信息熵定义
有关信息熵
有关信息熵（摘自互动维客：,更多内容请访问互动维客！）一、信息熵)是指信源（物理系统）某一事件发生时所包含的信息量，物理系统自信息I(xi)是一个随机变量，它不内不同事件发生时，其信息量不同，所以自信息I(xi能用来作为整个系统的信息的量度。
山农定义自信息的数学期望为信息熵，即信源的平均信息量:信息熵表征了信源整体的统计特征，是总体的平均不确定性的量度。
对某一特定的信源，其信息熵只有一个，因统计特性不同，其熵也不同。
例如，两个信源，其概率空间分别为：则信息熵为：可见，H(Y)>H(X),说明信源Y比信源X的平均不确定性要大，即在事件发生之前，分析信源Y，由于事件y1 ,y2 是等概率的，难以猜测哪一个事件会发生；而信源X，虽然也存在不确定性，但大致可以知道,x1出现的可能性要大。
正如两场足球赛，其中一场，双方势均力敌；而另一场双方实力悬殊很大。
当然,人们希望看第一场，因为胜负难卜，一旦赛完，人们获得信息量大。
也可以这样理解，信息熵H(X)表征了变量X的随机性。
如上例，变量Y取y1和y2是等概率的，所以其随机性大；而变量X取x1比x2的概率要大的多，这时变量X的随机性就小。
因此，熵反映了变量的随机性，也是表征随机变量统计特性的一个特征参数。
二、信息熵的基本性质1、对称性当概率空间中P(x1),)P(x2)…序任意互换时，熵函数的值不变，例如下面两个信源空间:其信息熵H(X)=H(Y)。
该性质说明，熵只与随机变量的总体结构有关，与信源总体的统计特性有关，同时也说明所定义的熵有其局限性，它不能描述事件本身的主观意义。
2、确定性如果信源的输出只有一个状态是必然的,即P(x1)=1, P(x2)=P(x3)=… =0,则信源的熵:这个性质表明，信源的输出虽有不同形态，但其中一种是必然的，这意味着其他状态不可能出现。
那么，这个信源是一个确知信源，其熵为零。
3、非负性即H(X)>0。
因为随机变量X的所有取值的概率分布为0<P(xi)<1。
信息量，信息熵
信息量，信息熵1. 信息量的多与少任何事都会承载⼀定的信息量，包括已发⽣和未发⽣的事，只是它们承载的信息量有所不同。
如昨天下⾬这个已知事件，因为已经发⽣，你我都知道这件事，故它的信息量为0。
但明天会下⾬这件事，因为未发⽣，所以这事的信息量就⼤。
从上⾯例⼦可以看出信息量是⼀个与事件发⽣概率相关的概念，⼀条信息的信息量跟这个信息能解答的问题的不确定性有关。
⼀条信息能解答的问题越不确定，那它包含的信息量就越⼤。
如猜⼀个骰⼦最后向上的那⾯是多少点的游戏，这个游戏可能的情况有6种，但是猜32⽀球队中谁获得世界杯冠军的游戏则有32种可能。
所以“哪⽀球队最终获得世界杯冠军”的信息量⽐“骰⼦最后向上那⾯是多少点”的信息量⼤，因为前者是从32种可能中确定答案，⽽后者是从6种可能中确定答案。
2. 信息量的计算假设我错过了某年世界杯⽐赛，现在要去问⼀个知道⽐赛结果的朋友“哪⽀球队最终获得世界杯冠军”？他要求我猜，猜完会告诉我是对还是错，但我每猜⼀次就要给他⼀块钱。
那么我需要付给他多少钱才能知道谁是冠军？解：我可以把球队编号，从1到32，然后问“冠军的球队在1-16号中吗？”。
假如他告诉我对了，我就问“冠军的球队在1-8号中吗？”。
如果他告诉我不对，我就⾃然就知道冠军队在9-16号中。
这样我只需要猜5次就可以知道哪⽀球队是冠军了（思路类似于折半查找）所以，“谁是世界杯冠军”这个问题的答案的信息量只值5块钱。
⾹农⽤“⽐特”（bit）来作为信息量的单位。
像上边“谁是世界杯冠军”这个问题的答案的信息量是5⽐特。
如果是64⽀球队，“谁是世界杯冠军”这个问题的答案的信息量就是6⽐特，因为要多猜⼀次。
对⾜球了解的朋友看到这有疑问了，他觉得他不需要5次来猜。
因为他知道巴西，西班⽛，德国等这些强队夺冠的可能性⽐⽇本，韩国等球队⼤的多。
所以他可以先把强队分成⼀组，剩下的其它队伍⼀组。
然后问冠军是否在夺冠热门组⾥边。
重复这样的过程，根据夺冠的概率对剩下的候选球队分组，直⾄找到冠军队，这样也许三次或四次就猜出结果了。
信息熵InformationTheory
信息熵InformationTheory信息论（Information Theory）是概率论与数理统计的⼀个分枝。
⽤于信息处理、信息熵、通信系统、数据传输、率失真理论、密码学、信噪⽐、数据压缩和相关课题。
本⽂主要罗列⼀些基于熵的概念及其意义，注意本⽂罗列的所有 log 都是以 2 为底的。
信息熵在物理界中熵是描述事物⽆序性的参数，熵越⼤则越混乱。
类似的在信息论中熵表⽰随机变量的不确定程度，给定随机变量 X ，其取值x1,x2,⋯,x m，则信息熵为:H(X)=m∑i=1p(x i)⋅log1p(x i)=−m∑i=1p(x i)⋅log p(x i)这⾥有⼀张图，形象的描述了各种各样的熵的关系：条件熵设 X ,Y 为两个随机变量，X 的取值为x1,x2,...,x m ,Y 的取值为y1,y2,...y n，则在X 已知的条件下 Y 的条件熵记做 H(Y|X) :H(Y|X)=m∑i=1p(x i)H(Y|X=x i)=−m∑i=1p(x i)n∑j=1p(y j|x i)log p(y j|x i)=−m∑i=1n∑j=1p(y j,x i)log p(y j|x i)=−∑x i,y j p(xi,y j)log p(y j|x i)联合熵设 X Y 为两个随机变量，X 的取值为x1,x2,...,x m ,Y 的取值为y1,y2,...y n，则其联合熵定义为:H(X,Y)=−m∑i=1n∑j=1p(x i,y j)log p(x i，y j)联合熵与条件熵的关系：H(Y|X)=H(X,Y)−H(X)H(X|Y)=H(X,Y)−H(Y)联合熵满⾜⼏个性质：1）H(Y|X)≥max(H(X),H(Y)) ;2）H(X,Y)≤H(X)+H(Y) ;3）H(X,Y)≥0.相对熵 KL距离相对熵，⼜称为KL距离，是Kullback-Leibler散度（Kullback-Leibler Divergence）的简称。
信息熵推导
信息熵推导
信息熵是一种衡量信息量的指标，它可以用来度量不确定性的大小。
通常，用H表示信息熵，其数学表达式为：
H(X) = -∑P(i)logP(i)
其中，X表示随机变量，P(i)表示所有可能值X的发生概率。
根据信息论定义，一个变量越随机，它所包含的信息量就越大，
相应的该变量的信息熵也会越大。
熵越大，说明变量有越多的可能性，这意味着更多的信息量，也意味着更大的不确定性。
因此，利用信息
熵可以进行不确定性的分析。
除此之外，信息熵还可以用来衡量一个变量或一个系统的复杂度。
它越大，表示变量的不确定性就越大，也就是说有更多的可能性，也
就意味着复杂性越强。
信息熵可以用来应对信息安全管理中复杂度的
挑战，从而提高整体安全性。
信息论第3章信源及信息熵
举例
数学描述
离散信源 （数字信源）
连续信号
文字、数据、 离散化图象
离散随机变量 序列
跳远比赛的结果、语音 连续随机变量
信号抽样以后
序列
波形信源 （模拟信源）
语音、音乐、热噪声、 图形、图象
不常见
随机过程
表3.1 信源的分类
3.1 信源的分类及其数学模型
我们还可以根据各维随机变量的概率分布是否随时间的推移 而变化将信源分为平稳信源和非平稳信源，根据随机变量间 是否统计独立将信源分为有记忆信源和无记忆信源。
定义3.2 随机变量序列中，对前N个随机变量的联合熵求平
均：
HN
(X)
1 N
H ( X1X 2
XN)
称为平均符号熵。如果当N
时上式极限存在，则
lim
N
H
N
(X)
称为熵率，或称为极限熵，记为
def
H
lim
N
H
N
(
X
)
3.3.1 离散平稳无记忆信源
离散平稳无记忆信源输出的符号序列是平稳随机序列，并且
H(X ) H(X1X2 XN ) H ( X1) H ( X2 | X1) H ( X3 | X1X 2 ) H ( X N | X1X 2 X N1)
定理3.1 对于离散平稳信源，有以下几个结论：
（1）条件熵 H (X N | X1X 2 X N1) 随N的增加是递减的；
（2）N给定时平均符号熵大于等于条件熵，即
s1
si p(s j
| si )
s q
m
状态空间由所有状态及状态间的状态转移概率组成。通过引
入状态转移概率，可以将对马尔可夫信源的研究转化为对马 尔可夫链的研究。
第二章 信源和信息熵
第二章 信源和信息熵
2.1 信源的数学模型及分类
通信系统模型及信息传输模型：
第二章 信源和信息熵
一、离散无记忆信源
例：扔一颗质地均匀的正方体骰子，研究其下落后， 朝上一面的点数。每次试验结果必然是1点、2点、3点、 4点、5点、6点中的某一个面朝上。每次试验只随机出 现其中一种消息，不可能出现这个集合以外的消息， 考察此事件信源的数学模型。
• 平均符号熵就是信源符号序列中平均每个信 源符号所携带的信息量。
• 条件熵≤无条件熵；条件较多的熵≤条件较少 的熵，所以：
第二章 信源和信息熵
离 散 平 稳 信 源 性 质（H1(X)<∞时）：
• 条件熵随N的增加是递减的； • 平均符号熵≥条件熵； • 平均符号熵HN(X)随N增加是递减的； • 极限熵
且：I(X1;X2)＝I(X2;X1)
第二章 信源和信息熵
注意：任何无源处理总是丢失信息的，至多保持原来 的信息，这是信息不可增性的一种表现。
二、离散平稳信源的极限熵 设信源输出一系列符号序列X1,X2, ‥XN 概率分布： 联合熵：
定义序列的平均符号熵＝总和/序列长度，即：
第二章 信源和信息熵
即：收信者所获得的信息量应等于信息传输前 后不确定性的减少的量。
例：设一条电线上串联8个灯泡，且损坏的可 能性为等概，若仅有一个坏灯泡，须获知多少 信息量才可确认？
第二章 信源和信息熵
例解：
测量前，P1(x)＝1/8，存在不确定性： I(P1(x))＝log8＝3bit
第一次测量获得信息量： 第二次测量获得信息量： 第三次测量获得信息量： 每次测量获得1bit信息量，需三次测量可确定坏灯泡
例：运用熵函数的递增性，计算熵函数 H（1/3,1/3,1/6,1/6）的数值。
该信息源的信息熵,并解释其物理含义
该信息源的信息熵,并解释其物理含义信息熵是信息论中非常重要的概念，它可以被用来衡量一个信息源中信息的复杂程度，并提供有效的方法来衡量信息质量。
信息熵可以解释为一个信息源中信息的“按重要程度分类的程度”。
也就是说，信息熵可以衡量信息的量的大小和它们的多样性。
信息熵的物理含义是：它是一个值，可以用来测量信息源中信息量的多少和复杂程度，也可以表示信息质量。
它也可以用来衡量信息源中信息的量。
也就是说，信息熵代表信息源中信息的数量、多样性和复杂性。
信息熵可以通过计算概率分布来计算。
假设在有限的信息源中，概率分布P=(p_1,p_2,p_3,…,p_n)，其中每个概率p_i对应于该信息源中的某一信息i，则信息熵的定义为：H= - sum_{i=1}^n p_ilog_2 p_i信息熵的物理含义是：它可以被描述为一个信息源中信息量的量化度量。
其中，p_i是该信息源中信息i的概率分布，而log_2 p_i 表示在p_i的概率下，可以从信息源中获取的信息量，累加n次p_ilog_2 p_i则可以表示信息源中总的信息量。
此外，信息熵也可以用来衡量信息的多样性。
当信息源中的信息更加多样时，信息熵的值会更高，也就是说，当信息源中的信息更加多样时，从这个信息源中可以获取的信息量就会更多，反之亦然。
同样，当信息源中的信息质量较低时，信息熵的值也会较低，表明信息质量较差。
信息熵可以用来衡量一个系统中信息的复杂程度，从而使系统的操作更加的精确和高效。
例如，当我们想要从一个信息源中获取信息时，可以通过衡量这个系统中信息的复杂程度，来优化搜索过程，从而提高信息获取的效率。
信息熵可以说是一个非常有用的工具，它可以用来衡量信息源中信息的量、多样性和质量，从而有助于更好地操作系统、优化搜索过程，以获得更多有效的信息。
信息熵归一化
信息熵归一化引言：信息熵是信息论中的一个重要概念，它描述了信息的不确定性和随机性。
在信息处理中，我们常常需要对不同的信息进行比较和分析，但是由于不同信息的熵值大小不同，这就给信息处理带来了一定的困难。
为了解决这个问题，我们可以采用信息熵归一化的方法，将不同信息的熵值映射到同一范围内，从而方便比较和分析。
一、信息熵的定义和计算信息熵是信息论中的一个重要概念，它描述了信息的不确定性和随机性。
在信息处理中，我们常常需要对不同的信息进行比较和分析，但是由于不同信息的熵值大小不同，这就给信息处理带来了一定的困难。
为了解决这个问题，我们需要先了解信息熵的定义和计算方法。
信息熵的定义：对于一个随机变量X，其信息熵H(X)定义为：H(X) = -Σp(x)log2p(x)其中，p(x)表示X取值为x的概率，log2表示以2为底的对数。
信息熵的单位是比特（bit），表示信息的平均不确定性。
信息熵的计算方法：对于一个离散型随机变量X，其信息熵可以通过以下公式计算：H(X) = -Σp(x)log2p(x)对于一个连续型随机变量X，其信息熵可以通过以下公式计算：H(X) = -∫p(x)log2p(x)dx二、信息熵归一化的方法由于不同信息的熵值大小不同，这就给信息处理带来了一定的困难。
为了解决这个问题，我们可以采用信息熵归一化的方法，将不同信息的熵值映射到同一范围内，从而方便比较和分析。
信息熵归一化的方法有很多种，其中比较常用的方法有以下几种：1. 最大熵归一化最大熵归一化是一种常用的信息熵归一化方法，它的基本思想是将不同信息的熵值映射到[0,1]的范围内。
具体方法是先计算出所有信息的熵值，然后将最大熵值设为1，其他信息的熵值按比例缩放即可。
2. Z-score归一化Z-score归一化是一种常用的统计学方法，它的基本思想是将不同信息的熵值映射到均值为0，标准差为1的正态分布中。
具体方法是先计算出所有信息的熵值的均值和标准差，然后将每个信息的熵值减去均值，再除以标准差即可。
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信息熵定义
信息熵是理解信息量的一种重要方式，它通过量化分析系统信息的不确定性来衡量知识的多样性和复杂性。
它的研究是由贝尔实验室的蒂姆斯托克斯（Claude Elwood Shannon）在1948年发表的《现代电路理论》中开展的。
他在这篇文章中发展了一个更加精确和系统化的信息量衡量模型，就是当今人们所熟悉的信息熵。
什么是信息熵？信息熵（entropy）指的是一种系统信息的不确定性，它是一种分析系统的复杂性和多样性的量化指标，可以帮助我们更加准确理解和衡量知识，并根据需要作出及时的改进。
斯托克斯向我们解释了信息熵的计算公式：Entropy =(Pi x log2(Pi))，其中Pi是描述某事件发生的概率，log2Pi表示以2为底Pi的对数。
在任何条件下，这种不确定性都不会太大，因为当Pi 接近1时，log2Pi接近0，所以信息熵也将接近0。
而当Pi接近0时，log2Pi接近正无穷，因此信息熵也将接近正无穷。
信息熵的另一个重要的用途是信号处理。
在信息传输和解码的过程中，可以用信息熵来衡量信息的熵，从而确定信号的污染程度，并据此保证信号的清晰度和信息的准确性。
此外，信息熵还可以用于贝叶斯论，这是一种古老而又强大的统计学模型，用于推导一个或多个随机变量之间的联系。
这种模型需要碰到许多随机变量，需要求解它们之间的联系，而信息熵正是用来衡量这种不确定性大小的有效指标。
信息熵还可以用来分析不同系统的复杂性，这种复杂性分析可以
帮助研究人员和设计者更好地组织和改进系统的结构，对它进行合理的改造和优化。
信息熵的定义有很多，不过大多数都集中在概率分布、信息理论和熵的概念上。
信息熵是用来定量分析空间性随机变量和系统信息不确定性的有效指标，它在计算机、数据挖掘以及社交网络分析等领域都扮演着重要角色。
综上所述，信息熵是一种重要的衡量工具，它可以帮助我们理解知识复杂性，提高系统的健壮性和效率，并通过多种方式来改进系统的表现。
希望未来的研究会带来更多惊喜，让信息熵领域取得更大的发展。