小学奥数周期问题

周期问题

典型例解

[例1]把围棋里的黑白棋子按一定的规律排列着，其中第90颗是什么棋？第101颗是什么棋？

●●○●●○●●○…

【分析】仔细观察图中棋的排列，不难发现棋的排列规律是：2颗黑棋，1颗白棋，2颗黑棋，1颗白棋，也就是按“两颗黑棋，一颗白棋”的次序循环出现，因此，这道题的周期为3。 再看看90,101里包含有几个这样的周期，若正好有整数个周期，结果为周期里的最后一个，若是有整数个周期多几个，结果就为下一个周期里的第几个。

解答 90÷3=30，正好有30个周期。

101÷3=33……2，有33个周期还多2个。

所以，第90颗棋是白棋，第101颗棋是黑棋。

答：第90颗是白棋，第101颗是黑棋

[举一反三1]

①有一列数:5、6、2、4、5、6、2、4…第129个数是多少？

②有同样大小的黑、白、红珠子共180个，按5个红珠，4个白珠，3个黑珠排列，第158个珠子是什么颜色？这158个珠子中有多少个黑珠？

③△△○△△○△△○…其中第99个是什么图形？

[例2]

7

20277777⨯⨯⨯⨯⨯⨯积的个位数字是几？

相乘为1个周期。202个7相乘中含有多少个这样的周期？余数是几？如果余数是1，那么积的个位数字是7；如果余数是2，那么积的个位数字是9；如果余数是3，那么积的个位数字是3；如果没有余数，那么积的个位数字是1。

[解答]202÷4=50（周）……2（个）

答：202个7连乘，积的个位数字是9。

[举一反三2]

①

2

100122222个⨯⨯⨯⨯的积的个位数字是几?

②

4

2003444个⨯⨯⨯积的个位数字是几？

③

9

201199999个⨯⨯⨯⨯⨯的积的个位数字是几？

[例3]25÷74的商的小数点后面第80位是几？小数点后面前80个数字之和是多少？

[分析]先找出25÷74的商，25÷74=0.3378378378…，从小数点后第二个数字开始，3,7,8这三个数字依次重复不断地出现，即循环节有三个数字组成：3,7,8，即25÷74=0.3378,显然这道题的周期是3(3,7,8)。

（1）要求小数点后第80位数字，先去掉第一个数字，还剩下80—1=79（个）数字，再算一算79个数字里有几个这样的周期；79÷3=26……1，则小数点后面第80个数字是“3”。

（2）小数点后面前80个数字之和应由三部分组成；第一个数字3,26个周期中的数字和，最后一个数字3，把这三部分加起来，即可求得小数点后面80个数字之和。

[解答]（1）这道题的周期是3（3,7,8）

80—1=79（个）

79÷3=26 (1)

所以，小数点后第80位数字是3。

（2）小数点后面前80个数字之和。

3＋（3＋7＋8）×26＋3

=3＋468＋3

=474

答：小数点后面第80位数字是3，小数点后面前80个数字之和是474。

[举一反三3]

①2÷13的商的小数点后面第2005位上的数字是多少？

②2÷7的商的小数点后面第2000位上的数字是多少？

③4÷7的商的小数点后面第2011位上的数字是多少？

[例4]有一个1111位数，各位数字都是1，这个数除以6，余数是几？商的末位数字是几？

的末位数字的周期为3（1，8，5）。

[解答]（1）1111÷3=370 (1)

（2）（1111—1）÷3=370

所以，这个数除以6的余数是1，商的末位数字是5。

[举一反三4]

①

5

300855555个÷，余数是几，商的末位数是几？

②7222222

2006÷

个的余数是几，商的末位数是几？

③有一个2005位数，个位数字都是1，这个数除以6的余数是多少？

[例5]有一根200厘米长的绳子上，自左至右每隔6厘米染一个红点，同时自右向左每隔5厘米也染一个红点，然后沿红点处将绳子逐段剪短。长度是1厘米的短绳子有多少根？

[分析]两种染色方法的方向不同，若能将两种染色方法统一，则容易找出染色的规律。因为200被5整除，所以不管按哪种方向染色，两种染色结果都相同。因此我们可以看作两次都是自左向右染色。6和5的最小公倍数是30，即在30,60，90,120,150,180的地方同时染色，所

以30厘米为一个周期，每一周期的染色情况如下图所示：

从上图可以看出：一个周期内有2根长度是1厘米的绳子，200里面有6个周期还多20厘米，最后20厘米中有1根长度是1厘米的绳子。

[解答]这道题的周期是30厘米。

200÷30=6 (20)

2×6＋1

=12＋1

=13（根）

答：长度是1厘米的短绳子有13根。

[举一反三5]

①张华在一根长80米的木棍上，从左到右每隔3米染上一个红点，从右到左每隔5米染上一个红点，然后沿红点将木棍切开，那么，长度是2的短木棒有多少根？

②李健在一根长60分米的彩带上，从左到右每隔3分米染上一个红点，同时从右到左每隔4分米染上一个红点，然后沿红点将彩带剪开，一共有多少根短彩带？

③在一根肠110厘米的木棍上，从左到右每隔4厘米染上一个红点，同时从右到左每隔5厘米染上一个红点，然后沿红点将木棍逐段锯开，那么，长度是1厘米的短木棍有多少根？

【整合集训】

①有同样大小的红、白、黑珠子共90个，按先3个红的后2个白的，再1个黑的顺序排列。其中白珠子有多少个？第68个珠子是什么颜色？