乘法公式,根式,分解因式——老师用

初高中衔接教材 一、数与式的运算 一）、必会的乘法公式【公式1】ca bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++ 证明：2222)(2)(])[()(c c b a b a c b a c b a ++++=++=++ca bc ab c b a c bc ac b ab a 222222222222+++++=+++++=∴等式成立【例1】计算：22)312(+-x x解：原式=22]31)2([+-+x x913223822)2(312312)2(2)31()2()(234222222+-+-=-⨯⨯+⨯+-++-+=x x x x x x x x x x说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列． 【公式2】3322))((b a b ab a b a +=+-+(立方和公式)证明: 3332222322))((b a b ab b a ab b a a b ab a b a +=+-++-=+-+说明:请同学用文字语言表述公式2. 【例2】计算： （2a+b ）（4a 2-2ab+b 2）=8 a 3+b 3【公式3】3322))((b a b ab a b a -=++-(立方差公式)1．计算 （1）（3x+2y ）（9x 2-6xy+4y 2）= （2）（2x-3）（4x 2+6xy+9）=（3）)916141(31212++⎪⎭⎫ ⎝⎛-m m m =（4）（a+b ）（a 2-ab+b 2）（a-b ）（a 2+ab+b 2）=2．利用立方和、立方差公式进行因式分解 （1）27m 3-n 3=（2）27m 3-81n 3=（3）x 3-125= （4） m 6-n 6=【公式4】33322()33a b a b a b ab +=+++【公式5】33223()33a b a a b ab b -=-+- 【例3】计算：（1）)416)(4(2m m m +-+（2）)41101251)(2151(22n mn m n m ++-（3）)164)(2)(2(24++-+a a a a （4）22222))(2(y xy x y xy x +-++ 解：（1）原式=333644m m +=+ （2）原式=3333811251)21()51(n m n m -=- （3）原式=644)()44)(4(63322242-=-=++-a a a a a （4）原式=2222222)])([()()(y xy x y x y xy x y x +-+=+-+63362332)(y y x x y x ++=+=说明：（1）在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构．（2）为了更好地使用乘法公式，记住1、2、3、4、…、20的平方数和1、2、3、4、…、10的立方数，是非常有好处的．【例4】已知2310x x -+=，求331x x +的值．解：2310x x -+= 0≠∴x 31=+∴xx原式=18)33(3]3)1)[(1()11)(1(2222=-=-++=+-+x x x x xx x x说明：本题若先从方程2310x x -+=中解出x 的值后，再代入代数式求值，则计算较烦琐．本题是根据条件式与求值式的联系，用整体代换的方法计算，简化了计算．请注意整体代换法．本题的解法，体现了“正难则反”的解题策略，根据题求利用题知，是明智之举．【例5】已知0=++c b a ，求111111()()()a b c bccaab+++++的值． 解：b a c a c b c b a c b a -=+-=+-=+∴=++,,,0 ∴原式=abba c ac c ab bc c b a +⋅++⋅++⋅333()()()a a b b c c a b c bc ac ab abc---++=++=- ①abc c ab c c ab b a b a b a 3)3(]3))[((32233+-=--=-++=+abc c b a 3333=++∴ ②，把②代入①得原式=33-=-abcabc说明：注意字母的整体代换技巧的应用． 二）、根式0)a ≥叫做二次根式，其性质如下：【例6】化简下列各式：+1)x ≥解：(1) 原式=2|1|211+==*(2) 原式=(1)(2)2 3 (2)|1||2|(1)(2) 1 (1x 2) x x x x x x x x -+-=->⎧-+-=⎨---=≤≤⎩说明||a =的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论．【例7】计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：(1)83(4) +解：(1)83=46282383=⨯⨯=(2) 原式623==--(3) 原式(4) 原式=-=说明：(1)二次根式的化简结果应满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式； ②被开方数不含能开得尽方的因数或因式． (2)二次根式的化简常见类型有下列两种：①被开方数是整数或整式．化简时，先将它分解因数或因式，然后把开得尽方的因数或因式开出来；②分母中有根式(或被开方数有分母()形式() ，转化为 “分母中有根式”的情况．化简时，要把分母中的根式化为有理式，采取分子、分母同乘以一个根式进行化简．(化，其中22-)．有理化因式和分母有理化有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个代数式叫做有理化因式。

如a 与a ；y b x a +与y b x a -互为有理化因式。

分母有理化：在分母含有根式的式子里，把分母中的根式化去，叫做分母有理化。

【例8】计算：(1) 21)(1+-+解：(1) 原式=22(1()21a b a --++=--+(2) 原式=说明：有理数的的运算法则都适用于加法、乘法的运算律以及多项式的乘法公式、分式二次根式的运算．【例9】设x y ==，求33x y +的值．解：77 14,123x y x y xy ==+=-⇒+==-原式=2222()()()[()3]14(143)2702x y x xy y x y x y xy +-+=++-=-=说明：有关代数式的求值问题：(1)先化简后求值；(2)当直接代入运算较复杂时，可根据结论的结构特点，倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化计算量．1a =-成立的条件是( )A ．0a >B ．0a <C ．0a ≤D ．a 是任意实数2．若3x <|6|x -的值是( ) A ．－３ B ．３C ．－９D ．９3．计算：(1) 2(34)x y z --(2) 2(21)()(2)a b a b a b +---+(3)322)())((b a b ab a b a +-+-+ (4) 221(4)(4)4a b a b ab -++4．化简(下列a 的取值范围均使根式有意义)：(2) a+-5．化简：102m(2)0)x y >> 6．若112x y -=，则33x xy y x xy y+---的值为( )：A ．35B ．35-C ．53-D ．537．设x y ==，求代数式22x xy y x y +++的值．8．已知11120,19,21202020a xb xc x =+=+=+，求代数式222a b c a b b c a c++---的值． 9．设x =4221x x x ++-的值． 10．化简或计算：练 习(1)-+ (2)-答案：1． C 2． A3． (1) 2229166824x y z xy xz yz ++--+(2)22353421a ab b a b -++-+(3) 2233a b ab --(4) 331164a b -4．21----5．． D 7．8． 39．3-．-二、因式分解因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要的基本技能．因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等．一）、公式法【例1】用立方和或立方差公式分解下列各多项式：(1) 38x +(2) 30.12527b -分析： (1)中，382=，(2)中3330.1250.5,27(3)b b ==． 解：(1) 333282(2)(42)x x x x x +=+=+-+(2) 333220.125270.5(3)(0.53)[0.50.53(3)]b b b b b -=-=-+⨯+2(0.53)(0.25 1.59)b b b =-++说明：(1) 在运用立方和(差)公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如3338(2)a b ab =，这里逆用了法则()n n n ab a b =；(2) 在运用立方和(差)公式分解因式时，一定要看准因式中各项的符号． 【例2】分解因式：(1) 34381a b b -(2) 76a ab -分析：(1) 中应先提取公因式再进一步分解；(2) 中提取公因式后，括号内出现66a b -，可看着是3232()()a b -或2323()()a b -．解：(1) 3433223813(27)3(3)(39)a b b b a b b a b a ab b -=-=-++． (2) 76663333()()()a ab a a b a a b a b -=-=+-22222222()()()()()()()()a ab a ab b a b a ab b a a b a b a ab b a ab b =+-+-++=+-++-+二)、分组分解法从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如ma mb na nb +++既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组．1．分组后能提取公因式 【例3】把2105ax ay by bx -+-分解因式．分析：把多项式的四项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按x 的降幂排列，然后从两组分别提出公因式2a 与b -，这时另一个因式正好都是5x y -，这样可以继续提取公因式．解：21052(5)(5)(5)(2)ax ay by bx a x y b x y x y a b -+-=---=-- 说明：用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方法．本题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不妨一试．【例4】把2222()()ab c d a b cd ---分解因式．分析：按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因式．解：22222222()()ab c d a b cd abc abd a cd b cd ---=--+2222()()abc a cd b cd abd =-+-()()()()ac bc ad bd bc ad bc ad ac bd =-+-=-+说明：由例3、例4可以看出，分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用了加法交换律，分组后，为了提公因式，又运用了分配律．由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用．2．分组后能直接运用公式 【例5】把22x y ax ay -++分解因式．分析：把第一、二项为一组，这两项虽然没有公因式，但可以运用平方差公式分解因式，其中一个因式是x y +；把第三、四项作为另一组，在提出公因式a 后，另一个因式也是x y +.解：22()()()()()x y ax ay x y x y a x y x y x y a -++=+-++=+-+ 【例6】把2222428x xy y z ++-分解因式．分析：先将系数2提出后，得到22224x xy y z ++-，其中前三项作为一组，它是一个完全平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式．解：22222224282(24)x xy y z x xy y z ++-=++-222[()(2)]2(2)(2)x y z x y z x y z =+-=+++-说明：从例5、例6可以看出：如果一个多项式的项分组后，各组都能直接运用公式或提取公因式进行分解，并且各组在分解后，它们之间又能运用公式或有公因式，那么这个多项式就可以分组分解法来分解因式．三)、十字相乘法 1．2()x p q x pq +++型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：(1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和．22()()()()()x p q x pq x px qx pq x x p q x p x p x q +++=+++=+++=++ 因此，2()()()x p q x pq x p x q +++=++ 运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 【例7】把下列各式因式分解：(1) 276x x -+(2) 21336x x ++解：(1) 6(1)(6),(1)(6)7=-⨯--+-=-2 76[(1)][(6)](1)(6)x x x x x x ∴-+=+-+-=--． (2)3649,4913=⨯+=2 1336(4)(9)x x x x ∴++=++说明：此例可以看出，常数项为正数时，应分解为两个同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同．【例8】把下列各式因式分解：(1) 2524x x +-(2) 2215x x --解：(1) 24(3)8,(3)85-=-⨯-+= 2 524[(3)](8)(3)(8)x x x x x x ∴+-=+-+=-+ (2)15(5)3,(5)32-=-⨯-+=-2 215[(5)](3)(5)(3)x x x x x x ∴--=+-+=-+说明：此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数的符号相同． 【例9】把下列各式因式分解：(1) 226x xy y +-(2) 222()8()12x x x x +-++分析：(1) 把226x xy y +-看成x 的二次三项式，这时常数项是26y -，一次项系数是y ，把26y -分解成3y 与2y -的积，而3(2)y y y +-=，正好是一次项系数．(2) 由换元思想，只要把2x x +整体看作一个字母a ，可不必写出，只当作分解二次三项式2812a a -+．解：(1) 222266(3)(2)x xy y x yx x y x y +-=+-=+- (2) 22222()8()12(6)(2)x x x x x x x x +-++=+-+-(3)(2)(2)(1)x x x x =+-+-2．一般二次三项式2ax bx c ++型的因式分解大家知道，2112212122112()()()a x c a x c a a x a c a c x c c ++=+++． 反过来，就得到：2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++我们发现，二次项系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，把1212,,,a a c c 写成1122a c a c ⨯，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1221a c a c +，如果它正好等于2ax bx c ++的一次项系数b ，那么2ax bx c ++就可以分解成1122()()a x c a x c ++，其中11,a c 位于上一行，22,a c 位于下一行．这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解． 【例10】把下列各式因式分解：(1) 21252x x --(2) 22568x xy y +-解：(1) 21252(32)(41)x x x x --=-+3241-⨯(2) 22568(2)(54)x xy y x y x y +-=+-1 254y y -⨯说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号．四)、其它因式分解的方法 1．配方法【例11】分解因式2616x x +-解：222222616233316(3)5x x x x x +-=+⨯⨯+--=+-(35)(35)(8)(2)x x x x =+++-=+-说明：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差公式分解．当然，本题还有其它方法，请大家试验．2．拆、添项法【例12】分解因式3234x x -+分析：此多项式显然不能直接提取公因式或运用公式，分组也不易进行．细查式中无一次项，如果它能分解成几个因式的积，那么进行乘法运算时，必是把一次项系数合并为0了，可考虑通过添项或拆项解决．解： 323234(1)(33)x x x x -+=+--22(1)(1)3(1)(1)(1)[(1)3(1)]x x x x x x x x x =+-+-+-=+-+-- 22(1)(44)(1)(2)x x x x x =+-+=+-说明：本解法把原常数4拆成1与3的和，将多项式分成两组，满足系数对应成比例，造成可以用公式法及提取公因式的条件．本题还可以将23x -拆成224x x -，将多项式分成两组32()x x +和244x -+． 一般地，把一个多项式因式分解，可以按照下列步骤进行：(1) 如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式；(2) 如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解；(3) 如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组或其它方法(如十字相乘法)来分解；(4) 分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．1．把下列各式分解因式：(1) 327a + (2) 38m - (3) 3278x -+2．把下列各式分解因式：(1) 34xy x + (2) 33n n x x y +- (3)2232(2)y x x y -+3．把下列各式分解因式：(1) 232x x -+ (2) 2627x x -- (3) 2245m mn n --4．把下列各式分解因式：(1) 5431016ax ax ax -+ (2) 2126n n n a a b a b +++- (3) 22(2)9x x -- (4) 2282615x xy y +- (5) 27()5()2a b a b +-+-5．把下列各式分解因式：(1) 233ax ay xy y -+- (2) 328421x x x +-- (3)251526x x xy y -+-(4) 22414xy x y +-- (5) 432234ab b a b a b a --+ (6)练 习66321x y x --+(7) 2(1)()x x y xy x +-+6．已知2,23a b ab +==，求代数式22222a b a b ab ++的值． 7．证明：当n 为大于2的整数时，5354n n n -+能被120整除．8．已知0a b c ++=，求证：32230a a c b c abc b ++-+=．答案：1．222(3)(39),(2)(42),(23)(469),a a a m m m x x x +-+-++-++2．2222()(),()(),n x x y y xy x x x y x xy y +-+-++ 22432(1)(4321)y x x x x x --+++ 3．(2)(1)x x --，(9)(3)x x -+， (5)()m n m n -+4．3(2)(8)ax x x -- ；(3)(2)n a a b a b +- ；2(3)(1)(23)x x x x -+-+；(2)(415),x y x y -+(772)(1)a b a b +++-5．2()(3),(21)(21),(3)(52)x y a y x x x x y -++--+；(12)(12),x y x y -++- 23333()(),(1)(1),()(1)ab a b a b x y x y x x y x y +----+-++．6．2837．5354(2)(1)(1)(2)n n n n n n n n -+=--++8．322322()()a a c b c abc b a ab b a b c ++-+=-+++。