换元法解方程
利用换元法解方程组
4
【解析】
试题分析:
这是一个根号里含有分式的无理方程，也可通过换元后求解，通过变形发现
xபைடு நூலகம்
与互为倒数，可设.1y,则原方程变形为y,无理方程化为有理方程
x
试题解析:
常用换元方法有局部换元、均值换元、倒数换元、常数换元等.
82，使方程变得易解，这是均值换元法
（四）本讲注重研究用换元法解方程的技能、技巧•拓宽学生知识面，培养学生学习和
研究数学的兴趣•
二、应用举例
类型一局部换元
（高次方程）
【例题1】解方程：X43x220
【答案】捲1，x21，x3、、2，x42
【解析】
【难度】较易
（分式方程）
【例题2】解方程：
【答案】x13
4
【解析】
试题分析：
括号里的分式相同，由这个特点，可以用换元法来解
试题解析：
解：设亠
x1
y，于
F是原方程变形为
2
y
5y60
解得y1
3,
y22
当y1
3时，
X3,
解得
X1
3
x1
4
当y2
2时，
X
2,
解得
X2
2
x1
3
经检验x1
3
,X2
4
2
2均为原方程的根•
第
、方法技巧
（一）换元法解方程是用新元代替方程中含有未知数的某个部分，达到化简的目的.
（二）运用换元法解方程，主要有三种类型：分式方程、无理方程、整式（高次）方程 解分式方程、无理方程、整式（高次）方程的基本思想是将分式方程化为整式方程、 无理方程化为有理方程、整式（高次）方程逐步降次
换元法解题技巧和方法初一
换元法解题技巧和方法初一
1. 嘿，初一的小伙伴们！换元法啊，那可真是解题的一把利器！就像你走路有了一双超级酷的鞋子！比如解方程(x+3)²+3(x+3)-4=0，这时候我们就可以把 x+3 设为一个新的元，比如设它为 y，那方程不就变成了y²+3y-4=0，一下子简单多了吧！
2. 哎呀呀，初一的同学们要好好看看哦！换元法能让那些复杂的题目变得亲切起来呢！好比混乱的线团找到了线头。
比如计算∫(2x+3)/(x²+3x+1)dx，我们令u=x²+3x+1，那积分就好算了很多呢，是不是很神奇呀！
3. 哇塞，初一的朋友们知道吗？换元法的技巧就像魔法一样！可以把难题变得不再可怕，就像给小怪兽施了魔法变可爱啦！像是解不等式(x²-1)/(x-
3)>0，我们把x²-1 换元，问题不就容易解决了嘛！
4. 嘿哟，初一的娃娃们呀！换元法真的超有用处的哟！简直是打开难题大门的钥匙呀！像化简(3x-1)/(2x+1)，就可以设 2x+1=t，这样式子就会变得很简单呢，是不是很想不到啊！
5. 哈哈，初一的小可爱们要记住哦！换元法可是解题的妙招呢！像找到了藏在题目里的宝藏通道！比如计算∫(3x+2)/(x²+2x+5)dx，通过设
u=x²+2x+5，哇，积分一下子清晰明了啦！
6. 哎哟喂，初一的同学们可别小看换元法呀！这可是解题的得力助手呢！简直像拥有了超级力量！像求方程 3(x-2)²-4(x-2)-5=0 的解，设 x-2=t 就好啦，然后就能轻松做出来啦，多厉害呀！
我的观点结论就是：换元法对于初一的解题来说真的非常重要且好用呀，大家一定要好好掌握！。
换元法解分式方程
三角函数
在处理三角函数相关的数学问题 时，换元法可以帮助我们将三角 函数转化为更易于处理的代数问
题。
换元法的历史与发展
历史
换元法的思想可以追溯到古代中国的数学家们。在《九章算术》等古代数学著作中，就已经出现了换 元法的思想。随着数学的发展，换元法逐渐成为一种重要的数学方法，被广泛应用于各种数学问题中 。
02
确定新变量与原方程中未知数的 关系。
替换原方程中的未知数
将原方程中的未知数用新变量表示出 来。
将所有含有未知数的项都替换为新变 量。
化简方程
对替换后的方程进行化简，以便更容易地解出新变量的值。 可以使用代数方法，如合并同类项、提取公因式等。
解出新变量的值
解出新变量的值，通常需要对方程进行因式分解或使用求根 公式。
实例三：二元一次方程组的换元法解法
总结词
通过换元法将二元一次方程组转化为更简单的形式，便于求解。
详细描述
对于形如 $begin{cases} x + y = a x - y = b end{cases}$ 的二元一次方程组，可以通 过换元法将其转化为 $begin{cases} t_1 + t_2 = a t_1 - t_2 = b end{cases}$ 的形式， 其中 $t_1 = x, t_2 = y$。这样可以将二元一次方程组转化为更简单的形式，便于求解。
考虑特殊情况
对于某些分式方程，需要考虑特殊情况或边 界条件，以确保解的完整性和准确性。例如， 当分母接近零或变量取极大/极小值时，可 能需要额外验证解的合理性。
பைடு நூலகம்5
换元法与其他解法的比 较
与因式分解法的比较
因式分解法适用于解整式方程，通过 将方程的左边和右边都化为0，然后 对左边或右边的多项式进行因式分解， 从而求解方程。而换元法主要用于解 分式方程，通过引入新的变量来简化 原方程，适用于无法直接因式分解或 化简的复杂分式方程。
换元法解方程四例
换元法是一种常见的解方程的方法。
下面为你举出四个例子，希望能帮助你理解换元法的思想。
解一元二次方程：设有一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，其中a ≠ 0。
设y = x + b/2a，则原方程可化为y^2 + c - b^2/4a^2 = 0。
解得y1 = √(b^2/4a^2 - c)，y2 = -√(b^2/4a^2 - c)。
则x1 = y1 - b/2a，x2 = y2 - b/2a。
解一元三次方程：设有一元三次方程ax^3 + bx^2 + cx + d = 0，其中a ≠ 0。
设y = x + b/3a，则原方程可化为y^3 + 3py + 2q = 0，其中p = c - b^2/3a^2，q = 2b^3/27a^3 - bc/3a^2 + d。
如果p^3 + q^2 = 0，则y1 = y2 = y3 = √(-q)。
如果p^3 + q^2 ≠ 0，则y1 = √(-q + √(q^2 + p^3))，y2 = √(-q - √(q^2 + p^3))，y3 = 0。
则x1 = y1 - b/3a，x2 = y2 - b/3a，x3 = y3 - b/3a。
解二元一次方程组：设有二元一次方程组ax + by = c，dx + ey = f。
设y = xe/b，则原方程组可化为a - (d - ae/b)y = c，ey = f。
解得x = (bf - ce)/(e^2 - ab)，y = (c - ax)/b。
解二元二次方程组：设有二元二次方程组ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0，gx^2 + hxy + iy^2 + jx + ky + l = 0。
设y = mx + n，则原方程组可化为(am^2 + bmn + cm)x^2 + (2amn + dm + en)x + (bn^2 + en + f) = 0，(gm^2 + hmn + im)x^2 + (2hmn + jm + kn)x + (hn^2 + kn + l) = 0。
换元法解分式方程的四种常见类型
换元法解分式方程的四种常见类型换元法是初中数学非常重要的思想方法，在解分式方程时有着极为广泛的应用，本文根据各个方程自身的结构特点，举例说明换元法解分式方程的四种常见类型，供大家参考.一、直接换元例1 解方程015)1(2)1(2=----x x x x . 解：设y x x =-1，则原方程可化为01522=--y y . 解得 5,321=-=y y .当3-=y 时，31-=-x x ，解得 43=x ； 当5=y 时，51=-x x ，解得 45=x . 经检验，45,4321==x x 是原方程的根. 二、配方换元例2 解方程 1)1(3)1(222=+-+x x xx . 解：原方程配方，得 05)1(3)1(22=-+-+xx x x . 设,1y xx =+则05322=--y y . 解得 25,121=-=y y . 当1-=y 时，,11-=+x x 即012=++x x . 因为0311412<-=⨯⨯-=∆，所以方程012=++x x 无实数根. 当25=y 时，,251=+x x 即02522=+-x x . 解得 21,221==x x . 经检验，21,221==x x 是原方程的根. 三、倒数换元例3 解方程031)1(21122=-+++++x x x x . 解：设y x x =++112，则原方程可化为032=-+y y .去分母，整理，得0232=+-y y ，解得 2,121==y y . 当1=y 时，1112=++x x ，即02=-x x . 解得 1,021==x x .当2=y 时，2112=++x x ，即0122=--x x . 解得 21,2143-=+=x x .经检验，,1,021==x x 21,2143-=+=x x 都是原方程的根.四、变形换元例4 解方程12222422=+-+-x x x x . 解：原方程可变形为05222)22(222=-+-++-x x x x . 设y x x =+-222，则原方程可化为0522=-+y y . 去分母，整理，得02522=+-y y .解得 21,221==y y . 当2=y 时，2222=+-x x ，即022=-x x .解得 21,021==x x . 当21=y 时，21222=+-x x ，即03242=+-x x . 因为044344)2(2<-=⨯⨯--=∆，所以方程03242=+-x x 无实数根. 经检验，21,021==x x 是原方程的根.。
换元法解方程组练习题
换元法解方程组练习题随着数学领域的不断发展，解方程组的方法也在不断地丰富和完善。
本文将介绍一种常见的解方程组方法——换元法，并通过一些练习题来巩固学习。
换元法是解决方程组的一种常见方法，它的基本思想是通过引入新的变量，将原方程组转化为一个更加简单的形式，从而得到方程的解。
下面我们通过一些具体的例子来详细介绍换元法的应用。
例1：解方程组{x + y = 5,x - y = 1}解：我们可以通过换元法将这个方程组转化为一个较为简单的形式。
首先，我们设新的变量u = x + y,v = x - y.则原方程组可以表示为：{u = 5,v = 1}从中可以看出，这两个新变量的值已经确定了，即u = 5，v = 1.接着，我们可以进一步通过反演找到原变量x和y的值。
由u = x + y和v = x - y可得：2x = (u + v)2y = (u - v)解得：x = (u + v) / 2 = (5 + 1) / 2 = 3y = (u - v) / 2 = (5 - 1) / 2 = 2因此，原方程组的解为{x = 3, y = 2}.通过这个例子，我们可以看到换元法的具体应用过程。
下面，我们继续通过练习题来巩固这个方法。
练习题1：{2x - 3y = 4,3x + 5y = 1}解：我们可以设新的变量：u = 2x - 3y,v = 3x + 5y.则原方程组可以表示为：{u = 4,v = 1}进一步解得：x = (u + 3v) / 17 = (4 + 3) / 17 = 7/17y = (-2u + v) / 17 = (-2*4 + 1) / 17 = -7/17因此，原方程组的解为{x = 7/17, y = -7/17}.练习题2：{x + y = 7,x^2 + y^2 = 25}解：我们可以设新的变量：u = x + y,v = xy.则原方程组可以表示为：{u = 7,u^2 - 2v = 25}通过代入和化简，可解得：v = (u^2 - 25) / 2 = (49 - 25) / 2 = 12由v = xy，可以得到一个关于x和y的方程：xy = 12接下来，我们通过求解xy = 12和x + y = 7的一元二次方程，可以得到x和y的值。
初中换元法解二元一次方程
初中换元法解二元一次方程在初中数学的世界里，有一种方法叫换元法，听起来是不是有点高大上？其实它就是个聪明的“小把戏”。
想象一下，你在解一个二元一次方程，像是遇到了一道难题。
咱们不慌，换个角度，换个“角色”，把方程变得简单明了，就像魔术师变出的小兔子。
先说说什么是二元一次方程。
简单来说，就是形如ax + by = c的方程，x和y就是咱们的主角。
它们就像两位舞者，在数学的舞台上翩翩起舞。
可是这俩家伙的舞步总是对不上，导致我们看得一头雾水。
换元法就像是给他们换了一双舞鞋，让他们能够跳得更顺畅。
想象一下，x有时候在大舞台上不够自信，y就得给它鼓劲。
这个时候，我们可以设x = u，y = v，这样它们就有了新的身份，新的舞台。
怎么换呢？比方说，我们有方程2x + 3y = 12，先设x = u，y = (12 2u) / 3，这样把y“藏”起来，x就能更自由地展现自己。
这时候，看，u就是新的舞者，舞步变得简单又清晰。
咱们可以轻松求出u的值，再代入到y的表达式里，这样就能找到y。
这种方法不就像变魔术吗？你一换，就变成了新的方程。
在生活中，换元法就像是把繁琐的事情简化，比如说，你在厨房里做饭，遇到了一道复杂的菜谱，结果你灵机一动，把一些材料换成了更简单的，比如说换点儿调料。
这样，菜也能做得更顺口。
数学也是一样，换个方式，问题就迎刃而解。
说到这里，许多小伙伴可能会觉得这方法有点难，其实不然，换元法最重要的就是找到合适的“替代品”。
像换鞋一样，合适的才舒适。
如果你换的角色不合适，那可就麻烦了，可能舞蹈就会变成踩脚舞，哈哈。
记得最初学的时候，我也是一头雾水，总是搞不清楚该怎么换。
有一次，老师的一个简单例子彻底点醒了我。
老师说，“就像换口味的冰淇淋，选哪个都能好好享受。
”这下我懂了，换元其实也是让方程更美味的过程。
练习是关键，毕竟“工欲善其事，必先利其器”。
多做几道题，你就会发现，换元法其实是一种乐趣。
像在打游戏，刚开始可能会有些难，但越玩越顺手。
换元法解分式方程
2、换元能达到什么目的？换元的时候要注 意什么？
（降次；换元后的方程应当是能转化为我 们学过的可解的方程）
例1：解方程 3x x23 13
x2
3
x
2
解： 设 x2 ，3则 y x
x x2 3
1 y
原方程可变为： 3 y 13
y
2
去分母，得 : 2y2－13y＋6＝0(关于y的方程）
解得: y1＝6，y2＝
1 2
当y＝6时，即:
x2 3 6
x
解得 x1 3，2 3 x2 32 3
•
当
y＝
1
解得 x3＝2，x4＝
3 2
经检验 x1 ，32 3 x2 32 3
x3＝2，x4＝ 都23是原方程的根.
练习:P49 2题
反思解题步骤:
设元 换元 求新元 回代 验根
例2：解方程
x2
1 x2
x10 x
分析:因为
x2x12
(x1)22 x
这样原方程可整理为 (x1)22(x1)0
x
x
这样可设 x 1 y x
原方程可转化为 y2y20
练习 :
解分式方程:
(1) x2x122(x1x)10
(2)
x2x42
3(x2)0 x
小结:
(1).如何解一个分式方程? 分式方程 转化
换元法解分式方程
知识回顾
• 解分式方程的一般方法是 什么？ • 基本解题步骤有哪几步？ • 求出解以后不可忽视的哪一步？
问题：
？
• 观察下面两个方程，x你会求出它们
的解吗？
x 2 3 ①
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换元法解方程
西安市第八十五中学江树基
换元法是用新元代替方程中含有未知数的某个部分，达到化简的目的．换元的方法是以所讨论方程的特有性质为依据的，不同的方程就有不同的换元方法，因此，这种方法灵活性大，技巧性强．恰当地换元，可将复杂方程化简，以便寻求解题的途径．常用方法有均值代换、多元代换、常数代换等．
解分式方程、无理方程、高次方程的基本思想是将分式方程化为整式方程、无理方程化为有理方程、高次方程逐步降次，实现这一基本思想的方法有多种，其中换元法是常用的一种重要方法，本文注重研究用换元法解方程的技能、技巧．
一、分式方程
分析：这个方程左边两个分式互为倒数关系，抓住这一特点，可设
∴（y-1）2=0，解得y=1．
经检验，x
1，x
2
都是原方程的根．
分析：观察方程的分母，发现各分母均是关于x的二次三项式，仅常数项不同，抓住这一特点，可设y=x2+2x．
解：设y=x2+2x，则原方程可化为
即y2-y-12=0，解得y1=4，y2=-3．
x2＋2x=-3，无实数解．
例3 解方程
分析：观察方程的分母，发现三个分母都是关于x的二次三项式，仅一次项不同，抓住这一特点，可设y=x2＋2x＋10．
解：设y=x2＋2x＋10，则原方程可化为
=9x，y2=-5x.
解得y
1
由x2＋2x＋10=9x，解得x
=5，x2=2．
1
=-5，x4=-2．
由x2＋2x＋10=-5x，解得x
3
经检验知，它们都是原方程的解．
注：以上三个例子可看出，换元时必须对原方程进行仔细观察、分析，抓住方程的特点，恰当换元，化繁为简，达到解方程的目的．
二、无理方程
两边立方，并整理得
y3-2y2＋3y=0，即y（y2-2y＋3）=0，
∴y=0或y2-2y＋3=0，无解．
经检验知x=-1是原方程的解．
可设两个未知数，利用韦达定理解．
原方程为m＋n=1，又∵（m＋n）3=m3＋n3＋3mn·（m+n）=4+3mn=1，∴mn=-1．
（x+1）（3-x）=-1，即x2-2x-4=0，解得
经检验知，x
1，x
2
是原方程的解．
（y-1）2+（y+1）2=52，解得y=±5．
经检验知，x=10，x=-510是原方程的解．
∴|y+2|＋|y-2|=4，
当y＜-2时，-y-2-y＋2=4，∴y=-2（舍去）．当-2≤y＜2时，y＋2+2-y=4，∴4=4，
当y≥2时，y＋2＋y-2=4，y=2．
∴-2≤y≤2，又y≥0，∴0≤y≤2，
经检验知，1≤x≤2是原方程的解．
再把上边方程两边平方整理得
x4-2ax2+a2-a-x=0，
∴a2-（2x2＋1）a＋（x4-x）=0，解得
由②得-x=a-x2，∵a-x2＞0，-x＜0，方程②无解．故选（C）．
注：此例中把字母a视为变量，反而把x看成常量，这种反客为主的替代法称为“常数代换”法．
三、高次方程
例9 解方程（x+3）4＋（x＋1）4=82．
原方程变为（y+1）4+（y-1）4＝82，
整理得y4＋6y2-40=0，
解得y
=2，y2=-2．
1
=0．
由x＋2=2，得x
1
由x＋2=-2，得x
=-4．
2
所以原方程的解是x
=0，x2=-4．
1
注：一般地形如（x+a）4+（x＋b）4=c的方程可用均值法，设y
例10 解方程6x4+5x3-38x2+5x+6=0．
解：显然x=0不是方程的解，故用x2除方程两边，整理得6（x2+
38=0，解得
注：1．形如ax4+bx3+cx2+bx+a=0的方程称倒数方程．其特点是，与首末两端等距离的项的系数相等．其解法是，用x2除各项．并按下述
化为a（y2-2）+by+c=0使问题得解．
2．形如ax4+bx3+cx2+bx+a=0的方程称第二类倒数方程，其特点是：与首末两项等距离的偶次幂的项的系数相等，奇次幂项的系数的绝对值相等而符号相反，用x2除方程两边，并按下述方法并项，得a（x2+
=0，即可求解，。