参数估计理论
第三讲 参数估计 (1)
L( x1 , x2 , x3;q ) =ˆ Pq { X1 = x1 , X 2 = x2 , X 3 = x3 }
= Pq { X1 = x1 }Pq { X 2 = x2 }Pq { X 3 = x3 }
= p( x1;q ) p( x2;q ) p( x3;q ) = q x1 (1 − q )1− x1q x2 (1 − q )1− x2 q x3 (1 − q )1− x3
其它
其中 −1
是未知参数,
X1,X2,…,Xn是取自X的样本,求参数 的矩估计.
解:
数学期望
是一阶
1
=
= E(X
( + 1)
)
1
1
= x( 0
x +1dx
+ =
1)
x dx +1
原点矩由矩估计法,
X
=
0
+1
+2
总体矩
样本矩
+2
从中解得 ˆ = 2 X − 1 , 即为 的矩估计.
Gauss
Fisher
最大似然法的基本思想
先看一个简单例子： 某位同学与一位猎人一起外 出打猎 . 一只野兔从前方窜过 . 只听一声枪响，野兔应声倒下 . 如果要你推测，是谁打中的呢？ 你会如何想呢?
你就会想，只发一枪便打中, 猎人命中的概率 一般大于这位同学命中的概率 . 看来这一枪是猎人 射中的 .
最大似然估计法就是用使L(q )达到最大值的qˆ去估计q . 称qˆ为q 的最大似然估计（MLE）.
怎样求最大似然估计呢？ 因为lnx是x 的严格单增函数，lnL与L有相同的极大值点， 故一般只需求lnL的极大值点即可----令其一阶偏导为0，得到 似然方程（组），求解即可。
统计推断与参数估计的基本理论与方法
统计推断与参数估计的基本理论与方法统计推断是统计学中的一门重要的研究领域，它主要关注如何通过样本数据对总体特征进行推断。
参数估计则是统计推断的一个重要组成部分，它通过样本数据来估计总体参数。
本文将介绍统计推断和参数估计的基本理论和方法。
一、统计推断的基本理论统计推断的基本理论包括抽样理论、似然函数和假设检验等。
1. 抽样理论抽样理论是统计推断的基础，它研究的是如何从总体中抽取样本以便对总体进行推断。
通过合理的抽样方法，可以保证样本对总体的代表性。
2. 似然函数似然函数是参数估计的基本工具，它是样本观测值关于参数的函数。
通过最大似然估计可以得到参数的最优估计值。
3. 假设检验假设检验是统计推断的重要方法，用于检验某个关于总体参数的假设。
它包括构造检验统计量和确定拒绝域两个步骤，从而进行参数推断。
二、参数估计的基本方法参数估计是统计推断中的核心内容，它通过样本数据来估计总体参数。
参数估计的基本方法包括点估计和区间估计。
1. 点估计点估计是一种直接估计总体参数的方法，它通过样本数据来估计总体参数的具体值。
最常用的点估计方法是最大似然估计和矩估计。
2. 区间估计区间估计是一种间接估计总体参数的方法，它给出了参数的估计区间。
通过给出一个置信区间，可以对总体参数进行估计，并给出估计的精度。
三、常用的统计推断方法在实际应用中，统计学家们发展了许多常用的统计推断方法，包括假设检验、方差分析、回归分析等。
1. 假设检验假设检验是统计推断中最常用的方法之一，它用于检验某个关于总体参数的假设。
例如，检验某种药物对疾病的治疗效果是否显著。
2. 方差分析方差分析是一种用于比较多个总体均值的方法，它通过分析不同组之间的方差来判断各组均值是否有显著差异。
例如，在新产品开发中，可以通过方差分析评估不同市场的销售情况。
3. 回归分析回归分析是一种用于建立变量之间关系的方法，它可以推断自变量对因变量的影响程度。
通过回归分析可以得到回归方程，从而进行预测和解释。
概率论与数理统计-参数估计_图文
或
于是得到
的置信水平为 的置信区间为
为已知
其中
于是得到
的置信水平为 的置信区间为
其中
例3 为比较 I ,ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱⅡ 两种型号步枪子弹的枪口
速度 ,随机地取 I 型子弹 10 发 ,得到枪口速度的平
均值 为
标准差
随
机地取 Ⅱ 型子弹 20 发 ,得到枪口速度的平均值为
标准差
假设两总
体都可认为近似地服从正态分布.且生产过程可认
2. 估计的精度要尽可能的高. 如要求区间长度
尽可能短，或能体现该要求的其它准则.
可靠度与精度是一对矛盾，一般是在保证 可靠度的条件下尽可能提高精度.
二、置信区间的求法
在求置信区间时，要查表求分位点.
定义 设
, 对随机变量X，称满足
的点 为X的概率分布的上 分位点.
若 X 为连续型随机变量 , 则有 所求置信区间为
X~N( )
样本均值是否是 的一个好的估计量？
样本方差是否是 的一个好的估计量？
这就需要讨论以下几个问题: (1) 我们希望一个“好的”估计量具有什么特性？ (2) 怎样决定一个估计量是否比另一个估计量“好”？
(3) 如何求得合理的估计量？
常用的几条标准是：
1．无偏性 2．有效性 3．相合性
这里我们重点介绍前面两个标准 .
概率论与数理统计-参数估计_图文.ppt
参数估计
现在我们来介绍一类重要的统计推断问题 参数估计问题是利用从总体抽样得到的信息来估 计总体的某些参数或者参数的某些函数.
估计新生儿的体重
估计废品率
在参数估计问题
估计降雨量 中，假定总体分 布形式已知，未
… 知的仅仅是一个 … 或几个参数.
各种参数的极大似然估计
各种参数的极大似然估计1.引言在统计学中，参数估计是一项关键任务。
其中，极大似然估计是一种常用且有效的方法。
通过极大化似然函数，我们可以估计出最有可能的参数值，从而进行推断、预测和优化等相关分析。
本文将介绍各种参数的极大似然估计方法及其应用。
2.独立同分布假设下的参数估计2.1参数估计的基本理论在独立同分布假设下，我们假设观测数据相互独立且具有相同的概率分布。
对于一个已知的概率分布，我们可以通过极大似然估计来估计其中的参数。
2.2二项分布参数的极大似然估计对于二项分布，其参数为概率$p$。
假设我们有$n$个独立的二项分布样本，其中成功的次数为$k$。
通过极大似然估计，我们可以得到参数$p$的估计值$\h at{p}$为：$$\h at{p}=\f ra c{k}{n}$$2.3正态分布参数的极大似然估计对于正态分布，其参数为均值$\mu$和标准差$\si gm a$。
假设我们有$n$个独立的正态分布样本，记为$x_1,x_2,...,x_n$。
通过极大似然估计，我们可以得到参数$\mu$和$\si gm a$的估计值$\h at{\m u}$和$\ha t{\s ig ma}$分别为：$$\h at{\mu}=\f rac{1}{n}\su m_{i=1}^nx_i$$$$\h at{\si gm a}=\s q rt{\fr ac{1}{n}\s um_{i=1}^n(x_i-\h at{\mu})^2}$$3.非独立同分布假设下的参数估计3.1参数估计的基本理论在非独立同分布假设下，我们允许观测数据的概率分布不完全相同。
此时，我们需要更加灵活的方法来估计参数。
3.2伯努利分布参数的极大似然估计伯努利分布是一种二点分布，其参数$p$表示某事件发生的概率。
假设我们有$n$组独立的伯努利分布样本，其中事件发生的次数为$k$。
通过极大似然估计，我们可以得到参数$p$的估计值$\h at{p}$为：$$\h at{p}=\f ra c{k}{n}$$3.3泊松分布参数的极大似然估计泊松分布是一种描述罕见事件发生次数的概率分布，其参数$\la mb da$表示单位时间（或单位面积）内平均发生的次数。
第七章 参数估计
第三节 总体均数估计
估计总体平均数的步骤： 估计总体平均数的步骤： X与S 1、 计算样本 2、 计算 σ X 3、 确定置信水平或显著性水平并查表 4、计算置信区间 5、解释总体平均数的置信区间
一、正态估计法 ， σ２已知 、
1、前题条件： 、前题条件：
总体正态, n不论大小 总体正态, n不论大小
点估计与区间估计的比较
定义: 定义
直接以样本统计量（数轴上的一个点） 点估计 :直接以样本统计量（数轴上的一个点） 作为总体参数的估计值
区间估计：按一定概率要求， 区间估计：按一定概率要求，根据样本统计量估 计总体参数可能落入的范围的一种统计方法。 计总体参数可能落入的范围的一种统计方法。也 就是说整体参数所落的有把握的范围 整体参数所落的有把握的范围。 就是说整体参数所落的有把握的范围。
D=0.95时 时
75.7 ≤ µ ≤ 81.3
5、解释：用样本1估计，总体的平均数落在 、解释：用样本1估计， 73.6-82.4之间的可能性为95%， 之间的可能性为95% 73.6-82.4之间的可能性为95%，超出这一范 围的可能性为5% 5%。 围的可能性为5%。 用样本2估计，总体的平均数落在76.7 80.3之 76.7用样本2估计，总体的平均数落在76.7-80.3之 间的可能性为95% 落在75.7 81.3的可能性为 95%， 75.7间的可能性为95%，落在75.7-81.3的可能性为 99%。 99%
X ± 2.58σ X
置信限：就是总体参数所落区间的上下界限。 置信限：就是总体参数所落区间的上下界限。即
X − 1.96σ X ≤ µ ≤ X + 1.96σ X
置信下限 置信上限
标准误
标准误（中心极限定理 ） 标准误（中心极限定理3）
五种估计参数的方法
五种估计参数的方法在统计学和数据分析中，参数估计是一种用于估计总体的未知参数的方法。
参数估计的目标是通过样本数据来推断总体参数的值。
下面将介绍五种常用的参数估计方法。
一、点估计点估计是最常见的参数估计方法之一。
它通过使用样本数据计算出一个单一的数值作为总体参数的估计值。
点估计的核心思想是选择一个最佳的估计量，使得该估计量在某种准则下达到最优。
常见的点估计方法有最大似然估计和矩估计。
最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation，简称MLE）是一种常用的点估计方法。
它的核心思想是选择使得样本观测值出现的概率最大的参数值作为估计值。
最大似然估计通常基于对总体分布的假设，通过最大化似然函数来寻找最优参数估计。
矩估计（Method of Moments，简称MoM）是另一种常用的点估计方法。
它的核心思想是使用样本矩和总体矩之间的差异来估计参数值。
矩估计首先计算样本矩，然后通过解方程组来求解参数的估计值。
二、区间估计点估计只给出了一个参数的估计值，而没有给出该估计值的不确定性范围。
为了更全面地描述参数的估计结果，我们需要使用区间估计。
区间估计是指在一定的置信水平下，给出一个区间范围，该范围内包含了真实参数值的可能取值。
常见的区间估计方法有置信区间和预测区间。
置信区间是对总体参数的一个区间估计，表示我们对该参数的估计值的置信程度。
置信区间的计算依赖于样本数据的统计量和分布假设。
一般来说，置信区间的宽度与样本大小和置信水平有关，较大的样本和较高的置信水平可以得到更准确的估计。
预测区间是对未来观测值的一个区间估计，表示我们对未来观测值的可能取值范围的估计。
预测区间的计算依赖于样本数据的统计量、分布假设和预测误差的方差。
与置信区间类似，预测区间的宽度也与样本大小和置信水平有关。
三、贝叶斯估计贝叶斯估计是一种基于贝叶斯理论的参数估计方法。
它将参数看作是一个随机变量，并给出参数的后验分布。
贝叶斯估计的核心思想是根据样本数据和先验知识来更新参数的分布，从而得到参数的后验分布。
第7章参数估计
x 1 0
f P 1－p
x
xf f
1 p 0 (1 p) p (1 p)
p
2 (x x)2 f (1 p)2 p (0 p)2 (1 p)
f
p (1 p)
似然函数常简记为L或 L 1,2, ,k
未知参数的函数。
38
若有 ˆi (x1, x2,..., xn ) i 1, 2, k 使得
L x1, x2,..., xn;ˆ1, ˆ 2,
, ˆ k
max L (1 ,2 , ,k )
x1, x2,..., xn; 1, 2,
, k
则 ˆi (X1, X2,..., Xn) 为参数θi的极大似然估计量。
中选出一个使样本观察值出现的概率为最大的 ˆ 作
为θ的估计量。
称 ˆ 为θ 的极大似然估计量。
37
2.似然函数的数学表达式
设X1,X2,…Xn是取自总体X的一个样本，样本的联合密度 (连续型）或联合分布律 (离散型)为 :
f (x; 1，2 , , k )
定义似然函数为：
n
L L x1,..., xn; 1, 2, , k f xi; 1, 2, , k i 1 x1, x2 ,..., xn 给定的样本观察值
§7.1.4抽样误差
1.误差：调查结果与实际值之间的差异 抽样调查中的误差
登记性误差(非抽样误差) 误差代表性误差随系机统误误差差（（抽非样抽误样差误）差）
2.抽样误差—由于抽样的随机性而产生的 样本指标对总体指标的代表性误差。抽样误 差可以计算并加以控制，但不可以避免。
参数估计的介绍
参数估计的介绍一、总体参数估计概述统计推断(Statistical inference)就是根据样本的实际数据，对总体的数量特征作出具有一定可靠程度的估计和判断。
统计推断的基本内容有参数估计和假设检验两方面。
概括地说，研究一个随机变量，推断它具有什么样的数量特征，按什么样的模式来变动，这属于估计理论的内容，而推测这些随机变量的数量特征和变动模式是否符合我们事先所作的假设，这属于检验理论的内容。
参数估计和假设检验的共同点是它们都对总体无知或不很了解，都是利用部分观察值所提供的信息，对总体的数量特征作出估计和判断，但两者所要解决问题的着重点的所有方法有所不同。
本节先研究总体参数估计的问题。
总体参数估计是以样本统计量（即样本数字特征）作为未知总体参数（即总体数字特征）的估计量，并通过对样本单位的实际观察取得样本数据，计算样本统计量的取值作为被估计参数的估计值。
不论社会经济活动还是科学试验，人们作出某种决策之前总是要对许多情况进行估计。
例如商品推销人员要估计新式时装可能为消费者所学好的程度，自选商场经理要估计附近居民的购买能力，民意调查机构要估计竞选者的得票率，医药生产部门要推广某种药品的新配方，必须估计新药疗效的提高程度等等。
这些估计通常是在信息不完全、结果不确定的情况下作出。
参数估计为我们提供一套在满足一定精确度要求下根据部分信息来估计总体参数的真值，并作出同这个估计相适应的误差说明的科学方法。
科学的抽样估计方法要具备三个基本条件。
首先是要有合适的统计量作为估计量。
我们知道统计量是样本随机变量的函数，根据样本随机变量可以构造许多统计量，但不是所有的统计量都能够充当良好的估计量。
例如，从一个样本可以计算平均数、中位数、众数等等，现在要用来估计总体平均数，究竟以哪个样本统计量作为估计量更合适，如果采用样本平均数作为估计量，这就需要回答样本平均数和总体平均数存在什么样的内在联系，以样本平均数作为良好估计量的标准是什么等等。
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T
则功率谱密度定义为
| X T ( f ) |2 Pxx ( f ) lim E T 2T 对于零均值的平稳随机信号而言，存在
Pxx ( f ) Rxx ( )e j 2 f d
Rxx ( ) Pxx ( f )e j 2 f d
2
随机信号x(t)的方差表达式为： 1 T 2 2 x E[( x x ) ] lim [ x(t ) x ]2 dt T T 0 方差是信号幅值相对于均值分散程度的一种表示， 也是信号纯波动（交流）分量大小的反映。
6
离散随机信号的数字特征
若x(n)是离散的各态历经的平稳随机信号序列。类 似连续随机信号，其数字特征可由下面式子来表示： 均值 1 n x E[ x(n)] x(i) n i 1
25
40
第一节 估计子的性能
Performance of estimator
26
1、估计的基本概念
最简单的情况：
根据观测值(随机信号N个样本值x(1)，x(2)，…， x(N))估计出信号的一些统计特征量，如信号的均
值、方差、均方和相关函数等
1 N x x(i) N i 1 1 N 2 1 2 E[ x 2 (n)] x (i) x N i 1 N
8
单个平稳随机信号的二阶统计量
Rxx ( ) E{x(t ) x* (t )}
Cxx ( ) E{[ x(t ) x ][ x(t ) x ] } Rxx ( ) x
* 2
对于数字信号x(n)，怎样估计自相关函数？
(1)按照自相关函数定义来估计
ˆ Rxx (m) E{x(n) x(n m)} 1 n x(i) x(i m) n m n n i 1
缺点：运算量大，速度慢
9
功率谱密度
定义：考虑在一有限时间段取值的随机过程x(t) ， -T<t<T。计算其Fourier变换
X T ( f ) [ x(t ) x ]e j 2 ft dt
均方值
1 n 2 E[ x 2 (n)] x (i ) n i 1 1 n E[( x(n) x ) ] ( x(i) x ) 2 n i 1
2 x 2
方差
7
【例1】计算以长度N=100000的正态分布高斯随机 信号的均值、均方值、均方根值、方差和均方差
N=100000; %数据个数 randn('state',0); %设置产生随机数的状态 y=randn(1,N); %产生一个随机序列 disp('平均值:'); yMean=mean(y) %计算随机序列的均值 disp('均方值:'); y2p=y*y'/N %计算其均方值,这里利用了矩阵相乘的算法 disp('均方根:'); ysq=sqrt(y2p) %计算其均方根值 disp('标准差:'); ystd=std(y,1) %计算标准差 disp('方差:'); yd=ystd.*ystd
c=xcorr(x,maxlags)
12
【例2】求带有白噪声干扰的频率为10HZ的正弦 信号和白噪声信号的自相关函数并进行比较。
clf; N=1000; Fs=500; %数据长度和采样频率 n=0:N-1;t=n/Fs; %时间序列 Lag=100; %延迟样点数 randn('state',0); %设置产生随机数的初始状态 x=sin(2*pi*10*t)+0.6*randn(1,length(t)); %原始信号 [c, lags] = xcorr (x, Lag, 'unbiased'); %对原始信号进行无偏 自相关估计 subplot(2,2,1),plot(t,x); %绘原始信号x xlabel('时间/s');ylabel('x(t)');title('带噪声周期信号');grid on; subplot(2,2,2);plot(lags/Fs, c); %绘x信号自相关,lags/Fs为时 间序列 xlabel('时间/s');ylabel('Rx(t)'); title('带噪声周期信号的自相关');grid on;
19
模板互相关法
两点注意 (1)模板的构造 在这种QRS检测方法中，构造模板有两种方法： a.分段函数法； b.典型信号法； 并将信号模板以数据形式存储起来。
20
模板互相关法
(2)对准的问题
求一个信号与另一个信号相关，要求这两个信号互
相对准。有两种方法：
a.利用每个信号上的基准点将模板和输入信号对准，
根据观测值从多种假设中选择出最合适的一种(假
设检验) 从含噪声的观测值中判断某种信号是否存在(估计)
参数估计:
假设数据服从一已知结构的概率模型，但模型某 些参数未知；从观测值中估计出信号的参数，如信 号的幅度、频率和相位等
24
随机信号处理的大部分内容侧重于参数化的
理论与方法：现代谱估计本质上是参数化谱 估计、自适应滤波器介绍的是时域或空域滤 波器参数的自适应更新；等等
Cxy ( ) Cxx (0)C yy (0)
16
两个平稳随机信号的统计关系
统计独立 统计不相关
f X ,Y ( x, y) f X ( x) fY ( y)
xy ( ) 0,
Cxy ( ) E{[ x(t) x ][ y(t ) y ]*} 0,
严格平稳：概率密度函数与时间无关的随机
信号x(t)称为严格平稳随机信号
广义平稳：
(1)其均值为常数，即E{x(t)}=μx(常数)
(2)其二阶矩有界，即
E{x(t) x*(t)}=E{|x(t)|2}<∞
(3)其协方差函数与时间无关，仅与时间间隔
有关即 Cxx(τ)=E{[x(t)- μx][x(t- τ)- μx]*}
18
模板互相关法
基本思路
如果两个信号波形形状相互匹配，就称这些信
号是相关的。互相关系数可确定两个或更多信号形
状间匹配的程度。
相关系数的值总是位于0和1之间。1值表明信号 与模板准确匹配。这个系数值确定了研究中的两信 号形状的匹配程度，而实际信号的幅值对相关函数 来说是无关紧要的．这种形状匹配，或QRS复波的 识别过程，与识别信号的自然途径是一致的．
3
遍历性
平稳随机过程的概率分布不随时间的平移而
变化，全体随机变量集合的平均就可以用无 穷时间的平均来代替，这就是各态遍历假设。
4
随机信号的数字特征
若连续平稳随机信号x(t)是各态遍历的，则随机信号 x(t)均值可表示为： 1 T Ex(t ) x lim x(t )dt 0 T T
参数估计的基本理论
复习上次课的内容
随机信号和确定信号
是两类性质完全不同的信号，对它们的描述、分 析和处理方法也不相同。
随机信号是一种不能用确定数学关系式来描述的， 无法预测未来某时刻精确值的信号，随机信号在
任何时间的取值都是不能先验确定的随机变量
随机信号可用概率分布特性统计地描述。
2
平稳随机信号
11
MATALB函数XCORR
MATLAB信号处理工具箱提供了计算随机信号相关 函数xcorr。
函数xcorr用于计算随机序列自相关和互相关函数。 调用格式为：
[c,lags]=xcorr(x,y[,maxlags,’option’])
式中，x,y为两个独立的随机信号序列，长度均为N； c为x,y的互相关估计;lags为相关估计c的序号向量， 其范围为[-maxlags:maxlags]。 该函数也可用于求一个随机信号序列x(n)的自相关 函数，调用格式为：
维纳-辛钦定理 (Wiener-Khinchine)
10
估计自相关函数的第二个方法： 功率谱密度反变换
(1)求数字信号x(n)的FFT
(2)估计功率谱密度
X(ω)=FFT{x(n)}
| X ( ) |2 Pxx ( ) lim E N N
(3)估计自相关函数 Rxx(m) = FFT-1{Pxx(ω)}
均值描述了随机信号的静态（直流）分量，它不随 时间而变化。 随机信号x(t)的均方值表达式为： 1 T 2 2 2 x E{x (t )} lim x (t )dt T T 0 均方值 表示了信号的强度或功率。
5
随机信号的数字特征
随机信号x(t)的均方根值表示为：
1 T 2 x E[ x (t )] lim x (t )dt T T 0 也是信号能量或强度的一种描述。
14
15
两个平稳随机信号的二阶统计量
互相关函数
Rxy (t1 , t2 ) E{x(t1 ) y* (t2 )}
def
def
Cxy (t1 , t2 ) E{[ x(t1 ) x ][ y(t 2 ) y ]*} 互协方差函数
互相关系数
xy ( )
功率谱密度与系统传递函数的模平方之乘积。
22
内容与要求
了解：参数估计的意义和作用 理解：