换元法解方程
利用换元法解方程组
4
【解析】
试题分析:
这是一个根号里含有分式的无理方程，也可通过换元后求解，通过变形发现
xபைடு நூலகம்
与互为倒数，可设.1y,则原方程变形为y,无理方程化为有理方程
x
试题解析:
常用换元方法有局部换元、均值换元、倒数换元、常数换元等.
82，使方程变得易解，这是均值换元法
（四）本讲注重研究用换元法解方程的技能、技巧•拓宽学生知识面，培养学生学习和
研究数学的兴趣•
二、应用举例
类型一局部换元
（高次方程）
【例题1】解方程：X43x220
【答案】捲1，x21，x3、、2，x42
【解析】
【难度】较易
（分式方程）
【例题2】解方程：
【答案】x13
4
【解析】
试题分析：
括号里的分式相同，由这个特点，可以用换元法来解
试题解析：
解：设亠
x1
y，于
F是原方程变形为
2
y
5y60
解得y1
3,
y22
当y1
3时，
X3,
解得
X1
3
x1
4
当y2
2时，
X
2,
解得
X2
2
x1
3
经检验x1
3
,X2
4
2
2均为原方程的根•
第
、方法技巧
（一）换元法解方程是用新元代替方程中含有未知数的某个部分，达到化简的目的.
（二）运用换元法解方程，主要有三种类型：分式方程、无理方程、整式（高次）方程 解分式方程、无理方程、整式（高次）方程的基本思想是将分式方程化为整式方程、 无理方程化为有理方程、整式（高次）方程逐步降次
一元一次方程换元法
一元一次方程换元法一、引言一元一次方程是初中数学中最基础的内容之一，也是代数学的基础。
方程的解可以帮助我们解决实际生活中的问题，而换元法是解决一元一次方程的一种常用方法。
本文将介绍一元一次方程的换元法及其应用。
二、什么是一元一次方程一元一次方程是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的方程。
一元一次方程的一般形式为ax+b=0，其中a和b是已知数，x是未知数。
三、什么是换元法换元法是解决一元一次方程的一种常用方法。
它通过引入一个新的变量来替代原来的未知数，从而将原方程转化为一个更简单的方程，进而求得方程的解。
四、换元法的步骤1. 选定合适的新变量。
根据原方程的特点，选取一个新的变量来替代原来的未知数。
2. 用新变量表示原方程。
将原方程中的未知数用新变量表示出来。
3. 得到新方程。
将原方程中的未知数用新变量表示后，得到一个新的方程。
4. 解新方程。
解新方程得到新变量的值。
5. 求原方程的解。
将新变量的值代入原来的未知数，求得原方程的解。
五、换元法的应用实例例：小明去超市买了一些水果，苹果的价格是3元/个，橙子的价格是2元/个，小明一共花了12元，请问他买了几个苹果和几个橙子？解：设小明买了x个苹果，y个橙子。
根据题意，我们可以列出一个方程：3x + 2y = 12为了使用换元法，我们可以设一个新变量z表示橙子的个数，于是橙子的价格可以表示为2z。
方程可以转化为：3x + 2z = 12解这个新方程，我们可以得到x和z的值。
假设x=2，z=3，则小明买了2个苹果和3个橙子。
将x和z的值代入原方程，可以得到y的值：3*2 + 2y = 126 + 2y = 122y = 6y = 3所以小明买了2个苹果和3个橙子。
六、换元法的优点和注意事项换元法的优点是可以将原方程转化为一个更简单的方程，从而更容易求得解。
但是在使用换元法时需要注意以下几点：1. 选取合适的新变量，使得转化后的方程更简单。
2. 在解新方程时，要注意变量的范围和限制条件，避免出现无解或多解的情况。
换元法求解函数技巧
换元法求解函数技巧换元法是微积分中常用的一种求解函数的方法。
它通过引入一个新的变量，将原函数在新变量下的微分表达式化简为更容易解析的形式，从而求解原函数。
换元法可以分为两种情况——代换法和三角代换法。
一、代换法代换法主要是根据微分的链式法则，将原函数中的一个复杂部分替换为一个新的变量，从而简化函数的形式。
常见的代换方法有以下几种：1. 一次代换：适用于原函数中含有形如u=g(x)的因式，并且u的微分式du可以从方程u=g(x)中求得。
2. 反函数代换：适用于原函数中含有形如u=g(x)的因式，并且g(x)有一个反函数x=h(u)。
3. 幂指代换：适用于原函数中含有幂函数，例如a^x、x^n。
4. 指数代换：适用于原函数中含有指数函数，例如e^x、lnx。
代换法的关键在于选择合适的代换变量，使得原函数在新变量下的微分尽可能简单。
通过代换后，我们可以将原函数转化为更易求解的形式，然后可以采用基本积分公式或者其他求解方法求解出原函数。
二、三角代换法三角代换法是一种特殊的代换方法，适用于原函数中含有三角函数的情况。
主要是通过引入一个新的角度变量，将三角函数的表达式转化为有理函数的形式，从而方便求解。
三角代换法主要有以下几种常见的情况：1. 代换sinx：当原函数中含有形如sqrt(a^2-x^2)的因式时，可以令x=a*sinθ，从而将原函数转化为含有θ的有理函数。
2. 代换cosx：当原函数中含有形如sqrt(a^2+x^2)的因式时，可以令x=a*cosθ，从而将原函数转化为含有θ的有理函数。
3. 代换tanx：当原函数中含有形如sqrt(x^2-a^2)的因式时，可以令x=a*tanθ，从而将原函数转化为含有θ的有理函数。
三角代换法的核心在于选择适合的三角函数代换，然后利用三角函数的基本关系将原函数转化为有理函数的形式。
接下来，我们可以采用部分分式拆分、有理函数积分等方法求解出原函数。
总结起来，换元法是一种非常实用的函数求解技巧。
换元法解题技巧和方法初一
换元法解题技巧和方法初一
1. 嘿，初一的小伙伴们！换元法啊，那可真是解题的一把利器！就像你走路有了一双超级酷的鞋子！比如解方程(x+3)²+3(x+3)-4=0，这时候我们就可以把 x+3 设为一个新的元，比如设它为 y，那方程不就变成了y²+3y-4=0，一下子简单多了吧！
2. 哎呀呀，初一的同学们要好好看看哦！换元法能让那些复杂的题目变得亲切起来呢！好比混乱的线团找到了线头。
比如计算∫(2x+3)/(x²+3x+1)dx，我们令u=x²+3x+1，那积分就好算了很多呢，是不是很神奇呀！
3. 哇塞，初一的朋友们知道吗？换元法的技巧就像魔法一样！可以把难题变得不再可怕，就像给小怪兽施了魔法变可爱啦！像是解不等式(x²-1)/(x-
3)>0，我们把x²-1 换元，问题不就容易解决了嘛！
4. 嘿哟，初一的娃娃们呀！换元法真的超有用处的哟！简直是打开难题大门的钥匙呀！像化简(3x-1)/(2x+1)，就可以设 2x+1=t，这样式子就会变得很简单呢，是不是很想不到啊！
5. 哈哈，初一的小可爱们要记住哦！换元法可是解题的妙招呢！像找到了藏在题目里的宝藏通道！比如计算∫(3x+2)/(x²+2x+5)dx，通过设
u=x²+2x+5，哇，积分一下子清晰明了啦！
6. 哎哟喂，初一的同学们可别小看换元法呀！这可是解题的得力助手呢！简直像拥有了超级力量！像求方程 3(x-2)²-4(x-2)-5=0 的解，设 x-2=t 就好啦，然后就能轻松做出来啦，多厉害呀！
我的观点结论就是：换元法对于初一的解题来说真的非常重要且好用呀，大家一定要好好掌握！。
换元法解分式方程
三角函数
在处理三角函数相关的数学问题 时，换元法可以帮助我们将三角 函数转化为更易于处理的代数问
题。
换元法的历史与发展
历史
换元法的思想可以追溯到古代中国的数学家们。在《九章算术》等古代数学著作中，就已经出现了换 元法的思想。随着数学的发展，换元法逐渐成为一种重要的数学方法，被广泛应用于各种数学问题中 。
02
确定新变量与原方程中未知数的 关系。
替换原方程中的未知数
将原方程中的未知数用新变量表示出 来。
将所有含有未知数的项都替换为新变 量。
化简方程
对替换后的方程进行化简，以便更容易地解出新变量的值。 可以使用代数方法，如合并同类项、提取公因式等。
解出新变量的值
解出新变量的值，通常需要对方程进行因式分解或使用求根 公式。
实例三：二元一次方程组的换元法解法
总结词
通过换元法将二元一次方程组转化为更简单的形式，便于求解。
详细描述
对于形如 $begin{cases} x + y = a x - y = b end{cases}$ 的二元一次方程组，可以通 过换元法将其转化为 $begin{cases} t_1 + t_2 = a t_1 - t_2 = b end{cases}$ 的形式， 其中 $t_1 = x, t_2 = y$。这样可以将二元一次方程组转化为更简单的形式，便于求解。
考虑特殊情况
对于某些分式方程，需要考虑特殊情况或边 界条件，以确保解的完整性和准确性。例如， 当分母接近零或变量取极大/极小值时，可 能需要额外验证解的合理性。
பைடு நூலகம்5
换元法与其他解法的比 较
与因式分解法的比较
因式分解法适用于解整式方程，通过 将方程的左边和右边都化为0，然后 对左边或右边的多项式进行因式分解， 从而求解方程。而换元法主要用于解 分式方程，通过引入新的变量来简化 原方程，适用于无法直接因式分解或 化简的复杂分式方程。
换元法解方程四例
换元法是一种常见的解方程的方法。
下面为你举出四个例子，希望能帮助你理解换元法的思想。
解一元二次方程：设有一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，其中a ≠ 0。
设y = x + b/2a，则原方程可化为y^2 + c - b^2/4a^2 = 0。
解得y1 = √(b^2/4a^2 - c)，y2 = -√(b^2/4a^2 - c)。
则x1 = y1 - b/2a，x2 = y2 - b/2a。
解一元三次方程：设有一元三次方程ax^3 + bx^2 + cx + d = 0，其中a ≠ 0。
设y = x + b/3a，则原方程可化为y^3 + 3py + 2q = 0，其中p = c - b^2/3a^2，q = 2b^3/27a^3 - bc/3a^2 + d。
如果p^3 + q^2 = 0，则y1 = y2 = y3 = √(-q)。
如果p^3 + q^2 ≠ 0，则y1 = √(-q + √(q^2 + p^3))，y2 = √(-q - √(q^2 + p^3))，y3 = 0。
则x1 = y1 - b/3a，x2 = y2 - b/3a，x3 = y3 - b/3a。
解二元一次方程组：设有二元一次方程组ax + by = c，dx + ey = f。
设y = xe/b，则原方程组可化为a - (d - ae/b)y = c，ey = f。
解得x = (bf - ce)/(e^2 - ab)，y = (c - ax)/b。
解二元二次方程组：设有二元二次方程组ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0，gx^2 + hxy + iy^2 + jx + ky + l = 0。
设y = mx + n，则原方程组可化为(am^2 + bmn + cm)x^2 + (2amn + dm + en)x + (bn^2 + en + f) = 0，(gm^2 + hmn + im)x^2 + (2hmn + jm + kn)x + (hn^2 + kn + l) = 0。
分数换元法解一元三次方程
分数换元法解一元三次方程一元三次方程是指其中的最高次项为3次幂的方程，一元三次方程一般具有以下形式：ax^3 + bx^2 + cx + d = 0。
分数换元法是一种解一元三次方程的方法，通过引入新的变量，将三次方程转化为二次方程，从而求得方程的根。
下面将详细介绍分数换元法解一元三次方程的步骤。
首先，假设原方程为ax^3 + bx^2 + cx + d = 0，我们引入新的变量：x = y - b/3a。
将新的变量代入原方程中，得到：a(y - b/3a)^3 + b(y - b/3a)^2 + c(y - b/3a) + d = 0。
进一步展开，化简上式，并将三次项系数归一化，得到一个新的方程：y^3 + py + q = 0。
接下来，我们需要求解新的方程y^3 + py + q = 0。
通过求解这个二次方程，我们可以得到解的近似值。
方法如下：1. 计算delta（Δ）的值，其中Δ = (q^2/4) + (p^3/27)。
2. 当Δ > 0时，即方程有一个实根和两个共轭虚根。
记实根为r，通过求解y - r = 0的二次方程可以得到实根的近似值。
3. 当Δ = 0时，即方程有一个实根和一个重根。
记实根为r，通过求解y - r = 0的二次方程可以得到实根的近似值。
4. 当Δ < 0时，即方程有三个实根。
记ζ = (-q/2) + sqrt(-Δ)/2和η = (-q/2) - sqrt(-Δ)/2，则方程的三个根可以表示为：r1 = 2 * sqrt(-p/3) *cos((1/3)arccos(ζ)) - b/3a，r2 = -2 * sqrt(-p/3) * cos((1/3)arccos(η) + (2/3) * π) - b/3a，r3 = -2 * sqrt(-p/3) * cos((1/3)arccos(η) - (2/3) * π) - b/3a。
至此，我们已经得到了方程y^3 + py + q = 0的根，即新的变量y的根。
换元法解分式方程的四种常见类型
换元法解分式方程的四种常见类型换元法是初中数学非常重要的思想方法，在解分式方程时有着极为广泛的应用，本文根据各个方程自身的结构特点，举例说明换元法解分式方程的四种常见类型，供大家参考.一、直接换元例1 解方程015)1(2)1(2=----x x x x . 解：设y x x =-1，则原方程可化为01522=--y y . 解得 5,321=-=y y .当3-=y 时，31-=-x x ，解得 43=x ； 当5=y 时，51=-x x ，解得 45=x . 经检验，45,4321==x x 是原方程的根. 二、配方换元例2 解方程 1)1(3)1(222=+-+x x xx . 解：原方程配方，得 05)1(3)1(22=-+-+xx x x . 设,1y xx =+则05322=--y y . 解得 25,121=-=y y . 当1-=y 时，,11-=+x x 即012=++x x . 因为0311412<-=⨯⨯-=∆，所以方程012=++x x 无实数根. 当25=y 时，,251=+x x 即02522=+-x x . 解得 21,221==x x . 经检验，21,221==x x 是原方程的根. 三、倒数换元例3 解方程031)1(21122=-+++++x x x x . 解：设y x x =++112，则原方程可化为032=-+y y .去分母，整理，得0232=+-y y ，解得 2,121==y y . 当1=y 时，1112=++x x ，即02=-x x . 解得 1,021==x x .当2=y 时，2112=++x x ，即0122=--x x . 解得 21,2143-=+=x x .经检验，,1,021==x x 21,2143-=+=x x 都是原方程的根.四、变形换元例4 解方程12222422=+-+-x x x x . 解：原方程可变形为05222)22(222=-+-++-x x x x . 设y x x =+-222，则原方程可化为0522=-+y y . 去分母，整理，得02522=+-y y .解得 21,221==y y . 当2=y 时，2222=+-x x ，即022=-x x .解得 21,021==x x . 当21=y 时，21222=+-x x ，即03242=+-x x . 因为044344)2(2<-=⨯⨯--=∆，所以方程03242=+-x x 无实数根. 经检验，21,021==x x 是原方程的根.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
换元法
在因式分解中,把一个较复杂的数学式子的某一部分看成一个整体,用一个字母去代替这一部分,使原式变成含有新元的简单式子,在分解后再将新元换出,这种方法叫换元法.
1.10)3)(4(22+++-+x x x x
2.24)4)(3)(2)(1(-++++x x x x
3.20)5)(1)(3(2-+-+x x x
4.90)384)(23(22-++++x x x x
5.)(4)(22222y x xy y xy x +-++
6.2)1()2)(2(-+-+-+xy y x xy y x
7.4482--a a
8.yz z y x 2222+--
9. 644+x
10. 2214176y xy x --
11. 581337622-++--y x y xy x
12.1433181892022-+--+y x y xy x
13. 2820152-+--y x xy x
14.12)2)(1(22-++++x x x x
15.1)1(2)(3---++y x xy y x 16. 222222)1(2)1)(16(5)16(2++++++++x x x x x x
17. 已知乘法公式 a 5+b 5=(a+b)(a 4-a 3b+a 2b 2-ab 3+b 4)，a 5-b 5=(a-b)(a 4+a 3b+a 2b 2+ab 3+b 4),利用或不利用上述公式，分解因式：x 8+x 6+x 4+x 2+1.
五.待定系数法
1. 192256112--x x
2.744272234+---x x x x
3.156234+-+-x x x x
六.因式定理
余数定理 ).()()(a f a x x f 的余数等于
除以多项式- 因式定理 整除能被则即的值为零，多项式如果a x x f a f x f a x -==)(,0)( )(,).)(a x x f -含有因式（即
定理：是末项系的约数，是首项系数是它的根，则互质若是整系数多项式设q a p q p p
q x x f n ),(.)(=
.0的约数数a
推论：., 1 000,0111a x x a x a x a x n n n 则是它的根若整数＋的整系数多项式对于首项系数为+++--
1. 611623+++x x x
2. 355223-+-x x x
3.46423-+-x x x
4.8292234+--+x x x x
5.15132234----x x x x
七.对称式 交代式 轮换式
Ⅰ.在一个含有多个字母的多项式中,如果将多项式中所含的任意两个字母互换,所得的新多项式仍然与原多项式相等,那么这个多项式叫做关于这些字母的对称多项式.
如: ,z y x ++abc
c b a q p xz yz xy q z y x p 3 ,),( )()(333222-+++++++是系数等.
Ⅱ.在一个含有多个字母的多项式中,如果将多项式中所含的任意两个字母互换,所得的新多项式仍然与原多项式只相差一个符号,那么这个多项式叫做关于这些字母的交代式. 如: ),)()((x z z y y x ---4
433, b a b a --等.
Ⅲ.在一个关于w z y x ,,,, 的多项式中,把它所含的字母按某种顺序进行轮换(把x 换成y,y 换成z,…,w 换成x)所得的多项式不变,那么这个多项式叫做关于这些字母的轮换式.
如: ,z y x ++ ,222x z z y y x ++22 b a +, abc c b a 3 333-++等. 对称式、交代式和轮换式的因式分解方法:对于一个对称(或交代,轮换)多项式有一个次
数较低的因式,那么与这个因式同类型的式子也是多项式的因式,再借助因式定理或待定系数法进行分解.
1.abc c b a 3333-++
2.3333)(z y x z y x ---++
3.444))(())(())((b a b a a c a c c b c b +-++-++-
4. )()()(333y x z x z y z y x -+-+-
5. )1)(1)(()1)(1)(()1)(1)((222222zy zx y x yx yz x z xz xy z y ++-+++-+++-
6.3333)()()()(z y x y x z x z y z y x -+--+--+-++
7. xyz z y x y x z x z y z y x 2)()()()(333222-++-+++++
八．因式分解的应用
1.关于x,y 的二次式 x 2+7xy+my 2-5x+43y-24可分解为两个一次因式的乘积，求m 的值.
2.已知a=
21m+1,b=21m+2,c=21m+3,求a 2+2ab+b 2-2ac-abc+c 2的值.
3. 若a 为正整数，则a 4-3a 2+9是质数还是合数？ 给出你的证明。
4.设n 为正整数，且64n -7n 能被57整除，证明：21278
+++n n 是57的倍数.
5.一个正整数a 恰好等于另一个正整数b 的平方，则称正整数a 为完全平方数.如2864=，64就是一个完全平方数；若a=29922+29922×29932+29932.求证a 是一个完全平方数.
6.①已知a 、b 、c 分别为三角形的三条边，求证：02222<---bc c b a .
②.2.010616ABC ,,222b c a bc ab c b a c b a =+=++--∆求证：的三边，且是已知
7.已知多项式x 3+bx 2+cx+d 的系数都是整数并且bd+cd 是奇数，证明：这多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积。
8.32234+-++x x x x 9.47323-+x x
10.93523-++x x x 11.5555)(c b a c b a ---++
12.)()()(222y x z x z y z y x -+-+-
13..ABC .3ABC ,,333为等边三角形求证：△的三边，且是已知abc c b a c b a =++∆
14.已知2342345200910,1.x x x x x x x x x x
++++=+++++++L 求的值。