新教材数学人教A数学必修第二册配套学案：8.3.2第1课时圆柱圆锥圆台的表面积和体积

8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体

积

第1课时圆柱、圆锥、圆台的表面积和体

积

学习目标核心素养

1.通过对圆柱、圆锥、圆台的研究，掌

握圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积的

求法．(重点)

2.会求与圆柱、圆锥、圆台有关的组合

体的表面积与体积．(难点、易错点)

1.借助圆柱、圆锥、圆台的表面积、体

积的计算，培养数学运算素养.

2.通过对圆柱、圆锥、圆台的体积的探

究，提升逻辑推理的素养.

如图是工厂生产的各种金属零件，被广泛应用于工业

领域的各个方面．

问题：(1)如果已知制作零件的金属的密度，如何求出

这些零件的质量？

(2)如图所示的零件都是旋转体，其侧面都是曲面，如何求其表面积？

1．圆柱、圆锥、圆台的表面积

圆柱

底面积：S

底

＝πr2

侧面积：S

侧

＝2πrl

表面积：S＝2πrl＋2πr2

圆锥

底面积：S

底

＝πr2

侧面积：S

侧

＝πrl

表面积：S＝πrl＋πr2

圆台

上底面面积：S

上底

＝πr′

2

下底面面积：S

下底

＝πr2

侧面积：S

侧

＝πl(r＋r′)

表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)

2.圆柱、圆锥、圆台的体积公式

V圆柱＝πr2h(r是底面半径，h是高)，

V圆锥＝

1

3πr

2h(r是底面半径，h是高)，

V圆台＝

1

3πh(r

2＋r′r＋r′2)(r′、r分别是上、下底面半径，h是高)．

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)圆柱的表面积就是侧面积．()

(2)在一个圆锥中，母线长度不一定相同．()

(3)圆台是用平行于底面的平面截圆锥得到的．()

[答案](1)×(2)×(3)√

2．圆柱的侧面展开图是长12 cm，宽8 cm的矩形，则这个圆柱的体积为() A．

288

πcm

3B．

192

πcm

3

C．

288

πcm

3或

192

πcm

3D．192π cm3

C[圆柱的高为8 cm时，V＝π×⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

12

2π

2

×8＝

288

πcm

3，当圆柱的高为12 cm时，

V＝π×⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

8

2π

2

×12＝

192

πcm

3.]

3．圆台的上、下底面半径分别为3和4，母线长为6，则其表面积等于() A．72 B．42π

C．67πD．72π

C[表面积S＝π(3＋4)×6＋π×32＋π×42＝67π.]

圆柱、圆锥、圆台的表面积

积的比是( )

A ．1＋2π2π

B ．1＋4π4π

C ．1＋2ππ

D ．1＋4π2π

(2)已知圆台的上、下底面半径分别是2,6，且侧面面积等于两底面面积之和． ①求圆台的母线长； ②求圆台的表面积．

(1)A [设圆柱底面半径为r ，则高为2πr ， 表面积∶侧面积＝[(2πr )2

＋2πr 2

]∶(2πr )2

＝1＋2π2π.]

(2)[解] ①设圆台的母线长为l ，则由题意得 π(2＋6)l ＝π×22＋π×62， ∴8πl ＝40π，∴l ＝5， ∴该圆台的母线长为5. ②由①可得圆台的表面积为 S ＝π×(2＋6)×5＋π·22＋π×62 ＝40π＋4π＋36π ＝80π.

圆柱、圆锥、圆台的表面积的求解步骤,解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题，要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图，借助于平面几何知识，求得所需几何要素，代入公式求解即可，基本步骤如下：

(1)得到空间几何体的平面展开图. (2)依次求出各个平面图形的面积. (3)将各平面图形的面积相加.

[跟进训练]

1．轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的( )

A ．4倍

B ．3倍

C ．2倍

D ．2倍

D [由已知得l ＝2r ，S 侧S 底

＝πrl πr 2＝l

r ＝2，故选D ．]

圆柱、圆锥、圆台的体积

比是( )

A ．1∶1

B ．1∶6

C ．1∶7

D ．1∶8

C [如图，设圆锥底半径OB ＝R ，高PO ＝h ， ∵O ′为PO 中点，∴PO ′＝h 2， ∵O ′A OB ＝PO ′PO ＝12，∴O ′A ＝R 2， ∴V 圆锥PO ′＝13π·⎝ ⎛⎭⎪⎫R 22·h

2

＝1

24πR 2h .

V 圆台O ′O ＝π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫R 22＋R 2＋R 2·R ·

h 2＝724πR 2

h . ∴V 圆锥PO ′V 圆台O ′O

＝1

7，故选C ．]

求圆柱、圆锥、圆台的体积的关键是求其底面面积和高，其中高一般利用几何体的轴截面求得，一般是由母线、高、半径组成的直角三角形中列出方程并求解.