八年级数学课件-特殊三角形

可以证明，但过程较复 杂，应当多加强等腰三
∴BM=CM
角形的性质和判定定理
（在同一个三角形中等角对等边）的应用。
例3.如图，在等边△ABC中，AF=BD=CE， 请说明△DEF也是等边三角形的理由.
解：∵△ABC是等边三角形
A
∴AC=BC，∠A=∠C
E
∵CE=BD
∴BC－BD=AC－CE 即∴CD=AE
2.如图，在△ABC中，AB=AC，
∠1=∠2，
A
则AD平分∠BAC，请说明理由。
1 B
3.如图，在△ABC中，∠ABC和 ∠ACB的平分线相交于F，过点F作 DE//BC,交AB于点D，交AC于点E， 若DB=5，EC=4，求线段DE的长。
D
D 2 C
A FE
B
C
• 4. 已知一腰和底边上的高，求作等腰三角形。
13 2
直角三角形全等的判定方法：
1) ASA,
A
A′
AAS
2) SAS
3) SSS
C
B C′
B′ 4) HL
直角三角形特殊的全等判定方法 “HL
8.如图，AD与BC相交于点O，已知AD⊥BD， BC⊥AC, AC=BD, 则OA=OB请说明理由。
C O
A
D B
1 、满足下列条件的ΔABC，不是直角三角形的是：（C ）
∴（ 在C在△M同B=DM一EB个和三△角CE形M中中等角对等边）BBD
CE MCE
D
M
∴△BDM≌△CEM（SAS）
BM CM
∴MD=ME
∴△MDE是等腰三角形
C
E
A
10..如图2-8-1,中，AB=AC，D为AB上一点，E为AC延长线上一点，且BD=CE，DE交BC于G 请说明DG=EG的理由.
（
）
∵ D是AC边上的中点
∴∠1= 1∠ABC=300（ 2
D
1
B
）
2
CE
∵CE=CD
∴∠2= ∠E（
）
∵ ∠2+ ∠E= ∠ACB=600（
）
∴ ∠E=300， ∴ ∠1= ∠E
∴BD=DE（
）
9.已知：如图，∠C=90°，BC=AC，D、E分别在BC和AC上，且BD=CE，M是AB的中点. 求证：△MDE是等腰三角形.
等腰直角三角形
直角三角形斜边上的中线
3.已知Rt△ABC中，斜边上的中线CD=5， 则斜边AB=________.10 (1) 若∠A=30°，则BC =__5______.
(2) 若∠ADC=130°，则∠B=___6_5_°___.
A
(3) 若AC=8，则BC=___6_____.
D
C
B
直角三角形斜边上的高线
A、b2=a2-c2
B、 ∠C=∠A-∠B
C、∠A：∠B：∠C=3：4：5
D、a:b:c=12:9:15
2、下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是A： （
）
A、一条直角边和一个锐角分别相等 B、两条直角边对应相等 C、斜边和一条直角边对应相等 D、斜边和一个锐角对应相等
15、在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，
6.已知△ABC中，AB=AC=4.AD⊥BC, AD=3cm，则BC=__2___7___.
A
B
D
C
7.已知△ABC中，∠ACB=Rt. CD⊥AB, BC=5，CE是斜边AB上的中线，CE= 13 ,
2
则AB=___1_3____, AC=___1_2____,CD=___6_0____.
13
直角三角形，斜边上的中线等于斜边的一半。
直角三角形，C两D直 角AD边的B平D方 和12 A等B于斜边的平方
a2 b2 c2
可逆
1.Rt△ABC中,∠C=Rt∠，∠A: ∠B=1:2, 则∠A=___3_0__°. ∠B=___6_0_°_.
C
A
B
2.已知一个三角形的三个内角之比为1：1：2，求 这个三角形的三个内角的度数，并说明是什么形 状的三角形。
则△ABC的面积=__2_4_______。
16.在直角三角形中，斜边与较小直角边的和、差
分别是8、2，则较长的直角边长为___4_______.
22、如图，在Rt△ABC中，∠A=90°， BC=10，分别以 AB、AC,BC为直径向外做半圆，求这三个半 圆的面积之和。
B
C
3、如图，一个长为25分米的梯子，斜立在一竖直的墙上， 这时梯足距墙底端7分米，如果梯子的顶端沿墙下滑4分米。 那么梯足将滑（ C ） （A）15分米（B）9分米（C）8分米（D）5分米
等腰三角形的性质与判定
1.性质 (1)边：等腰三角形的两腰相等。 (2)角：等腰三角形的两个底角相等。(在同一个三角形中,等边对等角) (3)对称性：等腰三角形是轴对称图形,顶角平分线所在直线是它的对称轴. (4)重要线段：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高
互相重合。(等腰三角形三线合一性质)
求证：BM=CM。
A
证明：∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB
（在同一个三角形 中等边对等角）
∵BD⊥AC于D，CE⊥AB于E
E
M
D
∴∠BEC=∠CDB=90° ∴∠1+∠ACB=90°，
1 B
2 C
∠2+∠ABC=90°
说明：本题易习惯性地
（直角三角形两个锐角互余）用全等来证明，虽然也
∴∠1=∠2（等角的余角相等）
• 分析：要证△MDE是等腰三角形，只需证MD=ME。连结CM，可利用 △BMD≌△CME得到结果。
证明：连结CM
∵∠C=90°，BC=AC
∴∠A=∠B=45°
∵M是AB的中点
∴CM平分∠BCA
（等腰三角形顶角的平分线和底边上的中线重合）
∴∠MCE=∠MCB=∠BCA=45°
B
∴∠B=∠MCE=∠MCB
例4. 已知等腰三角形一腰上的中线将三角形周长 分成2:1两部分，已知三角形底边长为5，求腰长？
Ａ
解：如图，令CD＝x，则AD＝x，
x AB＝2x
2x
Ｄ
∵底边BC＝5
∴BC＋CD＝5＋x
x
AB＋AD＝3x
Ｂ
5
Ｃ ∴(5+x)：3x＝2:1
或3x：(5+x)=2:1
1. 下列结论叙述正确的个数为（ ） （ 1）等腰三角形高、中 线、角平分线重合； （ 2）等腰三角形两底角的外角相等； （ 3）等腰三角形有且只有一条对称轴； （ 4）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 （A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个
B
C
D
等边三角形（正三角形）
定义： 三条边都相等的三角形
A
性质： AB=AC＝BC ∠B=∠C=∠A=60°
三个三线合一
B
C
判定： AB=AC＝BC ∠B=∠C=∠A=60°
有一个角是60°的等腰三角形。
1、满足下列条件的三角形不一定 是等边三角形的是（ D ）
（A）在△ABC中，AB=BC=AC （B）在△ABC中，∠A=∠B=60° （C）在△ABC中，AB=BC，∠A=60° （D）在△ABC中，∠A=60°
h
D
来自百度文库
C
PB
h a
A M
D CQ
N
5.已知△ABC中AB=AC，AB垂直平分线交AC于E，交AB于 D，连结BE，
若∠A=50°，∠EBC=__________。
6.△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，
若△ABC的周长为50，△ABD的周长为40，则 AD=____________。
7.若等腰三角形顶角为n度，则腰上的高与底边的夹角为 _____________。
• 思路 因为△GDB和△GEC不全等，所以考虑在△GDB内作出一个与 △GEC全等的三角形。
说明 本题易明显得出DG和EG 所在的△DBG和△ECG不全等， 故要构造三角形的全等，本题 的另一种证法是过E作EF∥BD， 交BC的延长线于F，证明 △DBG≌△EFG，同学们不妨试 一试。
11.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=900，
A
• ②若BD=DC，连结AD，必有结论： ∠1=∠2，AD⊥BC1 2 • ③作AD平分∠BAC必有结论：
• AD⊥BC，BD=DC
• 作辅助线时，一定要作满足其中一个性质的辅助线，然后证出 其它两个性质，不能这样作：作AD⊥BC，使∠1=∠B2. D C
例1. 等腰三角形两个内角之比为4:1， 求顶角的度数.
1.在△ABC中,AB=BC, ∠B=70°,那么∠C=___5_5_°_.
2.等腰三角形顶角和一个底角之和为100°， 则顶角度数为__2__0_°________。
3.等腰三角形两边长为4、6， 这个三角形周长为___1_4_或__1_6___。
4.在△ABC中,AC=AB, AD是△ABC的角平 分线,已知BC=7, ∠B=63°.则BD=__3__.5__, A ∠ADB=__9_0_°__, ∠BAC=_5_4__°__.
7. 如图，线段OD的一个端点O在直线a 上，以OD为一边画等腰三角形，并且使另 一个顶点在直线a上，这样的等腰三角形 能画多少个?
Ｄ
150°
Ｈ
Ｏ
ＣＥ
Ｆa
8、如图，D是正△ABC边AC上的中点，
E是BC延长线上一点，且CE=CD，请说
明BD=DE的理由.
A
解:∵ △ABC是正三角形
∴ ∠ABC= ∠ACB=600
角的度数，是等腰三角形性质的重要应用。
• ①已知角的度数，求其它角的度数
②已知条件中有较多的等腰三角形（此时往往设法用未知数表示 图中的角，从中得到含这些未知数的方程或方程组）
（2）证明线段或角相等
• 以等腰三角形为条件时的常用辅助线:
• 如图：若AB=AC
• ①作AD⊥BC于D，必有结论:
• ∠1=∠2，BD=DC
1.知识梳理 2.例题分析 3.练习巩固 4拓展延伸
等腰三角形
A
等腰三角形是轴对称图形
定义：
21
顶角
有两条边相等的三角形. 腰
性质：
AB=AC
底角 底角
∠B=∠C AD⊥BC,BD=DC,∠1=∠2
B
底D边
C
判定: 定义：两条边相等。(AB=AC) 有两个角相等的三角形是等腰三角形。
(∠B= ∠C)
和三线合一性质解决有关问题。 4、通过习题，能总结代数法求 几何角的大小、线段长度的方法。
• 课本第51页(目标与评定)
1.知识梳理 2.例题分析 3.练习巩固 4拓展延伸
直角三角形 A
定义：有一个角是直角的三角形
性质：
从角的方面：
可逆
c
b
D
两锐角互余，即∠A+∠B=90°
从边的方面：
可逆
Ca B
在△AEF和△CDE中
F
AE CD A C
B
DC
AF CE
说明：
∴△AEF≌△CDE（SAS） 证明等边三角形有三种思路：
∴EF=DE 同理可证EF=DF
①证明三边相等 ②证明三角相等 ③证明三角形是有一个角为60°的 等腰三角形。
∴EF=DE=DF
具体问题中可利用不同的方式
∴△DEF是等边三角形 进行思考求解。
2.判定 定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。 判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。
(在同一个三角形中,等角对等边)
3.等边三角形: (1) 三个角都相等的三角形是等边三角形。 (2) 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
等腰三角形性质与判定的应用
• （1）计算角的度数
•
利用等腰三角形的性质，结合三角形内角和定理及推论计算
4、如图，某校A与公路距离为3000米，又与该公路旁上的某 车站D的距离为5000米，现要在公路边建一个商店C，使之与 该校A及车站D的距离相等，则商店与车站的距离约为（ ）
4.如图,Rt△ABC中,∠C=Rt∠，CD⊥AB , (1)若∠A=37°,则∠BCD=___3_7_°.
(2)若AC=3, BC=4,则CD=__2_.4__.
C
A
D
B
勾股定理及其逆定理
5、以下列线段为边长能构成一个直角三角形
的是（C ）
（A）1，2，3
（B）2，3，4
（C）6，8，10
（D）4，5，6
分析：我们首先在草稿上画好一个示意图，然后对照此图写出
已知和求作并构思整个作图过程……
A
已知：线段a、h
求作：△ABC，使AB=AC=a，高AD=h a 作法：
1、作PQ⊥MN，垂足为D
2、在DM上截取DA=h
B
3、以点A为圆心，以a为半径作弧，
交PQ于点B、C
4、连结AB、AC
则△ABC为所求的三角形。
∠CAB的平分线AD交BC于D，AB边上的高
线CE交AB于E，交AD于F，
求证：CD=CF
分析：CD=CF
B
∠1=∠2
∠∠11==9∠0°B－+∠∠BAD
D
E
∠∠２2==90∠°3－+∠∠DCAADC 1 2 F
3
C
A
∠ACB =∠903°=∠，BCE是AC边上高
小结
1、等腰三角形的有关概念。 2、等腰三角形的识别。 3、应用等腰三角形的性质定理
说明: 因为等腰三角形的两底角相等,两个内 角的比为4:1,尚未指明哪两个角,可能是顶角 与底角的比,也可能是底角与顶角的比,所以分 两种情况求解.
此类题未说明哪两个角的比,解题时应审 清题意,注意分类讨论.
例2.如图，已知在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC
于D，CE⊥AB于E，BD与CE相交于M点。