2020届东北师大附中等六校高三联合模拟考试文科数学试题(解析版)

东北师大附中 重庆一中 长春十一高中 吉林一中 四平一中 松原实验中学2020届高三联合模拟考试文科数学试题一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{}2|60A x x x =--<，集合{}2|log 1B x x =<，则A B =I （ ） A. ()2,3-B. (),3-∞C. ()2,2-D. ()0,2【答案】D【解析】【分析】 先解不等式求出集合A ，B ，再根据交集的定义求解即可．【详解】解：由260x x --<即()()320x x -+<解得23x -<<，则()2,3A =-，由2log 1x <解得02x <<，则()0,2B =，∴()0,2A B =I ，故选：D ．【点睛】本题主要考查集合的交集运算，考查一元二次不等式的解法，考查指数不等式的解法，属于基础题．2.已知复数1i z i -=（i 为虚数单位），则复数z 的虚部是（ ） A. 1B. -1C. iD. i - 【答案】B【解析】【分析】先根据复数代数形式的运算性质化简求出复数z ，再根据虚部的定义即可求出答案． 【详解】解：∵1i z i-=11i +=-1i =--， ∴复数z 的虚部是1-，故选：B ．【点睛】本题主要考查复数代数形式的运算性质以及虚部的定义，属于基础题．3.已知()4cos 5πα-=，且α为第三象限角，则sin 2α的值等于（ ） A. 725 B. 725- C. 2425 D. 2425- 【答案】C【解析】【分析】 先根据诱导公式得4cos 5α=-，再同角的平方关系得3sin 5α=-，再根据二倍角的正弦公式求解即可． 【详解】解：∵()4cos 5πα-=，∴4cos 5α=-，又α为第三象限角，∴3sin 5α=-， ∴24sin 22sin cos 25ααα==，故选：C ．【点睛】本题主要考查二倍角的正弦公式、诱导公式以及同角的平方关系，属于基础题．4.已知向量()2,3a =v ，(),5b x =v ，若()a a b ⊥-v v v ，则x =（ ） A. 38 B. 1- C. 12 D. 2【答案】B【解析】【分析】先求出a b -r r 的坐标，再根据平面向量垂直的坐标表示计算即可．【详解】解：∵()2,3a =r ，(),5b x =r ，∴()2,2a b x -=--r r ，又()a a b ⊥-r r r ，∴()()22320x -+⨯-=，解得1x =-，故选：B ．【点睛】本题主要考查平面向量垂直的坐标表示，属于基础题．5.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若111a =-，286a a +=-，则n S 的最小值等于（）A. -34B. -36C. -6D. 6【答案】B【解析】【分析】由题意先求出数列{}n a 的公差，再根据前n 项和公式求出n S ，再计算最小值即可．【详解】解：设数列{}n a 的公差为d ，∵286a a +=-，∴1286a d +=-，又111a =-，∴2d =，∴n S ()112n ndna -=+()111n n n =-+-212n n =-()2636n =--，∴当6n =时，n S 有最小值636S =-，故选：B ．【点睛】本题主要考查等差数列的前n 项和的最值的求法，属于基础题．6.已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确是（）A. 若//m α，n αβ=I ，则//m nB. 若m α⊥，//m β，则αβ⊥C. 若n β⊥，αβ⊥，则//n αD. 若m α⊂，n β⊂，l αβ=I ，且m l ⊥，n l ⊥，则αβ⊥【答案】B【解析】【分析】以长方体为载体，结合平行与垂直判定与性质求解．【详解】解：作一个任意长方体，A 中，如图，取m AB =，α=面11CCD D ，β=面11BB C C ，1CC n αβ==I ，而1AB CC ⊥，即m n ⊥，故A 错；B 中，若//m β，则根据线面平行的性质，平面β内必存在直线//l m ，而m α⊥，则l α⊥，由面面垂直的判定定理可得αβ⊥，B 对；C 中，如图，取n AB =，α=面11ABB A ，β=面11BB C C ，则n β⊥，αβ⊥，而n ⊂α，故C 错；D 中，取α=面11AB C D ，β=面11BB C C ，11B C l αβ==I ，1m AB α=⊂，1n BB β=⊂则m l ⊥，n l ⊥，但,αβ不垂直，故D 错；故选：B ．【点睛】本题主要考查平行于垂直的判定和性质，熟记八个定理并借助长方体为载体是解题关键，属于易错的基础题．7.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，书中有一问题：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，问积几何？”，该著作中提出了一种解决此问题的方法：“重置二位，左位减八，余加右位，至尽虚减一，即得.”通过对该题的研究发现，若一束方物外周一匝的枚数n 是8的整数倍时，均可采用此方法求解，如图是解决这类问题的程序框图，若输入32n =，则输出的结果为（ ）A. 80B. 47C. 79D. 48【答案】C【解析】【分析】 模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的n ，S 的值，当0n =时，满足条件退出循环，即可得到输出的S 值．【详解】解：模拟程序的运行，可得32n =，32S =，执行循环体，24n =，56S =不满足条件0n =，执行循环体，16n =，72S =，不满足条件0n =，执行循环体，8n =，80S =，满足条件0n =，可得79S =，退出循环，输出S 的值为79；故选：C ．【点睛】本题主要考查循环结构的程序框图的应用，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的方法，但程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理，属于基础题．8.设变量x ，y 满足约束条件20240240x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A. 2B. -4C. 12D. 13【答案】C【解析】【分析】 作出可行域，结合目标函数的几何意义即可求出答案．【详解】解：变量x ，y 满足约束条件20240240x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩的可行域如图，由240240x y x y -+=⎧⎨--=⎩得()4,4A ， 目标函数2z x y =+变形为2y x z =-+，平移直线经过点A 时，目标函数取得最大值，24412z =⨯+=，故选：C ．【点睛】本题主要考查简单的线性规划，属于基础题．9.2002年国际数学家大会在北京召开，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，看起来象个转动的风车，很有美感(图1)；弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(图2).如果直角三角形的较短直角边长和较长直角边长分别为1和2，则向大正方形内任投一质点，质点落在小正方形内的概率为（ ）A. 15B. 25C. 5D. 125【答案】A【解析】【分析】先求出大小正方形的面积，再根据几何概型的概率计算公式求出概率．=5，小正方形的边长为1，其面积为1， 则质点落在小正方形内的概率15P =， 故选：A ．【点睛】本题主要考查几何概型的概率计算，根据题意选择合适的测度是解题关键，属于基础题． 10.已知函数()sin 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0>ω）在(0,2]上恰有一个最大值1和一个最小值-1，则ω的取值范围是（ ） A. 77,126ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 77,126ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦C. 27,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 27,36ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】C【解析】【分析】 根据函数()f x 的解析式，利用x 的取值范围与三角函数图象与性质，列出不等式求出ω的取值范围．【详解】解：∵02x <≤， ∴2666x πππωω<+≤+，又函数()f x 在(0,2]上恰有一个最大值1和一个最小值1-， ∴352262πππω≤+<， 解得2736ππω≤<， 故选：C ．【点睛】本题主要考查正弦型函数的图象与性质的应用问题，属于中档题．11.已知12,F F 是双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左、右焦点，若点1F 关于双曲线渐近线的对称点P 满足22OPF POF ∠=∠（O 为坐标原点），则E 的离心率为（ ）B. 2【答案】B【解析】【分析】先利用对称求出点P 的坐标，结合∠OPF 2＝∠POF 2可知2PF c =，利用两点间距离公式可求得离心率. 【详解】设00(,)P x y 是1F 关于渐近线b y x a =-的对称点，则有000022y a x c b y x cb a ⎧=⎪+⎪⎨-⎪=-⋅⎪⎩； 解得222(,)b a ab Pc c-； 因为∠OPF 2＝∠POF 2，所以2PF c =，222222()()b a ab c c c c--+=； 化简可得2e =，故选B.【点睛】本题主要考查双曲线的性质.离心率的求解一般是寻求,,a b c 之间的关系式.12.已知函数()12a f x x x =+与函数()2ln 3x g x x=-的图象在区间[]1,4上恰有两对关于x 轴对称的点，则实数a 取值范围是（ ） A. 5[,42ln 2)2- B. 5[44ln 2,]2- C. [44ln 2,42ln 2)--D. (44ln 2,42ln 2)-- 【答案】A【解析】【分析】由题意可得()()f x g x =-在[]1,4上恰有两个解，分离变量得2132ln 2a x x x =--，令()2132ln 2h x x x x =--，利用导数求出函数()h x 在[]1,4上的函数值变化，由此可得答案． 【详解】解：由题意可得()()f x g x =-在[]1,4上恰有两个解， 即12ln 32a x x x x+=-在[]1,4上恰有两个解，即2132ln 2a x x x =--在[]1,4上恰有两个解， 令()2132ln 2h x x x x =--，则()23h'x x x =--()()12x x x --=-， ∴函数()h x 在[]1,2上单调递增，在[]2,4上单调递减，又()512h =，()242ln 2h =-，()5444ln 22h =-<， ∴542ln 22a ≤<-， 故选：A ．【点睛】本题主要考查利用导数讨论函数的单调性，考查转化思想，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知()()22,02,0x x x f x f x x ⎧+≥⎪=⎨+<⎪⎩，则()5f -=__________． 【答案】3【解析】【分析】利用分段函数的解析式，转化求解即可．【详解】解：∵()()22,02,0x x x f x f x x ⎧+≥⎪=⎨+<⎪⎩， ∴()()53f f -=-()()11f f =-=213=+=，故答案为：3．【点睛】本题主要考查已知分段函数解析式求函数值，属于基础题．14.正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，M 是棱11A B 的中点，则异面直线AM 与BC 所成角的余弦值为__________．【答案】10【解析】【分析】将正三棱柱补成如图所示的四棱柱，则MAD ∠为异面直线AM 与BC 所成角，解三角形即可．【详解】解：将正三棱柱补成如图所示的四棱柱1111ABCD A B C D -，其中//AB CD ，//AD BC ，连接MD ，1MD ，因为//AD BC ，所以MAD ∠为异面直线AM 与BC 所成角（或其补角）， 设12AB BC AA x ===，则1A M x =，5AM x =，∵111A B C ∆为正三角形，∴111=120B A D ∠︒，由余弦定理得2221111D M A D A M =+1112cos120A D A M -⋅︒2214222x x x x =++⋅⋅⋅， ∴17D M x =，则11DM x =， ∴222cos 2AM AD DM MAD AM AD +-∠=⋅2225252x x==⋅⋅ ∴异面直线AM 与BC 5 5 【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，考查计算能力，属于基础题． 15.已知各项都为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，并且12n n a S +=n a =__________．【答案】21n -【解析】【分析】由题意得()214n n a S +=，当1n =时，解得11a =；当2n ≥时，()21114n n a S --+=，从而推出()()1120n n n n a a a a --+--=，则12n n a a --=，再根据等差数列的通项公式求解即可．【详解】解：∵1n a +=0n a >， ∴()214n n a S +=，当1n =时，()2111144a S a +==，解得11a =； 当2n ≥时，()21114n n a S --+=，则()()221111444n n n n n a a S S a --+-+=-=， ∴()()1120n n n n a a a a --+--=，∴12n n a a --=，或10n n a a -+=（舍去）， ∴数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列， ∴()12121n a n n =+-=-， 故答案为：21n -．【点睛】本题主要考查数列的递推公式，考查定义法判断等差数列，考查等差数列的通项公式，考查计算能力，属于中档题．16.已知抛物线216y x =的焦点为F ，直线l 过F 且依次交抛物线和圆()2244x y -+=于A ，B ，C ，D 四个点，设()11,A x y ，()22,D x y ，则12x x =__________；4||9||AB CD +的最小值为_______． 【答案】 (1). 16 (2). 74 【解析】 【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，圆的圆心和半径，由题意设直线l 的方程为4x my =+，联立抛物线方程，运用韦达定理和抛物线的定义、结合基本不等式即可求得答案． 【详解】解：由题意得()4,0F ，准线方程为4x =-， 圆()2244x y -+=的圆心为()4,0F ，半径2r =，由题意设直线l 的方程为4x my =+，联立2164y x x my ⎧=⎨=+⎩消元得216640y my --=，∴1216y y m +=，1264y y =-，∴()()121244x x my my =++()21212416m y y m y y =+++16=，121244x x my my +=+++()128m y y =++2168m =+，由抛物线定义可得4||9||AB CD +()()4292AF DF =-+-4926AF DF =+-()()12449426x x =+++-124926x x =++1224926x x ≥⋅12122674x x ==，当且仅当1249x x =且1216x x =即16x =，283x =时等号成立， 故答案为：16，74．【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线定义的应用，考查计算能力，属于中档题．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.在ABC ∆中，角A ，B ，C对边分别为a ，b ，c ，已知向量()cos cos ,m A B a b =+v，()sin sin ,n A B a b =-v ，若1(,)2m n a -=v v .（1）求角C 的弧度数；（2）若47c =ABC ∆的面积. 【答案】（1）23π；（2）83【解析】【分析】（1）由题意可得1cos cos sin sin 2A B A B -=，2a b =，根据两角和的余弦公式及三角形内角和即可求出答案；（2）由余弦定理及2a b =可得8a =，4b =，再根据面积公式即可求解．【详解】解：（1）由题意，()1cos cos sin sin ,2(,)2m n A B A B b a -=-=u r r ，∴2a b =，1cos cos sin sin 2A B A B -=，∴1cos()cos 2A B C +=-=，∵0C π<<，∴23C π=；（2）由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，且2a b =， ∴222111244()2b b b =+-⨯-， ∴8a =，4b =，∴11sin 84222ABC S ab C ∆==⨯⨯⨯= 【点睛】本题主要考查余弦定理和三角形的面积公式，考查向量相等，考查两角和的余弦公式，属于基础题．18.2019年10月1日我国隆重纪念了建国70周年，期间进行了一系列大型庆祝活动，极大地激发了全国人民的爱国热情.某校高三学生也投入到了这场爱国活动中，他(她)们利用周日休息时间到社区做义务宣讲员，学校为了调查高三男生和女生周日的活动时间情况，随机抽取了高三男生和女生各40人，对他(她)们的周日活动时间进行了统计，分别得到了高三男生的活动时间(单位：小时)的频数分布表和女生的活动时间(单位：小时)的频率分布直方图.（活动时间均在[]0,6内）（1）根据调查，试判断该校高三年级学生周日活动时间较长的是男生还是女生？并说明理由；（2）在被抽取的80名高三学生中，从周日活动时间在[]5,6内的学生中抽取2人，求恰巧抽到1男1女的概率.【答案】（1）女生，理由见解析；（2）815【解析】 【分析】（1）列出女生周日活动时间频数表，对比男生和女生活动时间频数表即可得出结论； （2）运用古典概型的概率计算公式求解即可．【详解】解：（1）该校高三年级周日活动时间较长的是女生， 理由如下：列出女生周日活动时间频数表 活动时间 [1,2)[23)，[3,4)[45)，[56]，频数 6712104对比男生和女生活动时间频数表，可以发现：活动时间在2小时及其以上的男生有22人，女生有34人； 活动时间在3小时及其以上的男生有15，女生有26人；都是女生人数多于男生人数，所以该校高三年级周日活动时间较长的是女生；（2）被抽到的80学生中周日活动时间在[56]，内的男生有2人，分别记为A ，B ，女生有4，分别记为a ，b ，c ，d ，从这6人中抽取2.共有以下15个基本事件，分别为：AB ，Ab ，Ac ，Ad ，Ba ，Bb ，Bc ，Bd ，ab ，ac ，ad ，bc ，bd ，cd ；其中恰为1男1女的共有8种情形， 所以所求概率815P =． 【点睛】本题主要考查古典概型的概率计算公式，属于基础题．19.在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，M 在棱PD 上，且35PM PD =，在底面ABCD 中，10BA BC ==，5DA DC ==，2AC =，O 为对角线AC ，BD 的交点.（1）证明：OM P 平面PBC ；（2）若2PA =，求三棱锥M PBC -的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）1 【解析】 【分析】（1）由题意BAC ∆，DAC ∆都为等腰三角形，故对角线AC BD ⊥，从而可证出23DM DO MP OB ==，借助线面平行的判定定理即可得出结论；（2）由（1）可知：点M 到平面PBC 的距离等于点O 到平面PBC 的距离，所以三棱锥M PBC -的体积等于三棱锥O PBC -的体积，由此即可求出答案．【详解】（1）证：在底面ABCD 中，BAC ∆，DAC ∆都为等腰三角形，故对角线AC BD ⊥， 所以223BO AB AO =-=，222OD AD AO -=，由M 在棱PD 上，且35PM PD =知：23DM MP =， 所以在PBD ∆中有23DM DO MP OB ==，所以//OM PB ， 又OM ⊄平面PBC ，PB ⊂平面PBC ，所以OM P 平面PBC ；（2）解：由（1）可知：点M 到平面PBC 的距离等于点O 到平面PBC 的距离， 所以三棱锥M PBC -的体积等于三棱锥O PBC -的体积， 而PA ⊥平面ABCD ，所以三棱锥O PBC -的高2h PA ==，所以11321132M PBC P BOC V V --==⨯⨯⨯⨯=， 故三棱锥M PBC -的体积为1．【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理，考查等体积法求三棱锥的体积，属于中档题．20.已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点为F ，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，A ，B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，且AB OP P ，且POB ∆的面积是12，其中O 是坐标原点. （1）求椭圆C 的方程.（2）若过点F 的直线1l ，2l 互相垂直，且分别与椭圆C 交于点M ，N ，S ，T 四点，求四边形MSNT 的面积S 的最小值.【答案】（1）2212x y +=；（2）169【解析】 【分析】（1）依题意可设2(,)b P c a -，则有22221122OPAB POB b bk k ac a S bc b c a ∆⎧-===⎪-⎪⎪==⎨⎪+=⎪⎪⎩，解出即可；（2）分类讨论，当1l x ⊥，2//l x 时，22122222MSNTb S a b a===g g g ； 当1l ，2l 斜率存在时，设1l ：1x ky =-，2l ：11x y k=-，分别联立椭圆方程，利用韦达定理求出MN ，ST ，再根据面积公式12S MN ST =g 以及基本不等式即可求出答案． 【详解】解：（1）依题意画出下图可设2(,)b P c a-，(,0)A a ，(0,)B b ，则有：22221122OPAB POB b b k k ac a S bc b c a∆⎧-===⎪-⎪⎪==⎨⎪+=⎪⎪⎩，解得11a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴椭圆C 的标准方程为2212x y +=；（2）①当1l x ⊥，2//l x 时，22122222MSNTb S a b a===g g g ； ②当1l ，2l 斜率存在时，设1l ：1x ky =-，2l ：11x y k=-，分别联立椭圆方程2212x y +=，联立22112x ky x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222210k y ky +--=， ∴12222k y y k +=+，12212y y k -=+，∴MN ==)2212k k +=+，同理)22221111122k k ST k k ⎫+⎪+⎝⎭==++， ∴12S MN ST =g ()()()22228112221k k k +=++g ()()()222241221k k k +=++()2222241221()2k k k +≥+++()22224(1)169914k k +==+，当且仅当22221k k +=+即21k =即1k =±时等号成立， 故四边形MSNT 的面积S 的最小值min 169S =． 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题． 21.已知函数()222ln f x x kx x =-+（k R +∈）.（1）当k =()f x 单调性；（2）若()()11221()()4x H f x f x H x =-≥，（1x ，2x 为()'f x 的两个零点，且12x x <）求k 的取值范围.【答案】（1）()f x在1(0,)2<和1(,)2+∞上单调递增，在11)22，上单调递减；（2）5[,)2+∞ 【解析】 【分析】 （1）当k =（2）求导得()22222'22x kx f x x k x x-+=-+=，由题意知方程22220x kx -+=在(0,)+∞上有两个不等的实根1x ，2x （12x x <），由此可得2k >，根据韦达定理化简变形得12112122()2ln x x x xH x x x x =-+，令12(0,1)x t x =∈，则()12ln H t t t t=-+，求导后根据导数研究函数的单调性，从而得出104t <≤，再根据基本不等式即可求出答案．【详解】解：（1）当k =()2'2f x x x =-=令()'0f x >，解得0x <<或x >， 令()'0f x <，解得1122x <<， 所以()f x在1(0,)2<和)+∞上单调递增，在11)22，上单调递减； （2）()22222'22x kx f x x k x x-+=-+=，由题意知方程22220x kx -+=在(0,)+∞上有两个不等的实根1x ，2x （12x x <），所以2121240010k x x k x x ⎧∆=->⎪+=>⎨⎪=>⎩，解得2k >，()()1122()x H f x f x x =-()()()2212121222ln ln x x k x x x x =---+- ()()()()221212121222ln ln x x x x x x x x =--+-+-()2221122ln ln x x x x =-+- 222111222ln x x x x x x -=+2111222ln x x x x x x =-+， 令12(0,1)x t x =∈，则()12ln H t t t t=-+， ()212'1H t t t =--+2221t t t -+=-()2210t t-=-<， 所以()H t 在(0,1)上单调递减，又()1()4H t H ≥，所以104t <≤，而221212()x x k x x +=12212x x x x =++12524t t =++≥，当且仅当14t =等号成立 即52k ≥， 综上：实数k 的取值范围为5[,)2+∞．【点睛】本题主要考查根据导数研究函数的单调性与最值，考查计算能力，属于难题． 22.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，α为直线l 的倾斜角），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=. （1）写出曲线C 的直角坐标方程，并求23πα=时直线l 的普通方程； （2）直线l 和曲线C 交于A 、B 两点，点P 的直角坐标为()1,2，求||||PA PB +的最大值. 【答案】（1）C ：2220x y y +-=， l20y +=；（2） 【解析】 【分析】（1）把2sin ρθ=两边同时乘以ρ，然后结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C 的直角坐标方程，由直线l 的参数方程可知直线过定点，并求得直线的斜率，即可写出直线的普通方程；（2）把直线的参数方程代入曲线C 的普通方程，化为关于t 的一元二次方程，利用判别式、根与系数的关系及此时t 的几何意义求解．【详解】解：（1）∵2sin ρθ=，∴22sin ρρθ=， ∴曲线C 的直角坐标方程为2220x y y +-=，当23πα=时，直线l 20y +=； （2）把直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩代入2220x y y +-=，得()22sin 2cos 10t t αα+++=，()122sin 2cos t t αα+=-+，121t t =，则1t 与2t 同号且小于0，由()22sin 2cos 40αα∆=+->得：2sin 2cos 2αα+<-或2sin 2cos 2αα+>，∴()12||||PA PB t t +=-+2sin 2cos αα=+)4πα=+，∴||||PA PB +的最大值为【点睛】本题主要考查曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查参数方程化普通方程，关键是直线参数方程中参数t 的几何意义的应用，属于中档题． 23.已知函数()|1|||f x x x a =-++，()|2|1g x x =-+. （1）当2a =时，解不等式()5f x ≥；（2）若对任意1x R ∈，都存在2x R ∈，使得()()21g x f x =成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）(][),32,-∞-+∞U ；（2）(][),20,-∞-+∞U ． 【解析】 【分析】（1）利用绝对值的几何意义解出即可；（2）由题意()1f x 的值域为[|1|,)a ++∞，()2g x 的值域为[1,)+∞，根据[|1|,)a ++∞[1,)⊆+∞解出即可．【详解】解：（1）当2a =时，|1||2|5x x -++≥， 由绝对值的几何意义得3x ≤-，或2x ≥， ∴()5f x ≥的解集为(][),32,-∞-+∞U ；（2）由题意可知：()1f x 的值域是()2g x 值域的子集，()1f x 的值域是：[|1|,)a ++∞，()2g x 的值域为：[1,)+∞，∴|1|1a +≥，解得：0a ≥或2a ≤-，∴实数a 的取值范围是(][),20,-∞-+∞U ．【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查集合的包含关系，属于中档题．。