1.质点动力学基本方程

v0 , 0 待求
代入初始条件得 : c1 v0 cos 0 ,c2 v0 sin0 ,c3 c4 0 则运动方程为 : x v0tcos 0 , y v0tsin0 1 gt2 2 约束条件： t 瞬时 , M A , vx v0cos 0 , v y 0,
匀速转动，筒内铁球由筒壁上的凸棱带着上升。为了 使小球获得粉碎矿石的能量，铁球应在 0 掉下来。求滚筒每分钟的转数n 。
已知:匀速转动。 0 时小球掉下。 求:转速n.
v2 解：研究铁球 m FN mg cos R n 其中 v R 30
当 0时, FN 0, 解得
2 2
0 tg 1
v0 sin 0 2H tg 1 31 v0 cos 0 s
则轨迹方程为: x0 1 y xt g 0 g 2 2 v0 cos2 0
2
例3 发射火箭，求脱离地球引力的最小速度。 解：属于已知力是位置的函数的第二类问题。
取火箭(质点)为研究对象, 建立坐标如图示。 火箭在任意位置x 处受地球引力F 的作用。
标原点,滑块B 的运动方程可近似写为
2 x l 1 4 r cos t 4 cos 2 t
如滑块的质量为m, 忽 略摩擦及连杆AB的质量,试
求当 t 0和 时 , 2 连杆AB所受的力.

已知: 常量, OA r , AB l , m。 设 r l 1 2 则 x l 1 r cos t cos 2 t
mM F f 2 x mM mg f R2 m gR2 F x2
mgR2 dx2 建立质点运动微分方程 m 2 2 dt x dvx mgR2 d 2 x dvx dvx dx v x dvx 2 ( 2 ) 即： mvx dx x dt dt dx dt dx
对变力建立力的表达式）。
③正确进行运动分析。
除应分析质点的运动特征外，还要确定 出其运动初始条件。
④选择并列出适当的质点运动微分方程。
⑤求解未知量。应根据力的函数形式决定如何积分，并利用运
动的初始条件，求出质点的运动。 如力是常量或是时间及速度函数时， dv 可直接分离变量 dt 积分 。 如力是位置的函数，需进行变量置换
g n 9.549 cos 0 R
g 当 n 9.49 时, 球不脱离筒壁。 R
课堂练习. 桥式起重机跑车吊挂一重为G的重物，沿水平横梁作
匀速运动，速度为 v0 ，重物中心至悬挂点距离为L。突然刹车， 重物因惯性绕悬挂点O向前摆动，求钢丝绳的最大拉力。
解：①选重物(抽象为质点)为研究对象
不变的质点组成。又称为不变质点系。
三.动力学分类: 质点动力学
质点系动力学
质点动力学是质点 系动力学的基础。
四.动力学的基本问题：大体上可分为两类： 第一类：已知物体的运动情况，求作用力；
第二类：已知物体的受力情况，求物体的运动。 综合性问题：已知部分力，部分运动求另一部分力、部分运动。
已知主动力，求运动，再由运动求约束反力。
理论力学
第六章
质点动力学
§6–1 惯性参考系中的质点动力学 §6–2 非惯性参考系中的质点动力学
§6-1
惯性参考系中的质点动力学
一.惯性参考系 1.一般工程问题：固定于地面或相对于地面作匀速直线平动； 2.人造卫星、洲际导弹问题：地心为原点，三轴指向三个恒星； 3.天体运动问题：太阳为中心、三轴指向三个恒星。 二.牛顿定律 1.第一定律（惯性定律）： 2.第二定律（力与加速度之间的关系定律）： (ma F ) 3.第三定律（作用与反作用定律）：
x S, y H
由
得
dy v0 sin 0 gt 0, dt v0 sin 0
g
t
将到达A点时的时间t, x=S, y=H 代入运动方程，得
v0 cos 0
sg 2 gH
v0 sin0 2gH
发射初速度大小与初发射角 0 为
g 2s2 v0 (v0 cos 0 ) (v0 sin 0 ) 2 gH 10.5 m/s 2 gH
理论力学
动 力 学
动力学：研究物体的机械运动与作用力之间的关系。
空气动力学
结构动力学
动力学
超高速碰撞动力学
本篇的基本内容 质点动力学的基本方程
动量定理，质心运动定理
动量矩定理，定轴转动刚体的转动微分方程 刚体的平面运动微分方程 动能定理，机械能守恒定律 动静法－－达朗贝尔原理
当质点相对于动参考系作匀速直线运动时，
F FIe FIC 0
当质点相对于动参考系静止不动时，
F FIe 0
例6 固定在铅垂杆CD上的直管AB绕轴线以匀角速度ω转 动，直管轴线与转动轴成45º 角，管内有一小球由相对静止 状态开始运动。设小球的起始位置到O点的距离为a。忽略 摩擦，求小球沿直管的运动方程。
§6-2
一.基本方程
非惯性参考系中的质点动力学
对于动参考系O’x’y’z’
a a r ae aC
将上式代入牛顿第二定律 F=ma=m(ar+ae+aC) 或表示为 mar=F-mae–maC
令：FIe=-mae，FIC=-maC，分别称为牵连惯性力和科氏 惯性力。 质点相对运动的动力学方程。
得
2
有 得
mr F l r l
2 2 2
F mr
2
2
l r
2
2
这属于动力学第一类问题。
例2 煤矿用填充机进行填充, 为保证充 填材料抛到距离为S=5米,H=1.5米的顶 板A处。求 (1)充填材料需有多大的初速 度v0 ? (2)初速 v0 与水平的夹角0？
解：直角坐标形式 dvx dx c x c1t c3 m 0 1 dt dt 1 2 dv dy y gt c2t c4 m y m g gt c2 2 dt dt 微分方程 积分一次 再积分一次 初始条件： t 0, x0 0, y0 0; v0 x v0 cos 0 , v0 y v0 sin 0 ,
解：取小球为研究对象
质点的相对运动动力学方 程在x’方向的投影式为
2 2 2 1 2 mx m g FIe m g x m 2 2 2 2
x

2
2
x
g 2
该微分方程的解可表示为
x2 x x1
2
2 x 0 的解
2
x 其中x1’为（a）式的齐次方程
c1e x1

t
2
t
百度文库c2 e
x2’为（a）式的非齐次方程的特解
x2
g
2
2
2


2g
2
t
2
t
于是
x2 c1e x x1
c2 e
2

2g
2
根据初始条件t=0, x0 a, x0 0
三.质点的运动微分方程 质点动力学第二定律
或
ma Fi 2 d r m 2 Fi dt
1 、在直角坐标轴上的投影
m
d2 x dt
2
Fx , m
d2 y dt
2
Fy , m
d2 z dt
2
Fz
2、在自然轴上的投影 由
a at an n, ab 0,
v x m gR2 m vx dvx 2 dx x v0 R (t 0时x R,v x v0 )
2 0
则在任意位置时的速度
2 gR 2 v (v 2 gR ) x
2 gR 2 v (v 0 2 gR) x
2
可见，v 随着 x 的增加而减小。若
2 v0 2 gR
, 因此 0时 , T Tmax 其中 ,v为变量. 由1式知 重物作减速运动
2 v0 Tmax G (1 ) gl
[注]①减小绳子拉力途径：减小跑车速度或者增加绳子长度。 ②拉力Tmax由两部分组成, 一部分等于物体重量,称为静拉力 一部分由加速度引起，称为附加动拉力。全部拉力称为动拉力。
dv dv v , 再分离变量积分。 dt ds
例4 一圆锥摆,如图所示。质量m=0.1kg的小 球系于长l=0.3m 的绳上,绳的另一端系在固定点O, 并与铅直线成 60 角。如小球在水平面内作匀 速圆周运动，求小球的速度v与绳的张力。
已知: m 0.1kg, 求: v, F
2
①正确选择研究对象（一般选择联系已知量和待求量的质点）。 ②正确进行受力分析,画出受力图(应在一般位置上进行分析)。 ③正确进行运动分析（分析质点运动的特征量）。 ④选择并列出适当形式的质点运动微分方程（建立坐标系）。 ⑤求解未知量。
第二类问题解题步骤如下：
①正确选择研究对象。 ②正确进行受力分析，画出受力图。 判断力是什么性质的力（应放在一般位置上进行分析，
v2 mat Ft , m Fn , 0 Fb
有
3 、质点动力学的两类基本问题 第一类问题：已知运动求力. 第二类问题：已知力求运动.
混合问题：第一类与第二类问题的混合.
度 转动,OA=r,AB=l,当
例1 曲柄连杆机构如图所示.曲柄OA以匀角速
r / l 比较小时,以O 为坐
虚位移原理
力学模型： 1.质点：具有一定质量而不考虑其形状大小的物体。
例如： 研究卫星的轨道时，卫星
刚体作平动时,刚体 的质点组成的系统。 质点系是力学中最普遍的抽象化模型； 2.质点系：由有限或无限个有着一定联系
质点；
质点。
包括刚体,弹性体,流体。
刚体是一个特殊的质点系，由无数个相互间保持距离
ma r F FIe FIC
质点相对运动微分方程
d r m 2 F FIe FIC dt
2
当非惯性参考系作平动时，
ma r F FIe
当非惯性参考系作匀速直线平动时，
ma r F
即质点的相对运动动力学方程与绝对运动动力学方程完全 相同。
古典力学的相对性原理：在一个系统内部所做的任何力学 试验，都不能确定这一系统是静止的还是在作匀速直线平 动。 也称为伽利略、牛顿相对性原理。
则在某一位置
时，无论x
2 2 gR x=R+H 时速度将减小到零，火箭回落。若 v0
多大（甚至为∞）, 火箭也不会回落。因此脱离地球引力而一 去不返 时（x ）的最小初速度
v0 2 gR 29.8103 6370 11.2 (km/s) （第二宇宙速度）
第一类问题解题步骤和要点：
②受力分析如图所示 ③运动分析，沿以O为圆心, L为半径的圆弧摆动。
④列出自然形式的质点运动微方程
G dv Gsin 1 g dt G v2 ma n Fn , T Gcos 2 g l ma F ,
⑤求解未知量
v2 由 2 式得 T G (cos ), gl

得
a c1 c2 x0
解得
2g

2
0 0 x

2
c1

2
c2
1 2g c1 c2 (a 2 ) 2
求: 0, 解:研究滑块
4


4
2
时杆AB受力F ?

r 2 cos t cos 2 t 其中 ax x
max F cos
当 0时, ax r 1 , 且 0
2
F mr 2 1 当 时, a x r 2 且 cos l 2 r 2 l
l 0.3m, 60
0
匀速
v 解 : 研究小球， m F sin b F cos mg 0
解得
其中
b l sin
mg F 1.96 N cos
v
Fl sin 2 2.1 m s m
这是混合问题。
例5
粉碎机滚筒半径为Ｒ，绕通过中心的水平轴
时才