高中数学复习笔记

一、函数图象

1、对称：

y=f（x）与y=f（-x）关于y轴对称，例如：

与（）关于y轴对称

y=f（x）与y= —f（x）关于x轴对称，例如：

与关于x轴对称

y=f（x）与y= —f（-x）关于原点对称，例如：

与关于原点对称

y=f（x）与y=f（x）关于y=x对称，例如：

y=10与y=lgx关于y=x对称

y=f（x）与y= —f（—x）关于y= —x对称，如：y=10与y= —lg（—x）关于y= —x对称注：偶函数的图象本身就会关于y轴对称，而奇函数的图象本身就会关于原点对称，例如：

图象本身就会关于y轴对称，的图象本身就会关于原点对称。

y=f（x）与y=f（a—x）关于x=对称（）

注：求y=f（x）关于直线x y c=0（注意此时的系数要么是1要么是-1）对称的方程，只需由x y+c=0解出x、y再代入y=f（x）即可，例如：求y=2x+1关于直线x-y-1=0对称的方程，可先由x-1=2（y+1）整理即得：x-2y-3=0

2、平移：

y=f（x）y= f（x+）先向左（>0）或向右（<0）平移||个单位，再保持纵坐标不变，横坐标压（x）则先保持纵坐标不变，横坐标压缩或伸长为原来的倍，再将整个图象向右（>0）或向左（<0）平移||个单位，即与原先顺序相反）

y=f（x）y= f先保持纵坐标不变，横坐标压缩或伸长为原来的||倍，然后再将整个图象向左（>0）或向右（<0）平移||个单位，（反之亦然）。

3、必须掌握的几种常见函数的图象

1、二次函数y=a+bx+c（a）（懂得利用定义域及对称轴判断函数的最值）

2、指数函数（）（理解并掌握该函数的单调性与底数a的关系）

3、幂函数（）（理解并掌握该函数的单调性与幂指数a的关系）

4、对数函数y=log x（）（理解并掌握该函数的单调性与底数a的关系）

5、y=（a为正的常数）（懂得判断该函数的四个单调区间）

6、三角函数y=sinx、y=cosx、y=tanx、y=cotx（能根据图象判断这些函数的单调区间）

注：三角中的几个恒等关系

sin x+ cos x=1 1+tan x=sec x 1+cot x=csc x tanx=1

利用函数图象解题典例

已知分别是方程x +10=3及x+lgx=3的根，求：

分析：x +10=3可化为10=3—x，x+lgx=3可化为lgx=3—x，故此可认为是曲线

y=10、y= lgx与直线y=3—x的两个交点，而此两个交点关于y=x对称，故问题迎刃而解。

答案：3

4、函数中的最值问题：

1、二次函数最值问题

结合对称轴及定义域进行讨论。

典例：设a∈R，函数f（x）=x2+|x－a|+1，x∈R，求f（x）的最小值．

考查函数最值的求法及分类讨论思想．

【解】（1）当x≥a时，f（x）=x2+x－a+1=（x+）2－a+

若a≤－时，则f（x）在［a，+∞］上最小值为f（－）=－a

若a>－时，则f（x）在［a，+∞）上单调递增

=f（a）=a2+1

min

（2）当x≤a时，f（x）=x2－x+a+1=（x－）2+a+

若a≤时，则f（x）在（－∞，单调递减，f min=f（a）=a2+1

当a>时，则f（x）在（－∞，上最小值为f（）=+a

综上所述，当a≤－时，f（x）的最小值为－a

当－≤a≤时，f（x）的最小值为a2+1

当a>时，f（x）的最小值为+a

2、利用均值不等式

典例：已知x、y为正数，且x=1，求x的最大值

分析：x==（即设法构造定值x=1）==故最大值为

注：本题亦可用三角代换求解即设x=cos，=sin求解，（解略）

3、通过求导，找极值点的函数值及端点的函数值，通过比较找出最值。

4、利用函数的单调性

典例：求t的最小值（分析：利用函数y=在（1，+）的单调性求解，解略）

5、三角换元法（略）

6、数形结合

例：已知x、y满足x，求的最值

5、抽象函数的周期问题

已知函数y=f（x）满足f（x+1）= —f（x），求证：f（x）为周期函数

证明：由已知得f（x）= —f（x —1），所以f（x+1）= —f（x）= —（—f（x —1））

= f（x —1）即f（t）=f（t —2），所以该函数是以2为最小正周期的函数。

解此类题目的基本思想：灵活看待变量，积极构造新等式联立求解

二、圆锥曲线

1、离心率

圆（离心率e=0）、椭圆（离心率0

e>1）。

2、焦半径

椭圆：PF=a+ex、PF=a-ex（左加右减）（其中P为椭圆上任一点，F为椭圆左焦点、F为椭圆右焦点）

注：椭圆焦点到其相应准线的距离为

双曲线：PF= |ex+a|、PF=| ex-a|（左加右减）（其中P为双曲线上任一点，F

为双曲线左焦点、F为双曲线右焦点）

注：双曲线焦点到其相应准线的距离为

抛物线：抛物线上任一点到焦点的距离都等于该点到准线的距离（解题中常用）

圆锥曲线中的面积公式：（F、F为焦点）

设P为椭圆上一点，=，则三角形F PF的面积为：b

注：|PF| |PF|cos=b为定值

设P为双曲线上一点，=，则三角形F PF的面积为：b

注：|PF| |PF|sin=b为定值

附：三角形面积公式：

S=底高=absinC==r（a+b+c）=（R为外接圆半径，r为内切圆半径）=（这就是著名的海伦公式）

三、数列求和

裂项法：若是等差数列，公差为d（）则求时可用裂项法求解，即=（）=

求导法：（典例见高三练习册p86例9）

倒序求和：（典例见世纪金榜p40练习18）

分组求和：求和：1-2+2-4+3-8+4-16+5-32+6-…分析：可分解为一个等差数列和一个等比数列然后分组求和

求通项：构造新数列法典例分析：典例见世纪金榜p30例4——构造新数列即可

四、向量与直线

向量（a，b），（c，d）垂直的充要条件是ac+bd=0

向量（a，b），（c，d）平行的充要条件是ad—bc=0

附：直线A x+B y+C=0与直线A x+B y+C=0垂直的充要条件是A A+ B B=0 直线A x+B y+C=0与直线A x+B y+C=0平行的充要条件是A B-A B=0

向量的夹角公式：

cos=

注1：直线的“到角”公式：到的角为tan=；“夹角”公式为tan=||

（“到角”可以为钝角，而“夹角”只能为之间的角）

注2：异面直线所成角的范围：（0，]

注3：直线倾斜角范围[0，）

注4：直线和平面所成的角[0，]

注5：二面角范围：[0，]

注6：锐角：（0，）

注7：0到的角表示（0，]

注8：第一象限角（2k，2k+）

附：三角和差化积及积化和差公式简记

S + S = S C

S + S = C S

C + C = C C

C — C = — S S

五、集合

1、集合元素个数的计算

card（A）=card（A）+ card（B）+ card（C）—card（A）—card（）—card（C A）速）

2、从集合角度来理解充要条件：若A B，则称A为B的充分不必要条件，（即小的可推出大的）此时B为A的必要不充分条件，若A=B，则称A为B的充要条件

经纬度

六、二项展开式系数：

C+C+C+...C=2（其中C+ C+ C+...=2；C+C+ C+ (2)

例：求（2+3x）展开式中

1、所有项的系数和

2、奇数项系数的和

3、偶数项系数的和

方法：只要令x为1或—1即可

七、离散型随机变量的期望与方差

E（a+b）=aE+b；E（b）=b

D（a+b）=a D；D（b）=0

D=E—（E）

特殊分布的期望与方差

（0、1）分布：期望：E=p；方差D=pq

二项分布：期望E=np；方差D=npq

注：期望体现平均值，方差体现稳定性，方差越小越稳定。

八、圆系、直线系方程

经过某个定点（）的直线即为一直线系，可利用点斜式设之（k为参数）

一组互相平行的直线也可视为一直线系，可利用斜截式设之（b为参数）

经过圆f（x、y）与圆（或直线）g（x、y）的交点的圆可视为一圆系，可设为：

f（x、y）+g（x、y）=0（此方程不能代表g（x、y）=0）；或f（x、y）+g（x、y）=0 （此方程不能代表f（x、y）=0）

附：回归直线方程的求法：设回归直线方程为＝bx＋a，则b＝

a＝－b