高等代数试题

线性变换

一 判断题

(1) 在向量空间3R 中, 1231223(,,)(2,,)x x x x x x x σ=-, 则σ是3R 的一个线性变换. ( ). (2) 在向量空间[]n R x 中, 2(())()f x f x σ=, 则σ是[]n R x 的一个线性变换. ( ).

(3) 取定()n A M F ∈, 对任意的n 阶矩阵()n X M F ∈, 定义()X AX XA σ=-, 则σ是()n M F 的一个线性变换.

( ).

(4) σ是向量空间V 的线性变换, 向量组12,,,m ααα 线性相关, 那么12(),(),,()m σασασα 也线性相关.

( ).

(5) 在向量空间[]n R x 中, 则微商'(())()f x f x σ=是一个线性变换. ( ). (6) 在向量空间3R 中, 已知线性变换

1231223312313(,,)(,,),

(,,)(,0,).

x x x x x x x x x x x x x στ=++=

则12321233(2)(,,)(,,)x x x x x x x x στ-=-+-. ( ).

(7) 对向量空间V 的任意线性变换σ, 有线性变换τ, 使(στιι=是单位变换). ( ). (8) 向量空间2R 的两个线性变换σ,τ为12121(,)(,)x x x x x σ=-;12122(,)(,)x x x x x τ=-

则212212()(,)(,).x x x x x στσ-=-+

(9) 在实数域F 上的n 维向量空间V 中取定一组基后, V 的全体线性变换和F 上全体n 阶矩阵之间就建立了一个一

一对应. ( ).

(10)在取定基后, V 的每个可逆线性变换对应于可逆矩阵, 但逆变换未必对应于逆矩阵.

( ).

(11) 线性变换在不同基下对应的矩阵是相似的. ( ). (12) 相似矩阵不一定是同一线性变换在不同基下的矩阵. ( ). (13) 域F 上的向量空间V 及其零子空间, 对V 的每个线性变换来说, 都是不变子空 ( ). (14) 除零变换外, 还存在向量空间V 的线性变换, 能使V 的任意子空间对该变换不变.( )

(15) 向量空间V 的线性变换1σ的不变子空间W , 也是V 的另一线性变换2σ的不变子空间, 这里21σσ≠.

( ).

(16) 向量空间V 的线性变换σ的象与核都是σ的不变子空间. ( ). (17) 线性变换σ的特征向量之和, 仍为σ的特征向量. ( ). (18) 属于线性变换σ同一特征根0λ的特征向量的线性组合仍是σ的特征向量. ( ).

(19) 数域F 中任意数λ都是F 上的向量空间V 的零变换的特征根. ( ).

(20) σ在一个基下可以对角化, 则σ在任何基下可以对角化. ( ). (1)正确 (2)错误 (3)正确 (4)正确 (5)正确 (6)正确 (7)错误 (8)正确 (9)正确 (10)错误 (11)正确 (12)错误 (13)正确 (14)正确 (15)错误 (16)正确 (17)错误 (18)正确 (19)错误 (20)错误

二 填空题

(1) 设V 和W 是数域F 上的向量空间, 而:V W σ→是一个线性映射, 那么σ是单射的充要条件是____________. (2) 设V 和W 是数域F 上的向量空间, 而:V W σ→是一个线性映射, 那么σ是满射的充要条件是____________.

(3) σ是向量空间V 的线性变换, 若满足________________, 则称σ是可逆变换. (4) 向量空间V 的任意线性变换σ, 都有(0)_______,()______.σσα=-=

(5)σ是n 维向量空间V 的一个位似变换: (),k σξξ=那么σ关于V 的__________基的矩阵是kI . (6) 在3V 的基123{,,}εεε下σ的矩阵是

11

121321

222331

32

33a a a A a a a a a a ?? ?= ? ???

那么σ关于基3121{,,2}εεεε+的矩阵是_____________.

(7) 在3F 中的线性变换12312231(,,)(2,,)x x x x x x x x σ=-+, 那么σ关于基123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)εεε===的

矩阵是________________.

(8)设12,σσ分别是向量空间2R 中绕原点逆时针旋转12,θθ角的线性变换, 那么21σσ关于基12(1,0),(0,1)αα==的

矩阵是___________________.

(9) 对于域F 上向量空间V 的数乘变换来说______________不变子空间. (10)2维平面上的旋转变换σ,_________非平凡的不变子空间.

(11) 若线性变换σ与τ是_____________, 则τ的象与核都是σ的不变子空间. (12) 相似矩阵有_____的特征多项式.

(13)0()0I A X λ-=的___________都是A 的属于0λ的特征向量.

(14) A 与对角阵相似, ()[]f x F x ∈, 则()f A 必与某一______________.

(15) 设V 是数域F 上的n 维向量空间, (),L V σσ∈的不同的特征根是12,,,t λλλ , 则σ可对角化的充要条件是

_____________.

(16) 设σ是实数域F 上的n 维向量空间V 的线性变换, 如果V 的任意一维子空间都是σ的不变子空间, 那么σ可以

_____________.

(17) 设σ是实数域F 上的n 维向量空间V 的线性变换, σ可对角化的充要条件是

1)σ的特征多项式的根都在F 内; 2)_______________________________;

(18) 设()n A M F ∈, 如果A 的特征多项式在F 内有______________, 那么A 可对角化.

(19) 设σ是实数域F 上的n 维向量空间V 的线性变换, λ是σ的一个特征根, 则dim ____V λλ的重数.

(20) 矩阵327024005?? ?

? ???

的特征根是______________.

答案

(1)ker(){0}σ= (2)Im()W σ= (3)存在V 的线性变换τ, 使σττσι== (4)0,α- (5)任意 (6)13

1112

1123

21222133

313231222a a a

a a a a a a a a a +??

?+ ? ?+?? (7)210011100-??

?

? ???

(8)12121212cos()sin()sin()cos()θθθθθθθθ+-+??

?++??

(9)每个子空间都是 (10)没有

(11)可交换的(12)相同 (13)非零解向量 (14)对角阵相似 (15)1d i m i t

i V n λ==∑ (16)对

角化 (17)对于σ的特征多项式的每一个根λ, 特征子空间V λ的维数等于λ的重数 (18)n 个不同的

单根 (19)≤ (20)3, 2, 5

三. 单选题：

1．向量空间()n V F 的零变换θ的象及核的维数分别是（ ）。

.A 0,n .B ,0n .C 0,0 D. n, n

2．向量空间()n V F 的单位变换t 的象及核的维数分别是（ ）。

.A 1,1n - .B 1,1n - .C ,0n D. 0, n

3．“有相同的特征多项式”这是两个矩阵相似的（ ）条件。 .A 充分 .B 必要 .C 充分必要 D. 以上都不对 4．对于域F 上向量空间V 的数乘变换来说，（ ）不变子空间。 .A 只有一个 .B 每个子空间都是 .C 不存在 D. 存在且有限个 5. 2 维平面上的旋转变换σ，（ ）非平凡的不变子空间。 .A 有一个 .B 有无穷多 .C 没有 D. 有有限个 6．若线性变换σ与τ是（ ），则τ的象与核都是σ 的不变子空间。

.A 互逆的 .B 可交换的 .C 不等的 D. 不可换的

7．以向量空间V 的任何非零向量作为特征向量的线性变换只能是（ ） .A 零变换 .B 位似（数乘）变换 .C 单位变换 D. 以上都不对

8．设σ是一线性变换，若{}()0Ker σ=。则下面说法正确的是（ ）

.A 无特征根零 .B 有特征根零 .C 不确定 D. 以上都不对

9．设S 是对合矩阵2()S I =，P 是幂等矩阵2()P P =，H 是幂零矩阵(0)m H =且0H ≠, 那么（ ）可以对角化。

.A ,,S P H 在F 上均可以对角化 .B 仅,S P 在F 上可以对角化 .C 它们在F 上均不能对角化。 D. 在F 上可以对角化

答案：1. 2. 3. 4. 5. 6.7.8.9.A C B B C B B A B

四 多选题

1 设σ是n 维线性空间的线性变换, 则σ在不同基下的矩阵( ). A .一定合同 ; B . 一定相似;

C . 秩一定相等;

D .秩不一定相等. 2 设σ是线性空间V 的线性变换, 则 A .(0)0σ=; B .

11221122()()()()n n n n a a a a a a σβββσβσβσβ+++=++ ;

C . 当12,,,n βββ 线性无关, 12(),(),,()n σβσβσβ 线性无关;

D . 当12,,,n βββ 线性相关,

12(),(),,()n σβσβσβ 线性相关.

3 设σ是数域P 上的n 维线性空间V 的线性变换, 且σ是单的. 则 A . 若1α,

2α, , n α是V 的一组基, 则12(),(),,()n σασασα 也是V 的一组基;

B . σ是满射;

C . σ不是满射;

D . σ是双射.

4 设V 是复数域上的n 维线性空间, ,στ是V 的线性变换, 且σττσ=. 那么 A . 若0λ是σ的一个特征值, 那么0V λ是τ的不变子空间; B . ,στ的特征值一定相同; C . ,στ的特征子空间一定相同; D . ,στ至少有一个特征值一定相同;

5 n 阶矩阵A 相似于对角阵的充要条件; A . A 的特征子空间的维数和等于n ; B . A 的初等因子都是一次的; C . A 有n 个不同的特征根; D . A 的最小多项式无重根.

答案: 1,;2,,;3,,;4,;5,,.B C A B D A B D A D A B D

五 简单题

1. 线性变换是否一定把线性无关的向量组变成线性无关的向量组?

2. 3

R 的线性变换σ为

12312323123(,,)(2,33,2)x x x x x x x x x x x σ=+++-++

求σ的象与核的维数.

3．在数域F 上全体n 阶对称矩阵所组成的向量空间V 中定义变换:()X T XT σσ'= ，其中T 为一个固定的n 阶方阵，X 为V 中任一对称矩阵。 证明：σ是V 的一个线性变换。

4．在向量空间n

F 中，对任意向量α，规定()A σαα=，这里A 为取定的一个n 阶方阵。 证明：

σ是n F 的一个线性变换。

5．证明：若某向量组在线性变换下象线性无关，则该向量组也线性无关。

6．,στ是向量空间V 的线性变换。若στθ=，则σθ=或τθ=不成立，试举一反例. 7. []F x 的两个线性变换为：对任意()[]f x F x ∈，(())(),(())()f x f x f x xf x στ'== 证明：σττσι-=.

8．设,,στρ是()V F 的线性变换，定义[,]στσττσ=-

证明： 对任意,,στρ以下等式成立：[[,],][[,],][[,],]στρτρσρστθ++=

9．证明：若(),()f g σθσθ==，则()d σθ=，其中()d x 是[]F x 中多项式()f x 与()g x 的

10．令123(,,)x x x ξ=是3

R 中任意向量，σ是线性变换:12232()(,,)x x x x x σξ=+- 试证σ可逆。

11．设,A B 是数域F 上的n 阶矩阵，若,A B 之一可逆，则AB 与BA 相似。 12．设V 的两个线性变换σ与τ是可变换的。 试证τ的象Im()τ与核()Ker τ都是σ的不变子空间。

13．设σ是向量空间V 的线性变换，那么()W L ξ= 是σ的一维不变子空间当且仅当ξ是σ 的属于某特征根0λ的特征向量。

14．设σ是复数域C 上线性空间的线性变换，若σ关于空间的一个基12,εε的矩阵为0,00a A a a ??

=≠ ?-??

求σ的特征根与特征向量。 15．设矩阵

cos sin ,0sin cos A θθθθθ??

=≠

?-??

求A 的特征根与特征向量。

16．设α是属于n 阶对称矩阵A 的特征根0λ的特征向量。

证明：0λ是1'()P AP -的特征根，并求矩阵1'()P AP -的属于0λ的一个特征向量。 17．试证幂等矩阵A 的特征根等于0或1。

18．设,A B 均为n 阶矩阵。证明：()()r r T AB T BA = 19．设n 阶矩阵()ij A a =的特征根是12,,...,n λλλ。 证明：

21

11

n n n

i

ij

ji

i i j a a

λ====∑∑∑

20．令A 是数域F 上一个n 阶矩阵，A 可以对角化的充分必要条件是()A f x 在F 内有n 个单根。这种说法对吗？

答案

1. 答 不一定. 例如, 在二维空间2V 中, 到x 轴的投影变换121:(,)(,0)x x x σσ=, 把线性无关的向量组(1,0),(0,1),

变为线性相关的向量组(1,0),(0,0).

2. 解 设123,,εεε为3

R 的标准基, 则得线性方程组

123231

232033020

x x x x x x x x ++=??

+=??-++=?

其解空间即为ker()σ. 因为此方程组的系数矩阵的秩为2, 故dimker() 1.σ= 3．证明：任取,,,X Y V k l F ∈∈，则

()()()()()()()()

kX lY T kX lY T T kX T T lY T

k T XT l T YT k X L Y σσσ'''+=+=+''=+=+

故σ是V 的线性变换。

4．证明：任取,,,n

F a b F αβ∈∈ ，有

()()()()

()()()()

a b A a b A a A b a A b A a b σαβαβαβαβσασβ+=+=+=+=+

故

σ 是n F 的线性变换。

5．证明：设向量组12,,...,r ααα在线性变换σ下的象12(),(),...,()r σασασα线性无关。 令1122...0r r k k k ααα+++=

于是1122()()...()0r r k k k σασασα+++=

由12(),(),...,()r σασασα线性无关，知12...0r k k k ====，故12,,...,r ααα线性无关。 6．解：反例为：对向量空间2

R 的任意向量(,)x y ，定义线性变换

(,)(,0);(,)(0,)x y x x y y στ==

则有(,)(0,)(0,0).x y y στσ== 即 στθ= ，但是,σθτθ≠≠。 7．证明：任取()[]f x F x ∈，则

(())(())()()

(())(())()

f x xf x f x xf x f x f x xf x στστστ'==+''==

因而()(())(())(())()f x f x f x f x σττσσττσ-=-= 故σττσι-=

[,][,][,][,][,][,]

στρρσττρσστρρσττρσστρτσρρστρτστρσρτσστρσρτρστσρττρστσρθ

=-+-+-=--++--++--+=8.证明:原式

9．证明：因为()d x 是()f x 与()g x 的最大公因式，所以存在(),()()u x v x F x ∈，使

()()()()()f x u x g x v x d x +=

故有()()()()()()()d f u g v u v σσσσσθσθσθ=+=+= 。 10．任取3

R 的一个基，123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)εεε===

那么123123110((),(),())(,,)010011σεσεσεεεε?? ?

= ? ?-??

由于

σ 关于此基的矩阵是可逆阵，故σ可逆。

11．证明：不妨设A 可逆，于是存在1

A -而有11

()()BA A A BA A AB A --== 12．证明：任取Im()ξτ∈，则存在V η∈ 使()ξτη=于是

()(())()()()()(())Im()σξστηστητσητσητ====∈

所以Im()τ是的σ不变子空间。 任取()Ker ξτ∈，则 ()0τξ=，于是

(())()()()()(())(0)0τσξτσξστξστξσ=====

故由()()Ker σξτ∈而知()Ker τ是σ的不变子空间。

13．证明 ：ξ是一维不变子空间V 的生成向量，自然有0ξ≠，且()(

)W L σξξ∈=，因此存在0F λ∈，而使

0()σξλξ=。反之，若ξ是σ的属于特征根0λ的特征向量，那么对任何0,()()()F μσμξμσξλμξ∈==

故(())()L L σξξ?。

14．解：易证λ的特征根为

12,ai ai λλ==-，它们相应的特征向量分别为12,0,k ki k k C εε+≠∈，及

12,0,k ki k k C εε-≠∈

15．解：2()2cos 1A f λλθλ=-+，从而A 的特征根为

12cos sin ,cos sin i i λθθλθθ=+=-

因此它们的特征向量分别是：11121(,1)(),0k i k i k εε-=-+≠ 和221232(2,1,1)(2),0k k k εεε-=+-≠。 16．证明：因为

0,A A A αλα'==

故10()()()P AP P P A P ααλα-''''==

又 0α≠,P 可逆，易知0P α'≠，因此0λ是 1()P AP -'的一个特征根，并且P α'是所求的一个特征向量。 17．设i λ是A 的任一特征根，因2()i i f λλ=是2()f A A =的特征根，所以 2()i i i f λλλ==

故幂等阵的特征根是0或1。

18．证明：设(),()ij ij A a B b ==，那么1

1

1

1

()()()()n n

n n

r ik ki

ki ik r i k k i T AB a b

b a T BA =====

==∑∑∑∑

19．证明：由题设易知2

A 的特征根为 2

221

2

,,...n λλλ

，因此22

1

11

()n n n

i

r ij ji i i j T A a a λ=====∑∑∑

20．答；不对。例如，矩阵

1001A ??= ???

有二重根1，而A 本身就是对角形矩阵。

六．计算题：

1．向量空间3

R 的线性变换σ为

123123(,,)(2,3,2)x x x x x x σ=-

求Im()σ与()Ker σ，并计算它们的维数。 解 取3

R 的标准基123,,,εεε，于是

1()(1,0,0)(2,0,0),σεσ==2()(0,1,0)(0,3,0),σεσ==3()(0,0,1)(0,0,2),σεσ==-

任取112233a a a ξεεε=++ ，则112233()()()()a a a σξσεσεσε=++ 因此123Im()((),(),())L σσεσεσε?

显然123Im()((),(),())L σσεσεσε? 故123Im()((),(),())L σσεσεσε=

而123(),(),()σεσεσε线性无关，所以3Im(),dimIm()3R σσ== 因为}{

3

()()0Ker R σξσξ=∈=

则由123(2,3,2)(0,0,0)x x x -= 得1230x x x ===

所以{}()0,dim ()0Ker Ker σσ== 2．令4

F 表示数域F 上四元列空间。取

1151112331811397A --?? ?-

?= ?- ? ?-??

对于任4F ξ∈ ，令()A σξξ=。求线性变换σ的核和象的维数。 解 取4

F 的标准基1234,,,.εεεε由1234Im()((),(),(),())L σσεσεσεσε=

其中111()31σε?? ? ?= ? ? ???211()13σε-?? ? ?= ?- ? ???352()89σε?? ?- ?= ? ? ?-??352()89σε?? ?- ?= ? ? ???413

()17σε-??

? ?= ? ? ???

由此得dim Im()σ=A 秩2=

由线性方程组0A ξ=的解空间的维数，得dim ()422Ker σ=-= 3．设1234{,,,}εεεε是4V 的标准基，线性变换σ 关于此基的矩阵是

10

21121312552212A ??

?-

?

= ? ? ?--??

求σ的象Im()σ与()Ker σ。

解：解齐次线性方程组0AX =得基础解系12{,}ηη 其中321(2,,1,0)η=--2(1,2,0,1)η=--，从而

12()(,)Ker L σηη=

又由于A 的秩为2 ，知1234(),(),(),()σεσεσεσε的秩为2，且12(),()σεσε线性无关，它们构成Im()σ的一个基，从而

12Im()((),()).L σσεσε=

4． 设σ是向量空间 2

C 的线性变换，

σ在基12,αα下的矩阵是

2452A -??= ?-??

试找出σ的所有不变子空间。

解：2

C 和00??

???? ?????

是σ的两个不变子空间，那么其余的不变子空间都是一维的。由于

2()16(4)(4)f I A i i λλλλλ=-=+=-+

因此当14i λ= 时，我们得A 的属于1λ的特征向量1212i ξ??

=

?-??

当24i λ=-时，得特征向量2212i ξ??

= ?+??

。 令

1122122(12),

2(12).

i i βααβαα=+-=++

那么11()W L β=和22()W L β=是σ的另两个不变子空间. 5.设数域F 上向量空间V 的线性变换σ关于基123,,ααα的矩阵是

（1）452573694A -?? ?

=- ? ?-??

（2）134478677A -?? ?

=- ? ?-??

（3）2615115126A -?? ?

=- ? ?-??

试找出σ的一个不变子空间。

解：（1）因为111?? ?

? ???是A 的属于特征根1的特征向量，所以123()L ααα++是σ的不变子空间。

（2）122?? ?

? ???

是A 属于特征根3的特征向量，所以123(22)L ααα++是σ的不变子空间。

（3）因为A 的特征根是三重根 1- 所以V =特征子空间1V -就是σ的不变子空间。 6． 在3

F 中定义线性变换如下，试求σ的特征根和特征向量。

12312323123(,,)(2,2,3)x x x x x x x x x x x σ=+++-++

解：设σ 关于3

F 的标准基123,,,εεε的矩阵是A ，则

113021113A ?? ?= ? ?-??

A 的特征多项式为

1

120

2

11

1

3

I A λλλλ----=----

所以A 的特征根为三重根1232λλλ===。解方程组(2)0I A X -= ，得特征向量

12(1,1,0),0k k k k εε=+≠

7． 设σ是3

F 的一个线性变换。

已知：(1,0,0)(5,6,3),(0,1,0)(1,0,1),(0,0,1)(1,2,1)σσσ=-=-= 试求：σ的全部特征根及特征向量。 解：σ 关于标准基123,,εεε的矩阵为

511602311A -?? ?= ? ?-??

那么A 的特征多项式为

3(2)I A λλ-=-，且特征根为1232λλλ===

解齐次线性方程组 (2)0I A x -=，得出特征向量为12(1,3,0)(0,1,1),k k + 即1112223(3)k k k k εεε+++ 这里12,k k 不全为零。

8．设123,,εεε是3

F 的一个基，令

1123,22αεεε=-+2123,224αεεε=--+3123242αεεε=+- 3()L F σ∈，且112233112233()l l l l l l σεεεααα++=++

求：σ 的特征根与特征向量。 解：由条件(),1,2,3i i i σεα==

故σ关于基123,,εεε 的矩阵为122224242A -??

?

=-- ? ?-??

于是求出 A 的特征根为1232,7λλλ===-

当

122

λλ==时，解齐次方程组

(2)I A X -=，

得出特征向量为

12(2,1,0)(2,0,1)k k -+=1211223(22)k k k k εεε-+++

12,k k 不全为零。

当37λ=-时，解齐次方程组(7)0I A X --=，得特征向量为(1,2,2)k --12322k k k εεε=--+0k ≠

9．设31

0410482A ?? ?=-- ? ?--??

，试由A 的特征多项式和特征根写出1

A -的伴随阵1()A -* 的特征多项式和特征根。

解：因

2(2)(1)I A λλλ-=+-

A 的特征根为2,1,1-。

今111

()()A A A I --*-=

所以11()A A A

-*

=

又2,A =-

所以 1()A -* 的特征多项式是

3323

11

()()()(2)22

11()(22)(21)(1)()22

g I A I A

λλλλλλλ=--=---=--+--=-+

由此()g x 的特征根为11

,,122

--。 10．试求方阵

.....................

a a a a a a A a a a ?? ? ?= ? ? ??

?

的特征根。

解：显然秩1A =

所以 A 的任何高于一阶的子式皆为0。于是

11()n n n n r I A T A na λλλλλ---=-=-

故A 的特征根为1210,n n na λλλλ-===== 。

七．证明题：

1．取定()n A M F ∈，对任意()n X M F ∈，规定()X AX XA σ=- 证明：()F σn 是M 的一个线性变换。 证明：任取

,(),,,

()()()()()()()

n X Y M F a b F aX bY A aX bY aX bY A

a AX XA

b AY YA a X b Y σσσ∈∈+=+-+=-+-=+ 故()F σn 是M 的线性变换。

2．设M 是向量空间()V F 的一个子空间，并且存在V 的子空间N ，使V M N =+，对任意V α∈，有唯一分解式

1212,,M N ααααα=+∈∈。定义V 的变换2:()σσαα= 。

证明：

σ是V 的一个线性变换 。

证明：设任意,V αβ∈，并且12121122,,,,,,M N k F αααβββαβαβ=+=+∈∈∈ 于是121222()(()())()()σαβσααββαβσασβ+=+++=+=+

!22()(())(),k k k k σασααασα=+==

故σ是V 的线性变换。

3．对向量空间n

F 的任意向量12(,,...,)n x x x ，定义

σ12(,,...,)n x x x =121(0,,,...,)n x x x -

证明：σ是n

F 的线性变换。

证明：任取α=12(,,...,)n x x x 12,(,,...,),,n n y y y F a b F β=∈∈ 则

1122

1111

1111

()(,,...,)

(0,,...,)

(0,,...,)(0,,...,)

()()

n n

n n n n a b ax by ax by

ax by ax by ax by a x x b y y a b σαβσσασβ----+=+++=++=+=+

故σ是n

F 的线性变换。

4．在2()M F 中定义线性变换σ如下：2(),().a b X X X M F c d σ??=∈ ???

证明：σ可逆的充分必要条件是

0a b

c d

≠ 证明：取2()M F 的标准基11122122{,,,}E E E E ，则σ关于此基的矩阵为

00000000a b a b

A c d c d

=

因为 2

a b A c d

=

，

故σ可逆当且仅当A 矩阵可逆当且仅当0a b

c d

≠ .

5．试证明：若矩阵A 与B 相似，C 与D 相似。 则矩阵A O O C ??

???与B O O D ??

???

相似。

证明：因为由题设，存在可逆T ，使B T AT '= 。 又因为存在可逆矩阵Q ，使1D Q CQ -=，那么我们有分块矩阵

T O G O Q ??= ???

及11

1T O G O Q ---??= ?

?? 从而得到

1G -A O O C ??

???

G =11T O O Q --?? ???A O O C ?? ???T O O Q ?? ???11

T AT

O

O Q CQ --??= ???=B O O D ??

??? 故得求证的相似关系。

6．令σ是n 维向量空间V 的线性变换。 若σ是可逆变换。

则σ关于V 的某一基的矩阵A 秩为n 。

证明 设12(,,...,)n ααα是向量空间V 的一个基，且

12(,,...,)n σααα12(,,...,)n A ααα=

而σ可逆当且仅当A 可逆，因此矩阵A 秩为 n 。

7．试证线性变换σ的不变子空间的交与和都是σ的不变子空间。

证明：设W 与S 是σ 的两个不变子空间。那么W S 与W S +都是向量空间V 的子空间。现在它们是不变的。任取

ξ∈W S 则由()W σξ∈及()S σξ∈ ，推出 ()σξ∈W S 。这证明了W S 是σ的不变子空间。如果η∈W S +，那么η可表成

1212,,W S ηηηηη=+∈∈

于是12()()()σησηση=+ 又由于12(),()W S σηση∈∈ 所以()ση∈W S +

故W S +是σ的不变子空间。

8．设V 是复数域C 上的向量空间，σ与τ是V 的线性变换，并且σττσ=。 证明：如果0λ是σ的一个特征跟，那么特征子空间0V λ也是τ的不变子空间。 证明：显然已知00{()}V V

λασαλα=∈=是σ的不变子空间。现在证它是τ的不变子空间。即任取0

V λα∈ ，往证

()V λτα∈. 由于

00(())(())()(())στατσατλαλτα===

故0()V λτα∈ 。

9．设V 是复数域上n 维向量空间，其线性变换12,,...,s σσσ两两可换。 证明：i σ的每一个特征子空间都是j σ的不变子空间(,1,2,...,)i j s =。 证明： 设0V λ是i σ属于特征根0λ 的特征子空间，任取α∈0V λ 则有：0()i σαλα=∈0V λ

那么0(())(())(()),i j j i j σσασσαλσα== 可见()j σα∈0V λ

所以0V λ是i σ 的不变子空间(,1,2,...,)i j s =。 10．设σ是向量空间V 的可逆线性变换。 证明：σ的特征根都不为零。

证明：设12,,...,n λλλ为σ的特征根，且设σ在V 的某个基下对应的矩阵是A 。那么12...n A λλλ=, 并且由σ可逆知

A 可逆。

故σ的特征根都不为零。

11．设非奇异矩阵A 的全部特征跟为12,,...,n λλλ，则1

A -的全部特征根为：11

112,,...,n λλλ---

证明：由A 为可逆阵，有A =

12...n λλλ0≠

所以A 的全部特征根12,,...,n λλλ皆不为零，其次对每个i λ，由存在非零向量i α使i i i A αλα=。

我们可再从11i i i A A A αλα--=，推得11i i i A αλα--= 。所以1,1,2,...,i i n λ-=都是1A -的特征根。再由

111112...n A λλλ----=，

即知1

A -全部特征根是11112,,...,n λλλ---。

12．若α为n 阶方阵A 的属于特征根0λ的特征向量。 证明：0λ为1

T AT -的特征根。

证明：因为A 与1

T AT -有相同的特征多项式，所以0λ也是1

T AT -的特征根。 13．设数域F 上的矩阵

,b c a A c a b a b c ?? ?= ? ???,c a b B a b c b c a ?? ?= ? ???a b c C b c a c a b ??

?= ? ???

证明：,,A B C 彼此相似。

证明：在3

F 中取定基123,,ααα，并且令线性变换σ关于基123{,,}ααα的矩阵为A 。那么有

231((),(),())σασασα231(,,)C ααα= 312((),(),())σασασα312(,,)C ααα=

因此,,A B C 是线性变换关于不同基的矩阵，故它们彼此相似。 14．设σ是数域F 上n 维向量空间 V 的一个线性变换。 证明：σ可以对角化那么σ有n 个线性无关的特征向量。 证明；若σ可以对角化，必存在V 的一个基12,,...,,n ααα

使12((),(),...,())n σασασα = 12(,,...,)n ααα1

200n λλλ?? ?

? ? ? ??

? 它即是(),1

,2,...,i i i i n σαλα== 因此σ有n 个线性无关的特征向量12,,...,n ααα.

15．证明：若数域F 上n 维向量空间V 的线性变换σ有n 个不同的特征根，

则σ在某一基下的矩阵是对角形。

证明：由题设σ的特征多项式 ()f x σ在[]F x 内可以分解成为线性因式的乘积

()f x σ12()()...()n x x x λλλ=---

i F λ∈且两两不同。对于每一i λ，选取一个特征向量i ξ，1,2,...,i n =

易知12,,...,n ξξξ 线性无关。因而构成V 的一个基。

σ 关于这个基的矩阵是对角形矩阵 120...00...0............00...n λλλ?? ? ?

?

?

??

?

故σ 在基12,,...,n ξξξ下的矩阵是对角形。 16．设2(),00a c A M F c b ??

=∈≠

???

。 证明：A 在F 上可对角化的充分必要条件是a b ≠。

证明：必要性。用反证法，若a b =

则a 是A 的二重特征根，但秩()1220aI A n s -=≠-=-= 故A 不能对角化，矛盾。

充分性。若a b ≠，则特征多项式 ()A f n xI A =-有两个不同的特征根，因此，A 可对角化。 17．设A 是n 阶方阵，A 有n 个线性无关的特征向量 12,,...,n ηηη，其对应的特征根均为 1 . 证明：A 是单位矩阵。

证明：以12,,...,n ηηη的坐标为列，作一个n 阶矩阵 T ，由于T 的列线性无关，因而是一个可逆矩阵，并且

110...001...0............00...

1T AT -?? ? ?= ? ? ??

?

于是1

A TIT

I -==

18．设 1220

(),00a A M R A a ??

=∈≠

???

证明：A 在R 上可以对角化的充分必要条件是120a a > 证明：必要性。因为A =120a a -≠ 所以120a a ≠ 若120a a <

则 212()A f x x a a =-无实根 与A 可对角化矛盾。 充分性。若120a a >

则212()A f x x a a =-有两个不同的实特征根

，所以A 可以对角化。 19．设A 是可逆矩阵且可对角化。 证明：1

A -也可对角化。

证明：因A 可以对角化，所以存在可逆矩阵T ，使

121n T AT λλλ-?? ?

?= ? ? ??

? 而A 可逆，故

0,1,2,...,i i n λ≠=，且

111

111121n P A P TA T λλλ-------??

? ?== ? ? ??

? 因而1

A -可以对角化。

20．设A 是可逆矩阵且可对角化。 证明： A *可对角化。

证明： 因A 是可逆矩阵且可对角化，则1

A -可对角化，即存在可逆矩阵P ，使

111

1121n P A P λλλ-----?? ? ?= ? ? ??

? 其中

12,,...,n λλλ 是A 的全部特征根。因而

1

11

21111()n A A P A P P A A P A λλλ---*---??

?

?== ? ? ??

?

所以A *

可对角化。