乘法公式,根式,分解因式——老师用

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初高中衔接教材 一、数与式的运算 一)、必会的乘法公式

【公式1】ca bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++ 证明:2222)(2)(])[()(c c b a b a c b a c b a ++++=++=++

ca bc ab c b a c bc ac b ab a 222222222222+++++=+++++=

∴等式成立

【例1】计算:22)31

2(+-x x

解:原式=22]3

1

)2([+-+x x

9

1

3223822)

2(3

1

2312)2(2)31()2()(234222222+

-+-=-⨯⨯+⨯+-++-+=x x x x x x x x x x

说明:多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列. 【公式2】3322))((b a b ab a b a +=+-+(立方和公式)

证明: 3332222322))((b a b ab b a ab b a a b ab a b a +=+-++-=+-+

说明:请同学用文字语言表述公式2. 【例2】计算: (2a+b )(4a 2-2ab+b 2)=8 a 3+b 3

【公式3】3322))((b a b ab a b a -=++-(立方差公式)

1.计算 (1)(3x+2y )(9x 2-6xy+4y 2)= (2)(2x-3)(4x 2+6xy+9)=

(3))916141(312

1

2++⎪⎭⎫ ⎝⎛-m m m =

(4)(a+b )(a 2-ab+b 2)(a-b )(a 2+ab+b 2)=

2.利用立方和、立方差公式进行因式分解 (1)27m 3-n 3=

(2)27m 3-8

1

n 3=

(3)x 3-125= (4) m 6-n 6=

【公式4】33322()33a b a b a b ab +=+++

【公式5】33223()33a b a a b ab b -=-+- 【例3】计算:

(1))416)(4(2m m m +-+

(2))4

1

101251)(2151(22n mn m n m ++-

(3))164)(2)(2(24++-+a a a a (4)22222))(2(y xy x y xy x +-++ 解:(1)原式=333644m m +=+ (2)原式=33338

11251)21()51(n m n m -=

- (3)原式=644)()44)(4(63322242-=-=++-a a a a a (4)原式=2222222)])([()()(y xy x y x y xy x y x +-+=+-+

63362332)(y y x x y x ++=+=

说明:(1)在进行代数式的乘法、除法运算时,要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构.

(2)为了更好地使用乘法公式,记住1、2、3、4、…、20的平方数

和1、2、3、4、…、10的立方数,是非常有好处的.

【例4】已知2310x x -+=,求331

x x +的值.

解:2310x x -+= 0≠∴x 31

=+∴x

x

原式=18)33(3]3)1

)[(1()11)(1(2222=-=-++=+-+x x x x x

x x x

说明:本题若先从方程2310x x -+=中解出x 的值后,再代入代数式求值,则计算较烦琐.本题是根据条件式与求值式的联系,用整体代换的方法计算,简化了计算.请注意整体代换法.本题的解法,体现了“正难则反”的解题策略,根据题求利用题知,是明智之举.

【例5】已知0=++c b a ,求111111()()()a b c b

c

c

a

a

b

+++++的值. 解:b a c a c b c b a c b a -=+-=+-=+∴=++,,,0 ∴原式=ab

b

a c ac c a

b b

c c b a +⋅++⋅++⋅

333

()()()a a b b c c a b c bc ac ab abc

---++=++=- ①

abc c ab c c ab b a b a b a 3)3(]3))[((32233+-=--=-++=+

abc c b a 3333=++∴ ②,把②代入①得原式=33-=-

abc

abc

说明:注意字母的整体代换技巧的应用. 二)、根式

0)a ≥叫做二次根式,其性质如下:

【例6】化简下列各式:

+1)x ≥

解:(1) 原式=2|1|211+==

*(2) 原式=(1)(2)2 3 (2)

|1||2|(1)(2) 1 (1x 2) x x x x x x x x -+-=->⎧-+-=⎨

---=≤≤⎩

说明||a =的使用:当化去绝对值符号但字母的范围未知时,要对字母的取值分类讨论.

【例7】计算(没有特殊说明,本节中出现的字母均为正数):(1)

8

3

(4) +解:(1)

8

3=

4

6

282383=

⨯⨯=

(2) 原式623

=

=--

(3) 原式

(4) 原式=-=说明:

(1)二次根式的化简结果应满足:

①被开方数的因数是整数,因式是整式; ②被开方数不含能开得尽方的因数或因式. (2)二次根式的化简常见类型有下列两种:

①被开方数是整数或整式.化简时,先将它分解因数或因式,然后把开得尽

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