信号与系统总复习

第1-2章：本章概念较多，需要理解和识记的内容较多，学习时要注意

一、重点与难点

1.几种常用的信号；

2.公式 的含义；

3.线性、时不变、因果和稳定系统的判别；

4.线性卷积的计算；

5.采样的框图、时域采样定理及信号内插恢复的过程。

二、具体讲解

1．线性卷积

线性卷积是一种非常重要的一种运算，对它的求解，一般我们采用作图法。线性卷积满足

交换律，设两序列长度分别是N和M，线性卷积后序列的长度为N＋M－1。

卷积的计算过程包括翻转、移位、相乘、相加四个过程。

1）将和用和表示，画出和这两个序列；

2）选择一个序列，并将其按时间翻转形成序列；

3）将移位n，得到；

4）将和相同m的序列值对应相乘后，再相加。

2．连续信号的采样

对连续信号进行理想采样，设采样脉冲，则采样输出

在讨论理想采样后，信号频谱发生的变化时，可遵循下面的思路：

1）由；2）由；

3）根据频域卷积定理，由计算出。

计算过程：

1）

2）周期信号可以用傅里叶级数展开，因此

其中系数

所以

其傅里叶变换

3）

因此，采样后信号频谱产生周期延拓，周期为Ωs，同时幅度为原来的1/T倍。这是一个非常重要的性质，应熟练掌握。

例题

1.用单位脉冲序列及其加权和表示图所示序列

解：

2.判别系统y(n) =T[x(n)]=a x(n)+ b是否为线性系统，是否为时不变系统？

解：（1）线性

T[x1(n)]= a x1(n)+b

T[x2(n)]= a x2(n)+b

而T[x1(n)+x2(n)]=a[x1(n)+x2(n)]+b≠a x1(n)+ b+a x2(n)+ b

故此系统不是线性系统。

（2）时不变性

T[x(n-n0)]=a x(n-n0)+b

y(n-n0) = a x (n-n0)+b= T[x(n-n0)]

故该系统是时不变系统。

3.判别系统y(n) =T[x(n)]=x(n)cos(ω0n+φ)的因果稳定性。

解：（1）因果性

因为y(n) =T[x(n)]=x(n)cos(ω0n+φ)只与x(n)的当前值有关，而与x(n+1)，x(n+2)……等未来值无关，故系统是因果的。

（2）稳定性

当| x(n)|

4.若LTI系统的输入x(n)和输出y(n)满足下列差分方程

y(n)=a y(n-1)+x(n)

求起始条件分别为h(n)=0，n<0和h(n)=0，n>0时的单位脉冲响应。

解：（1）令x(n)=δ(n)，根据起始条件可递推如下

y(0)=δ(0)=1，y(1)=a y(0)=a，……y(n)=a y(n-1)=a^-n

因此h(n)= y(n) =a^-n.u(n)

（2）将差分方程改写成

y(n-1)=1/a[y(n)-x(n)]

n→n+1，则y(n)=1/a[y(n+1)-x(n+1)]

根据起始条件可递推如下

y(0)=1/a[y(1)-δ(1)]=0，y(-1)=1/a[y(0)-δ(0)]=-1/a，……y(n)=a y(n-1)=-a^-n

因此h(n)= y(n) =-a^-n.u(-n-1)

第三章：

1本章涉及信号及系统的频域分析方法，概念较多，但很基础，学习时要注意。

2.DFT是为适应计算机分析傅里叶变换规定的一种专门运算，本章是数字信号处理课程的重点章节。

一、重点与难点

1.序列的傅里叶变换（DTFT）的定义、物理意义和性质；

2.z变换的定义、收敛域、性质，z反变换；

3.系统函数，收敛域与系统因果、稳定性的关系；

4.频率响应的定义，几何确定法。

5.DFT的定义、性质，DFT与z变换、DTFT 之间的关系；

6.循环卷积的计算；

7.频域采样定理；

8.圆周卷积和线性卷积的关系，DFT计算线性卷积的框图；

二、具体讲解

1.离散时间系统的频率响应

系统的单位脉冲响应h(n)的离散时间傅里叶变换

称为系统的频率响应，它表征了离散时间系统在频域中的特性。

一般来说，是复函数，表示为

其中，||称为系统的幅度响应或幅度特性，arg[]称为系统的相位响应或相位特性。

系统的频率响应是以2π为周期的ω的连续函数，这一点和连续系统的频率响应是不同的，学习时应加以注意。若h(n)为实数，则系统的幅度响应在区间内是偶对称的，而相位响应是奇对称的。

2.傅里叶变换时域、频域对应关系

根据序列的傅里叶变换和离散傅里叶级数频域特性，再结合连续时间信号的傅里叶变换频域特性，我们可以得出傅里叶变换时、频域的一般对应关系：连续→非周期，离散→周期。这种对应关系很重要，要求熟记。

3.一些常用序列的z变换

（1）单位脉冲序列

Z[]=1

（2）实指数信号

，

，

，

，

4.系统函数零极点分布对系统特性的影响

系统稳定的充要条件是系统函数H(z)的收敛域包括单位圆，一个稳定的因果系统的系统函数的所有极点都在单位圆内。对这些结论要能够理解。

5.频域采样定理

离散傅里叶变换相当于信号傅里叶变换的等间隔采样，也就是说实现了频域的采样，便于计算机计算。那么是否任一序列都能用频域采样的方法去逼近呢？这是一个很吸引人的问题。

我们考虑一个任意的绝对可和的序列x(n)，它的z变换为