因式分解的十二种方法(已整理)
最全因式分解公式，终于看到有完整版了
最全因式分解公式，终于看到有完整版了《最全因式分解宝典》是一套系统化的因式分解方法论。
因式分解是小升初、中考、高考考试的常考点，每年考试都有1-3道题目需要涉及因式分解的知识点，所以掌握因式分解的方法，对提升孩子学习成绩十分重要。
此宝典包含了12大方法《提公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法、添项折项法、配方法、求根法、特殊值法、待定系数法、主元法、换元法、综合短除法》，帮助考生系统性地学习因式分解。
《最全因式分解宝典》目录•第1节：提公因式法•第2节：运用公式法（本节讲解）•——2.1、什么是公式法•——2.2、因式分解常用公式•——2.3、常用公式推导过程•——2.4、经典例题讲解•——2.5、举一反三例题•第3节：分组分解法•第4节：十字相乘法•第5节：添项折项法•第6节：配方法•第7节：求根法•第8节：特殊值法•第9节：待定系数法•第10节：主元法•第11节：换元法•第12节：综合短除法一、什么是公式法如果把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法。
二、因式分解常用公式1、平方差公式a²-b²=(a+b)(a-b)2、完全平方公式a²+2ab+b²=(a+b)²3、立方和公式a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)4、立方差公式a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)5、完全立方和公式a³+3a²b+3ab²+b³=(a+b)³6、完全立方差公式a³-3a²b+3ab²-b³=(a-b)³7、三项完全平方公式a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)²8、三项立方和公式a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)三、常用公式推导过程1、平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)【推导过程】a²-b²=a²+ab-(b²+ab)=a(a+b)-b(a+b)=(a+b)(a-b)说明：这里推导过程使用了后面的课程添项折项法（添项），这个因式分解添加了ab一项，构造了a+b的公因式，同学们也可以自己试试，添加-ab，也是一样的。
因式分解12种方法全攻略
因式分解的十二种方法全攻略1.1提公因式法【例1】 分解因式： 3222524261352xy z xy z x y z -++1.2公式法平方差公式：22()()a b a b a b -=+-完全平方公式：2222()a ab b a b ++=+2222()a ab b a b -+=-三项完全平方公式：立方和差公式：【例2】 分解因式：66a b -附加：分解因式：333333()()()a b b c c a a b c ++++++++1.3选主元【例3】 分解因式：1a b c ab bc ca abc +++++++.练习：分解因式：1、2222a b ab bc ac --++附加：222222()()(1)()()ab x y a b xy a b x y ---+-++1.4分组分解法【例4】 分解因式：1、ax ay bx cy cx by -++--；【例5】 3254222x x x x x --++-【例6】 分解因式2244243x xy y x y ++---．1.5拆添项法【例7】 分解因式432433x x x x ++++【例8】 因式分解343a a -+．【例9】 分解因式：310x x ++【例10】 分解因式：421x x ++42231x x -+附加题：1、51x x ++ 2、541a a ++1.6十字相乘法【例11】 分解因式：()()()222221a a x a x a a ---++1.7 重组重解【例12】 分解因式：(6114)(31)2a a b b b +++--【例13】 分解因式：22(1)(1)(221)y y x x y y +++++附加：()()222222ax by ay bx c x c y ++-++1.8双十字相乘法【例14】 分解因式：222332x xy y x y +-+++【例15】2265622320x xy y x y --++- 22344883x xy y x y +-+--22121021152x xy y x y -++-+1.9换元法【例16】 分解因式：(1)(3)(5)(7)15x x x x +++++【例17】 分解因式22(32)(384)90x x x x ++++-1.10因式定理因式定理：如果x a =时，多项式1110...n n n n a x a x a x a --++++的值为0，那么x a -是该多项式的一个因式.【例18】 分解因式：32252x x x ---【例19】 分解因式：43265332x x x x ++-- 分解因式：3292624x x x -+-附加：分解因式：()()32222121x a x a a x a a ++++-+-1.11待定系数法如果两个多项式恒等，则左右两边同类项的系数相等.即，如果12112112101210n n n n n n n n n n n n a x a x a x a x a b x b x b x b x b --------+++++=+++++那么n n a b =，11n n a b --=，…，11a b =，00a b =.【例20】 用待定系数法分解因式：51x x ++【例21】 421x x -+是否能分解成两个整系数的二次因式的乘积?练习：1、631x x +-能否分解为两个整系数的三次因式的积?1.12对称式与轮换式【例22】 分解因式：222()()()x y z y z x z x y -+-+-拓展：333()()()x y z y z x z x y -+-+-【例23】 分解因式：222222()()()xy x y yz y z zx z x -+-+-【例24】 分解因式：222()()()2a b c b a c c a b abc ++++++【例25】 ()()ab bc ac a b c abc ++++-附加题：1、444()x y x y +++ 附加2、5555()x y z x y z ++---。
因式分解的14种方法讲解
因式分解的14种方法讲解因式分解是数学中常用的重要方法，它可以将一个多项式表达式分解为一个或多个乘积的形式。
在因式分解过程中，有多种方法可以使用。
下面我将为您介绍14种常见的因式分解方法。
方法一：公因式提取法1.公因式提取法是最基本的一种因式分解方法，适用于多项式中存在公共的因式。
例如，对于多项式2x+6，可以提取出公因式2，得到2(x+3)。
方法二：配方法2. 配方法适用于二次型多项式的因式分解。
对于ax² + bx + c形式的多项式，可以通过配方法将其分解为两个一次因式相乘的形式。
例如，对于多项式x² + 3x + 2，可以找到两个因数(x + 1)(x + 2)。
方法三：x平方差3.x平方差适用于形如x²-a²的多项式，其中a是一个常数。
这种情况下，可以将其分解为两个因子(x+a)(x-a)。
方法四：因式分解公式4.因式分解公式适用于一些特殊的多项式形式。
例如，x²-y²可以通过公式(x-y)(x+y)分解。
方法五：完全平方公式5. 完全平方公式适用于形如a² ± 2ab + b²的多项式。
这种情况下，可以将其分解为平方项的和或差。
(a ± b)²。
方法六：两个平方差的乘积6.两个平方差的乘积适用于形如(a+b)(a-b)(c+d)(c-d)的多项式。
这种情况下，可以分解为两个平方差相乘。
方法七：立方公式7. 立方公式适用于形如a³ ± b³的多项式。
这种情况下，可以将其分解为立方项的和或差。
(a ± b)(a² ∓ ab + b²)。
方法八：差的立方8. 差的立方适用于形如a³ - b³的多项式。
这种情况下，可以分解为差的立方公式(a - b)(a² + ab + b²)。
方法九：高次幂差的因式分解9.高次幂差的因式分解适用于形如aⁿ-bⁿ的多项式，其中n为正整数。
因式分解的12种方法精讲
因式分解常用12种方法及应用【因式分解的12种方法】把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。
因式分解的方法多种多样，现总结如下：L提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。
例1.分解因式x3 -2x 2-xx，~x=x(x^_2x_ 1)2.应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。
例2.分解因式a2 +4沥+4力2解：a2 +4ab+4b2 =(a+2b)23.分组分解法要把多项式am+cm+bm十bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式。
，把它后两项分成一组，并提出公因式们从而得到ct(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n,从而得到(a+b)(m+n)例3.分解因式m2 +5n-mn-5m解:m2 +5n・mn・5m= m 2-5m-mn+5n =(m2 -5m )+(-mn+5n)4.十字相乘法对于mx2 ^px^-q形式的多项式，如果a^b=m, c^d=q且ac+bd=p,则多项式可因式分解为(ctx+d)(bx+c)例4.分解因式7x2 -19x-6分析：1 x7=7, 2x(-3)=-6 lx2+7x(.3)=・19解：7x2-19x-6=f7x+2；(x-3；5.配方法对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。
例5.分解因式+6x-40 解x2 +6x-40=x2 +6x+( 9) -(9 ) -40=(x+ 3)2 -(7 )2 =[(x+3)+7][(x+3) —7]=(x+10)(x-4)6.拆、添项法可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。
例6.分解因式bc(b^c)+ca(c-a)-ab(a+b)角学：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a^-b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)-^bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b)7 .换元法有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。
因式分解的12种方法精讲
因式分解的12种方法精讲因式分解是将一个代数式拆分成多个因子的过程。
在学习因式分解时，我们通常用到以下的12种因式分解方法。
1.公因式提取法：对于一个代数式，如果其中存在公共因子，可以将公共因子提取出来。
例如，对于表达式6x+9y，可以提取出公因式3，得到3(2x+3y)。
2.公式法：使用平方差公式、平方和公式、立方差公式等数学公式对代数式进行因式分解。
例如，对于一个二次多项式x^2+5x+6，我们可以使用平方和公式(x+2)(x+3)进行因式分解。
3.因式定理法：当一个多项式F(x)中有一个因子(x-a)时，可以使用因式定理法进行因式分解，将F(x)除以(x-a)得到商式和余式。
例如，对于多项式x^2-2x-3，我们可以使用因式定理法进行因式分解，得到(x-3)(x+1)。
4.分组分解法：对于含有多个项的代数式，可以将其进行分组，然后再分别对每个组进行因式分解。
例如，对于代数式x^3+x^2+x+1，我们可以将其分组为(x^3+x^2)+(x+1)，然后分别因式分解为x^2(x+1)+1(x+1)，得到(x+1)(x^2+1)。
5.提取完全平方根法：对于一个二次多项式，如果其形式符合完全平方根的形式，可以使用提取完全平方根法进行因式分解。
例如，对于多项式x^2+6x+9，我们可以将其因式分解为(x+3)^26.平方差公式法：对于一个二次多项式，如果其形式符合平方差公式的形式，可以使用平方差公式进行因式分解。
例如，对于多项式4x^2-9，我们可以使用平方差公式进行因式分解，得到(2x-3)(2x+3)。
7.代入因式法：对于一个二次多项式，如果已知一根或两根的值，可以使用代入因式法进行因式分解。
例如，对于多项式x^2-5x+6，如果我们已经知道其中一根是2，可以使用代入因式法进行因式分解，得到(x-2)(x-3)。
8.辗转相除法：对于一个不是二次多项式的代数式，可以使用辗转相除法进行因式分解。
辗转相除法的思想是将一个代数式除以一个因子，得到一个商式和余式，然后再对商式进行继续因式分解，直到余式无法再进行因式分解为止。
因式分解的十二种方法
因式分解的十二种方法01、提公因法：如果一个多项式的各项都含有公因式，那么可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。
【例1】分解因式322x x x --(2003淮安市中考题) 解：原式()221x x x =--02、应用公式法：由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。
【例2】分解因式2244a ab b ++(2003南通市中考题) 解：原式()22a b =+03、分组分解法：要把多项式am an bm bn +++分解因式，可先把它前两项分成一组，并提出公因式a ，把它后两项分成一组并提出公因式b ，从而得到()()a m n b m n +++，又可以提出公因式()m n +，从而得到()()a b m n ++。
【例3】分解因式255m n mn m +--解：原式()()()()255555m m mn n m m n m m n m =--+=---=--04、十字相乘法：对于2mx px q ++形式的多项式，若ab m cd q ==、且ac bd p +=，则2mx px q ++可因式分解为()()ax d bx c ++【例4】分解因式27196x x -- 解：原式()()372x x =-+05、配方法：对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。
【例5】分解因式2340x x +-解：原式222223339316934040222424x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++--=+--=+-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()()313313852222x x x x ⎛⎫⎛⎫=+++-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭06、拆、添项法：可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。
【例6】分解因式()()()bc b c ca c a ab a b ++--+ 解：原式()()()bc a b c a ca c a ab a b =++-+--+()()()()()()()()()()()()()()()bc a b bc c a ca c a ab a b bc a b ab a b bc c a ca c a c a b a b b a c c a a b b c c a =++-+--+=+-++-+-=-+++-=++-07、换元法：有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。
因式分解的13种方法
因式分解的13种方法因式分解是将多项式分解成几个因式的乘积的过程。
它是代数中的一个重要技巧，可以帮助我们简化计算、解方程、求根等。
以下是13种常见的因式分解方法。
方法一：提公因式法提公因式法是将多项式的共同因子提出来，使得多项式可以分解为几个因子的乘积。
例如，对于多项式2x^2+4x，我们可以提取公因式2x，得到2x(x+2)。
方法二：分组提公因式法分组提公因式法是将多项式中的项按照一定的规则进行分组，然后分别提取每组的公因式。
例如，对于多项式2x^3+4x^2+3x+6，可以将其分组为(2x^3+4x^2)+(3x+6)，然后对每个组提取公因式，得到2x^2(x+2)+3(x+2)，再提取公因式(x+2)，最终得到(x+2)(2x^2+3)。
方法三：差平方公式差平方公式是指a^2-b^2=(a+b)(a-b)。
如果我们遇到一个差平方的形式，可以直接利用差平方公式进行因式分解。
例如，对于多项式x^2-4，可以利用差平方公式得到(x+2)(x-2)。
方法四：和差化积公式和差化积公式是指a^3±b^3=(a±b)(a^2∓ab+b^2)。
如果我们遇到一个和差的形式，可以直接利用和差化积公式进行因式分解。
例如，对于多项式x^3+8，可以利用和差化积公式得到(x+2)(x^2-2x+4)。
方法五：平方差公式平方差公式是指a^2±2ab+b^2=(a±b)^2、如果我们遇到一个平方差的形式，可以直接利用平方差公式进行因式分解。
例如，对于多项式x^2+4x+4，可以利用平方差公式得到(x+2)^2方法六：二次差公式二次差公式是指a^2-b^2=(a-b)(a+b)。
如果我们遇到一个二次差的形式，可以直接利用二次差公式进行因式分解。
例如，对于多项式x^2-9，可以利用二次差公式得到(x-3)(x+3)。
方法七：完全平方公式完全平方公式是指a^2±2ab+b^2=(a±b)^2、如果我们遇到一个完全平方的形式，可以直接利用完全平方公式进行因式分解。
高中数学因式分解方法大全
高中数学因式分解方法大全在高中数学中，因式分解是一个非常基础和重要的概念。
它在解决方程、求根、化简等问题中起着重要的作用。
下面我们将介绍高中数学因式分解的十二种方法。
方法一：公因式分解公因式分解是最基础的一种因式分解方法。
当一个多项式中的每一项都可以被一个因数整除时，我们可以提取这个共同的因子进行分解。
例如：2x+4y=2(x+2y)方法二：提公因式分解提公因式分解是公因式分解的一种扩展形式。
当一个多项式中的每一项都可以被一个因数整除，但不是一个相同的因数时，我们可以提取其中的一个公因式进行分解。
例如：2x+4xy = 2x(1+2y)方法三：平方差公式平方差公式是一个常见的因式分解公式。
当一个二次多项式可以表示为两个平方数之差时，我们可以使用平方差公式进行分解。
例如：x^2-y^2=(x+y)(x-y)方法四：完全平方公式完全平方公式是平方差公式的一般化形式。
当一个二次多项式可以表示为一个完全平方时，我们可以使用完全平方公式进行分解。
例如：x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2方法五：三项完全平方公式三项完全平方公式是完全平方公式的扩展形式。
当一个三次多项式可以写成两个平方和一个常数的形式时，我们可以使用三项完全平方公式进行分解。
例如：x^3+3x^2+3x+1=(x+1)^3方法六：差平方公式差平方公式是平方差公式的一种特殊形式。
当一个二次多项式可以表示为两个数的平方之差时，我们可以使用差平方公式进行分解。
例如：x^2-4=(x-2)(x+2)方法七：分解因式法分解因式法是一种将多项式根据特定的性质进行分解的方法。
例如，对于二次多项式，我们可以使用求根公式进行分解。
例如：x^2+5x+6=(x+3)(x+2)方法八：配方法配方法是一种将一个多项式分解成一对因式的方法。
它可以用于二次多项式，也可以用于更高次的多项式。
例如：x^2+3x+2=(x+1)(x+2)方法九：提幂法提幂法是一种将多项式中的乘法提取出来的方法。
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因式分解的十二种方法:
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。
因式分解的方法多种多样，现总结如下：
1、提公因法
如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。
例1、分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题)
x -2x -x=x(x -2x-1)
2、应用公式法
由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。
例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题)
解：a +4ab+4b =（a+2b）
3、分组分解法
要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)
例3、分解因式m +5n-mn-5m
解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n
= (m -5m )+(-mn+5n)
=m(m-5)-n(m-5)
=(m-5)(m-n)
4、十字相乘法
对于mx +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)
例4、分解因式7x -19x-6
分析：1 _3
7 _2
2-21=-19
解：7x -19x-6=（7x+2）(x-3)
5、配方法
对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。
例5、分解因式x +3x-40
解x² +3x-40=x² +3x+( 3/2)² -(9/4 ) -40
=(x+ 3/2) ²-(169/3 )
=(x+3/2+13/2)(x+3/2-13/2)
=(x+8)(x-5)
6、拆、添项法
可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。
例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b)
7、换元法
有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。
例7、分解因式2x -x -6x -x+2
解：2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x
=x [2(x + )-(x+ )-6
令y=x+ , x [2(x + )-(x+ )-6
= x [2(y -2)-y-6]
= x (2y -y-10)
=x (y+2)(2y-5)
=x (x+ +2)(2x+ -5)
= (x +2x+1) (2x -5x+2)
=(x+1) (2x-1)(x-2)
8、求根法
令多项式f(x)=0,求出其根为x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )
例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6
解：令f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0
通过综合除法可知，f(x)=0根为，-3，-2，1
则2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)
9、图象法
令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图象与X轴的交点x ,x ,x ,……x ，则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )
例9、因式分解x +2x -5x-6
解：令y= x +2x -5x-6
作出其图象，见右图，与x轴交点为-3，-1，2
则x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)
10、主元法
先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。
例10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)
分析：此题可选定a为主元，将其按次数从高到低排列
解：a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b)
=(b-c) [a -a(b+c)+bc]
=(b-c)(a-b)(a-c)
11、利用特殊值法
将2或10代入x，求出数P，将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。
例11、分解因式x +9x +23x+15
解：令x=2，则x +9x +23x+15=8+36+46+15=105
将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7
注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值
则x +9x +23x+15=（x+1）（x+3）（x+5）
12、待定系数法
首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。
例12、分解因式x -x -5x -6x-4
分析：易知这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。
解：设x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d)
= x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd
所以解得
则x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)。