高二数学上学期期末考试试题 理38
2023-2024学年福建省福州高二上册期末考试数学试题(含解析)
2023-2024学年福建省福州高二上册期末考试数学试题一、单选题1．已知空间四面体OABC 中，对空间内任一点M ，满足1146OM OB OC λ=++下列条件中能确定点,,,M A B C 共面的是（）A ．12λ=B ．13λ=C ．512λ=D ．712λ=【正确答案】D【分析】利用空间中四点共面定理求解即可.【详解】根据空间中四点共面可知11146λ++=，解得712λ=.故选：D2．以椭圆221259x y +=的左焦点为焦点的抛物线的标准方程是（）A ．216y x =B ．28y x=-C ．216y x=-D ．216x y=-【正确答案】C【分析】利用椭圆和抛物线的几何意义求解即可.【详解】由椭圆221259x y +=可得4=c ，所以左焦点坐标为(4,0)-，所以以(4,0)-为焦点的抛物线的标准方程为216y x =-，故选：C.3．2022年2月，第24届冬季奥林匹克运动会在北京隆重举行，中国代表团获得了9金4银2铜的优异成绩，彰显了我国体育强国的底蕴和综合国力.设某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的路程l （单位：m ）与时间t （单位：s ）之间的关系为()2322l t t t =+，则当3s t =时，该运动员的滑雪速度为（）A ．7.5m /sB ．13.5m /sC ．16.5m /sD ．22.5m /s【正确答案】B【分析】根据导数的实际意义，对()2322l t t t =+求导再代入3s t =求解即可.【详解】由题意，()342t l t ='+，故当3s t =时，该运动员的滑雪速度为()334313.52l '=⨯+=.故选：B4．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为）A 0y ±=B ．x =C ．30x y ±=D ．30x y ±=【正确答案】A【分析】根据离心率求出ba即可求渐近线方程.【详解】由双曲线的离心率为e ====所以b a =22221x y a b-=的渐近线方程为b y x a =±，所以渐近线方程为y =，0y ±=．故选:A ．5．数列{}n a 满足()*331log 1log N n n a a n ++=∈，且1359a a a ++=，则()13579log a a a ++=（）A ．4B ．14C ．2-D ．12-【正确答案】C【分析】根据对数运算求得1,n n a a +的关系式，判断{}n a 是等比数列，结合等差数列的性质求得正确答案.【详解】由于()*331log 1log N n n a a n ++=∈，所以()331log 3log n n a a +=，所以13,0n n n a a a +=>，所以数列{}n a 是公比3q =的等比数列.由于1359a a a ++=，所以()223571359381a a a a a a q ++=++⋅=⨯=，所以()12135799log log 92a a a -++==-.故选：C6．若直线():40l x m y +-=与曲线x =有两个交点，则实数m 的取值范围是（）A ．03m <<B ．0m ≤<C ．0m <D ．0m ≤≤【正确答案】B【分析】化简曲线方程，表示圆心为()0,0，半径为2的圆在y 轴以及右侧的部分，由直线与曲线的交点个数可以确定m 的取值范围.【详解】x =表示的曲线是圆心为()0,0，半径为2的圆在y 轴以及右侧的部分，如图所示：直线():40l x m y +-=必过定点()0,4，当直线l 与圆相切时，直线和圆恰有一个交点，2=，结合直线与半圆的相切可得m =当直l 的斜率不存在时，即0m =时，直线和曲线恰有两个交点，所以要使直线和曲线有两个交点，则03m ≤<.故选：B.7．在数列{}n a 中，()()()111,11N n n a n n a a n *+=+-=∈，则2022a=（）A ．40432022B ．20212022C ．40402021D ．20202021【正确答案】A【分析】变形给定的等式，利用累加法及裂项相消法求解作答.【详解】因为()1(1)1n n n n a a ++-=，则1111(1)1n n a a n n n n +-==-++，当2n ≥时，()1n n n a a a -=-+()()1221111111111212n n a a a a a n n n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++-+=-+-++-+ ⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭12111n n n -=-++=，显然11a =满足上式，即有21n n a n-=，所以202240432022a =．故选：A 8．已知a =b =c =e 为自然常数），则a 、b 、c 的大小关系为（）A ．a c b <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c<a<b【正确答案】D【分析】将,,a b c 变形，得ln 2e ln 2a =，12e 12b =，c 43e 43=，构造函数e()x f x x =(0)x >，利用导数得()f x 在(0,1)上为减函数，在(1,)+∞上为增函数，根据单调性可得1()(ln 2)2f f >，4(ln 4)()3f f >，再根据(ln 2)(ln 4)f f =可得答案.【详解】ln 212e 1ln 2ln 2ln 22a ====，12e 12b ==，4c =43e 43=，设e ()xf x x =(0)x >，则2e e ()x xx f x x ⋅-'=21e ()x x x -=，令()0f x '>，得1x >，令()0f x '<，得01x <<，所以()f x 在(0,1)上为减函数，在(1,)+∞上为增函数，因为10ln 212<<<，所以1()(ln 2)2f f >，即12e 12b =>ln 2e ln 2a =，因为28e >，所以232e >，所以2ln 23>，所以4ln 413>>，所以4(ln 4)(3f f >，即4(ln 4)()3f f c >=，因为ln 4e 4(ln 4)ln 42ln 2f ==2ln 2=a =，所以a c >，综上所述.b a c >>故选：D二、多选题9．下列结论正确的是（）A ．若()()()2,3,3,2,1,ABC m --三点共线，则m 的值为0；B ．已知两点()()3,4,3,2A B -，过点()1,0P 的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围为11k -≤≤；C ．圆224x y +=上有且仅有3个点到直线:0l x y -=的距离都等于1；D ．与圆22(2)2x y -+=相切，且在x 轴､y 轴上的截距相等的直线有三条.【正确答案】ACD【分析】根据三点共线、直线与线段有公共点、直线和圆的位置关系等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A 选项，()()5,5,3,3AB AC m =-=-，由于,,A B C 三点共线，所以,AB AC共线，所以()5353,0m m -=-⨯=，A 选项正确.B 选项，1,1AP BP k k =-=，结合图象可知，直线l 的斜率k 的取值范围为(][),11,-∞-⋃+∞，所以B 选项错误.C 选项，圆224x y +=的圆心为()0,0，半径为2，圆心到直线l 1，所以圆上有且仅有3个点到直线l 的距离等于1，C 选项正确.D 选项，当直线过原点时，设直线方程为,0y kx kx y =-=，圆心()2,0到直线0kx y -==，解得1k =±，直线方程为y x =或y x =-.当直线不过原点时，设直线方程为()1,00x yx y a a a a+=+-=≠，圆心()2,0到直线0x y a +-=22a =-=，解得4a =或0a =（舍去）.直线方程为40x y +-=，综上所述，与圆22(2)2x y -+=相切，且在x 轴､y 轴上的截距相等的直线有三条，D 选项正确.故选：ACD10．已知F 1，F 2分别是椭圆C ：22195x y +=的左，右焦点，P 为椭圆C 上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（）A ．1PF F 的周长为10B ．1PF F面积的最大值为C ．1||PF 的最小值为1D ．椭圆C 的焦距为6【正确答案】AB【分析】根据椭圆的方程求出,,a b c ，再结合椭圆定义与椭圆的几何性质即可分别判断正误求解.【详解】∵椭圆C 方程为：22195x y +=，3,2a b c ∴===12PF F ∴△的周长为1212||||||2210PF PF F F a c ++=+=，∴A 正确；∴△PF 1F 2面积的最大值为122c b ⋅⋅=P 位于短轴的端点，∴B 正确；P 在椭圆的左顶点时，|PF 1|的最小值为a －c ＝1，又P 为椭圆C 上异于长轴端点的动点，∴C 错误；椭圆C 的焦距为2c ＝4，∴D 错误.故选：AB.11．已知数列{}n a 满足*1121,(N )321n n n a a a n a +==∈+，则下列结论正确的是（）A ．12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列B ．{}n a 的通项公式为1221n n na -=+C ．{}n a 为递减数列D ．1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和212nn T n -=+-【正确答案】AB 【分析】由1221n n n a a a +=+可推得11112(2)2n na a +-=-，从而可判断ABC ，由分组求和可判断D.【详解】因为*12(N )21nn n a a n a +=∈+，由题意显然10,0n n a a +≠≠，变形得112111122n n n n a a a a ++==⨯+，所以11112(2)2n na a +-=-，又因为11210a -=≠，所以12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以1为首项，12为公比的等比数列，A 正确；因为1112()2n n a --=，所以11121212()2n n n n a --==++，B 正确；因为11(2n -递减，所以1112()2n n a -=+递增，即{}n a 为递增数列，C 错误；因为1112()2n n a --=，所以111()22n n a -=+，所以111111(1)2222422n n n T n n --=+++++=-+ ，所以D 错误.故选：AB.12．在长方体1111ABCD A B C D -中，1222AA AB BC ===，点,E F 满足1(01)AF AA λλ=<<，1CE EC =.下列结论正确的有（）A ．若直线BE 与1D F 异面，则12λ≠B ．若AE BF ⊥，则13λ=C ．直线AE 与平面11ABC D所成角正弦值为15D ．若直线AE平面1BFD ，则14λ=【正确答案】ACD【分析】建立空间坐标系，用空间向量逐项计算.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系：1(1,0,0),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,2)A B E D 1(1,0,2),(1,0,1),(1,0,22)F BE D F λλ=-=-1(1,1,1),(0,1,2),(1,1,2)AE BF BD λ=-=-=--对于A ：若直线BE 与1D F 异面，则12211λ-≠-，则12λ≠，故A 正确；对于B ：若,0AE A BF E BF ∴⊥⋅=，(1,1,1)(0,1,2)0λ∴-⋅-=，12λ∴=，故B 错误；对于C ：1(0,1,0),(1,0,2)AB D A ==- ，设平面11ABC D 的法向量为()111,,n x y z =则100AB n D A n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111020y x z =⎧⎨-=⎩，取(2,0,1)n = 直线AE 与平面11ABC D 所成角θ满足sin |cos ,|AE n AE n AE nθ⋅=〈〉===⋅，故C 正确；对于D ：设平面1BFD 的法向量()222,,m x y z =110BD m D F m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2222220(22)0x y z x z λ--+=⎧⎨+-=⎩，取(22,2,1)m λλ=- 若直线AE平面1BFD ，则22210AE m λλ⋅=-++=14λ∴=，故D 正确；故选：ACD三、填空题13．已知()()ln f x x x x =+，则()f x 在x ＝1处的切线方程是______．【正确答案】32y x =-【分析】根据导数求出()f x 在x ＝1处的切线斜率，用点斜式求出切线方程.【详解】已知当1x =时()11f =，由()()1ln 1f x x x x x ⎛⎫'=+++ ⎪⎝⎭，得()13f '=根据点斜式可得：()13132y x y x -=-⇒=-故答案为:32y x =-14．已知椭圆22:1167x y E +=的右焦点F ，P 是椭圆E 上的一个动点，Q 点坐标是(1,3)，则||||PQ PF +的最大值是______.【正确答案】13【分析】设椭圆左焦点(3,0)F '-，根据椭圆的定义将||||PQ PF +转化为2PQ PF PQ a PF '+=+-，结合图形的几何性质，即可求得答案.【详解】由22:1167x y E +=可知4a =，b =，3c =设椭圆左焦点(3,0)F '-，则28PQ PF PQ a PF QF ''+=+-≤+88513==+=，当且仅当P ，Q ，F '共线时且当P 在QF '的延长线上P '时等号成立．||||PQ PF ∴+的最大值为13，故答案为.1315．已知数列{}n a 的各项均为正数，12a =，221120n n n na a a a ++--=，则数列()()111n n n a a a +⎧⎫⎪⎪⎨⎬++⎪⎪⎩⎭前10项的和为___________.【正确答案】6822049【分析】运用因式分解法，结合等比数列的定义、裂项相消法进行求解即可.【详解】由2211111)(20(2)20n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a +++++--=⇒-==⇒+，或1n n a a +=-，当1n n a a +=-时，即11n na a +=-，所以数列{}n a 是以1-为公比的等比数列，这不符合数列{}n a 的各项均为正数；当12n n a a +=时，即12n na a +=，所以数列{}n a 是以2为公比的等比数列，又12a =，所以1222n nn a -=⨯=，因为()()()()1112111121212121n n n n n n n n a a a +++==-++++++，所以()()111n n n a a a +⎧⎫⎪⎪⎨⎬++⎪⎪⎩⎭前10项的和为1223101111111111682212121212121320492049-+-++-=-=++++++ ，故682204916．过双曲线2222100x y a b a b-=>>（，）的左焦点(0F c -，）作圆x ²+y ²=a ²的切线，切点为E ，延长FE 交抛物线y ²=4cx 于点P ，O 为坐标原点，若()12OE OF OP =+，则双曲线的离心率为_______.【正确答案】12【分析】由向量的运算法则知E 是PF 中点，由此得OP OF c ==，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，因此利用中位线性得2PG a =，从而由抛物线的可表示出P 的点横坐标，从而得纵坐标，作PH x ⊥轴，垂足为H ，在PH △O 中由勾股定理得出,a c 的方程，变形后可求得离心率e ．【详解】如图，双曲线的右焦点G 也是抛物线的焦点，1()2OE OF OP =+，则E 是PF 中点，又O 是FG 中点，所以//OE PG ，22PG OE a ==，设(,)P x y ，过P 作抛物线的准线的垂线PM ，M 是垂足，则2PM x c PG a =+==，2x a c =-，P 在抛物线上，所以244(2)y xc x a c ==-，E 是切点，OE FP ⊥，所以OP OF c ==，作PH x ⊥轴，垂足为H ，由222PH OH OP +=得22(2)4(2)a c c a c c -+-=，整理得224440c ac a --=，所以210e e --=，12e =（负值舍去）．故12．四、解答题17．设等差数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，()*141n n n a S a n +=+∈N .(1)求{}n a 的通项公式；(2)设5n n a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求数列{}n b 的前10项和，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]0.90=，[]2.62=.【正确答案】(1)21n a n =-(2)16【分析】(1)根据,n n a S 的关系求出数列的首项公差即可求解；(2)根据定义分别写出数列{}n b 的前10项，求和即可.【详解】（1）设等差数列公差为d ，因为()*141n n n a S a n +=+∈N ，所以当2n ≥时，1141n n n S a a --=+，所以1114411n n n n n n a a S S a a -+--=+--，所以114n n n n n a a a a a +-=-，因为0n a >，所以1124n n a a d +--==，所以2d =，令1n =得1121141(2)1a a a a a =+=++整理得211210a a -+=解得11a =，所以12(1)21n a n n =+-=-.（2）由（1）得215n n b -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，所以215n n b -⎡⎤=⎢⎣⎦的前10项和等于1357111315195555557559155⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦001112233316=+++++++++=.18．矩形ABCD 的两条对角线相交于点()2,0M ，AB 边所在直线的方程为360x y --=，点()1,1T -在AD 边所在直线上.(1)求AD 边所在直线的方程；(2)求矩形ABCD 外接圆的方程；(3)若点P 为矩形ABCD 外接圆上一动点，求点()1,1T -与点P 距离的最小值.【正确答案】(1)320x y ++=(2)()2228x y -+=【分析】（1）根据直线关系，建立斜率方程，求得对应斜率，利用点斜式公式，可得答案；（2）根据矩形外接圆的性质，利用直线求交点，求得圆的半径和圆心，可得答案；（3）先明确点T 与圆的位置关系，利用该点与圆心的距离与半径，可得答案.【详解】（1）AD 边所在直线与AB 边所在直线垂直，所以1AD AB k k =-⋅，因为AB 边所在直线的方程为360x y --=，即13AB k =，所以3AD k =-，又因为点()1,1T -在AD 边所在直线上，所以AD 边所在直线的方程为：()131y x -=-+，化简为：320x y ++=（2）AB 边所在直线与AD 边所在直线相交于点A ，联立得：320360x y x y ++=⎧⎨--=⎩，解得：02x y =⎧⎨=-⎩，即()0,2A -，所以矩形ABCD外接圆的半径r MA ==所以矩形ABCD 外接圆的方程为：()2228x y -+=（3）因为||TM r ==||TM r >，点T 在圆外,所以||TP 最小值为||TM r -19．新冠肺炎疫情期间，某企业生产的口罩能全部售出，每月生产x 万件（每件5个口罩）的利润函数为()23145,07,3e 12ln 7x x x p x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--≥⎪⎩（单位：万元）．（注：每问结果精确到小数点后两位．参考数据2e 7.39≈，3e 20.09≈）(1)当每月生产5万件口罩时，利润约为多少万元？(2)当月产量约为多少万件时，生产的口罩所获月利润最大？【正确答案】(1)6.67万元(2)20.09万件【分析】（1）直接利用函数的关系式代值计算即可.（2）利用函数的导数，求最值，然后根据分段函数，比较得最大值.【详解】（1）当5x =时,()212055455 6.6733p =-⨯+⨯-=≈,故当每月生产5万件口罩时，利润约为6.67万元（2）因为利润函数为()23145,07,3e 12ln ,7x x x p x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--≥⎪⎩故当()221107,()456373x p x x x x <<=-+=--+-,此时当max 6,()7x p x ==.当7x ≥时,()3e 12ln ,p x x x =--()3322e e ,1x x xp x x -'=-+=当37e ,()0,x p x '≤≤>此时()p x 单调递增,当3e ,()0,x p x '><此时()p x 单调递减，故当3e 20.09x =≈时，33max 3e ()12ln e 12318e p x =--=--=综上，当20.09x =时，所获月利润最大.20．如图所示，正方形ABCD 所在平面与梯形ABMN 所在平面垂直，AN BM ∥，2AN AB BC ===，4BM =，CN =(1)证明：BM ⊥平面ABCD ；(2)在线段CM （不含端点）上是否存在一点E ，使得二面角E BN M --若存在，求出的CE EM值；若不存在，请说明理由.【正确答案】(1)见解析(2)存在，12CE EM =【分析】（1）由面面垂直的性质可得BC BM ⊥，再得出BM AB ⊥即可证明；（2）设CE CM λ= ，求出平面BEN 和平面BMN 的法向量，利用向量关系建立方程求出λ即可得出.【详解】（1）证明：正方形ABCD 中，BC AB ⊥，平面ABCD ⊥平面ABMN ，平面ABCD ⋂平面ABMN AB =，BC ⊂平面ABCD ，BC ∴⊥平面ABMN ，又BM ⊂平面ABMN ，BC ∴⊥BM ，且BC BN ⊥，又2,BC CN ==BN ∴==，又2AB AN == ，222BN AB AN ∴=+，AN AB ∴⊥，又//AN BM ，BM AB ∴⊥，又,,BC BA B BA BC =⊂ 平面ABCD ，∴BM ⊥平面ABCD ；（2）解：如图，以B 为坐标原点，,,BA BM BC 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()()()0,0,0,2,0,0,0,0,2B A C ，()()()2,0,2,2,2,0,0,4,0D N M ，设点(),,E a b c ，()01CE CM λλ=<< ，()(),,20,4,2a b c λ∴-=-，()04,0,4,2222a b E c λλλλ=⎧⎪∴=∴-⎨⎪=-⎩，()()2,2,0,0,4,22BN BE λλ∴==- ，设平面BEN 的法向量为(),,m x y z = ，()2204220BN m x y BE m y z λλ⎧⋅=+=⎪∴⎨⋅=+-=⎪⎩，令221,1,,1,1,11x y z m λλλλ⎛⎫=∴=-=∴=- ⎪--⎝⎭ ，显然，平面BMN 的法向量为()0,0,2BC =，cos ,3BC m BC m BC m ⋅∴= ，==，即=即23210λλ+-=，解得13λ=或1-（舍），所以存在一点E ，且12CE EM =.21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为22，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线20x y -+=相切.(1)求椭圆C 的方程；(2)设()2,0A -，过点()1,0R 作与x 轴不重合的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，连接AM ，AN 分别交直线3x =于P ，Q 两点，若直线PR ､QR 的斜率分别为1k ､2k ，试问：12k k ⋅是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.【正确答案】(1)22142x y +=(2)是定值，定值2524-【分析】（1）根据离心率和点到直线距离公式即可得解；（2）直线l 的方程为1x my =+，代入椭圆方程，根据三点共线表示出P 点坐标，同理表示出Q 点坐标，算出斜率即可求解.【详解】（1）由题意得222222200211c e a b a b c ⎧==⎪⎪⎪-+=⎨+⎪⎪=+⎪⎩222a b c =⎧⎪⎨⎪=⎩，故椭圆C 的方程为22142x y +=；（2）设直线l 的方程为1x my =+，()11,M x y ，()22,N x y ，由221142x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222230m y my ++-=，∴12222m y y m -+=+，12232y y m -=+，由A ､M ､P 三点共线可知()()11322P y y x =----，∴1152P y y x =+同理可得：2252Q y y x =+，故121212551131314422Q P P Q y y y y k k y y x x =⋅==⋅⋅--++()()()121221212122525433439y y y y my my m y y m y y =⋅=⋅+++++222223252512523644624922m m m m m -⎛⎫+=⋅=⋅-=- ⎪--⎝⎭++++，因此12·k k 为定值2524-.22．已知函数()()2e 23x f x x a x a =-+++⎡⎤⎣⎦(1)已知()f x 在R 上为单调递增，求a 的取值范围；(2)若()f x 在()0,2有两个极值点12,x x ，求证.()()2124ef x f x <【正确答案】(1)22a -≤≤(2)证明见解析【分析】（1）根据()f x 在R 上为单调递增，可得()0f x '≥，在R 上恒成立，即可转化为一元二次不等式210x ax -+≥在R 上恒成立，即可求得a 的取值范围；（2）若()f x 在()0,2有两个极值点12,x x ，即()()2e 10x f x x ax =-+='有在()0,2上有两个根，转化为12,x x 为方程210x ax -+=的两个根，根据一元二次方程根的分布可得a 的范围与12,x x 满足的关系式，从而化简()()12f x f x ()2e 8a a =-+，再将所证问题转化为()22e 84e a a -<，构造函数()()25e 8,22a g a a a =-<<，求导得单调性，即可证明.【详解】（1）由()()2e 23x f x x a x a ⎡⎤=-+++⎣⎦，x ∈R ，求导得()()()()22e 2322e 1x x f x x a x a x a x ax '⎡⎤=-++++-+=-+⎣⎦，因为()f x 在R 上为单调递增，故()()2e 10x f x x ax =-+≥'，在R 上恒成立，又e 0x >恒成立，所以210x ax -+≥在R 上恒成立，由2Δ40a =-≤时，即22a -≤≤，所以a 的取值范围为22a -≤≤.（2）证明：()f x 在()0,2上由两个极值点12,x x ，∴()()2e 10x f x x ax =-+='有在()0,2上有两个根，即12,x x 为方程210x ax -+=的两个根，所以222Δ40001102210022a a a ⎧=->⎪-+=>⎪⎪⎨-+>⎪⎪<<⎪⎩，解得522a <<，可得1212,1x x a x x +==，且21110x ax -+=，22210x ax -+=所以()()()()1222121122e 23e 23x x f x f x x a x a x a x a ⎡⎤⎡⎤=-+++-+++⎣⎦⎣⎦()()1222111222e 122122x x x ax x a x ax x a +=-+-++-+-++()()1212e 2222x x x a x a +=-++-++()()1221212e 422(2)x x x x a x x a +⎡⎤=-++++⎣⎦将1212,1x x a x x +==代入上式，可得：()()222e 422(2)e 42444a a a a a a a a a ⎡⎤=-+++=--+++⎣⎦()2e 8a a =-+，由题意，需证()()()2212e 84e a f x f x a =-<，令()()25e 8,22a g a a a =-<<，求导得()()()()2e 82e 24a a g a a a a a '=--=--+，当522a <<时，()0g a '<，则()g a 在()2,+∞上单调递减，即()()224e g a g <=，故()()2124e f x f x <.。
高二数学上册期末考试试卷及答案
解 (1) 由 x2－4ax＋3a2＜ 0，得： ( x－ 3a)( x－ a) ＜ 0， 当 a＝ 1 时，解得 1＜x＜ 3， 即 p 为真时实数 x 的取值范围是 1＜x＜3。
x2－ x－ 6≤0， 由
x2＋ 2x－ 8＞0。
解得： 2＜x≤3，
即 q 为真时实数 x 的取值范围是 2＜x≤3。
若 p 且 q 为真，则 p 真且 q 真，所以实数 x 的取值范围是 2＜x＜ 3。 (2) p 是 q 的必要不充分条件，即 q 推出 p，且 p 推不出 q， 设集合 A＝{ x| p( x)} ；集合 B＝ { x| q( x)} ，则集合 B是集合 A的真子 集， 又 B＝ (2,3] ， 当 a＞ 0 时， A＝ ( a, 3a) ； a＜0 时， A＝ (3 a，a) 。
5 C. 0， 5
9．当 x＞1 时，不等式 x＋ 1 ≥ a 恒成立，则实数 a 的取值范围是 ( D ) ． x1
A． ( －∞， 2] B．[2 ，＋∞ )
C．[3 ，＋∞ )
D．( －∞，
3]
解析 由于定义为 R 的偶函数 f ( x) 满足：对 ? x∈R，有 f ( x＋2) ＝ f ( x) －f (1) ，得 f ( －1＋2) ＝f ( －1) －f (1) ＝0，即 f (1) ＝0，故 f ( x＋2) ＝ f ( x) ，可知 f ( x) 的周期 T＝2，图象以 x＝ 2 为对称轴，作出 f ( x) 的部
B) ．
A．直角三角形
B．等边三角形 C ．等腰直角三角形 D．钝
角三角形
A． 160
B． 180
C．200
D．220
3．△ ABC中，∠ A，∠ B，∠ C所对的边分别为 a，b，c．若 a＝3，b＝ 4， 7. 如图， PA⊥平面 ABCD，四边形 ABCD为正方形， E 是 CD的中点， F
2023-2024学年河南省新乡市高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年河南省新乡市高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知直线l1：﹣tx+2y+2＝0和l2：6x﹣（t+1）y+3＝0平行，则实数t＝（）A．3B．3或﹣4C．﹣3D．﹣3或42．已知＝（﹣1，4，2）为平面α的一个法向量，α∥β（）A．（2，0，1）B．（4，2，﹣1）C．（2，8，4）D．（2，﹣8，﹣4）3．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若，则λ＝（）A．3B．﹣3C．6D．﹣64．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BCA＝90°，CC1＝3BC＝3CA，则AC1与CB1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．5．某阶梯大教室的座位数从第二排开始，每排的座位比前一排多3个，已知第一排有5个座位，则该阶梯大教室最后一排的座位数为（）A．30B．33C．38D．406．如图所示，在空间四边形OABC中，点M在线段OA上，N为线段BC的中点，，则（）A．B．C．D．7．在空间直角坐标系中，已知点M（1，1，0），N（2，﹣1，﹣2），P（﹣1，1，2），则点P到直线MN 的距离为（）A．B．2C．D．48．如图，椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，A为椭圆C上一点，B为y轴上一点，F1在以AB为直径的圆上，且，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．等差数列{a n}的前n项和为S n，若a7＝9，S4＝3a4，则（）A．{a n}的公差为1B．{a n}的公差为2C．S4＝18D．a2023＝202510．已知圆O：x2+y2＝4，动直线l过点P（3，0），下列结论正确的是（）A．当l与圆O相切于点E时，B．点P到圆O上点的距离的最大值为5C．点P到圆O上点的距离的最小值为2D．若点Q（0，1）在l上，l与圆O相交于点M，N，则11．已知P为正方体ABCD﹣A1B1C1D1所在空间内一点，且，0＜λ＜1，则（）A．B．三棱锥D﹣P A1C1的体积为定值C．存在唯一的λ，使得平面P A1C1⊥平面BDD1B1D．存在唯一的λ，使得，12．已知抛物线E：y2＝4x的焦点为F，过点F作互相垂直的两条直线与抛物线E分别交于点A，B，C，D，P，Q分别为AB，O为坐标原点，则下列结论中正确的是（）A．+＝B．•≥5C．若F恰好为PB的中点，则直线PQ的斜率为±D．直线PQ过定点（3，0）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知双曲线C：的一条渐近线方程为，则C的焦距为．14．若数列{a n}满足a2＝11，，则a985＝．15．若直线x+3y﹣1＝0是圆x2+y2﹣2ax﹣8＝0的一条对称轴，则点与该圆上任意一点的距离的最小值为．16．在首项为1的数列{a n}中，若存在n∈N*，使得不等式（m﹣a n）（m+a n+3）＞0成立，则m的取值范围为．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知2（a1+a2）＝a4，S5＝35．（1）求{a n}的通项公式；（2）设，数列{b n}的前n项和为T n，若，求正整数m的最大值．18．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，P A⊥平面ABC，＝，BC＝，AC＝．（1）证明：BC⊥平面P AB；（2）求直线CP与平面ABD所成角的正弦值．19．（12分）已知圆C过点A（﹣5，﹣1）和B（2，0），且圆心C在直线x+y﹣1＝0上．（1）求圆C的标准方程；（2）经过点（3，4）的直线l与圆C相切，求l的方程．20．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC中，BC＝BP＝5，，△P AC为等边三角形，Q为PC上的一个动点．（1）证明：平面P AB⊥平面ABC．（2）当时，求二面角P﹣AB﹣Q的余弦值．21．（12分）在数列{a n}中，已知a1＝3，a n+1＝4a n+3n﹣1．（1）证明数列{a n+n}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（2）设b n＝2n﹣1，若数列{a n}与{b n}的公共项为b m，记m由小到大构成数列{c n}，求{c n}的前n项和S n．22．（12分）已知椭圆与双曲线的焦距之比为．（1）求椭圆C1和双曲线C2的离心率；（2）设双曲线C2的右焦点为F，过F作FP⊥x轴交双曲线C2于点P（P在第一象限），A，B分别为椭圆C1的左、右顶点，AP与椭圆C1交于另一点Q，O为坐标原点，证明：k BP•k OP＝k OQ+k OP．2023-2024学年河南省新乡市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知直线l1：﹣tx+2y+2＝0和l2：6x﹣（t+1）y+3＝0平行，则实数t＝（）A．3B．3或﹣4C．﹣3D．﹣3或4解：直线l1：﹣tx+2y+8＝0和l2：7x﹣（t+1）y+3＝8平行，则（﹣t）•（﹣t﹣1）＝2×4，解得t＝3或﹣4，当t＝7时，两直线不重合，当t＝﹣4时，两直线重合，故a＝3．故选：A．2．已知＝（﹣1，4，2）为平面α的一个法向量，α∥β（）A．（2，0，1）B．（4，2，﹣1）C．（2，8，4）D．（2，﹣8，﹣4）解：根据题意，为平面α的一个法向量，则也是平面β的一个法向量，分析选项：对于A，设＝（2，0，∥不成立，7，1）不是平面β的一个法向量；对于B，设＝（4，6，∥不成立，0，1）不是平面β的一个法向量；对于C，设＝（7，8，∥不成立，8，3）不是平面β的一个法向量；对于D，设＝（2，﹣4），有，则∥成立，﹣5．故选：D．3．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若，则λ＝（）A．3B．﹣3C．6D．﹣6解：等比数列{a n}的前n项和为S n，则＝，＝6×3n+λ，故，即．故选：D．4．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BCA＝90°，CC1＝3BC＝3CA，则AC1与CB1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．解：如图，建立空间直角坐标系，设CC1＝3BC＝6CA＝3，则A（1，2，0），C1（6，0，3），7，0），B1（3，1，3），所以，则，故AC1与CB1所成角的余弦值为．故选：C．5．某阶梯大教室的座位数从第二排开始，每排的座位比前一排多3个，已知第一排有5个座位，则该阶梯大教室最后一排的座位数为（）A．30B．33C．38D．40解：根据题意，第n排的座位数为a n，由于第一排有5个座位，从第二排开始，则数列{a n}是以5为首项，公差为8的等差数列n＝5+（n﹣1）×6＝3n+2，该阶梯大教室共有258个座位，则有，变形可得：（3n+43）（n﹣12）＝0，又由n是正整数，则n＝12，则该阶梯大教室最后一排的座位数为a12＝5×12+2＝38．故选：C．6．如图所示，在空间四边形OABC中，点M在线段OA上，N为线段BC的中点，，则（）A．B．C．D．解：＝+＝﹣++，则x＝﹣，y＝．故选：B．7．在空间直角坐标系中，已知点M（1，1，0），N（2，﹣1，﹣2），P（﹣1，1，2），则点P到直线MN 的距离为（）A．B．2C．D．4解：点M（1，1，5），﹣1，P（﹣1，6，则＝（﹣2，0，，故＝，，故点P到直线MN的距离为：＝2．故选：B．8．如图，椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，A为椭圆C上一点，B为y轴上一点，F1在以AB为直径的圆上，且，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．解：由，设|F2A|＝8t，|F2B|＝3t，（t＞6），则|AB|＝5t，由对称性知2B|＝|F6B|＝3t，因为F1在以AB为直径的圆上，则|F7A|＝4t，cos∠F1AB＝，由椭圆的定义知|F1A|+|F7A|＝6t＝2a，所以a＝5t，在△F1AF2中，8c2＝16t2+2t2﹣2×8t×2t×cos∠F1AB＝20t3﹣t2＝t2，所以c＝t，所以e＝．故选：D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．等差数列{a n}的前n项和为S n，若a7＝9，S4＝3a4，则（）A．{a n}的公差为1B．{a n}的公差为2C．S4＝18D．a2023＝2025解：设{a n}的公差为d，a7＝9，S8＝3a4，则解得故a2023＝a8+2022d＝2025，S4＝4a3+6d＝18．故选：ACD．10．已知圆O：x2+y2＝4，动直线l过点P（3，0），下列结论正确的是（）A．当l与圆O相切于点E时，B．点P到圆O上点的距离的最大值为5C．点P到圆O上点的距离的最小值为2D．若点Q（0，1）在l上，l与圆O相交于点M，N，则解：对于A，，A正确．易知点P到圆O上点的距离的最大值为8+2＝5，B正确；点P到圆O上点的距离的最小值为6﹣2＝1，C错误．对于D，动直线l过点P（6，点Q（0，所以直线l的方程为x+3y﹣5＝0，点O到直线l的距离，所以，D错误．故选：AB．11．已知P为正方体ABCD﹣A1B1C1D1所在空间内一点，且，0＜λ＜1，则（）A．B．三棱锥D﹣P A1C1的体积为定值C．存在唯一的λ，使得平面P A1C1⊥平面BDD1B1D．存在唯一的λ，使得， 解：建立空间直角坐标系，如图所示：因为，0＜λ＜3，设＝t，1）；＝++＝++t，6，0）+（0，4，t，0）＝（t﹣1，t，＝+＝（1，6，0，﹣1）＝（4，1，所以•＝t﹣1+t﹣1＝4t﹣2＜0；三棱锥D﹣P A 5C1的体积为＝•BD＝××＝，是定值；当且仅当P为AC的中点时，平面P A1C1⊥平面BDD2B1，此时λ＝，选项C正确；因为＝++＝（﹣t，0）+（4，0，0，7）＝（﹣t+1，﹣1），＝++＝（﹣t，0）+（0，7，1，0）＝（﹣t，﹣4），所以•＝4t（t﹣1）+1＝2t2﹣2t+4，||＝|＝；令＝＝，化简得3t5﹣3t+1＝4，Δ＝9﹣12＜0，即不存在λ∈R，使cos＜，，选项D错误．故选：BC．12．已知抛物线E：y2＝4x的焦点为F，过点F作互相垂直的两条直线与抛物线E分别交于点A，B，C，D，P，Q分别为AB，O为坐标原点，则下列结论中正确的是（）A．+＝B．•≥5C．若F恰好为PB的中点，则直线PQ的斜率为±D．直线PQ过定点（3，0）解：设直线AB的方程为x＝my+1（m≠0），A（x7，y1），B（x2，y7），联立方程组，得y2﹣4my﹣5＝0，则y1+y2＝4m，y1y3＝﹣4，∴|AB|＝＝4（m2+5），同理可得，∴，故A正确；∵P，Q分别为AB，∴P（6m2+1，8m），，∴，当且仅当m＝±1时等号成立；∵F为PB的中点，∴y3＝﹣2m，又∵y1+y2＝4m，∴y1＝7m．∵，∴，可得；当直线PQ的斜率存在时，，∴直线PQ的方程为，整理得，可得直线PQ过定点（3；当直线PQ的斜率不存在时，m＝±2，过点（3，∴直线PQ过定点（3，故D正确．故选：ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知双曲线C：的一条渐近线方程为，则C的焦距为2．解：由题意知，双曲线的焦点在x轴上，所以渐近线方程为y＝±x，因为双曲线C的一条渐近线方程为，即y＝x，所以＝，解得m＝9，所以C的焦距为2＝2．故答案为：2．14．若数列{a n}满足a2＝11，，则a985＝．解：根据题意，有a2＝，又a2＝11，所以11＝，解得a5＝，又a3＝＝＝﹣，a4＝＝＝＝a2，…，所以{a n}是以3为周期的周期数列，所以a985＝a328×3+3＝a1＝．故答案为：．15．若直线x+3y﹣1＝0是圆x2+y2﹣2ax﹣8＝0的一条对称轴，则点与该圆上任意一点的距离的最小值为1．解：由题可知，该圆的圆心为（a，因为直线x+3y﹣1＝3过圆心，所以a﹣1＝0，所以圆的方程为（x﹣8）2+y2＝7，因为圆心与的距离为，所以点与该圆上任意一点的距离的最小值为3﹣2＝4．故答案为：1．16．在首项为1的数列{a n}中，若存在n∈N*，使得不等式（m﹣a n）（m+a n+3）＞0成立，则m的取值范围为或．解：结合题意：a n＝a1+（a2﹣a3）+（a3﹣a2）+⋯+（a n﹣a n﹣3）＝，则a n＞0，所以（m﹣a n）（m+a n+3）＞7，解得m＞a n或m＜﹣a n+3，当n为偶数时，，递增n的最小值为，则，，递增n+3的最小值为，则，当n为奇数时，，递减n的最大值为a8＝1，，，递减n+6的最大值为，，综上所述：要使得存在n∈N*，使得不等式（m﹣a n）（m+a n+5）＞0成立，只需或，所以m的取值范围为或．故答案为：或．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知2（a1+a2）＝a4，S5＝35．（1）求{a n}的通项公式；（2）设，数列{b n}的前n项和为T n，若，求正整数m的最大值．解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，由题意得，解得，{a n}的通项公式a n＝1+5（n﹣1）＝3n﹣2．（2）由（1）得S n＝＝，所以＝＝，所以T n＝＝，由，得≤，解得m≤15，故正整数m的最大值为15．18．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，P A⊥平面ABC，＝，BC＝，AC＝．（1）证明：BC⊥平面P AB；（2）求直线CP与平面ABD所成角的正弦值．解：（1）证明：因为P A⊥平面ABC，且BC⊂平面ABC，因为AB＝2，，，所以AB5+BC2＝AC2，则AB⊥BC，又因为P A∩AB＝A，P A⊂平面P AB，所以BC⊥平面P AB．（2）以B为坐标原点，，的方向分别为x，建立如图所示的空间直角坐标系，则B（3，0，0），7，0），，4，4），1，8），所以，，，设平面ABD的法向量为，则，解得y＝0，令z＝﹣1，得，所以，设直线CP与平面ABD所成的角为θ，则，即直线CP与平面ABD所成角的正弦值为．19．（12分）已知圆C过点A（﹣5，﹣1）和B（2，0），且圆心C在直线x+y﹣1＝0上．（1）求圆C的标准方程；（2）经过点（3，4）的直线l与圆C相切，求l的方程．解：（1）AB的中点（，），k AB＝＝，所以AB的中垂线方程为：7x+y+11＝6，由，得，即圆心（﹣2，半径r＝，所以圆C的标准方程为：（x+2）2+（y﹣3）2＝25．（2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝4，此时直线l与圆C相切，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y﹣4＝k（x﹣3），因为直线l与圆C相切，所以＝3，所以直线L的方程为：12x+5y﹣56＝2．综上，直线l的方程为：x＝3或12x+5y﹣56＝2．20．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC中，BC＝BP＝5，，△P AC为等边三角形，Q为PC上的一个动点．（1）证明：平面P AB⊥平面ABC．（2）当时，求二面角P﹣AB﹣Q的余弦值．（1）证明：因为△P AC为等边三角形，所以，又PB＝CB，PC为公共边，作PO⊥AB，垂足为O，由三角形全等易知CO⊥AB，PO＝CO，设OB＝x，则OA＝4﹣x2＝P A2﹣OA2，且PO2＝PB2﹣OB6，所以，解得x＝2，故，故CO＝4，在△POC中，因为PO8+CO2＝PC2，所以PO⊥CO，又因为CO⊥AB，AB，AB∩PO＝O，所以CO⊥平面P AB，因为CO⊂平面ABC，所以平面P AB⊥平面ABC；（2）以O为坐标原点，OC，OP所在直线分别为x，y，建立如图所示的空间直角坐标系，则＝（5，7，设点Q（x0，5，z0），则，因为，所以，解得，所以Q（1，2，则，设平面QAB的一个法向量为，则，解得y＝3，则x＝3，故，又因为平面P AB的一个法向量为，所以，由图可知，二面角P﹣AB﹣Q为锐二面角，故二面角P﹣AB﹣Q的余弦值为．21．（12分）在数列{a n}中，已知a1＝3，a n+1＝4a n+3n﹣1．（1）证明数列{a n+n}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（2）设b n＝2n﹣1，若数列{a n}与{b n}的公共项为b m，记m由小到大构成数列{c n}，求{c n}的前n项和S n．（1）证明：因为a n+1＝4a n+6n﹣1，所以a n+1+n+3＝4a n+4n＝5（a n+n），即＝5，又a1+1＝7，所以数列{a n+n}是首项为4，公比为4的等比数列，所以a n+n＝5×4n﹣1＝2n，即a n＝4n﹣n，故数列{a n}的通项公式为a n＝4n﹣n．（2）解：设b n＝8n﹣1，则b m＝2m﹣7，由数列{a n}与{b n}的公共项为b m，得2m﹣1＝4n﹣n，所以m＝，所以n﹣1＝7k（k∈N），即n＝2k+1（k∈N），所以m＝34k+1﹣k（k∈N），所以c n＝54n﹣3﹣（n﹣5）（n∈N*），所以S n＝＝．22．（12分）已知椭圆与双曲线的焦距之比为．（1）求椭圆C1和双曲线C2的离心率；（2）设双曲线C2的右焦点为F，过F作FP⊥x轴交双曲线C2于点P（P在第一象限），A，B分别为椭圆C1的左、右顶点，AP与椭圆C1交于另一点Q，O为坐标原点，证明：k BP•k OP＝k OQ+k OP．解：（1）易知椭圆C1的焦距，双曲线C2的焦距，因为椭圆与双曲线，所以，整理得，此时，，则椭圆C1的离心率，双曲线C2的离心率，（2）证明：由（1）知，因为A（﹣a，0），此时直线AP的方程为，联立，消去y并整理得，由韦达定理得，解得，则，因为，，，所以，，故k BP•k OP＝k OQ+k OP．。
2021年高二数学理上学期期末考试试题
2021年高二数学理上学期期末考试试题一、选择题（包括12小题，每小题5分，共60分）1.要完成下列两项调查：①从某社区125户高收入家庭、200户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户，调查社会购买能力的某项指标；②从某中学的5名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况．宜采用的方法依次为（）A．①简单随机抽样调查，②系统抽样 B．①分层抽样，②简单随机抽样C．①系统抽样，②分层抽样 D．①②都用分层抽样2.“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.命题“所有能被整除的整数都是偶数”的否定是（）A.所有不能被整除的整数都是偶数B.所有能被整除的整数都不是偶数C.存在一个不能被整除的整数是偶数D.存在一个能被整除的整数不是偶数4.过点作直线，使它与抛物线仅有一个公共点，这样的直线共有 ( )A.1条B.2条C.3条D.4条5.如果执行下面的程序框图，输出的，则判断框中为（）A. B. C. D.6.与向量共线的单位向量是（）A. B.和C. D.和7.已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的焦距为（）A. B. C. D.8.下列各数中最小的一个是（）A. B. C. D.9.一个盒子里有支好晶体管，支坏晶体管，任取两次，每次取一支，每次取后不放回，已知第一支是好晶体管，则第二支也是好晶体管的概率为 ( )A. B. C. D.10.如图所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在五次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩不超过乙的平均 成绩的概率为 （ ） A ． B. C ． D ． 11.平面上有一组平行线，且相邻平行线间的距离为，把一枚半径为的硬币任意平掷在这个平面，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是 （ ）A. B. C. D.12．已知椭圆的一个焦点为，若椭圆上存在点，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段相 切于线段的中点，则该椭圆的离心率为 （ ）A. B. C. D.第Ⅱ卷（10题：共90分）二、填空题（包括4小题，每小题5分，共20分）13.的展开式中的系数是 。
(2021年整理)高二数学上学期期末考试试题理
高二数学上学期期末考试试题理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高二数学上学期期末考试试题理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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东联现代中学 第一学期高二年级期末考试数 学一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
)1．抛物线22y x =的准线方程为( ）A ．12y =-B ．18y =-C ．12x =-D ．18x =-2．“0x >0>”成立的 （ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．非充分非必要条件D ．充要条件 3．如果0a b <<,那么下列不等式成立的是（ ）A ．11a b <B ．2ab b <C ．2ab a -<- D ．11ab -<- 4．已知变量x 、y 满足约束条件1110x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩,则2z x y =+的最小值为（ )A ．3B ．1C ．5-D ．6-5．在ABC ∆中，若C B A 222sin sin sin <+，则ABC ∆的形状是（ ） A ．钝角三角形. B ．直角三角形. C ．锐角三角形。
D ．不能确定.6．若双曲线22221x y a b -=，则其渐近线方程为( ) A ．y=±2x B ．y= C ．12y x=± D．2y x =± 7．下面是关于公差0d >的等差数列()n a的四个命题:{}1:n p a 数列是递增数列； {}2:n p na 数列是递增数列；3:n a p n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭数列是递增数列；{}4:3n p a nd +数列是递增数列；其中真命题为（ ）A.12,p pB.34,p pC.23,p pD.14,p p 8．已知{}n a 为等比数列。
高二数学上学期期末考试试题理
教学资料范本高二数学上学期期末考试试题理编辑：__________________时间：__________________吉林油田高级中学20xx-20xx学年度上学期期末考试高二数学试题（理科）（考试时间：120分钟，满分：150分 ）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一．选择题：(本大题共12小题,每题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设01<<+=a b a b 且，则下列四数中最大的是A ．22b a +B ．2abC ．aD ．212. 已知向量(2,1,1),(2,4,)a x x b k =-+= ，若a 与b 共线，则A.0k = B ．1k = C ．2k = D ．4k =3.在ABC ∆中，a b c ，，分别为角A B C ，，所对的边，若2cos a b C =，则此三角形一定是 A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰或直角三角形4. “1＜x ＜2”是“x ＜2”成立的A .充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.椭圆2212516x y +=上一点P 到其一个焦点的距离为3，则点P 到另一个焦点的距离为A ．2B ．7C ．3D ．56.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若242,10S S ==，则6S 等于A ．12B ．18C ．24D ．427. 已知点(,)P x y 在不等式组2010220x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域内运动，则z x y =- 的取值范围是A ．[－2，－1]B ．[－2,1]C ．[－1,2]D ．[1,2]8. 设0,0a b >>.若3是3a 与3b的等比中项，则ab 的最大值为A ．8B ．4C ．1D.149.抛物线28y x =-中，以(1,1)-为中点的弦的方程是 A .430x y ++= B ．430x y ++= C ．430x y +-= D ．430x y --=10. 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1234,2,a a a 成等差数列．若11a =，则4S 等于A ．7B ．8C ．15D ．1611. 如图：在平行六面体1111D C B A ABCD -中，M 为11C A 与11D B 的交点。
高二数学上册期末考试试卷
高二数学上册期末考试试卷一、选择题（每题5分，共60分）1. 若直线\(y = kx + 1\)与圆\(x^{2}+y^{2}=1\)相交于\(P\)、\(Q\)两点，且\(\angle POQ = 120^{\circ}\)（其中\(O\)为原点），则\(k\)的值为（）A. \(\pm\sqrt{3}\)B. \(\pm1\)C. \(\pm\frac{\sqrt{3}}{3}\)D.\(\pm\sqrt{2}\)2. 椭圆\(\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1\)的离心率为（）A. \(\frac{\sqrt{7}}{4}\)B. \(\frac{\sqrt{7}}{3}\)C. \(\frac{3}{4}\)D.\(\frac{4}{3}\)3. 双曲线\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a>0,b>0)\)的渐近线方程为\(y=\pm\frac{3}{4}x\)，则双曲线的离心率为（）A. \(\frac{5}{4}\)B. \(\frac{5}{3}\)C. \(\frac{4}{3}\)D. \(\frac{3}{4}\)4. 抛物线\(y^{2}=2px(p>0)\)的焦点坐标为\((1,0)\)，则\(p\)的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 45. 若方程\(\frac{x^{2}}{m - 1}+\frac{y^{2}}{3 - m}=1\)表示椭圆，则\(m\)的取值范围是（）A. \((1,2)\cup(2,3)\)B. \((1,3)\)C. \((-\infty,1)\cup(3,+\infty)\)D.\((1,+\infty)\)6. 已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(x, - 1)\)，若\(\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}\)，则\(x\)的值为（）A. 2B. - 2C. \(\frac{1}{2}\)D. -\(\frac{1}{2}\)7. 过点\((1,0)\)且与直线\(x - 2y - 2 = 0\)平行的直线方程为（）A. \(x - 2y - 1 = 0\)B. \(x - 2y + 1 = 0\)C. \(2x + y - 2 = 0\)D. \(x + 2y - 1 = 0\)8. 已知点\(A(1,3)\)，\(B(4,-1)\)，则与向量\(\overrightarrow{AB}\)同方向的单位向量为（）A. \((\frac{3}{5},-\frac{4}{5})\)B. \((\frac{4}{5},-\frac{3}{5})\)C. \((-\frac{3}{5},\frac{4}{5})\) D. \((-\frac{4}{5},\frac{3}{5})\)9. 若直线\(y = x + m\)被圆\(x^{2}+y^{2}=4\)截得的弦长为\(2\sqrt{2}\)，则\(m\)的值为（）A. \(\pm\sqrt{2}\)B. \(\pm2\)C. \(\pm\sqrt{3}\)D. \(\pm1\)10. 设\(F_{1}\)，\(F_{2}\)是双曲线\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a > 0,b > 0)\)的两个焦点，\(P\)是双曲线上一点，若\(\vert PF_{1}\vert = 9\vert PF_{2}\vert\)，且\(\angle F_{1}PF_{2}=60^{\circ}\)，则双曲线的离心率为（）A. \(\frac{\sqrt{5}}{2}\)B. \(\frac{\sqrt{15}}{4}\)C. \(\frac{\sqrt{17}}{4}\)D. \(\frac{\sqrt{13}}{3}\)11. 已知椭圆\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的左、右焦点分别为\(F_{1}\)，\(F_{2}\)，过\(F_{1}\)且垂直于\(x\)轴的直线与椭圆相交于\(A\)，\(B\)两点，直线\(AF_{2}\)与椭圆的另一个交点是\(C\)，若\(\overrightarrow{AF_{2}} = 2\overrightarrow{F_{2}C}\)，则椭圆的离心率为（）A. \(\frac{\sqrt{5}}{5}\)B. \(\frac{\sqrt{3}}{3}\)C. \(\frac{\sqrt{10}}{5}\)D.\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)12. 已知抛物线\(y^{2}=4x\)的焦点为\(F\)，准线为\(l\)，过抛物线上一点\(P\)作\(PQ\perp l\)于\(Q\)，若\(\angle QPF = 60^{\circ}\)，则\(\vertPF\vert\)等于（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（每题5分，共20分）1. 已知直线\(l:y = kx + 3\)与圆\(C:(x - 1)^{2}+(y + 2)^{2}=4\)相交于\(M\)、\(N\)两点，若\(\vert MN\vert = 2\sqrt{3}\)，则\(k\)的值为______。
2021年高二上学期期末考试 数学理 含答案
2021年高二上学期期末考试 数学理 含答案人：许桂期一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |3≤x <7}，B ＝{x |x 2－7x ＋10<0}，则∁R (A ∩B )等于 ( )．A ．(－∞，3)∪(5，＋∞)B ．(－∞，3)∪[5，＋∞)C ．(－∞，3]∪[5，＋∞)D ．(－∞，3]∪(5，＋∞)2．若，则下列结论不正确．．．的是 A ． B ． C ． D ．3．一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则 ( )A ． B. C. D.4. 设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1， S 3＝7，则S 5＝( )A.152B. 172C. 314D. 334 5. 已知如右程序框图，则输出的是( )A ．9B ．11C ．13D ．6．已知是三角形的一个内角，且，则方程表示( ) A.焦点在轴上的椭圆 B.焦点在轴上的椭圆C.焦点在轴上的双曲线D.焦点在轴上的双曲线7．方程|x |(x －1)－k ＝0有三个不相等的实根，则k 的取值范围是 （ )A. B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14 C. D . ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，08．对于任意实数，符号[]表示的整数部分，即[]是不超过的最大整数，例[2]=2； []=2；[]=, 这个函数[]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有开始1S =结束3i =1000?S ≥i输出2i i =+*S S i=是否广泛的应用。
那么]64[log ]4[log ]3[log ]2[log ]1[log 22222+++++ 的值为( ) A ．21 B ．76C ．264D ．642二、填空题( 每小题5分，共30分)9．在△ABC 中∠A=60°，b=1，S △ABC =，则=________.10. 为了调查某班学生做数学题的基本能力，随机抽查了部分学生某次做一份满分为100分的数学试题，他们所得分数的分组区间为，，，由此得到频率分布直方图如右上图，则这些学生的平均分为 .11. 已知，则不等式的解集是12. 设等差数列的前项和为，若，则的最大值为_______.13. 设点为坐标原点，,且点坐标满足 ，则的最大值为 。
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遵义四中2018届高二第一学期期末测试数学（理科）（满分：150分 时间：120分钟）一、选择题1. 双曲线8222=-y x 的实轴长是（ ）A ．2B ．22C ．4D ．422.已知命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋1<0，则 ( )A ．¬p ：∀x ∈R ，x 2＋1>0B ．¬p ：∃x ∈R ，x 2＋1>0C ．¬p ：∀x ∈R ，x 2＋1≥0D ．¬p ：∃x ∈R ，x 2＋1≥03．某单位有职工75人，其中青年职工35人，中年职工25人，老年职工15人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本容量为15，则样本中的青年职工人数为 ( )A ．7B ．5C ．3D ．10 4. 抛物线24x y =的焦点坐标是( )A.()10，B.⎪⎭⎫⎝⎛1610， C.()01， D.⎪⎭⎫⎝⎛0161， 5.在如图所示的“茎叶图”表示的数据中，众数和中位数分别是（ ）.A ．23与26B ．31与26C ．24与30D ．26与306.“73<<m ”是“方程13722=-+-m y m x 的曲线是椭圆”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分条件又不必要条件7.为了研究学生性别与是否喜欢数学课之间的关系，得到列联表如下： 喜欢数学 不喜欢数学 总计 男 40 80 120 女 40 140 180 总计80220300并经计算： 4.5452≈K)(2k K P ≥0.100 0.050 0.010 0.001 k2.7063.8416.63510.828请判断有（ ）把握认为性别与喜欢数学课有关.A ．5％B ．0099.9C ．0099D ．0095 8．阅读右面的程序框图，若输入的n 是100，则输出的变量S 的值是( )A ．5 049B ．5 050C ．5 051D ．5 0529.点P 在边长为1的正方形ABCD 内运动，则动点P 到顶点A 的距离1||<PA 的概率为（ ）A ．41B ．21C ．4πD ．π10.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，4AB =,16AA =.若E ，F 分别是棱1BB ，1CC 上的点，且1BE B E =，1113C F CC =，则异面直线1A E 与AF所成角的余弦值为（ ）A ．3 B ．2 C ．3 D ．2 11. 已知,A B 分别为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右顶点， P 是C 上一点，且直线,AP BP 的斜率之积为2，则C 的离心率为（ ）A.2B.3C.5D.6 12.设A ，B 在圆221x y +=上运动，且||3AB =，点P 在直线34120x y +-=上运动，则PB PA +的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．175 D ．195二、填空题13. 某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段： [40，50），[50，60），…，[90，100]后得到频率分布直方图（如下图所示），则分数在[70，80）内的人数是 ．14.从1,2,3,4,5,6这6个数字中，任取2个数字相加，其和为偶数的概率是________．15. 点P 是椭圆191622=+y x 上一点，21,F F 分别是椭圆的左、右焦点，若12||||21=PF PF ，则21PF F ∠的大小 .16.已知点P 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>右支上的一点，点12,F F 分别为双曲线的左、右焦点，双曲线的一条渐近线的斜率为3，若M 为12PF F ∆的内心，且1212PMF PMF MF F S S S λ∆∆∆=+，则λ的值为 ．三、解答题17.（本题满分10分）设数列{}n a 满足：11=a ,121+=+n n a a .（1）证明:数列{1}n a +为等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式； （2）求数列(){}1+⋅n a n 的前n 项和n T .18.（本题满分12分）已知函数()23sin cos cos 2f x x x x =-，x R ∈. （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，若()2f A =，4C π=，2c =，求ABC ∆的面积ABC S ∆的值.19.（本题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ABCD⊥底面，底面ABCD 为直角梯形，//,90,AD BC BAD ∠=︒22PA AD AB BC ====，M 为PB 的中点，平面ADM 交PC 于N 点.（1）求证：//MN BC ； （2）求证：PB DN ⊥；（3）求二面角P DN A --的余弦值.20.（本题满分12分）一台机器使用时间较长，但还可以使用．它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有转速x (转/秒) 16 14 12 8 每小时生产有 缺点的零件数y (件)11985(1)用相关系数r 对变量y 与x 进行相关性检验； (2)如果y 与x 有线性相关关系，求线性回归方程；(3)若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件最多为10个，那么，机器 的运转速度应控制在什么范围内？(结果保留整数) 参考数据：43841=∑=ii i yx ，660412=∑=i i x ，291412=∑=i i y ，25.62656.25≈.参考公式：相关系数计算公式 ：∑∑∑==-=---⋅---=ni ni i ini i iy y x xy y x xr 11221)()())((回归方程ax b y ˆ+=∧∧中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ∑∑=-=--∧---=ni ini i ix xy y x xb 121)())((， -∧∧∧-=x b y a .21.（本题满分12分）已知平面内一动点M 到点)01(，F 距离比到直线3-=x 的距离小2. 设动点M 的轨迹为C . （1）求曲线C 的方程；（2）若过点F 的直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，过点B 作直线：1-=x 的垂线，垂足为D ，设),(11y x A ， ),(22y x B .求证：①121=⋅x x ，421-=⋅y y ； ②A 、O 、D 三点共线 (O 为坐标原点).22.（本题满分12分）已知椭圆C :12222=+by a x )0(>>b a 的离心率为22，左焦点为(1,0)-F ，过点(0,2)D 且斜率为k 的直线l 交椭圆于,A B 两点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）在y 轴上，是否存在定点E ，使AE BE ⋅恒为定值？若存在，求出E 点的坐标和这个定值；若不存在，说明理由．遵义四中2018届高二第一学期期末测试数学（理科）参考答案1—A BB B DA C DBD 13.30 14.52 15.︒60 16.21 17.解析：（1）证明：()()1121121n n n a a a ++=++=+于是()112*1n n a n N a ++=∈+ ……4分即数列{1}n a +是以2为公比的等比数列. 因为()111122n n n a a -+=+⋅=，所以21n n a =-……6分 （2）1231222322n n T n =⋅+⋅+⋅++⋅ ①2n T = 2311222(1)22n n n n +⋅+⋅++-⋅+⋅ ② ……8分①-②得1231121212122n n n T n +-=⋅+⋅+⋅++⋅-⋅ ……10分12(12)212n n n +-=-⋅-12(1)2n n +=---⋅故1(1)22n n T n +=-⋅+……12分18.解（1）∵()cos cos 2f x x x x =-，x R ∈， ∴()2sin(2)6f x x π=-， ……3分由222262k x k πππππ-≤-≤+，k Z ∈，解得63k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈.∴函数()f x 的单调递增区间是[]63k k ππππ-+，，k Z ∈.……6分 （2）∵在ABC ∆中，()2f A =，4C π=，2c =，∴2sin(2)26A π-=，解得3A k ππ=+，k Z ∈.又0A π<<，∴3A π=. ……8分依据正弦定理，有sinsin34a c ππ=，解得a =……9分∴512B AC ππ=--=，……10分∴116sin 26224ABC S ac B ∆+===……12分 19.证明：（1）因为底面ABCD 为直角梯形， 所以//BC AD .因为,,BC ADNM AD ADNM ⊄⊂平面平面所以//BC ADNM 平面. ……2分 因为,BC PBC PBCADNM MN ⊂=平面平面平面，所以//MN BC . ……3分 （2）因为,M N 分别为,PB PC 的中点，PA AB =，所以PB MA ⊥. ……4分 因为90,BAD ∠=︒ 所以DA AB ⊥.因为PA ABCD ⊥底面， 所以DA PA ⊥.因为PAAB A =，所以DA PAB ⊥平面. 所以PB DA ⊥. ……6分 因为AMDA A =，所以PB ADNM ⊥平面因为DN ADNM ⊂平面，所以PB DN ⊥. ……7分（3）如图，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A xyz -.则(0,0,0),(2,0,0),(2,1,0),(0,2,0),(0,0,2)A B C D P .由（II ）可知，PB ADNM ⊥平面，所以ADNM 平面的法向量为(2,0,2)BP =-. ……9分 设平面PDN 的法向量为(,,)x y z =n 因为(2,1,2)PC =-，(0,2,2)PD =-,所以00PC PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n .即220220x y z y z +-=⎧⎨-=⎩.令2z =，则2y =，1x =.所以(1,2,2)=n ……11分 所以2cos ,223BP BP BP⋅〈〉===⨯n n n . 所以二面角P DN A --的余弦值为26. ……12分z yxPABCDM N20.解 (1)x ＝12.5，y ＝8.25， 4x y ＝412.5， ……2分所以r ＝∑4i ＝1xiyi －4x y(∑4i ＝1x 2i －4x 2)(∑4i ＝1y 2i －4y 2)＝438－412.5(660－625)×(291－272.25)＝25.5656.25≈25.525.62≈0.995. ……4分因为r >0.75，所以y 与x 有很强的线性相关关系． ……5分(2)b ^＝∑4i ＝1x i y i －4x y∑4i ＝1x 2i －4x2≈0.728 6， ……7分a ^＝y －b ^x ＝8.25－0.728 6×12.5＝－0.857 5，∴所求线性回归方程为y ^＝0.728 6x －0.857 5. ……9分(3)要使y ^≤10⇒0.728 6x －0.857 5≤10， 所以x ≤14.901 9≈15.所以机器的转速应控制在15转/秒以下． ……12分21.解：（1）由题意可知：动点M 到点)01(，F 距离与到直线1-=x 的距离相等， 根据抛物线的定义，动点M 的轨迹是以)01(，F 为焦点，1-=x 为准线的抛物线， 所以动点M 的轨迹方程为x y 42= ……6分（2）联立直线与抛物线的方程，可得121=⋅x x ，421-=⋅y y ……9分设),4(121y y A ，),4(222y y B ，则),1(2y D -，04121=+=-y y y k k OD AO ， 所以A 、O 、D 三点共线. ……12分 得由的方程为的直线且斜率为设过点分 所求的椭圆方程为，解得由已知可得解：.068)21(212.2)2,0(D )2(4121,2122)1(22.22222222=+++⎪⎩⎪⎨⎧+==++=⋯⋯=+==⎪⎩⎪⎨⎧==kx x k kx y y x kx y l k y x b a c a c1122(,),(,)A x y B x y ，则12122286,1212k x x x x k k +=-=++．……6分 又2212121212224(2)(2)2()421k y y kx kx k x x k x x k -=++=+++=-+，12121224(2)(2)()421y y kx kx k x x k +=+++=++=+． ……8分设存在点(0,)E m ，则11(,)AE x m y =--，22(,)BE x m y =--， 所以2121212()AE BE x x m m y y y y ⋅=+-++124212412622222+--+⋅-++=k k k m m k 2222(22)41021m k m m k -+-+=+，……10分要使得AE BE t ⋅=(t 为常数)，只要2222(22)41021m k m m t k -+-+=+， 从而222(222)4100m t k m m t --+-+-=，即222220, (1)4100, (2)m t m m t ⎧--=⎪⎨-+-=⎪⎩ ……11分由（1）得21t m =-， 代入（2）解得114m =，从而10516t =，故存在定点11(0,)4E ，使AE BE 恒为定值10516． ……12分。