2019-2020上学期九年级数学专题复习资料五：二次函数解析式的求法例谈

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二次函数解析式的求法例谈

注：本复习资料以求二次函数的解析方法介绍式为主. 编制：赵化中学 郑宗平 待定系数法求函数解析式的一般步骤： 1.设出解析式的形式； 2.代入坐标并列出方程或方程租； 3.解答方程或方程组得到待定系数的值； 4.返回并对应所设写出解析式（通常要化为一般形式）. 记住四个关键字：设 → 代 → 解 → 写.

一.一般式（常用） 基本步骤：

设成2yaxbxc→代入坐标列成方程组→解方程组求出待定系数abc、、的值→返回对应写出解析式. 例.已知二次函数的图象经过1,20,12,0、、三个点， ⑴.求此二次函数的解析式； ⑵.x在什么范围，y随x的增大而减小. 解:⑴.设此二次函数为2yaxbxca0,根据题中三点坐标可列： abc2c14a2bc0 解得1a65b6c1 故这个二次函数的解析式为：215yxx166. ⑵.∵1a06 ∴当bx2a 即5x2时，y随x的增大而减小. 变式：已知二次函数的图象对称轴为直线x1，经过1,12,1、两个点，求此二次函数的解析式. 分析：本题可以看作“一般式”的变式题，若把解析式设为一般式2yaxbxca0然后两个点坐标代入并结合对称轴b12a（即b2a）列成方程组解答. 注：本题结合对称轴为直线x1设成2yax1n也易求解；请同学们用“一般式”解法的步骤完成解答. 追踪练习： 1.已知二次函数的图象经过1,10,21,3、、三个点，求此二次函数的解析式并写出该函数的顶点坐标和对称轴. 2.已知二次函数的图象对称轴为直线直线x2，经过0,45,0、两个点. ⑴.求此二次函数的解析式； ⑵. 说明x在什么范围，y随x的增大而增大？ ⑶.x取什么值时， y 有最大值或是最小值？是多少？ 二.顶点式（常用） 基本步骤： 设成2yaxmn →代入顶点坐标或过点的坐标列成方程 → 解方程求出待定系数a的值→返回对应写出解析式. 例.已知抛物线顶点M2,3，且过点N1,5,求此二次函数的解析式.

分析：根据题意的条件可知此函数图象抛物线的顶点坐标为2,2,可以设其解析式设为顶点式2yaxmn,然后代入坐标N1,5可求出a，问题解决. 解：根据抛物线的顶点坐标为M2,3，设其解析式设为顶点式2yaxmn, 所以抛物线可化为2yax23. 因为该抛物线过N1,5，所以2a1235 解得：2a9. 故此二次函数的解析式为22yx239.即22835yxx999. 变式：已知二次函数的x1时,y 有最大（或最小）值为2，且过点P1,2,求此二次函数的解析式. 略析：根据题意的条件“x1时,y 有最大（或最小）值为2”可知此函数图象抛物线的顶点

坐标为1,2,设其解析式设为顶点式2yaxmn .（请同学们完成解答）

追踪练习： 1..已知二次函数的图象顶点坐标为1,1 ，且过点M2,3,求此二次函数的解析式； 九数上期专题复习资料五 第 3页（共 10页） 第 4页 （共 10页）

2.已知抛物线的顶点2yaxbxca0)的顶点为A，且与 坐标轴交于BC、两点. ⑴.求此二次函数的解析式； ⑵.顺次连结点ABC、、，并求⊿ABC的面积..

三.交点式 基本步骤：

设成x2yaxxxx →代入抛物线与x轴交点的坐标12x,0x,0、列成方程 → 解方程求出待定系数a的值 → 返回对应写出解析式. 注：设成交点式来求抛物线的解析式，抛物线上的三点中须有两个点是与x轴的交点.

例.若抛物线过A3,0B2,0C1,6、、 三点，求此二次函数的解析式.

分析：由于过抛物线的已知点中，有含有两个点A3,0B2,0、是与x轴的交点，可以把此抛物线的解析式设为x2yaxxxx来解答. 解：设抛物线的解析式设为12yaxxxx ∵抛物线上有A3,0B2,0、 ∴yax3x2 又抛物线上有点C1,6 ∴a13126 解得：a3 故此二次函数的解析式为y3x3x2 即2y3x15x18.

追踪练习： 1.已知抛物线过A1,0B4,0C1,2、、 三点，求此二次函数的解析式； 2..二次函数的图象如图所示，请分小组讨论并用前面三种不同方式求其解析式.

四.特殊式 若抛物线的顶点为原点，可以将解析式设为2yax来解答;若抛物线的顶点在y 轴上，可以将解析式设为2yaxk来解答;若抛物线的顶点在x轴上，可以将解析式设为2yaxm

来解答；若抛物线过原点可以设为2yaxbx .其基本的解答程序仍然是：设 → 代 → 解 → 写. 例.1.若抛物线顶点在原点，且过A1,3B2,m、 ，求m的值.

2.若抛物线顶点在y轴上，且过A1,6B2,3、 ，求此二次函数的解析式. 略析： 1小题解析式设为2yax代入坐标列出方程来解答，求出解析式后，再返回求m的值;2小题将其解析式设为2yaxk，然后将坐标代入列成方程组解答. 解： 1.设抛物线的解析式设为2yax.根据题意：

由A1,3代入可得2a13 解得:a3.故此抛物线的解析式为2y3x . ∵B2,m ∴2m3212 . 2.把抛物线设为y2yaxk

∵抛物线过A1,6B2,3、 ∴ak64ak3 解得：a3k3. 故此抛物线的解析式为2y3x3 . 追踪练习： 1.若抛物线的顶点在x轴上，下列不符合条件的解析式是 （ ）

A.2y3x B.2y2x1 C.2yx3 D.2yx4x4 2..根据下列条件,直接写出抛物线的解析式： ⑴.顶点为原点，且过点M2,4. ；

⑵.顶点在x 轴上，且过A0,3B1,2、. . 3.若抛物线顶点在x轴上，且过A2,0B0,8Cn,4、、 ，求n值. 4.如图，小强某次练习投篮恰好命中篮筐中心，篮球的运动路线是一条抛物线,篮球在离地面垂直距离1.7m处出手，篮球到达的最高点离地面3.5m;若以地平线为x轴，过篮球运动的最高点垂直于地平线的直线为y轴建立平面直角坐标系(其它条件见图中标示).

⑴.求篮球运动路线的函数解析式；

⑵.求小强与篮底的水平距离L是多少米？ 九数上期专题复习资料五 第 5页（共 10页） 第 6页 （共 10页）

五.平移式（常用） 在平面直角坐标系的抛物线的平移只是改变位置（a值不变），根据平移规律可以采用算术方法来计算其解析式某些数值的变化（为了便于计算，可先把解析式改写成配方式即顶点式）： ⑴.左右平移，自变量“左加右减”；上下平移,函数值“上加下减”； ⑵.顶点坐标的变化：左右平移，横坐标“左减右加”；上下平移,纵坐标“上加下减”. 例.把二次函数2yaxbxca0的图象向左平移两个单位，再向上平移3单位得到2yx2x3的图象，求bc、的值. 略析：把二次函数2yx2x3的配方成2yx12其顶点坐标12， ,然后逆推即可平移前的解析式，问题可解决. 略解： 把二次函数2yx2x3的配方成2yx12, 逆推即向右平移2个单位，再向下平移3个单位.其顶点坐标1,2逆推后顶点坐标为3,1. 故原二次函数的解析式为22yxbxcx31 ，即为2yx6x8 . ∴b6,c8 . 追踪练习： 1.把抛物线2y2x向左平移3个单位，再向下平移2个单位的解析式是 （ ） A.2y2x32 B.2y2x32 C.2y2x32 D.2y2x32 2.把抛物线1y的顶点坐标为2,1，先向右平移1个单位，再向下平移2个单位的抛物线2y的顶点坐标是 （ ） A.3,1 B.1,3 C.1,1 D.3,3 3..把抛物线2yx22向 平移 个单位，再向 平移 个单位得到解析式为2yx11. 4.已知下列函数:①.2yx；②.2yx； ③.2yx11其中图象平移可以得到2yx2x3的图象有 . (填序号） 5.把抛物线21yx2经过平移得到抛物线21yx2x2. ⑴.抛物线是如何平移的？ ⑵.求出其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积？ （阴影部分见示意图） 六.对称式 1.抛物线关于x轴对称：解析式对应的各项系数及常数项均互为相反数. 2.抛物线关于y轴对称：解析式对应的二次项系数及常数项相同，而一次项系数互为相反数. 3.抛物线关于原点对称：解析式对应的二次项系数及常数项互为相反数，而一次项系数相同. 见下面示意图：

追踪练习： 1.抛物线2y2xx3关于x 轴对称的抛物线为 ； 2.抛物线2yx2x5关于y 轴对称的抛物线为 ； 3.抛物线2y2xx7关于原点轴对称的抛物线为 .

拓展提升： 例1.(《探究丛书》题)如图所示，已知抛物线与x轴交于A1,0B3,0、 两点，与y轴交于点C0,3. ⑴.求抛物线的解析式； ⑵.设抛物线的顶点为D,在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点 P，使得⊿PDC是以CD为一腰的等腰三角形？若存在，求出符合

条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由. 略析： 本题的⑴问已知三个点的坐标，且有两个点是与x轴的交点，所以把解析式的形式设为“一般式”或者“交点式”均可求解. 本题的⑵问可先假设存在;由于⊿PDC的顶点D是抛物线的顶点，在对称轴上，所以利用抛物线的对称性可找出存在符合条件的P点的. 略解：

⑴.设抛物线的解析式设为x2yaxxxx .

由A1,0B3,0、代入可得yax1x3. 又因为抛物线与y轴交于点C0,3，所以a01033 解得：a1 故此二次函数的解析式为yx1x3 即2yx2x3.

x

yy = 12∙x2 2∙xy = 12∙x2