高考数学 重点 难点 核心考点全演练 专题06 三角恒等变换与解三角形

专题06 三角恒等变换与解三角形

2014高考对本内容的考查主要有：

(1)两角和(差)的正弦、余弦及正切是C 级要求，二倍角的正弦、余弦及正切是B 级要求，应用时要适当选择公式，灵活应用．

(2)正弦定理、余弦定理及其应用，要求是B 级，能够应用定理实现三角形中边和角的转化，以及应用定理解决实际问题．

试题类型一般是填空题，同时在解答题中与三角函数、向量等综合考查，构成中档题.

2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α.

(2)cos 2α＝cos 2

α－sin 2

α＝2cos 2

α－1＝1－2sin 2

α. (3)tan 2α＝2tan α

1－tan 2

α. 3．正弦定理

a sin A ＝

b sin B ＝c

sin C

＝2R (2R 为△ABC 外接圆的直径)．

变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C . sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c

2R

.

a ∶

b ∶

c ＝sin A ∶sin B ∶sin C .

4．余弦定理

a 2＝

b 2＋

c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .

推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 2

2ac

，

cos C ＝a 2＋b 2－c 2

2ab

.

5．三角形面积公式

S △ABC ＝1

2bc sin A ＝12ac sin B ＝12

ab sin C .

6．三角恒等变换的基本思路

(1)“化异为同”，“切化弦”，“1”的代换是三角恒等变换的常用技巧．如1＝cos 2

θ＋sin 2

θ＝tan 45°等．

“化异为同”是指“化异名为同名”，“化异次为同次”，“化异角为同角”． (2)角的变换是三角变换的核心，如β＝(α＋β)－α，2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＋β2

＝? ?

?

?

?α－β2－?

??

??α2－β等．

7．解三角形的四种类型及求解方法 (1)已知两角及一边，利用正弦定理求解．

(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一． (3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解． (4)已知三边，利用余弦定理求解． 8．利用解三角形的知识解决实际问题的思路

把实际问题中的要素归入到一个或几个相互关联的三角形中，通过解这样的三角形即可求出实际问题

的答案．注意要检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，从而得出正确结果.

考点1、三角变换及应用

【例1】 (1)已知0<β<π2<α<π，且cos ? ????α－β2＝－19，sin ? ????α2－β＝2

3

，求cos(α＋β)的值；

(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－1

7

，求2α－β的值．

＝? ????－19×53

＋459×23＝7527，

∴cos(α＋β)＝2cos

2

α＋β

2－1＝2×49×5729－1＝－239

729

.

【规律方法】

(1)要仔细观察分析所求角与已知条件的关系，灵活使用角的变换，如α＝(α＋β)－β，α＝α＋β

2

＋

α－β

2

等．

(2)由于三角函数的多值性，故要对角的范围进行讨论，确定并求出限定范围内的角．

【变式探究】 (2013·广东卷)已知函数f (x )＝2cos ? ????x －π12，x ∈R .

(1)求f ? ??

??－π6的值； (2)若cos θ＝35，θ∈? ????3π2，2π，求f ?

????2θ＋π3.

∴sin 2θ＝2sin θcos θ＝－2425，cos 2θ＝2cos 2

θ－1＝－725，

∴f ? ????2θ＋π3＝cos 2θ－sin 2θ＝－725＋2425＝1725.

考点2、正、余弦定理的应用

【例2】△ABC 的面积是30，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos A ＝12

13.

(1)求A B →·A C →

；

(2)若c －b ＝1，求a 的值．

【规律方法】 求解此类问题，一要注意从问题的不断转化中寻求解题的突破口，如求A B →·A C →

，需要求出bc ，由三角形的面积及cos A ，可求出sin A ，二要注意求解本题第(2)问时，应该结合第(1)问中的结论．

【变式探究】 (2013·山东卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝7

9

.

(1)求a ，c 的值； (2)求sin(A －B )的值．

【解析】解 (1)由余弦定理，得

解三角形在实际问题中的应用

【例1】如图，现有一个以∠AOB 为圆心角，湖岸OA 与OB 为半径的扇形湖面AOB .现欲在弧AB 上取不同于A 、B 的点C ，用渔网沿着弧AC (弧AC 在扇形AOB 的弧AB 上)，半径OC 和线段CD (其中CD ∥OA )，在该扇形湖面内隔出两个养殖区域——养殖区域Ⅰ和养殖区域Ⅱ.若OA ＝1 km ，∠AOB ＝π

3

，∠AOC ＝θ.

(1)用θ表示CD 的长度；

(2)求所需渔网长度(即图中弧AC 、半径OC 和线段CD 长度之和)的取值范围．

【规律方法】应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步：

(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等；

(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；

(3)将所求问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关知识正确求解．

(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．

【变式探究】某单位设计一个展览沙盘，现欲在沙盘平面内，布设一个对角线在l上的四边形电气线路，如图所示，为充分利用现有材料，边BC，CD用一根5米长的材料弯折而成，边BA，AD用一根9米长的材料弯折而成，要求∠A和∠C互补，且AB＝BC，

(1)设AB＝x米，cos A＝f(x)，求f(x)的解析式，并指出x的取值范围．

(2)求四边形ABCD面积的最大值．

【解析】解(1)在△ABD中，由余弦定理得

BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos A.

同理，在△CBD中，BD2＝CB2＋CD2－2CB·CD·cos C.