也越小。
三、柔度计算公式的应用柔度计算公式在结构设计和分析中有着广泛的应用。
它可以用来评估结构的稳定性、变形能力和安全性。
在结构设计中，工程师需要根据结构的使用要求和设计条件来确定柔度系数k的取值。
柔度系数k的取值对于结构的稳定性和变形能力有着重要的影响。
在结构分析中，柔度计算公式可以用来计算结构的变形量和应力分布。
工程师可以根据结构的柔度系数k和外部载荷F来计算结构的变形量x。
然后，根据结构的变形量x和结构的几何形状、材料等因素来计算结构的应力分布。
这些分析结果可以帮助工程师评估结构的安全性和稳定性，从而确定结构的设计方案。
四、柔度计算公式的计算方法柔度计算公式的计算方法比较简单。
首先，需要确定结构的柔度系数k。
柔度系数k可以根据结构的材料、几何形状和截面尺寸等因素来确定。
柔度系数符号
柔度系数符号1. 什么是柔度系数？柔度系数是一种用于描述材料柔软性的物理量。
它是指材料在受到外力作用后发生变形的程度。
柔度系数通常用符号表示，可以用于定量比较不同材料的柔软性。
2. 柔度系数的符号表示柔度系数一般用小写字母表示，常见的符号有：•ε：表示材料的应变（strain），是指材料在受到外力作用后相对于初始状态的变形程度。
应变可以是线性的，也可以是非线性的，取决于材料的性质。
•σ：表示材料的应力（stress），是指材料单位面积上受到的力的大小。
应力可以是拉伸应力、剪切应力等不同类型的应力。
•E：表示材料的弹性模量（Young’s modulus），是指材料在拉伸或压缩时的应力和应变之间的比例关系。
弹性模量可以用来描述材料的刚度。
•G：表示材料的剪切模量（shear modulus），是指材料在剪切应力下的变形程度。
剪切模量可以用来描述材料的刚度。
•ν：表示材料的泊松比（Poisson’s ratio），是指材料在拉伸或压缩时在垂直方向上的收缩或伸长程度与拉伸方向上的应变之间的比例关系。
3. 柔度系数的计算方法柔度系数可以通过应力和应变之间的关系来计算。
对于线性弹性材料，柔度系数可以用弹性模量和泊松比来表示：柔度系数 = 弹性模量 / (2 * (1 + 泊松比))对于非线性材料，柔度系数的计算相对复杂，需要考虑材料的应力-应变曲线。
4. 柔度系数的应用柔度系数在材料科学和工程中有广泛的应用。
它可以用来比较不同材料的柔软性，帮助工程师选择合适的材料。
柔度系数还可以用来设计和优化结构，以确保其在受力时具有良好的变形性能。
在纺织工业中，柔度系数可以用来评估织物的柔软性和弹性。
这对于设计舒适的服装和纺织品非常重要。
在建筑工程中，柔度系数可以用来评估建筑材料的变形能力和抗震性能。
它可以帮助工程师设计出更安全、更稳定的建筑结构。
在医学领域，柔度系数可以用来评估组织和器官的柔软性。
例如，在眼科学中，柔度系数可以用来评估角膜的弹性，帮助医生诊断角膜病变。
柔度系数符号
柔度系数符号摘要：1.柔度系数的定义和意义2.柔度系数的符号表示3.柔度系数在工程中的应用4.提高柔度系数的方法5.总结正文：柔度系数是一个用于描述物体在受力过程中形变程度的物理量，它反映了材料的柔软程度或刚度。
在工程设计中，了解和掌握柔度系数至关重要，因为它可以直接影响到产品的使用寿命、性能和稳定性。
一、柔度系数的定义和意义柔度系数（Symbol: μ）是用来衡量材料在受力时的变形能力的物理量，它与材料的弹性模量（E）和泊松比（ν）有密切关系。
柔度系数μ越小，材料的柔软程度越高，抗变形能力越强；反之，μ越大，材料的刚度越高，抗变形能力越弱。
二、柔度系数的符号表示柔度系数通常用希腊字母μ（mu）表示，单位为1/Pa（帕斯卡）。
在实际工程中，柔度系数通常用符号C表示，单位为1/N（牛顿）。
它们之间的关系为：C = μ * ΔL / ΔF，其中ΔL表示受力后的变形量，ΔF表示所施加的力。
三、柔度系数在工程中的应用1.结构设计：在建筑、桥梁、机械等结构设计中，通过计算和比较不同材料的柔度系数，可以选择更适合的结构材料，提高结构的稳定性和使用寿命。
2.零部件选型：在机械零部件选型中，了解各部件的柔度系数，可以有效降低系统的振动、噪声和磨损，提高传动效率。
3.材料研究：通过研究材料的柔度系数，可以指导新材料的开发和优化，满足不同工程领域的应用需求。
四、提高柔度系数的方法1.选用高弹性模量的材料：提高材料的弹性模量可以降低柔度系数，提高抗变形能力。
2.调整材料结构：如采用纤维增强、网格结构等方式，可以提高材料的整体刚度，降低柔度系数。
3.改进设计方法：在结构设计中，采用合理的设计方法和优化算法，可以降低结构的柔度系数，提高稳定性。
五、总结柔度系数是一个重要的工程参数，它直接影响到产品的使用寿命、性能和稳定性。
了解和掌握柔度系数的符号、定义和应用，对于工程设计和材料研究具有重要的指导意义。
结构动力学的刚度系数柔度系数通用课件
扭曲刚度系数计算
扭曲刚度系数定义
01
扭曲刚度系数是衡量结构在扭曲载荷下抵抗变形的能力的系数。
扭曲刚度系数的计算公式
02
扭曲刚度系数可以通过结构材料的弹性模量和截面极惯性矩计
算得出。
扭曲刚度系数的物理意义
03
扭曲刚度系数越大，表示结构在扭曲载荷下的变形越小，结构
的抗扭能力越强。
复合受力下的刚度系数计算
分析方法
通过对处理后的数据进行统计分析、曲线拟合、模式识别等，可以进一步分析结构的动力学特性，包括固有频率、 阻尼比等参数。此外，还可以通过对比不同结构的响应数据，评估不同结构的动力学性能。
实验结果及讨论
实验结果
实验测得了不同结构在不同激振条件下的响 应数据，包括加速度和位移。通过对数据进 行处理和分析，得到了不同结构的刚度系数 和柔度系数以及相关的动力学参数。
刚度系数和柔度系数是结构动力学中两个重要的概念，可以反映结构的刚度和柔度性质。
本文通过理论和实例分析，对结构动力学中的刚度系数和柔度系数进行了详细阐述，并介绍了它们在工 程实际中的应用和意义。
对未来研究的展望
随着科学技术的发展，结构动力学的研究领域将不断扩大，对刚度系数和柔度系数 的认识也将更加深入。
复合受力下的柔度系数的计算
复合受力下的柔度系数可以通过结构在复合力作用下的变形量进行计算。
03
复合受力下的柔度系数的影响因素
复合受力下的柔度系数受到材料性质、截面形状、边界条件等因素的影
响。
04
刚度系数与柔度系数的应用
在结构设计中的应用
刚度系数
在结构设计中，刚度系数是用来衡量结构抵抗变形的能力。通过计算和分析刚度 系数，可以确定结构的稳定性、承载能力和振动特性。
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l3 其中 H 3EI
A,E,I
l
l 其中 v EA
[例3] 图示三根单跨梁，EI为常数，在梁中点有集中质量m ， 不考虑梁的质量，试比较三者的自振频率。 m m m
l/2 l/2
3 l/ 16
l/2
l/2
P=1
l/2
l/2
1 ，先求δ 解： m
l3 1 48 EI
l/
1
6 EI h2
V
1 m V
由截面平衡
6 EI h2
12 EI h3
k
12 EI h3
k
24EI h3
k 24EI m m h3
6 EI h2
6 EI h2
m h3 T 2 2 EI 1
● 熟记几种简单情况的刚、柔度
δ 1
悬臂梁自由端： l3 3EI
k
3EI l3
(－0.05%） (－0.7%）
(－4.8%）
9
例5、求图示结构的自振圆频率。 解法1：求 k k 1 m
θ=1/h
EI 3EI 3 l lh
A
h
MBA=kh = MBC
I→∞
θ
EI
B
C
l
3EI k 2 lh
1
k 3EI m m h2l
解法2：求 δ h
1 lh 2h lh 2 EI 2 3 3EI
kij
—— 第j 个结点位移发生单位位移(其它结点位移均锁固)时， 在第i 个结点位移处产生的反力。
由图示可知：
k11=k1+k2
k12=k21=－k2
k22=k2
3. 应用举例
P
求图示三层刚架的顶端侧移。
解： 1）计算各楼层（侧移）刚度
i3 i2 i1
i3 i2 i1
12i1 k1 2 2 h1
12i1 k1 2 h1
串联一般公式：
1 1 1 k k1 k2
n 1 1 kn j 1 k j
▲ 楼层刚度与位移法刚度系数的关系
EI∞
k21 k2
1
k22 k2
k12 k2
k2
EI∞
k11 k1 k2
1
k1
k1 、k2 —— 楼层刚度（本楼层单位侧移所需的侧向力） k11 、k12 、k21 、k22 —— 位移法的刚度系数 kij
1
两端刚结的杆的侧移刚度为： 一端铰结的杆的侧移刚度为：
12EI l3 3EI l3
楼面刚度 为无穷大 视同刚臂
2 P 2 P
1 k2
h1
k1
1 1 1 1 1 2 P P P k1 k2 k1 k2
k1
、k2 — 楼层刚度
12i2 k2 2 h2
总刚度：
k
P 1 1 1
k1 k2
五、例题
m
l /2 1 EI l /2
[例1] 计算图示结构的频率和周期。 （柔度法） 解：
1 m
l3 48 EI
ml 3 T 2 48EI
48 EI ml 3
1
[例2] 计算图示结构的水平和竖向振动频率。
m
H
1
解：
V
E,I E,A
1 H m H 1 V mV
9.86 EI , 2 l m
解得:1
(－0.7%） (－0.1%） (－3.1%）
l/3
ml 6 ml 3 ml 3
l/3
ml 6
解得 : 1
2
38.2 EI l2 m
l/3
ml 8
l/3
ml 4 ml 4
l/3
ml 8
ml 4
解得:1
l/3
l/3
l/3
l/3
9.865 EI , 2 m l 39.2 EI 2 2 m l 84.6 EI 3 2 m l
例1. 计算图示结构的频率和周期。
m
l /2 1
EI l /2
例2.计算图示结构的水平和竖向振动频率。 H 1 m 1VA,E,IE,I
E,A
l3 48EI m l3 T 2 3 48EI ml 48EI
例3.计算图示刚架的频率和周期。
m EI1= I I h
l
1 H m H
12i2 k2 2 2 h2
12i3 k3 2 2 h3
（柱并联）
2）计算楼顶点（侧移）柔度
1 1 1 1 k k1 k2 k3
3）计算顶端侧移
1 1 1 P P k1 k2 k3
2 2 h3 P h12 h2 24 i1 i2 i3
i
1 k
两端固支梁侧移刚度： 12 EI 12i k 3 2 l l
i
1
一固一铰支梁的侧移刚度:（同悬臂梁） 1 3EI 3i k 3 2 l l k 简支梁中点柔度、刚度：
l3 48EI 48EI k 3 l
δ
2. 柱的并联、串联刚度 （1）并联 总侧移刚度：
h EI EI
3EI 3EI 6EI k k左柱 k右柱 3 3 3 h h h
1 m 11
3EI mlh2
例4、图示三根单跨梁，EI为常数，在梁中点有集中质量m， 不考虑梁的质量，试比较三者的自振频率。 m l/2 解：1）求δ l/2
3 l/ 16
m l/2 l/2 l/2
m l/2
P=1
l3 1 48EI
l/ 2
7l 3 5l/32 2 768EI P=1
l3 3 192EI
1
1 m 1
48EI ml3
3 1l 768 EIl 5l 1 192EI 1 l 3 l 7 l 2 2 (2 3 3 ) 1 3 ml 2 32 768 m ml EI 62 2 7 16 EI m 3
据此可得：ω1 ׃ω2 ׃ω3= 1 ׃1.512 ׃2
2
3l /32 7l5 2 P=1 768 EI
l3 3 192 EI
48 EI 1 ml 3
3 l 768 EI 192 EI 1 l 3 l l 5 l 7 l 2 2 2 (2 3 ) 3 7 EI 6 2ml 16 2 32 768EI ml 3
结构约束越强,其刚度越大,刚度越大,其自振动频率也越大。
例6、求图示结构的自振频率。 k11 k11
解：求 k
3EI
k
3 EI
m k
3EI k11 k 3 l
l3
EI
l
k11 m
l3
k m
•对于静定结构一般计算柔度系数方便。 •如果让振动体系沿振动方向发生单位位移时，所有刚节点 都不能发生转动（如横梁刚度为∞刚架)计算刚度系数方便。
据此可得：ω1 ׃ω2 ׃ω3= 1 ׃1.512 ׃2
结构约束越强,则刚度越大, 其自振动频率也越大。
m
l
ml 4 ml 2 ml 4
精确解: 1
9.87 EI , 2 l m
2
39.84 EI 88.83 EI , 3 l2 m l2 m
9.80 EI , 2 m l
总侧移刚度：
h1
i1
i2
h2
k k左柱 k右柱
3 i1 3 i2 2 2 h1 h2
∞ h
总侧移刚度：
i1
i2
12 i1 12 i2 k k左柱 k右柱 2 2 h h
并联一般公式：
k kj
j 1
n
（2）串联
Δ P h2 k2 Δ1 Δ2
1 1 P 1 P k1