矩阵分析在正弦信号参数估计中的应用

(11)
如果得到了信号向量 s1 , s2 , 3.3 信号子空间和噪声子空间
, sM ，也就可以得出正弦信号的信号极点。
信号的自相关矩阵 Rs 是一个 Hermitian 矩阵，对其进行谱分解得到
3
Rs V V H i vi vi H
l 1
L 1
(12)
式中 V 为 L 1阶酉矩阵， i 为 Rs 的特征值， vi 为 i 对应的特征向量。 由于 Rs 的秩为 M ，且 Rs 为非负定的，所以 Rs 有 M 个非零特征值，并且它们都是大于零的， 即有
G z , G z ,
1 2
, zL gi ，那么，这 L M 1 个多项式有且仅
有 M 个公共零点，并且它们是信号的 M 个极点。 下面给出 MUSIC 法的基本原理。 设有 vM 1 , vM 2 ,
, vL1 为 L 1维线性空间中噪声子空间的一组基向量，定义函数

n 0 m 1
N 1 M
m m
ˆ z
n
y n
2
(4)
因此，正弦信号参数估计问题的核心就是正弦信号的检测和信号极点估计。 正弦信号的检测不是本文讨论的重点， 因此这里均假设正弦信号分量个数 M 已经通过其它方 法估计出来。
3 正弦信号自相关矩阵的性质分析
3.1 信号和观测量的自相关矩阵 式(1)所表示的正弦信号的自相关函数为
， 据 此 估 计 信 号 s n 的 正 弦 分 量 数 M 和 未 知 参 数

m
, m ,
; m m
1 ,M 2 。
令 m m exp jm ， zm exp jm ，则 s n 可以表示为
s n m zm n
可以证明，
, m Vs H
span s1 , s2 ,
, sM span v1 , v2 ,
, vM
(15)
即，正弦信号自相关矩阵 Rs 的 M 个非零特征值对应的特征向量张成的子空间与正弦信号的 M 个 信号向量张成的子空间相同。 现在再来看观测量 y n 的自相关矩阵
1 2
因此 Rs 的谱分解可以简化为
M M 1
L1 0
(13)
Rs i vi vi H v1 , v2 ,
l 1
M
, vm diag 1 , 2 ,
, m v1 , v2 ,
, vm
H
(14)
Vs diag 1 , 2 ,
2 正弦信号参数估计的基本问题
M 个正弦波叠加构成的信号表示为
s n m exp j m n m
m 1
M
(1)
其中 m 0 ， m 分别为第 m 个正弦波的幅度和角频率， m 为第 m 的正弦波的初相角， 一般假设 m 为在 0, 2 上均匀分布的随机变量，且相互独立，对应 s n 的每次实现 m 总为一个 确定值。 信号 s n 在观测过程中受到噪声的干扰，其观测值为
m 1 M
(3)
这里称 m 为信号的复幅度， zm 为信号极点。正弦信号参数估计问题等价于估计 m 和 zm 。由于 m
ˆm 后，利用最小二乘估计得到： 与观测量 y n 是线性关系，因此在获得了信号极点估计 z
ˆ1 , ˆ2 , , ˆm arg min
1 , 2 , , m
D
m M 1
j 其中 s 1, e ,

L 1
s H vm s HVNVN H s
2
(19)
, e jL ， VN vM 1 , vM 2 ,
, vL1 。利用前面的定理，可以得出
, M , M
(20)
0, 1 , 2 , D 0, 1 , 2 ,
2 m 1
M
(6)
将信号的自相关函数 rs k 写成如下的自相关矩阵的形式：
rs 0 rs 1 r 1 rs 0 Rs s rs L rs L 1
2
rs L rs L 1 rs 0
, sM 称为 L 1 维线性空间中的信号向量。当 L 1 M 时，这 M 个信号向
量是线性无关的，以它们为基向量可以构成 L 1 维线性空间的一个 M 维子空间，记作
span s1 , s2 , M , sM i si ; i C m1
ˆ v ˆ1 , v ˆ2 , 可以取数据矩阵的 M 个主奇异值对应的左奇异向量作为信号子空间的估计 V s
利用最小二乘技术求解方程 Vs F Vs ，得到 F 的估计
ˆM ， ,v
ˆ V ˆ HV ˆ F s s


1
下面给出信号子空间和噪声子空间的一些性质： (1) 正交性 信号子空间的任一向量 s 与噪声子空间的任一向量 v 正交，即 sH v vH s 0 (2) 信号子空间的移不变性 式(14)中的 Vs v1 , v2 , 除最后一行的矩阵，则有 a． Vs 和 Vs 有相同的列空间，且为 L 维线性空间中的信号子空间。
, M 和 L 1 M 个等于噪声方差的特征
, L 1 。 M 个较大的特征值称为 Rs 的主特征值，主特征值对应的特征
向量称为主特征向量。主特征向量就是信号自相关矩阵的非零特征值对应的特征向量，因此主特 征向量张成的子空间，就是信号向量张成的子空间。 将观测量自相关矩阵 Ry 的列空间写作主特征向量张成的子空间与其它特征向量张成子空间 的和，即
Ry Rs 2 E i vi vi H 2 vi vi H
i 1 M i 1 M L 1
(16)
2
i 2 vi vi H
i 1
i M 1

L 1
vi vi H
可见， Ry 有 M 个较大的特征值 i i 2 i 1, 2, 值 i 2 i M 1, M 1,
y n s n e n
其中 e n 为各态遍历的零均值平稳复随机过程，且与 s n 独立。
1
(2)
正 弦 信 号 参 数 估 计 的 基 本 问 题 就 是 ： 给 定 被 观 测 信 号 s n 的 一 个 有 限 的 观 测 样 本
y n ;0 n N 1, N 2M
(18)
, vm C ( L1)M ， L M ，记 Vs 为 Vs 删除第一行后的矩阵， Vs 为 Vs 删
b ． Vs F Vs ， F 为一满秩的 M M 方阵， F 的 M 个特征值为正弦信号的 M 个信号极点
s1 , s2 ,
, sM 。
4 信号极点估计方法
(7)
Rs 是一个 Toeplitz 矩阵，其中的 L 为与自相关函数的长度相关的一个整数，自相关函数的长度为
2L 1 。不难验证，矩阵 Rs 可以写作如下三个矩阵相乘：
Rs k Z L diag 12 , 2 2 ,
,M 2 Z L H
(8)
1 z 其中， ZL 1 L z1
矩阵分析在正弦信号参数估计中的应用
摘要 本文介绍了正弦信号参数估计的基本问题， 利用矩阵理论中的谱分解、 线性子空间的知识对 信号观测值的自相关矩阵进行了分析， 并给出了两种信号极点估计方法： MUSIC 法和 ESPRIT 法。 关键字 极点估计 谱分解 线性子空间
1 引言
矩阵分析作为一种重要的数学工具，在信号与信息处理领域起着不可替代的作用。矩阵分解 是解决矩阵问题的重要方法之一，将一个矩阵分解为几个简单矩阵的乘积，有很强的技巧性和实 用性。线性子空间是矩阵理论中的基本概念，同样有着广泛的应用。正弦信号参数估计，是现代 谱估计理论中的一类重要问题，人们往往要从实际过程的测量信号来判定过程是否有周期性，这 个周期性信号的频率是多少，功率是多大，这些都是正弦信号参数估计的要解决的问题。 本文讲述了如何利用矩阵分解和线性子空间的知识对正弦信号参数估计问题进行分析，给出 了参数估计的方法。第 2 节对正弦信号参数的基本问题进行了数学描述；第 3 节对观测值的自相 关矩阵进行谱分解，并利用线性子空间理论对参数估计问题进行了分析；第 4 节给出了两种参数 估计方法；第 5 节对全文进行了总结。
ˆ ， 获得噪声子空间基向量主要有两种方法。 第一种方法是， 由观测样本获得自相关函数矩阵 R y
对其进行谱分解，得到 L M 1 个非主特征向量，并作为噪声子空间基向量的估计。第二种方法 是，对观测数据矩阵奇异值分解，得到非主奇异值对应的左奇异值向量作为噪声子空间基向量的 估计。观测数据矩阵的奇异值分解本文并没有介绍，可以参阅文献[2]。 4.2 ESPRIT 法 ESPRIT 的全称为 Estimation of Signal Parameters via Rotational Invariance Technique， 就是利用 信号子空间的移不变性估计信号极点。基本步骤为： 1.估计信号子空间 Vs ； 2.求解方程 Vs F Vs ； 3.求 F 的 M 个特征值，即为信号极点。
显然， Ry 总是满秩的。
(9)
3.2 信号向量 将 Z L 写作行向量形式
Z L s1 , s2 ,
其中 si [1, zi , zi 2 ,
, zi L ]T ， i 1, 2,
, sM
(10)
, M 。 Z L 的各列分别包含了正弦信号的信号极点 zi 的信息，将
这 M 个列向量 s1 , s2 ,
1 z2 z2 L
1 zM 。 称为 Vandermonde 矩阵。 根据 Vandermonde Z L 也为一种特殊矩阵， zM L
矩阵的性质可以得出，当 L 1 M 时， rank Rs M 。 同样，可以得到观测量 y n 的自相关矩阵为
Ry Rs 2 E
4.1 MUSIC 法 根据信号子空间和噪声子空间的正交性，可得出如下定理： 设 g1 , g2 ,
, g L M 1 为 噪 声 子 空 间 中 的 一 组 线 性 无 关 的 向 量 ， 分 别 对 应 有 多 项 式
1 , GLM 1 z ，其中 Gi z 1, z ,
因此只要获得噪声子空间的一组基向量估计，由谱函数
PMUSIC 1 ˆ D
H H ห้องสมุดไป่ตู้ s VNVN s 1
(21)
5
的 M 个谱峰位置就可以获得正弦信号的频率估计。 这种方法就称作 Multiple Signal Classification， 简称 MUSIC 法。这个谱函数就叫做 MUSIC 谱。
rs k m 2 exp jm k m 2 zm k
m 1 m 1 M M
(5)
如果观测噪声 e n 的方差为 2 ，那么观测量 y n 的自相关函数为
ry k rs k k m 2 zm k 2 k
range Ry span v1 , v2 , , vM span vM 1 , vM 1 , , vL1
(17)
子空间 span v1 , v2 ,
, vM 是由正弦信号的信号向量所决定的子空间，称为信号子空间；
4
span vM 1 , vM 1 ,
, vL1 是由观测噪声生成的子空间，称为噪声子空间。